多項式近似定理の証明（１）
Bernstein多項式列の振る舞い (コロフキン型近似定理)
... 上の定理はある正線形作用素列が線形近似法となるための条件を与えたものであ るが、 その後 Korovkin 型近似論として、 抽象論へと発展したり、 収束精度が研究さ れたりして、 他分野の研究にも寄与してきた。 日本では大阪教育大学名誉教授の中 村正弘先生が Korovkin ...
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近似 GCD 算法 GPGCD の複数入力多項式への拡張 (数式処理研究の新たな発展)
... 実験結果によると，本稿で提案した算法は，これまでに提案した算法 ([16], [17]) と同様，多くの問題に対 して， STLN 法に基づく算法と同程度の摂動で近似 GCD を計算する一方， STLN 法に基づく算法よりも数 倍程度は効率がよいことを示した．これにより， GPGCD 法は，入力多項式の次数が小 $\sim$ 中程度ならば，多く ...
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準同型暗号と整数及び整数多項式の近似 GCD (数式処理研究の新たな発展)
... GCD のサイズ ( 近似余因子のサイズ ) が 既知の場合に，部分集結式写像の次数 $r$ をなるべく大きく取る ( 行列サイズは小さくなる ) ことが挙げられ る。 整数の近似 GCD で構成する格子に特有な改善策としては， $s\epsilon_{1}+t\epsilon_{2}$ の上限を推測可能 ( 例えば，セ ...
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<論文>公式の証明に関する意識調査とそれに基づく三角関数の加法定理の証明の考察
... 人（71.4%） の学生に同じような回答がみられた．そこでコメントを さらに参照してみると「公式を忘れたため⻭が立たな かった」，「公式をはっきりと覚えていなかった」という 回答が多く見られた．このことから「1．理解できなかっ た」と回答した多くの学生は，証明の図形や式の計算に ついて理解できないのではなく，もっと根本的な三角関 ...
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異常な多変数多項式の近似 GCD 計算法 (Computer Algebra : Design of Algorithms, Implementations and Applications)
... ち消されなかった」 からである ( $0$ -判定). アルゴリズムが良くても、 この点を解決しなければ実際の計算 はうまくいかないことを例 1 は示している . そこで、 加古 - 佐々木によって提案された有効浮動小数 [KS97] を利用する . この数は浮動小数 $f$ とその誤差 $e$ のリスト $\# E[f, e]$ で表される ( $e$ の初期値は ...
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近似共通因子を持つ多項式の規格化 (数式処理 : その研究と目指すもの)
... . 微小主係数 $GCD$ 問題: 因子分離法 JCWZO4, SSO7] . 巨大主係数問題: 多項式の分離 [SSO7] いずれの方法も各多項式に関して分解変換を行なっており，変換には与えられた多項式の次数 $n$ に関し て $O(n^{2})$ ...
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連立多項式の近似根の計算法について (数式処理における理論と応用の研究)
... $f1(x)=\cdots=f_{n}(x)=0$ の根、 $x=[\eta_{1}(\alpha)$ . . . $\eta_{n}(\alpha)]^{T}$ は $\alpha$ の代数関数となるが、 関数 $\eta_{i}(\alpha)$ の $\alpha=\alpha_{0}$ での級数展開は、 次のアルゴリズムで計 算できることが知られている ...
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JAIST Repository: 近似手法と数式処理の融合による実数多項式制約の効率化
... Ｃ−１９、Ｆ−１９、Ｚ−１９（共通） １．研究開始当初の背景 形式手法において、その柔軟性から、制約解 消系の一つである SMT ソルバが近年広く用 いられている。しかし、多項式制約について は、実装は限られており、いまだデファクト スタンダードとなるアルゴリズムは存在せ ず、さまざまなアルゴリズム（代数的数式処 理手法の ...
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多項式とその導関数の近接根を分離する定理 (Computer Algebra : Design of Algorithms, Implementations and Applications)
... $e<1/9$ のとき、 $R_{\mathrm{i}\mathrm{n}}$ (および $R_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$ ) は $e$ に関して単調増加 ( 単調減少 ) するのて、 $R\hat(\text{。}$ <Rl。すなわち $R(\text{。}<R_{\mathrm{i}\mathrm{n}}/\gamma$ となる。ゆえに、 ...
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二変数多項式の近似因数分解 : 許容度の下限と既約判定 (数式処理における理論と応用の研究)
... してみる . 仮に許容度を $\epsilon=0.0\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{o}1$ とすれば, $(e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}, e_{6})=$ (0.000031, 0.000156, 0.000781, 0.003906, 0.019531) と見積もられる . この値の意味するところは , 上記許容度 内で例 1 の行列 ...
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誤差項をもつ実多項式の「近似実根」の計算とその応用 (数式処理における理論と応用の研究)
... 実根の個数の計算について考察する。 本章の内容のうち、 4.1 は、 誤差項をもつ多項式の 実根の個数が確定するための十分条件として、 これまでに筆者らが導いた条件 [4] の再掲 である。 42 は、 Sturm ...
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近似解をも考慮に入れた多項式時間変換(計算モデルと計算の複雑さに関する研究)
... 組合せ問題間の多項式時間変換は, 従来, $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全性の証明のように複雑さの構造を明らかにす るために用いられてきた . しかし , 最近では実際に問題を解くために利用する試みがなされている [2]. すなわち, 問題 $A$ を問題 $B$ に多項式時間で変換して , 問題 $B$ ...
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Title$C^1$- 空間上のコロフキン定理 ( コロフキン型近似定理 ) Author(s) 渡邉, 誠治 Citation 数理解析研究所講究録 (2002), 1243: Issue Date URL
... である。 定理 8 を証明するために、 補題 7 を用いる。 $S$ を 1, $x,$ $x^{2}$ の線形包とし、 $E=\{\delta_{x}+\delta_{x}’, \delta_{x}-\delta_{x}’ ; x\in[0,1]\}$ とおくと、 $E$ は $C_{c}^{(1)}([0,1])$ の共役空間 ...
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零点問題に関する誤差付きの近似定理 (非線形解析学と凸解析学の研究)
... \lim_{narrow}\sup_{\infty}\Vert x_{n}-Tx_{n}\Vert\leq\underline{g}_{r}^{-1}(\overline{g}_{r}(\underline{g}_{r}^{-1}(\delta_{0}))) となる.さらに, \delta_{0}=0 のとき点列 \{x_{n}\} は P_{F(T)}u に強収束する. 5. ...
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近似GCD算法GPGCDの複素係数多項式への拡張 (Computer Algebra : Design of Algorithms, Implementations and Applications)
... ( 倍精度 ) 浮動小数演算を用いた．各実験においては， 100 個の多項式をランダムに生成し，テストを行った． 各算法において，探索の終了を判定するための条件として，修正 Newton 法では，探索方向の方向ベクトルの うち， $\tilde{F}(x),\tilde{G}(x),$ $A(x),$ $B(x)$ (式 (4) を参照) ...
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多変数多項式の近似因数分解とその計算量(数式処理における理論と応用の研究)
... いのか不明であった。そこで、 本稿ではまず級数根の打ち切り次数の上限を決定する。 ま た上記の論文では共通して、 因数分解すべき多項式をモニックであると仮定している。モ ニックでない場合、古典的な方法でモニックな多項式へ変換する必要がある。 しかし、多 項式の数係数に誤差が含まれる場合、 ...
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$C^1$-空間上のコロフキン定理 (コロフキン型近似定理)
... に対して、 コロフキン定理が成り立つことが予想される。実際、 1989 年 Altomare と Rasa は $\{1, x, x^{2}, x^{3}\}$ に対して、 正作用素 ( したがって、 縮小作用素 ) に関するコロフキン定理 が成り立ち、 $\{1, x, x^{2}\}$ に対しては成り立たないことを示した ([3]) 。 証明はコロフキン閉 包の特徴付けを ...
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歪多項式環における宮下の定理の別証明 (代数系および計算機科学基礎)
... $\}.$ 証明． $\{1,x,x^{2}, \cdots,x^{m-1}\}$ は $B$ 上自由な $A$ の基底なので， $A\otimes_{B}A$ の任意の元 はある適当な $z_{j}\in A$ によって $\sum_{j=0}^{m-1}z_{j}\otimes x^{j}$ と書ける．ここで $\sum_{j=0}^{m-1}z_{j}\otimes ...
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可算劣加法的汎関数に対するコロフキン型定理 (コロフキン型近似定理)
... $\overline{h}=\inf\{h_{1}’, \cdots, h_{m}’\},$ $\underline{h}=\sup\{h_{1}’’, \cdots, h_{n}’’\}$ とお $\#\mathrm{e}$ ば , (4.5) $\underline{h}-\epsilon w\leq f\leq\overline{h}+\epsilon w$ かつ ...
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近似代数その1 : 近似多項式の四則演算(数式処理における理論とその応用の研究)
... 12.3 近似の精度 $\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}$ 記号 多項式 $F$ の数係数が誤差を含み、誤差の上限が $\epsilon\ll 1$ であるとき、 $F$ の精度は $\epsilon$ であるという。 多項式 $F$ と $G$ が $||F-^{c}||\leq\epsilon$ ...
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