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統計学Ⅰ 2017年度春学期 問題と解答

【注意】以下の設問の解答は解答用紙（別紙）を縦半分に折り左右２段組みにしたうえで 問題順に記しなさい。＊印の問題では答えに至る途中過程も記しなさい。検定では仮説、

検定統計量とその分布、判定と結論を明記しなさい。数字の解答は割り切れるものは小数 点表示で、割り切れないものは分数で記しなさい。

【数表】

標準正規分布ZについてP(Z＜1.645)=0.95, P(Z＜1.96)=0.975。

24

1 家計調査データを用いて1世帯あたり餃子の年間消費額の52都市の基本統計量を求め

たところ、平均=2235円、標準偏差=590円、歪度2.99、尖度11.4という結果を得た。(20) (1)家計調査の標本抽出法は何と呼ばれる方法か。

(2)標本平均x ^がもつ望ましい推定量の性質を2つ記しなさい。

(3)歪度=2.99からどのような分布の特徴を持つといえるか。

(4)尖度=11.4からわかる平均や標準偏差を見る際の留意点について述べよ。

解答 (1)～(4)各5点 よくできていました。

(1)層化三段階抽出法 (2)不偏性、有効性 (不偏性、一致性でも5点、不偏性だけだと2点、

不偏性とBLUE だと3点) (3)右裾が長い分布 (4)外れ値が存在するので、平均や標準偏

差が外れ値の影響を受ける恐れがある

2 各問の正答率がθ(0≦θ≦1)の問題集から25問無作為に選んで100点満点のテストを作

成するとき(各問の配点はすべて4点で部分点はないとする）、以下の問いに答えよ。（25）

(1*)任意の問iの得点xiの平均E(xi)と分散Var(xi)を定義or分散公式から導出せよ。

(2*)25問のテストの合計得点y＝



25 1

i xi の平均E(y)と分散Var(y)をモーメント公式より求 めよ。ただしxiは互いに独立であるとする。

(3)yは正規分布に従うと考えられるが、その理由を説明しなさい。

解答 (1)10点 (2)10点 (3)5点

＊印がある(1)、(2)で導出課程を示さず、答えだけのものは0点にしました。

(1)E(xi)=4θ+0(1-θ)=4θ, Var(xi)=E(xi2)－{E(x)}²=16θ+0(1-θ)-16θ²=16θ(1－θ) 離散確率変数なのに∫xf(x)dx=…としているのは0点

(2)E(y)=ΣE(xi)=25×4θ=100θ, Var(y)=ΣVar(xi)=25×16θ(1－θ)=400θ(1－θ) モーメント公式の適用が正しければそれぞれ部分点3点を与えた

(3)ベルヌイ分布に従う独立な 25 個の確率変数の和なので中心極限定理より正規分布に従

う （数多くの因子からなる～は減点、問題数が25個では少ないので正規分布に従うとは 言えないも正解とした）

3 (2の続き)このテストの得点率p=y/100について以下の問いに答えなさい。(25)

(1*)得点率pの平均E(p)と分散Var(p)をモーメント公式を利用して求めなさい。

(2*)ある学生の試験の結果がp=0.6であったとき、この学生の母数θの95％信頼区間を求

めなさい。

(3*)「この学生の得点率θは0.5より大きい」という仮説を有意水準5%で検定しなさい。

解答 (1)10点 (2)5点 (3)10点

(1*)E(p)=E(y)/100=θ、Var(p)=Var(y)/10000=θ(1－θ)/25 モーメント公式の適用が正しければそれぞれ部分点3点を与えた

(2)

0 . 6

0 . 4 25

なぜか

25 ^を 100 とする答案が多かった。あと 

0 . 6

0 . 4 25 25 ^{とするケース}

も散見された。

(3)H0:θ=0.5, H1:θ>0.5とする。帰無仮説H0:θ=0.5が真であるとすると、p～N(0.5,(0.1)² =

25 5 . 0 5 .

0

1 . 0

5 . 0 6 . 0 )

1 (

 



 n p







より Ho は採択される。故に 0.5 より大きいとは言えない

各ステップで誤りがあると3点減点した。θ=0.6で標準化しているものは検定を全く理解 していないので5点減点した

4 連続確率変数xは0≦x≦2の範囲でf(x)=₂¹ x、x<0またはx>2の範囲でf(x)=0という 確率密度関数に従うとき以下の問いに答えなさい。 (20)

(1*)分布関数F(x)を定義から導出しなさい。

(2)(1)の分布関数のグラフを描きなさい(縦軸、横軸の要所の値もグラフに書くこと)。

(3*)確率変数Xの平均E(X)と分散Var(X)を求めなさい。

解答 (1)(2)各5点 (3)10点

(1) F(x)=

 

0 2 2 1

0 21

2

1 XdX X ^x x

x  



X ではなく 2 まで積分して１としている答案が散見された

２次関数であることを表現していないものは 0 点。分布関数なのに x=2 で F(x)=0 としているも のは 2 点減点

(3)E(x)=∫xf(x)dx=

 

0 2

1 2

1  

2



E(x²)=∫x²f(x)dx=

 

²

²

4 4 2 1

0 21

2

2 1   



Var(x)=E(x²)－μ²=2-¹⁶₉  ₉²

5 世の中には1割の有能な人と9割の普通の人がいて、有能な人の9割が成功して、普通の人

の1割が成功するという。(10)

(1*)成功する人の確率P(成功)を全確率の公式より求めなさい。

(2*)成功した人が有能な人である確率P(有能|成功)を求めなさい。

解答 (1)(2)各5点 よくできていました。

(1)P(成功)=P(有能∩成功)+P(普通∩成功)=P(有能)P(成功|有能)+P(普通)P(成功|普通)

=0.1×0.9+0.9×0.1=0.18

(2)P(有能|成功)=P(有能∩成功)/P(成功)=0.09/0.18=0.5

採点結果

受験者数 364人 平均点 69点 標準偏差20点 最高点100点 最低点2点 下記は期末試験(100点満点)の度数分布です。

多くの学生が70点以上でしたが、50点未満の人もやや多いです。

成績は「総点＝レポート乗数の平均値×期末試験得点」に基づき、S(総点≧90)、A(90>総点≧

80) B(80>総点≧70) C(70>総点≧50) D(総点＜50)でつけます（本当は総点＜60 を Dとす る予定でしたが、Dの割合が高くなりすぎたので、条件を緩めました）。