1
確率分布 見 外国語教育研究 ータ
草薙 邦広
広島大学
概要
稿 ，数理的 研究実践 教育業務 改善 応用 念頭 置い
，観測 対 あ 確率 布 確率密度関数 い 確率質 関数 ッ ，外 国語 運用 教育 関連 現象 い 優 数理的近似 得 手続 い 概観
。 稿 ， 散確率 布 あ 布， ン 布，幾何 布，負 布， 過剰 ン 布，連続確率 布 あ 正規 布， ン 布， 布，
布，ワ 布，対数正規 布，指数正規合成 布，一般化極値 布， ，
数 ン 混合 布 。 ， ッ 関連 手法 最尤推
定 い ， ， 連鎖 ン 法 MCMC 後 布 ン
ン い 紹 。 稿 ，全編 渡 ，可 性 実用性 視 ，数理的 原 理 明 避 ， 代わ 統計解析環境R 解析 例 併記 。
Keywords: 数理的 ，確率 布，最尤推定， 連鎖 ン
法 MCMC ，研究方法論
1.
問題 所在1.1
外国語教育研究 け 変数 多様化外国語教育研究 ， 的研究 主流 学際的 あ 。 ， 的研究 一
口 い ， あ ，姿勢， 思想 い ，学際的
いう 足 多岐 渡 。 稿 内容 ， う 多様性 い 思弁的
論 い。 ， 多様性 ， 研究実践 扱う
種類 表 。
2000 頃，第 言語習得研究 SLA 浸透 あ 認知主義 影響 ，心 理学実験 い 使用 各種 言語行動 ，国内 外国語教育研究 入
。言語行動 ， 断課題 正答率， 応時間 ， 解時間
， 視線計測 含 。 ， 後，脳神経科学 影響 ，
脳機能 ン わ 。時 ， 言語学や自
然言語処理研究 影響 ，語 出現 度や共起確率 い ，
2
有益 一種 う 。 ，心理統計 psychometrics 影 響 ，因子 析や 目 応理論 い 潜 変数 ， 構造方程式 ン
SEM 析方法 及 う ， や質問紙 対 回答 ，
一 要 研究資源 考え う 。
外国語教育研究 学際化 伴う変数 多様化 関 ，国内 2010 代 動 ， い あ 。社 会 学 影 響 ， 社会 経済 的 地
SES い 調査用変数 ， 教育政策的視 関わ 要視 う い 。 ，高等教育研究や教育 学 影響 ，大 記録
学習 歴 利活用 い 研究者 注目 集 草薙, 2017a ， ュ
ョ ン い 用 語 知 う 草 薙 石 ,
2016 。 時 ，数多 実践研究 ，教育業務 従 者 視 ，比較
的自 出 変数 多数 う 特筆 あ う。
外国語教育研究 学際化 ， 扱う変数 様 多様化
い ，基 的 望 い あ 。 ， 扱う変数 多様化 ，
変数 数理的特性 十 吟味 い う ， あ 意 味危険 あ 。変数 多様化 い 現 状況 ， え 変数 数理的特
性 い 吟味 要 う。
1.2
外国語教育研究 け 数理的 プ ーチ変数 数理的特性 い 吟味 ， う い ， 抽象的
あ 。 体化 ， 稿 ，観測 確率 布 関係 いう 観 着
目 。 ， 観 触 前 ， 稿 基盤 数理的 筆者
研究姿勢 い 簡単 紹 い。数理的 ， 実践例
数 比 ， 背 い 述 比較的少 。
数理的 ，第一 ，外国語教育研究 目的論 関 ，帰結主義， 利主義 全面的 入 い 。 ，外国語教育 関 研究実践 結果 生 社会的 個人的効用 最大化 ，研究目標 あ 。特 ， 外国語教育 関 意思決定 媒 ，社会 個人 効用
前 い 。 ，外国語運用 関わ 認知機能 完全 解明 ， い 自然主義的 課題 ， 帰結 個人や社会 大 効用 期待 い限
，主 研究目的 い。 う 考え方 ，認知科学 いう ，社会学，
経済学， 学， 近 流行 い ン 通 あ 。
，観測 可能 象 い 合理主義的 推論 対 過度 信 置
， 必要 要素 積極的 捨象 ， いう方針 あ 。程度 問題 帰
， ， 質主義や認知主義 あ 意味 姿勢 あ 。 ，
3
特 外国語運用 関わ 内的機構 い ，直接的 観測 可能 象 い ， あ 計算論的 再現可能 あ いう う 捉え い。 ，行動主 義や経験主義 見 一種 強い 度 あ 差 支え い。 ，一 般的 行動主義者 う う ，認知主義者 仮定 う 機構 ，物理的
自然主義的 存 得 い い 場面 含意 ，主 研究
対象外 あ 。
第 ，数理的 ，外国語教育研究 見 諸概念 い
共訳 可能性 い 。 鑑 ， 共訳 可能性 招 や
い自然言語 思弁的記述 ，数理的 記号的 ， わ 形式的記述 優先
。 ，観測 関 形式的記述 ，研究者間 ュ ョン
い 効率的 ， 確実性 高い手段 あ いう信念 。
う 姿勢 ，現 日 外国語教育研究 ，主流 明 外 あ う。 時 ，統計科学 援用 応用的学術 ，
あ 姿勢 あ 筆者 考え い 。
数理的 い ，観測 現象 優 数理的近似 得 ，
基 的 研究方法 あ ， 指針 あ 。 え ，公
い ，任意 目 出 確率 ， 散一様 布 discrete uniform distribution 従う。 散
一様 布 いう数学的概念 ，いわ あ ， 振 自
体 い。 ， 振 優 数理的近似 い 。 ，
実際 振 出 目 繰 返 観測 ， ， ，
散一様 布 いう概念 い 考え ， 予測や意思決定 可能
。 数理的近似 検証，予測， 帰結 意思決
定 通 ，社会や個人 あ 種 効用 得 う。少 ，実際 振 大幅 削減 いう意味 ，最 限 効用 明白 あ 。
， 利主義 ，人間 振 ，あ 目 出 いう物理的
現象 関 要因や， 因果 考慮 い， いう
注目 い。 え ， 握 手 形，手 中 配置 状
， 力，風 ，物体間 摩 ，気温， 投 者 性格，人 ， 運
，実際 現象 強 影響 い ， 散一様 布 いう概念 ，
実際 優 数理的近似 い あ ， 実際 う い
あ ， 記 諸要素 積極的 捨象 。 い ， 数理的近
似 ， 投 いう現象 い 実 性 考え い。
，数理的 ， 振 いう現象 関連 因果 い
，観測 経 合理主義的 推論 試 基 的 い。 ，
投 出 目 全部 いう知見 ， 一確率仮 や 等確率理論
4
い 用語 立 ， 風 目 出 確率 影響 ， 性格
目 出 確率 独立 あ いう う 自然言語 題 ，
整理 多数列記 い いう う 避 。 現 ，国内
外 外 国 語 教 育 研 究 い 主 流 方 策 近 い 。 ， 数 理 的 ，
公 目 ，n = 6 散一様 布 従う いう簡潔 わ や い記述
好 。 共訳 可能性 回避 ，共訳可能性 担保 方策 あ 。
外国語教育研究 数理的 実践 ， 例 う 簡単
，やや複雑 あ 。 ，数理的 国内 応用研究 ，近 ， 筆者や 共 研究者 実践 限 ，多数見 う 。 え ， 応時間や 解時間 対 指数正規合成 布 ex-Gaussian distribution ッ
Kusanagi 2014 ，Tamura and Kusanagi 2015a, 2015b ，Tamura, Harada, Kato, Hara, and
Kusanagi 2016 ，草薙 2017b ， ン ン学習 歴 従う 布 最尤推定
検 証 草 薙 2017a ， ッ ン 増 語 数 ン 布
Poisson distribution 化 川口 室 後藤 草薙 2016 ， 種 情
報 確率過程 あ 隠 化 草薙 川口 阪
to appear ，単 時間 最大増 語数 一般化極値 布 generalized extreme value
distribution 化 草薙 2015 あ 。 研究 扱 い
確率 布や確率過程 ，確 一見複雑 あ 。 ，あ 観測 対 数理 的近似 得 ， 数理的近似 い 考察 い いう ， 目
あ 。 ，観測 数理的特性 ， 特性 抽象 数理的近似 手 研究 進 ， いう あ 。いう ，数理的近似 得
目標 自体 ， 要 手段 い。
う 数理的 研究実践 基 的 方法 ，観測 対
確率 布 ッ ， 母数 推定 あ 。 方法 ，
稿 以降， 体的 紹 い あ 。
1.3
観測 対 確率分布をフ ッ せ 手続 利点得 観測 対 確率 布 ッ 手続 ，数理的 基
あ ， い ， 方法 稿 述 数理的
限 い。一般的 い ，明 正規 布 従わ い変数 対 ， 確率 布 ッ ， 母数 報告 手続 ，記述統計 方法 ， 優 あ 。 体的 いえ ，確率 布 ッ ，中心傾向 わ い意思 決定 可能 。 え ， ッ 裾 い 布 従う変数 裾
う 値 予測 場合，適 確率 布 ッ ，予測精度 大
幅 向 あ 。 ， 要 あ ，外国語教育研究
5
裾 い 布形状 見 変数 ，比較的多数 あ 考え 。
近 ， a 一 般 化 線 形 GLM ， b 一 般 化 線 形 混 合 効 果 GLMM ， c 階 ベ ，外国語教育研究 入 う
い 。 ， 確率 布 扱う ，観測 対 確率 布
ッ 手続 親 ， 記 適 使用 最初 足
。 ベ 統計 関 ， 前 布 設定 い 確率 布 知
識 可 あ ， あ 。 後述 ，一般化線形
最尤推定 母数 推定 ，手法 非常 似通 い 。 え ， ン 関数
恒等関数 identity function ，誤差 ン 布 従う 一般化線
形 い ， 回帰係数 値 ，最尤推定 母数λ 推定値 一
。 う ，確率 布 ッ い 理解 ，一般的 意味 解析精度 関 ，間接的 役立 考え 。
2.
確率分布 フ ッ2.1
概論，確率 布 ッ ，観測， 所 あ 確率変数
代表 関数 母数 探 手続 あ 。 いう関数 ， 確率密度関数 probability density function, PDF や確率質 関数 probability mass function,
PMF 指 。前者 連続確率 布 関数 あ ，後者 散確率 布 関数 あ 。
代表 ， ，観測 関数 い 近似 い 状 あ 。 体的 ， a 観測 関数 期待値 総合的 見 十 い， b
条件 ，あ 関数 十 い， い 性質や，確率的
複雑 ン ， 方法 特 。
通常，確率 布 ッ 手続 ， a 確率 布 選択， b 母数 推定， c 誤差や適合性 検討， いう3 程 わ e.g, Ricci, 2005 。以
， 程 い 概要 述 い 。
2.2
確率分布 選択最初 工程 ，確率分布 選択 あ 。 ，フ ッ せ 確率分布を選択す 前 ，得 た観測 特性を見極め べ あ 。分布形状 限っ いえば，以下 う 点 参考 。
a 連続確率 布 散確率 布
b 値域 非負
c 布 対称型 非対称型
d 極端 値 程度あ ，負方向 置 正方向 置
6
え ， 1 う 観測 。 ，統計解析環境 R R
Core Team, 2016 併記 明 う。 記 R 入力
， 結果 得 あ 。
1. 観測 表 例
#図1 ータを作成し， ス 可視化
set.seed(0); dat<-rgamma(1000, shape=3,scale=2) hist(dat,main="",xlab="Value",col="lightblue")
観測 ，連続確率 布 属 う あ ， 非対称型 あ 見
。 ，極端 値， 中心 値 正 方向 偏 い わ 。 後述 ， う 形状 示 ，対数正規 布 log-normal distribution ，
ン 布 Gamma distribution ， ワ 布 Weibull distribution ， 布
Rayleigh distribution ，指数正規合成 布 適 化 場合 多い。
要領 ，あ 観測 特性 考え，単一 い 複数 確率 布 選択 。
特性 観測 可視化 確認 ， 発生
い 知識 入 確率 布 選択 い。 え ，単
時間あ あ 象 発生回数 ， ン 布 従う 知 い 。 稿 ， 外 国 語 教 育 研 究 潜 的 関 連 深 う ， 布 binomial
distribution ， ン 布，幾何 布 geometric distribution ，負 布 negative
binomial distribution ， 過剰 ン 布 zero-inflated Poisson distribution ，正規
布， ン 布， 布 Cauchy distribution ， 布，ワ 布，対
数 正規 布， 指数正規合 成 布，一 般化極値 布，混合 布 mixture distribution
model 。 布 特 ， 記 観 あわ ，表 1 。
表 ，非常 簡略的 あ ， 正確 あ い。
蓑谷 2003 ， 確率 布 文献 参考 い。
Valつe
切reqつeそげと
0 5 10 15 20 25
050100150200250
7 表1.
布 特
値域 対称性 中心傾向／極端 値
布 散 非負 対称 中心 集
ン 布 散 非負 主 対称 中心 集
幾何 布 散 非負 非対称 正 極端 値
負 布 散 非負 非対称 正 極端 値
過剰 ン 布 散 非負 非対称 0 特
正規 布 連続 正負 対称 極端 値 非常 少 い
ン 布 連続 非負 非対称 正 極端 値
布 連続 正負 対称 極端 値 少 い
布 連続 非負 非対称 正 極端 値
ワ 布 連続 非負 非対称 正 極端 値
対数正規 布 連続 非負 主 非対称 正 極端 値 指数正規合成 布 連続 正負 非対称 正 極端 値 一般化極値 布 連続 正負 主 非対称 正 極端 値 混合 布 主 連続 主 正負 主 非対称 場合
確率 布 ， 母数 値 ，形状 変わ あ ，
布 確率密度関数 確率質 関数 型的 例 ， 2 示 。 う
い。 2 関 R 稿 省略 。
2. 布
0 2 4 6 8 1 0
0.000.100.20
二 項
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
0.000.040.08
ン
0 2 4 6 8 1 0
0.000.100.200.30 幾 何
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
0.000.040.08
負 二 項
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
0.000.100.20
過 剰 ン
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
0.000.020.04
正 規
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
0.0000.0100.020
ン
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
0.0000.0150.030
コ ー シ ー
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
0.0000.0150.030 ー ー
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
0.000.020.04
ワ
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
0.000.040.08
対 数 正 規
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
0.0000.0100.020
指 数 正 規 合 成
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
0.000.020.04
一 般 化 極 値
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
0.0050.015
混 合
8
当 研究 先行研究 ，過去 研究実践 い ， 使用 い 布 選択 ，十 有益 方策 あ 。 ， 確率 布 特性 ，明 確 対象 現象 ッ 場合 あ 。 え ，表2 う 例 ，外国語教 育研究や 関連 い ，あ 程度異論 使用 考え あ 。
う 例 参考 ，確率 布 選択 い。
表2.
布 適用例 適用 例
布 正答回数， 復 伴う課題 成 回数
ン 布 単 時間 ッ ン 増 語数，単 時間
ン ン教材 回数
幾何 布 一度成 復 続 課題 い ，成
回数
負 布 複数回成 復 続 課題 い ，成
回数，文中 語や節 数
過剰 ン 布 単 時間 ン ン教材 回数 ，
原因 い特段 理 あ
正規 布 誤差 布
ン 布 ン ン学習 学習時間，回答時間，
成績， 復 伴う課題 要 時間，資産や
布 正規 布 明 裾 い場合
布 ン ン学習 学習時間， 成績
ワ 布 ン ン学習 学習時間，回答時間，
断課題 応時間， 解時間
対数正規 布 ン ン学習 学習時間，回答時間，
断課題 応時間， 解時間，文中 語や節 数， 成績，資産や
指数正規合成 布 断課題 応時間， 解時間
一般化極値 布 復 伴う課題 最高成績，個人 単 時間あ 書 最大 語数
混合 布 複数 散的 過程 結果 一変数 混入 場合
9
2.3
母数 推定ッ 確率 布 決定 ， ， 確率 布 母数 観測
推定 程 。母数 ，一般 θ 表記 ， 確率
布 特 値 あ 。 ン 布 例 あ ， ン 布 2 母数
。 形状母数 あ k， う 尺度母数 あ θ あ 。 ，形状 母数 α，逆尺度母数 い 比率母数 β 扱う場合 あ 。後者 ，ベ ン 好 母数化 う あ 。 稿 ，都合 ，両方 場合 使い い ，十
注意 い。 え ， ン 布 確率密度関数 い ，観測 適合
2 母数 組 合わ 探 ，母数 推定 あ 。
2.3.1
最尤推定 母数 点推定非常 大雑把 明 ，母数 推定 ，観測 関数 期待値 や，
観測 条件 関数 ，最 化 最大化 値 組 合わ ，
場合，機械的 計算 手続 あ 理解 い。
，結局 ，観測 対 任意 関数 数理的近似 度合い 最大化
母数 値 あ 。 手 ッ いう。 体的 ， ン
法や最尤推定 使用 多い。 ，最尤推定 例 概 。
最尤推定 い 概 前 ， 尤度 ゆう い 明 。尤度 ， 観測 場合 関数 値 あ 。 値 最大化 方法 ，最尤 推定 あ 。x 観測 示 確率変数，θ 母数 ，
| 1
，母数 観測 起 や あ ， 確率密度関数 あ ，逆 x
所 ， 母数 あ いえ 。
，一般 ，尤度関数 L 書
| = | 2
いう関係 わ 。尤度 ，あ 母数 条件 い ，確率密度関数
え 観測 確率 積 計算 。 え ， 3 う
正規 布 従う観測 得 。
10
#図3 ータを作成し， ス 可視化 set.seed(0); dat<-rnorm(1000, 50,10)
hist(dat,main="",xlab="Value",col="lightblue")
3. 正規 布 従う観測 例
観測x いう条件 い ， え ，母数θ μ = 20, σ = 10 尤度 ，以 う 計算 。 ，一般的 行わ い う ， 確率 対数 和 方法 使用 い 。
#尤度を計算
L<-sum(log(dnorm(dat,20,10))) L
ッ 値 ，-8171.67 あ 。一方， 観測 x いう条件
母数θ μ = 50, σ = 10 尤度 ，以 う 計算 。
#尤度を計算
L2<-sum(log(dnorm(dat,50,10))) L2
母数 尤度 ，-3719.16 あ 。 ，母数θ ，μ = 20, σ = 10 あ
，μ = 50, σ = 10 あ う ，断然 い 考え 。参考
， 4 ，μ = 20, σ = 10 確率密度曲線 μ = 50, σ = 10 確率密度曲線 足
。μ = 50, σ = 10 確率密度曲線 う ， 適合 い 視覚
的 わ う。
Valつe
切reqつeそげと
20 30 40 50 60 70 80
050100150200
11
#確率密度曲線 描画 x<-seq(0,100,.1)
hist(dat,main="",xlab="Value",col="lightblue",freq=F,xlim=c(0,100)) lines(x,dnorm(x,20,10),lwd=2,lty=2,col="pink")
lines(x,dnorm(x,50,10),lwd=2,lty=2,col="lightgreen")
4. 正規 布 従う観測 2 確率密度曲線
，便宜的 ，母標準偏差 10 固定 母 均 尤度関数 ， 5 う
。 ，母 均 0 100 間 い ， 数 2桁刻 計算 い 。
5. 母 均 い 尤度曲線 例
Valつe
）eそsiっと
0 20 40 60 80 100
0.000.010.020.030.04
0 20 40 60 80 100
-16000-12000-8000-4000
mつ
L
12
#尤度関数 描画
L<-numeric(1000);mu<-numeric(1000) for(i in 1:1000){
mu[i]<-i/10
L[i]<-sum(log(dnorm(dat,mu[i],10))) }
result<-data.frame(mu,L)
plot(result,type="l",lwd=2,col="blue")
5 わ う ，母 均 50 近 あ う ， 値 ，
い わ 。最尤推定 ， う ，
い 値 探 索 方 法 あ 。 実 際 計 算 い ， 準 ュ ン 法 quasi-Newton
method ，特 BFGS 法や 類 ，最適化問題 解 見 復計算
行わ 。R ，準 ュ ン法 汎用最適化関数
optim 関数 用意 い 。 ， ッ 関数 あ mle 関数や，bbmle
ッ Ben Bolker and R Development Core Team, 2016 mle2関数 あ 。
， 記 い ，正規 布 選択 ，母 均 母標準偏差 い ，mle 関 数 mle2関数 最尤推定 記 。 関数 ，
BFGS 法 使用 い 。 ，直接 optim 関数 推定
， 稿 省略 。
#mle 最尤推定 例
eval<-function(mu,sigma){ L<--sum(log(dnorm(dat,mu,sigma)));L} fit.mle<-mle(eval,start=list(mu=50,sigma=10))
fit.mle
#mle2 最尤推定 例
library(bbmle)
eval<-function(mu,sigma){ L<--sum(log(dnorm(dat,mu,sigma)));L} fit.mle2<-mle2(eval,start=list(mu=50,sigma=10))
fit.mle2
最尤推定 ，基 的 ，初期値 指定 必要 あ 。 ，
母 均 50，母標準偏差 10 指定 い ，初期値 指定 い ，
13
ン 定理 う ， い 万能 方法 い あ 。 ， ン 法 先 使用 推定値 初期値 ， 記述統計 利用 ， い 方法
十 結 果 得 多 い 。 ， 後 述 MASS ッ Venables, Ripley, 2002 fitdistr 関数や，fitdistrplus ッ Delignette-Muller & Dutang,
2015 fitdist 関数 ， 布 ，初期値 自動 設定 ，
一般的 使用 ，特 わ い場合 多い。
， 関数 ，μ = 49.84，σ = 9.98 推定 。
対数尤度 ，-3719.03 あ 。 推定値 ，母数 最尤推定 あ
いえ 。 推定値 母数 ，当 観測 確率密度曲線 足 ， 6 う 。 母数 確率密度曲線 ，観測 対 い数理的近似
い 見 。
#確率密度曲線 描画
x<-seq(0,100,.1)
hist(dat,main="",xlab="Value",col="lightblue",freq=F,xlim=c(0,100)) lines(x,dnorm(x,49.84,9.98),lwd=2,lty=2,col="blue")
6. 正規 布 従う観測 最尤推定 母数 値 確率密度曲線
2.3.2
比較的間便 方法実 際 ，MASS ッ fitdistr 関 数 や ，fitdistrplus ッ
fitdist 関数 使用 ，尤度関数 自 用意 ，
場合初期値 設定 ，容易 最尤推定 う 。 ，
MASS ッ fitdistr関数 最尤推定 例 示 。
Valつe
）eそsiっと
0 20 40 60 80 100
0.000.010.020.030.04
14
#fitdistr関数 最尤推定
library(MASS)
fit.fitdistr<-fitdistr(dat,densfun="normal") coef(fit.fitdistr)
，fitdistrplus ッ fitdist関数 例 以 あ 。
#fitdist関数 最尤推定
library(fitdistrplus)
fit.fitdist<-fitdist(dat,"norm") coef(fit.fitdist)
fitdistr 関数 ，ベ 布 beta distribution ， 布， 乗 布，
指数 布，f 布， ン 布，幾何 布，対数正規 布， ッ 布，負 布，正規 布， ン 布，t 布， ワ 布 い 。
，fitdist 関数 ，確率密度関数や確率質 関数， 累積 布関数
え い ， う 布 い 推定 。 関数 ，前
者 関数 異 ， ン 法や最大適合度推定 maximum goodness-of-fit estimation
， 誤差や適合度 評価 関 ，非常 便利 機能 連
携 。以降， 稿 ， 関数 中心 記 い 。
2.4
誤差や適合性 検討母数 推定 ， 誤差や適合性 検討 必要 あ 。 ，fitdist 関数 中心 ，母数 推定後 手続 い 概 。 ン 布 例
。
#数値例 作成 set.seed(0)
dat2<-rgamma(1000,shape=2,rate=1/10)
#最尤推定
fit<-fitdist(dat2,"gamma")
生成 fit ， 可視化 。
可視化 様子 7 あ 。
15
#可視化 plot(fit)
7. fitdistrplus ッ 可視化 例
， 置 ，観測 表 ，推定 母数 確率密
度曲線 あ 。右 置 ，Q-Q ッ
あ 。 ，理論 確率密度曲線 観測 比較 使用 。 ， 横軸 理論 確率密度曲線 得 数，縦軸 観測 数 あ 。
， 確率密度曲線 観測 い数理的近似 い あ ， ッ
結 直線 近 あ 。 置 ，理論 累積 布関数 経
験累積 布関数 ECDF い あ 。右 ，P-P ッ
，Q-Q ッ 要領 ，累積確率 理論的期待値 観測
累積確率 ッ あ 。 ，視覚的 ッ 度
合い 把握 可能 。
，fitdist 関数 得 summary 関数 渡
， 各 母 数 推 定 値 ， 標 準 誤 差 ， 対 数 尤 度 ， 赤 池 情 報 基 準
AIC ，ベ 情報 規準 BIC ， 各母数 相関行列 知 。
#要約
summary(fit)
分 m た i r i げ a l a そ こ っ h e ぞ r e っ i げ a l こ e そ s .
） a っ a
）eそsiっと
0 2 0 4 0 6 0 8 0
0.0000.0150.030
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
020406080
Q - Q た l ぞ っ
T h e ぞ r e っ i げ a l q つ a そ っ i l e s
分mたiriげalqつaそっiles
0 2 0 4 0 6 0 8 0
0.00.40.8
分 m た i r i げ a l a そ こ っ h e ぞ r e っ i げ a l （ ） 切 s
） a っ a
（）切
0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0
0.00.40.8
P - P た l ぞ っ
T h e ぞ r e っ i げ a l た r ぞ け a け i l i っ i e s
分mたiriげalたrぞけaけiliっies
16
標準誤差，対数尤度や各種 情報 基準 ，以 う
出 。
#各情報 取 出し
#母数 標準誤差
fit$sd
#対数尤度 fit$loglik
#AIC fit$aic
#BIC fit$bic
対数尤度 ッ log-likelihood plot 機能 便利 あ 。fitdistrplus
ッ ，llplot 関数 ，母数 組 合わ 尤度 ッ
表現 。当 例 対数尤度 ッ ， 8 示 。
#対数尤度 ッ
llplot(fit)
8. 対数尤度 ッ 例
場合 ，複数あ 母数 う ， い 固定 状 ，
母数 値 推定 い場合 あ 。 え ，形状母数 値 理
1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25
0.0950.1000.1050.110
shaたe
raっe
-39 25
-3 925 -3
92 0
-3 920 -3
915
-3 91
5 -39
1 0
-3 91
0 -3
905
-3 90
5 -
3900
-3 900
17
既知 あ 状況 あ 。 ， 実質科学的 い方法 あ い い問題 あ ，結果的 母数 倹約 ，適合度 観 い ， 適 制約 え い場合 あ え 。い ，fitdist関数 ，以
う 母数 固定 ， 自 母数 値 推定 。
#形状母数を2 固定し 比率母数を推定
fit2<-fitdist(dat,"gamma",fix.arg=list(shape=2))
#対数尤度 ッ
llplot(fit2)
， 母数 推定 場合，対数尤度 ッ ッ
， 9 う 尤度曲線 返 。 ， 5 場合 要領 あ 。
9. 母数 固定 尤度曲線 例
，誤差や信 区間 検討 ， ッ 法 適用 。外
国語教育研究 ッ 法 概 い ，草薙 2014 あ
，手法自体 い 参照 い。
fitdistrplus ッ ，bootdist関数 いう専用 関数 あ ， ッ
ッ ン ッ ッ 両方
い 。 関数 ，fitdist関数 返 使用 。 ，B =
1,000 ン ッ ッ 法 ， ッ
ン 信 区間 構築 。 ，α = .05 。
0.0385 0.0395 0.0405 0.0415
-4545.5-4545.0-4544.5-4544.0
raっe
lぞglikelihぞぞこ
18
#B = 1,000， ン ッ 法 ー ス ッ
#環境 数 計算時間 場合もあ
boot.fit<-bootdist(fit,bootmethod="nonparam",niter=1000)
# ー ス ッ 結果 要約
summary(boot.fit) boot.fit$CI
ッ 作成 summary関数 渡 ，
母数 い ， ッ 得 布 中央値，2.5% ，97.5%
返 。 2.5% 97.5% ， ン ッ ッ
法 ン 信 区間 限 限 あ 。
，以 う ， ッ 得 布，
ッ 標 直接的 可視化 。 10 示 。
# ー ス ッ 推定値
boot.shape<-boot.fit$estim[,1] boot.rate<-boot.fit$estim[,2]
# を ス 描い ，中央値， ー ンタ 信頼区間を描 入 par(mfrow=c(1,2))
hist(boot.shape,col="lightblue",main="Shape",xlab="Estimate") abline(v=quantile(boot.shape,c(0.025,.5,.975)),col=2)
hist(boot.rate,col="lightblue",main="Rate",xlab="Estimate") abline(v=quantile(boot.rate,c(0.025,.5,.975)),col=2)
10. ッ 標 可視化
S h a た e
分sっimaっe
切reqつeそげと
1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
050100150200
R a っ e
分sっimaっe
切reqつeそげと
0.09 0.10 0.11 0.12
0100200300400
19
実際 研究実践 ， 観測 対 複数 確率 布 ッ ， 確率 布 統計 や情報 基準 比較 あ 。 う 比較
，fitdistrplus ッ gofstat関数 使用 便利 あ 。 関数 ， a
検定 統計 ， b ン 検定 統計 ，
c ン ン ン 検定 統計 ， d 赤池情報 基準， e ベ 情報
規準 。 ，当 ン 布 従う 対 ， a ン 布，
b 正規 布， c 対数正規 布 3 ッ ， 適合度 比較 手
続 う。 ，表3 う 結果 得 。
# 布を ッ させ
gam<-fitdist(dat2,"gamma") norm<-fitdist(dat2,"norm") logn<-fitdist(dat2,"lnorm")
#比較 ス 入
gofstat(list(gam, norm, logn), fitnames=c("gamma", "normal",
"lognormal"))
表3.
適合度 示 統計 情報 基準 比較
統計 情報 基準 ン 布 正規 布 対数正規 布
統計 0.02 0.11 0.05
ン 統計 0.06 4.06 0.85
ン ン ン 統計 0.41 24.14 5.71
赤池情報 基準 7791.70 8188.35 7883.08
ベ 情報 規準 7801.51 8198.17 7892.90
指標 ， い値 う ，優 適合度 示
。 ，当然 ，総合的 見 ン 布 適合 い いえ
う あ 。
統計的帰無仮 検定 有意性 ， 値 断的 適合度 度合い 調 ，
い方法 い ，観測 対 適合 い う 一標
検定 定 場合 あ 。参考 ，一標
検定 関 示 。
20
#正規 布 場合
set.seed(0)
dat.ks.norm<-rnorm(100,0,1) ks.test(dat.ks.norm,"pnorm")
#特定 平均 標準偏差をも 正規 布 set.seed(0)
dat.ks.norm2<-rnorm(100,0,1) ks.test(dat.ks.norm2,"pnorm",0,1)
# ン 布
set.seed(0)
dat.ks.gamma<-rgamma(100,2,3) ks.test(dat.ks.gamma,"pgamma",2,3)
#ワ 布
set.seed(0)
dat.ks.weibull<-rweibull(100,2,3) ks.test(dat.ks.weibull,"pweibull",2,3)
3.
確率分布 フ ッ け 実際以 ，観測 対 確率 布 ッ 手続 基 あ 。 ，
外国語教育研究 応用 念頭 置い ， 実際 い 要 述 い 。
3.1
研究実践 け 報告 仕方日 外国語教育研究 い ，観測 対 確率 布 ッ 手続 ， 筆者や 共 研究者 研究実践 中心 数例見 ， ，業界全体 広 入 い 方法 いい い。 ，実際 研究実践 い ， 手 法 結果 う 報告 い ，一定 指針 示 い。
，以降 う 処理 ，得 観測自体 い 適 記述 変わ い。 記述 い ， 4 程度
ン 均， 散，歪度，尖度 ，い 報告 い う。
節 ，形状母数 α 4，比率母数 β 0.1 母数 ン 布 従う1,000 個
例 。
21
# 数値例 作成
set.seed(1)
dat3<-rgamma(1000,shape=4,rate=1/10)
最 初 ン 計 算 あ ， moments ッ Komsta &
Novomestky, 2015 使用 。
# ー ン 計算
library(moments);moments.dat<-numeric(0) moments.dat[1]<-mean(dat3)
moments.dat[2]<-var(dat3) moments.dat[3]<-skewness(dat3) moments.dat[4]<-kurtosis(dat3) moments.dat
あ 。 ，quantile 関数 使用 ，最 値，第一 数，中央
値，第 数，最大値 。 値 数要約値 いわ 。
# 位数 計算
quantiles.dat<-quantile(dat);quantiles.dat
あ 例 あ ， 情報 元 ，表4 表5 要領 値 報告 い。
表4.
観測 ン N = 1,000
均 散 歪度 尖度
観測 38.94 390.16 0.91 4.06
表5.
観測 数要約値 N = 1,000
最 値 第一 数 中央値 第 数 最大値
観測 2.63 24.34 35.07 50.16 142.58
22
， ， 密度曲線，箱 適
宜可視化 い。作成 可視化 例 11 示 。 ，経験累積 布関数 有益 あ 。 12 経験累積 布関数 例 示 。
#画面 割
par(mfrow=c(3,1))
# ス
hist(dat3,main=" ス ",col="lightblue",xlab="Value")
# ー 密度曲線 x<-seq(0,150,.1)
plot(density(dat3),col="blue",lwd=2,main=" ー 密度曲線
",xlab="Value")
#箱ひ 図
boxplot(dat3,horizontal=T,ylim=c(0,150),col="lightblue",xlab="Value
",main="箱ひ 図")
#経験累積 布関数
par(mfrow=c(1,1))
plot(ecdf(dat3),main="ECDF",col="blue",lwd=3,xlab="Value")
11. 方法 可視化 例
ス
V a l つ e
切reqつeそげと
0 5 0 1 0 0 1 5 0
050100150200
0 5 0 1 0 0 1 5 0
0.0000.0100.020
ー 密 度 曲 線
V a l つ e
）eそsiっと
0 5 0 1 0 0 1 5 0
箱 ひ 図
V a l つ e
23
12. 経験累積 布関数 例
，確率 布 選択 。確率 布 選択 い ，紙幅 許 ， い理 付記 あ 。 え ， 11 見 わ う ， 観測 布形状 ，明 正規 布 逸脱 あ 考え 。 観測 ， 正方向 い裾 連続変数 あ ， う 特性 表現 う a ン 布， b 対数正規 布， c ワ 布 3 ッ 試
い 文言 あ 。
，実際 ッ 試 際 ，推定方法や初期値 設定方法 い ，
言及 あ 。例 あ ， 布 母数 推定法 ，
最尤推定 あ ， 初期値 α = 10，β = 1 あ 。 ，初期値 設 定 ，推定結果 劇的 変わ う 場合 ，基 的 ッ 十
い 多い。
後，実際 推定 母数 報告 ， 前 ，あ 選択 う
， 布 観測 適合 い い 記述 。 ，後者
先 う 仮定 例 あ 。 ， 記 通 ，当 対 ，
ン 布，対数正規 布，ワ 布 3 ッ 。 適合度 表6
。
0 50 100 150
0.00.40.8
分 （ ） 切
Valつe
切そ(で)
24
# 布を ッ させ
gam<-fitdist(dat3,"gamma") lnorm<-fitdist(dat3,"lnorm") weib<-fitdist(dat3,"weibull")
#比較 ス 入
gofstat(list(gam,lnorm,weib),fitnames=c("gamma","log- normal","Weibull"))
表6.
当 例 適合度 示 統計 情報 基準 比較
統計 情報 基準 ン 布 対数正規 布 ワ 布
統計 0.02 0.04 0.04
ン 統計 0.03 0.46 0.43
ン ン ン 統計 0.23 3.25 2.70
赤池情報 基準 8644.39 8705.13 8670.85
ベ 情報 規準 8654.21 8714.94 8680.66
う 複数 基準 示 ， 各種 検定統計 や情報 基準 総合的 評
価 ， ン 布 観測 対 優 適合 示 考え いう
う 結論 。 ，観測 布 示 ，各 布 確率密度曲線
一見 わ や 。 13 う 。 ，青
ン 布，赤 対数正規 布，緑 ワ 布 確率密度曲線 あ 。青 ン 布
比 い近似 い わ 。 ，Q-Q ッ 示
有益 あ 。
#描画
x<-seq(0,150,.1)
hist(dat3,col="lightblue",main="",xlab="Value",freq=F,ylim=c(0,.04) ,breaks=20)
lines(x,dgamma(x,coef(gam)[1],coef(gam)[2]),lwd=2,col="blue") lines(x,dlnorm(x,coef(lnorm)[1],coef(lnorm)[2]),lwd=2,col="red") lines(x,dweibull(x,coef(weib)[1],coef(weib)[2]),lwd=2,col="green")
25
13. 複数 確率 布 ッ 場合 比較 例
， ッ 布 い 推定値，誤差，信 区間 報告 あ 。
推定値 報告 あ ， 観測 対 ン 布 ッ ，
母数 推定値 ，α = 3.80，β = 0.10 あ いう う 簡潔 表現 い。 ，誤 差や信 区間 報告 あ ， 方法 ， α = .05，B = 1,000 ， ン
ッ ッ 法 ン 信 区間 構築 いう う
明示化 ， 推定値 併 ， ン 布 母数 推定値 ，α = 3.80
[3.51, 4.12] ，β = 0.10 [0.09, 0.11] あ 記 い う。
3.2
ま ま 確率分布をフ ッ せ ため コー， 確率 布 ッ 例 ， 示 い 。
布 ッ 観測用 ， 前 布 従う擬似乱数 作
成 い 。 外 国 語 教 育 研 究 念 頭 置 い 数 値 ュ ョ ン い ， 草 薙
2016 参考 い。
3.2.1
二項分布布 母数 ，試行回数n 成 確率p あ ，成 確率p 最尤推定
，成 回数 m ，
= 3
あ 。 う 成 確率p 自体 ，非常 簡単 あ ，
便宜的 当 省略 。
Valつe
）eそsiっと
0 50 100 150
0.000.010.020.030.04
26
3.2.2
ン分布ン 布 母数 ，λ あ 。以 う ッ 。
# ン 布 従う数値例 作成 set.seed(0)
dat.poisson<-rpois(1000,4)
# ッ
fit.poisson<-fitdist(dat.poisson,"pois") fit.poisson
第1節 触 う ， 母数 ，一般化線形 使 以 う 要領
。観測 階 あ ，一般化混合効果
使 変 効果 い 推定 い。 布 い ， 様 方法
推定 場合 多い。
#一般化線形 片 推定
fit.poisson2<-glm(dat.poisson~1,family=poisson(identity)) coef(fit.poisson2)
#ま ち も い
fit.poisson2<-glm(dat.poisson~1,family=poisson) exp(coef(fit.poisson2))
3.2.3
幾何分布幾何 布 母数 ，成 確率p あ 。以 う ッ 。
#幾何 布 従う数値例 作成 set.seed(0)
dat.geom<-rgeom(1000,.5)
# ッ
fit.geom<-fitdist(dat.geom,"geom") fit.geom
3.2.4
負 二項分布負 布 母数 ，成 回数 r，成 確率 p あ 。以 う
ッ 。
27
#負 二項 布 従う数値例 作成 set.seed(0)
dat.negbin<-rnegbin(1000,5,.5)
# ッ
fit.negbin<-fitdist(dat.negbin,"nbinom") fit.negbin
3.2.5
過剰 ン分布過剰 ン 布 母数 ，λ μ σ あ 。以 う
ッ 。 ，gamlss ッ Rigby & Stasinopoulos, 2005 使用
い 。
# 過剰 ン 布 従う数値例 作成 library(gamlss)
set.seed(0)
dat.ZIP<-rZIP(1000,8,.2)
# ッ
fit.ZIP<-gamlss(dat.ZIP~1,family=ZIP) fit.ZIP
# ，係数 変換す 必要 あ
3.2.6
正規分布正規 布 母数 ，μ σ あ 。必要性 い場合 多い ，以 う
ッ 。
#正規 布 従う数値例 作成 set.seed(0)
dat.norm<-rnorm(1000,50,10)
# ッ
fit.norm<-fitdist(dat.norm,"norm") fit.norm
28
3.2.7
ン 分布ン 布 母数 ， 稿 繰 返 述 い う ，k θ ，α β あ
。 繰 返 ，以 う ッ 。
# ン 布 従う数値例 作成 set.seed(0)
dat.gamma<-rgamma(1000,5,.1)
# ッ
fit.gamma<-fitdist(dat.gamma,"gamma") fit.gamma
3.2.8
コーシー分布布 ，観測 ッ いう ，ベ 統計 い 前 布
使用 場合 多い。 布 母数 ，一母数 x0 尺度母数 γ あ 。以
う ッ 。
#コーシー 布 従う数値例 作成
set.seed(0)
dat.cauchy<-rcauchy(1000,0,1)
# ッ
fit.cauchy<-fitdist(dat.cauchy,"cauchy") fit.cauchy
3.2.9
ー分布布 母数 あ ， 母数 σ あ 。以 う
ッ 。 ，VGAM ッ Yee, 2010 使用 い 。 ，
初期値 4 入 い 。
# ー 布 従う数値例 作成 library(VGAM);set.seed(0) dat.ray<-rrayleigh(1000,5)
# ッ
fit.ray<-fitdist(dat.ray,"rayleigh",start=list(4)) fit.ray
29
3.2.10
対数正規分布対数 布 母数 ，対数 均 log μ 対数標準偏差 log σ あ 。以 う
ッ 。
#対数正規 布 従う数値例 作成 set.seed(0)
dat.lnorm<-rlnorm(1000,1,10)
# ッ
fit.lnorm<-fitdist(dat.lnorm,"lnorm") fit.lnorm
3.2.11
指数正規合成分布指数正規合成 布 ， 国内 外国語教育研究 い ，奇 正規 布 繁 使用 い 布 あ い。 布 母数 μ，σ， 指
数成 あ τ あ 。retimes ッ Massidda, 2013 使用 ，以 う
ッ 。
#指数正規合成 布 従う数値例 作成 library(retimes)
set.seed(0)
dat.exgauss<-rexgauss(1000,2000,1000,500)
# ッ
fit.exgauss<-timefit(dat.exgauss) fit.exgauss
3.2.12
一般化極値分布一般化極値 布 ，母数 値 ンベ 型， 型， ワ
型 類 ， 最 大 値 従 う 布 知 い 。ismev ッ
Original S functions written by Janet E. Heffernan with R port and R documentation provided by
Alec G. Stephenson, 2016 使用 ，以 う ッ 。
30
#一般化極値 布 従う数値例 作成 library(ismev)
dat.gev<-numeric(1000)
for(i in 1:1000){dat.gev[i]<-max(rnorm(100,50,10))}
# ッ
fit.gev<-gev.fit(dat.gev) fit.gev$mle
3.2.13
混合分布モ混合 布 ，一般的 確率 布 やや種類 異 あ 。 ，単変
混合正規 布 や混合 ン 布 ，使用目的 ，
布 様 扱う 。混合 布 母数 推定 ，一般的 EM
方法 使用 。
，要素数 2 単変 混合正規 布 い 扱う。 場合 母 数 ， 混 合 比 λ，μ1，μ2，σ1，σ2 5 あ 。 mixtools ッ
Benaglia, Chauveau, Hunter, & Young, 2009 使い，EM ，混合 布
ッ 紹 。
#要素数2 混合正規 布 従う数値例 作成 library(mixtools)
set.seed(0)
dat.mixnorm2<-c(rnorm(100,50,10),rnorm(200,120,20))
# ッ
fit.mixnorm2<-normalmixEM(dat.mixnorm2) fit.mixnorm2
， 確率密度関数 以 う 定義 。
#要素数2 混合正規 布 確率密度関数
dnormmix<-function(x,lambda, mu1, mu2, sigma1, sigma2){
y<-lambda*dnorm(x,mu1,sigma1)+(1-lambda)*dnorm(x,mu2,sigma2) y
}
31
，要素数 2 混合 ン 布 い 扱う。 場合 母数 ， λ，α1，α2，β1，β2 5 あ 。先述 様 ， 混合 布 ッ
紹 。
#要素数2 混合 ン 布 従う数値例 作成 set.seed(0)
dat.mixgamma2<-c(rgamma(100,4,1),rgamma(300,10,.2))
# ッ
fit.mixgamma2<-gammamixEM(dat.mixgamma2) fit.mixgamma2
， 確率密度関数 以 う 定義 。
#要素数2 混合 ン 布 確率密度関数 dmixgamma<-function(x,lambda,a1,a2,b1,b2){
y<-lambda*dgamma(x,a1,b1)+(1-lambda)*dgamma(x,a2,b2) y
}
3.3
コフ連鎖モン 法，主 ，最尤推定 布母数 推定 い 報告 。
， 度主義 方法 あ ， 母数 真 値 い
う見方 依拠 い 。 ，ベ 推定 見方 ， 度主義 対極的 ，母数 確率 布 捉え 。後者 う ，外国語教育 実務的状況 適 い 場 合 あ ，解析精度 い ， 面 い 優 あ 。
ベ 推定 概略 い ， 稿 範 い ， ， 連鎖 ン
法 MCMC ，母数 後 布 posterior distribution ン
得 方法 い 紹 。ベ 推定やMCMC自体 い ，豊 2015, 2016 ，
松浦 2016 参考 い。 ，昨 ，草薙 2017b ，草薙 岡 2016 ，
草薙 石 2016 ，草薙 to appear ，ベ 統計 応用 外国語教育 関
研究実践や学会主催 ワ ョッ 見 う 。
，以 う 観測 い ，正規 布 仮定 ， 母 均 母 散 い ベ 推定 要領 検討 い 。
32
#正規 布 従う ータ例 作成
set.seed(0)
dat.mcmc1<-rnorm(1000,50,10)
R い ，母 均値 母 散 後 布 ン 得 簡単 方法
，MCMCpack ッ Martin, Quinn, & Park, 2011 MCMCregress関数
coda ッ Plummer, Best, Cowles, & VInes, 2006 使 う あ う 。
MCMCregress 関数 来， ン ン 一般線形 係数
後 布 関数 あ ， 援用 ，母 均 母 散 後 布 ン ン う 。 関数 ，回帰係数 前 布 多変 正規 布 ， 条件 誤 差 散 前 布 逆 ン 布 設 定 い 。 ン ン 区 間
1,000， 後 復回数 10,000 ， 前 布 形状 い ， 関数
従う場合，以 う MCMC計算 う 。
#MCMC 例
library(MCMCpack);library(coda);set.seed(0)
posterior1<-MCMCregress(dat.mcmc1~1,burnin=1000,mcmc=10000)
後 布 ン 要約 ，以 う 情報 得 。母数 ン
い 2.5% 97.5% ， 95%ベ 信用区間 限 限
， 値 信用区間 論文 報告 い。
Iterations = 1001:11000 Thinning interval = 1 Number of chains = 1
Sample size per chain = 10000
1. Empirical mean and standard deviation for each variable, plus standard error of the mean:
Mean SD Naive SE Time-series SE (Intercept) 49.84 0.3139 0.003139 0.003139 sigma2 99.77 4.4784 0.044784 0.046521 2. Quantiles for each variable:
2.5% 25% 50% 75% 97.5% (Intercept) 49.23 49.63 49.84 50.05 50.46 sigma2 91.34 96.66 99.67 102.69 108.87
33
MCMC 結果 可視化 ， plot 関数 渡
便利 あ 。 結果 14 あ 。 側 ，MCMC計算 各母数 表 ，右側 ， 後 布 得 各母数 布 密度曲線 表 あ 。
summary(posterior1) plot(posterior1)
14. MCMC 各母数 後 布 正規 布 例
MCMC 計算 う際 ， 束診断 可 あ 。 Geweke 束
診断 断 。Geweke 束診断 ， 連鎖 前後 値 差 検
討 ，慣習的 ，[Z] < 1.96 あ い e.g., Plummer, Best, Cowles, &
VInes, 2006 。 例 ，両方 母数 問題 束 断 。
geweke.diag(posterior1)
ン 布 ッ 場合 様 ，MCMCpoisson 関数 使用 母数λ
後 布 ン 得 。
# ン 布 場合
set.seed(0);dat.mcmc2<-rpois(1000,5)
posterior2<-MCMCpoisson(dat.mcmc2~1,burnin=1000,mcmc=10000) summary(exp(posterior2))
34
布 い ，尤度関数 自 用意 ， 例 様
， 母数 後 布 い 検 討 。 ， 法
MCMCmetrop1R 関数 使 ，指数正規合成 布 母数 い 検討 。 初
期値 正解 設定 。 ， 前 布 無情報 前 布 設定
， ン ン区間 1,000， 復回数 50,000回 あ 。 ， 15 MCMC計
算 結果 可視化 。
#指数正規合成 布 従う数値例を作成 set.seed(0)
dat.mcmc3<-rexgauss(1000,3000,1000,1000)
#関数を準備
llf<-function(beta,x){
sum(log(dexgauss(x,beta[1],beta[2],beta[3]))) }
#MCMC計算 posterior3<-
MCMCmetrop1R(llf,theta.init=c(3000,1000,1000),x=dat.mcmc3, mcmc=50000,burnin=1000)
plot(posterior3)
15. MCMC 各母数 後 布 指数正規合成 布 例
35
例 い ， 必要性 薄い ， 後 布 ン い ，推
定 値 多 箱 示 あ 。 16 あ 。 ，
紙幅 節約 いう 都合 いい ， 母数 大
い ， 親 注意 必要 あ 。
#箱ひ 図
post.df<-as.data.frame(posterior3)
boxplot(post.df,names=c("mu","sigma","tau"),col="lightblue", horizontal=T,xlab="Estimate")
16. 各母数 後 布 示 箱
う ，最尤推定 ，一種 ベ 推定 要領 ，確率 布
母数 い 柔軟 検討 。 ベ 推定 利 一部
過 ， ，得 推定値や推定区間 い ，最尤推定や 後
ッ 法 信 区間 構築 大差 い。 ，ベ 推定 主 利 ，階 ベ
う ， 複雑 構築 ， 母数 前 布 い
，研究者 自 設定 あ 。 関 機会 譲 い。
3.4
確率分布 推定母数 期待値や分散観測 対 確率 布 ッ 方法 ，従来 記述統計 代わ い。 稿 述 う ，観測 従来 や 方 記述 要
い。 ，仮 ，観測 対 あ 確率 布 十 ッ い 場合， 確率 布 推定母数 ，期待値や 散 計算 理解 あ 。 え ， ン 布 従う変数X 期待値 ，k θ 母数化 ，
mつsigmaっaつ
1000 1500 2000 2500 3000
分sっimaっe
36
= 4
あ ，α β 母数化 ，
= 5
あ 。 ， 散 ，k θ 母数化 ，
= 6
あ ，α β 母数化 ，
= 7
あ 。歪度 8 式，尖度 9 式 う 。 k α 替え い。
= 2
√
8
=6 9
ン 布 簡単 例 あ ， 布 い 様 期待値
計算 。 ， ン 布 母数 ， 均， 散，歪度，尖度 計算 以 通 あ 。
gammadescriptive<-function(shape,scale){ m<-shape*scale
v<-shape*(scale^2) s<-2/sqrt(shape) k<-6/shape
result<-list("mean"=m,"variance"=v,"skew"=s,"kurtosis"=k) result
}
37
う ，観測 対 あ 確率 布 適合 ， 母数 報告 い 研究実践 い ，仮 記述統計 落 ， 後的
値 計算 可能 あ 。 ， 均， 散，歪度，尖度 任意
布 母数 正確 推定 ， 容易 い。
3.5
乱数生成 再現可能性記 少 関連 ，確率 布 ッ 方法 ， ュ ョン研 究 強い関連 い 。観測 代表 関数 あ ， 関数 従う
生成 可能 あ ， 場合，観測 対 確率 布
ッ 実践 ，計算 再現性 高 行 草薙, 2016 。 ，発
展的 関数 ， ュ ョン研究 可能 いう
要 利 あ 。外国語教育研究 関 ュ ョン研究 ，い 幕 開い いえ い状況 あ ，観測 対 確率 布 ッ 実践 ，
自体 瑣 あ ， 新 い種類 研究 可能性 あ 。
4.
総括稿 ，外国語教育研究 数理的 い 概 ，外国語 運用 教育 関 現象 対 ， 優 数理的近似 得 体的 方法 基礎 紹
。 体的 いえ ，最尤推定 ，観測 対 任意 確率 布 ッ
， 母数 推定 方法 中心 ，種々 周辺的技法 い 述 。 稿 紹 方法 ，い 階 性 い単変 場合 適用 あ 。 ， 来 数理的 ，階 性や時系列性 主 対象
， 全体 見 ， 稿 内容 非常 限定的 い。
，数理的 ，合理主義的 推論 いう ，確率 布や確率過程 い 数理的特性 手 ，経験主義的 研究 進 あ 。 ， 観測 確率 布 ッ ，母数 推定値 得 実践 終始 ，実質科学的
議論 い， いう い。 ，観測 う 生成 ，
仕組 明 ，究極的 目標 あ 。
， 稿 最初 述 還 あ ，昨 ，外国語教育研究 学際化 伴い，外国語教育研究 関 変数 多様化 い 。新 研究 入 う
変数 ， ，従来 変数 う 数理的特性 い い。
， 数理的特性 明 変数 多い。 ，研究 発展 い
自然 あ 。 ， う 比較的新 い変数 対 ，従来 正規 布
依拠 析 ッ う ，容易 予想 あ 。学
際化 激 進 現状 ，慎 目 見 ，
