複素関数・同演習第 11 回目次

(1)

複素関数・同演習第 11 回

〜冪級数 (4)^〜

かつらだ

桂田祐史^{まさし}

2020年10月27日

かつらだ桂田

まさし

祐史複素関数・同演習第11回 2020年10月27日 1 / 19

(2)

本日の内容・連絡事項

冪級数の4回目。冪級数が収束円より小さい閉円盤では一様収束するという定理を述べた後、冪級数の項別微分可能性に関わる事項を説明します(^{講義ノート}[1]^の§3.3)。

宿題6を出します(締め切りは11月10日13:30)。

宿題5の解説をします (動画公開は10月27日 13:30以降)。

かつらだ桂田

まさし

(4)

3.2.4 冪級数は収束円内の任意の閉円盤で一様収束する

定理

11.1 (冪級数は収束円内の任意の閉円盤で一様収束する)

c∈C,{a_n}n≥0 は複素数列, 0≤ρ≤+∞とする。冪級数 X∞ n=0

a_n(z−c)ⁿ の収束半径がρならば、この冪級数は、0<R< ρ を満たす任意のRに対して、

D(c;R)で一様絶対収束する。

念のため記号の復習

D(c;R) :={z ∈C| |z −c|<R}, D(c;R) :={z ∈C| |z−c| ≤R}.

注意

11.2 (

広義一様収束

)

「トポロジー」などで、コンパクト集合の概念を知っている人に。上の定理から

「収束円D(c;ρ)内の任意のコンパクト集合上で一様収束する」ことが導かれる。このことを「D(c;ρ)で広義一様収束する(uniformly convergent on every

compact set inD(c;ρ))」という。この概念はとても重要であるが、この授業では上の定理の形で満足しておく。

かつらだ桂田

まさし

(5)

3.2.4 冪級数は収束円内の任意の閉円盤で一様収束する

定理

D(c;R) :={z ∈C| |z−c|<R}, D(c;R) :={z ∈C| |z−c| ≤R}.

注意

11.2 (

広義一様収束

)

「収束円D(c;ρ)内の任意のコンパクト集合上で一様収束する」ことが導かれる。このことを「D(c;ρ)で広義一様収束する(uniformly convergent on every

compact set inD(c;ρ))」という。この概念はとても重要であるが、この授業では上の定理の形で満足しておく。

かつらだ桂田

まさし

(6)

3.2.4 冪級数は収束円内の任意の閉円盤で一様収束する

定理

D(c;R) :={z ∈C| |z−c|<R}, D(c;R) :={z ∈C| |z−c| ≤R}.

注意

11.2 (

広義一様収束

)

「収束円D(c;ρ)内の任意のコンパクト集合上で一様収束する」ことが導かれる。

このことを「D(c;ρ)で広義一様収束する(uniformly convergent on every compact set inD(c;ρ))」という。この概念はとても重要であるが、この授業では上の定理の形で満足しておく。

かつらだ桂田

まさし

(7)

3.2.4 冪級数は収束円内の任意の閉円盤で一様収束する

証明

0<R <r < ρを満たす r を取る。z =c+r で収束するから、

nlim→∞a_nrⁿ= lim

n→∞a_n(z−c)ⁿ= 0.

ゆえに {a_nrⁿ}n∈N は有界である。すなわち、ある M ∈R ^{が存在して} (∀n∈N∪ {0}) |a_nrⁿ| ≤M.

b_n:=M ^R_rn

とおくと、|z−c| ≤R をみたす任意の z に対して

|a_n(z −c)ⁿ| ≤ |a_n|Rⁿ=|a_nrⁿ| R

r n

≤M R

r n

=b_n.

そして X∞

n=0

b_n= M

1−R/r (収束). Weierstrass のM-test (定理10.5) によって、

X∞ n=0

a_n(z−c)ⁿ は、D(c;R) で一様に絶対収束する。

かつらだ桂田

まさし

(8)

3.2.4 冪級数は収束円内の任意の閉円盤で一様収束する

証明 0<R <r < ρを満たすr を取る。z =c+r で収束するから、

n→∞a_n(z−c)ⁿ= 0.

b_n:=M ^R_rn

r n

≤M R

r n

=b_n.

そして X∞

n=0

b_n= M

X∞ n=0

かつらだ桂田

まさし

(9)

3.2.4 冪級数は収束円内の任意の閉円盤で一様収束する

n→∞a_n(z−c)ⁿ= 0.

b_n:=M ^R_rn

r n

≤M R

r n

=b_n.

そして X∞

n=0

b_n= M

X∞ n=0

かつらだ桂田

まさし

(10)

3.2.4 冪級数は収束円内の任意の閉円盤で一様収束する

n→∞a_n(z−c)ⁿ= 0.

b_n:=M ^R_rn

|a_n(z−c)ⁿ| ≤ |a_n|Rⁿ=|a_nrⁿ| R

r n

≤M R

r n

=b_n.

そして X∞

n=0

b_n= M

X∞ n=0

かつらだ桂田

まさし

(11)

3.2.4 冪級数は収束円内の任意の閉円盤で一様収束する

n→∞a_n(z−c)ⁿ= 0.

b_n:=M ^R_rn

r n

≤M R

r n

=b_n.

そして X∞

n=0

bn= M

1−R/r (^収束).

Weierstrass のM-test (定理10.5) によって、 X∞ n=0

かつらだ桂田

まさし

(12)

3.2.4 冪級数は収束円内の任意の閉円盤で一様収束する

n→∞a_n(z−c)ⁿ= 0.

b_n:=M ^R_rn

r n

≤M R

r n

=b_n.

そして X∞

n=0

bn= M

1−R/r (^収束).

Weierstrass のM-test (定理10.5) によって、

X∞ n=0

かつらだ桂田

まさし

(13)

3.3 冪級数の項別微分 3.3.1 冪級数の項別微分定理

次の定理はとりわけ重要である。

定理

11.3 (

冪級数の項別微分定理

, Abel)

冪級数 X∞ n=0

a_n(z−c)ⁿ の収束半径をρとするとき、f はD(c;ρ)で正則で

f^′(z) = X∞ n=1

na_n(z−c)ⁿ⁻¹= X∞ n=0

(n+ 1)a_n+1(z−c)ⁿ (z ∈D(c;ρ)).

右辺の冪級数の収束半径はρである。

微分した結果が、やはり冪級数で、その収束半径が元と一致していることに注目しよう。何回でも微分できることが導かれる。

かつらだ桂田

まさし

(14)

3.3 冪級数の項別微分 3.3.1 冪級数の項別微分定理

次の定理はとりわけ重要である。

定理

11.3 (

冪級数の項別微分定理

, Abel)

冪級数 X∞ n=0

a_n(z−c)ⁿ の収束半径をρとするとき、f はD(c;ρ)で正則で

f^′(z) = X∞ n=1

na_n(z−c)ⁿ⁻¹= X∞ n=0

(n+ 1)a_n+1(z−c)ⁿ (z ∈D(c;ρ)).

右辺の冪級数の収束半径はρである。

微分した結果が、やはり冪級数で、その収束半径が元と一致していることに注目しよう。何回でも微分できることが導かれる。

かつらだ桂田

まさし

(15)

3.3.1 冪級数の項別微分定理 ( 補足 ) 定理の証明

証明 c= 0として証明すれば良い。g(z) :=

X∞ n=1

nanzⁿ⁻¹とおく。

第1段g(z)の収束半径がf(z)の収束半径ρに等しいこと(授業ではスキップするかも) まず lim

n→∞

√n

n= 1を注意しておく。(実際bn:=√ⁿ

nとおくと、n→ ∞^のとき logbn= log

n^1/n

=^log_nⁿ →0であるから、bn=e^log^bⁿ →e⁰= 1.) 冪級数g(z)の収束半径は、冪級数

X∞ n=1

nanzⁿ(=zg(z))の収束半径と同じであるので

g(z)の収束半径= 1 lim sup

n→∞

pn

|nan| = 1 lim sup

n→∞

pn

|an| =ρ.

1番目と3番目の等号はCauchy-Hadamardの公式による。2番目の等号は次の(a), (b) による。

(a) 任意のn∈N^に対して√ⁿ

n≥1であるから、lim sup

n→∞

pn

|nan| ≥lim sup

n→∞

pn

|an|.

(b) 任意のε >0に対して、ある自然数N が存在して、任意の自然数n≥Nに対して

√n

n≤1 +εとなる。ゆえにlim sup

n→∞

pn|an| ≤(1 +ε) lim sup

n→∞

pn

|an|. εは任意だからlim sup

n→∞

pn|an| ≤lim sup

n→∞

pn

|an|.

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まさし

(16)

3.3.1 冪級数の項別微分定理 ( 補足 ) 定理の証明

X∞ n=1

n→∞

√n

n= 1を注意しておく。

(実際bn:=√ⁿ

n^1/n

X∞ n=1

n→∞

pn

|nan| = 1 lim sup

n→∞

pn

|an| =ρ.

n→∞

pn

|nan| ≥lim sup

n→∞

pn

|an|.

√n

n→∞

pn

n→∞

pn|an| ≤lim sup

n→∞

pn

|an|.

かつらだ桂田

まさし

(17)

3.3.1 冪級数の項別微分定理 ( 補足 ) 定理の証明

X∞ n=1

n→∞

√n

n^1/n

=^log_nⁿ →0であるから、bn=e^log^bⁿ →e⁰= 1.)

冪級数g(z)の収束半径は、冪級数 X∞ n=1

n→∞

pn

|nan| = 1 lim sup

n→∞

pn

|an| =ρ.

n→∞

pn

|nan| ≥lim sup

n→∞

pn

|an|.

√n

n→∞

pn

n→∞

pn|an| ≤lim sup

n→∞

pn

|an|.

かつらだ桂田

まさし

(18)

3.3.1 冪級数の項別微分定理 ( 補足 ) 定理の証明

X∞ n=1

n→∞

√n

n^1/n

X∞ n=1

n→∞

pn

|nan| = 1 lim sup

n→∞

pn

|an| =ρ.

n→∞

pn

|nan| ≥lim sup

n→∞

pn

|an|.

√n

n→∞

pn

n→∞

pn|an| ≤lim sup

n→∞

pn

|an|.

かつらだ桂田

まさし

(19)

3.3.1 冪級数の項別微分定理 ( 補足 ) 定理の証明

X∞ n=1

n→∞

√n

n^1/n

X∞ n=1

n→∞

pn

|nan| = 1 lim sup

n→∞

pn

|an| =ρ.

1番目と3番目の等号はCauchy-Hadamardの公式による。

2番目の等号は次の(a), (b) による。

n→∞

pn

|nan| ≥lim sup

n→∞

pn

|an|.

√n

n→∞

pn

n→∞

pn|an| ≤lim sup

n→∞

pn

|an|.

かつらだ桂田

まさし

(20)

3.3.1 冪級数の項別微分定理 ( 補足 ) 定理の証明

X∞ n=1

n→∞

√n

n^1/n

X∞ n=1

n→∞

pn

|nan| = 1 lim sup

n→∞

pn

|an| =ρ.

n→∞

pn

|nan| ≥lim sup

n→∞

pn

|an|.

√n

n→∞

pn

n→∞

pn|an| ≤lim sup

n→∞

pn

|an|.

かつらだ桂田

まさし

(21)

3.3.1 冪級数の項別微分定理 ( 補足 ) 定理の証明

第2^段f^′=g ^{であること} 0<R< ρ^{を満たす任意の}R^{に対して、}f ^はD(0;R)^で正則で、f^′=g であることを示せば良い。

εを任意の正数とする。(X

n

nanzⁿ⁻¹がz=Rで絶対収束ゆえ)あるN∈N^{が存在して} (⋆)

X∞ n=N+1

n|an|Rⁿ⁻¹<ε 3. z∈D(0;R),h̸= 0,z+h∈D(0;R)とすると

f(z+h)−f(z)

h −g(z)

=

X∞ n=0

an((z+h)ⁿ−zⁿ)

h −X^∞

n=1

nanzⁿ⁻¹

≤

XN n=1

an

(z+h)ⁿ−zⁿ

h −nzⁿ⁻¹ +

X∞ n=N+1

an

(z+h)ⁿ−zⁿ h

+

X∞ n=N+1

nanzⁿ⁻¹ . 右辺第1項は、(zⁿ)^′=nzⁿ⁻¹ より、|h|^{が十分小さければ} ε

3 ^{より小さい。}

かつらだ桂田

まさし

(22)

3.3.1 冪級数の項別微分定理 ( 補足 ) 定理の証明

第2^段f^′=g ^{であること} 0<R< ρ^{を満たす任意の}R^{に対して、}f ^はD(0;R)^で正則で、f^′=g であることを示せば良い。

εを任意の正数とする。(X

n

nanzⁿ⁻¹がz=Rで絶対収束ゆえ)あるN∈N^{が存在して} (⋆)

X∞ n=N+1

n|an|Rⁿ⁻¹< ε 3.

z∈D(0;R),h̸= 0,z+h∈D(0;R)とすると f(z+h)−f(z)

h −g(z)

=

X∞ n=0

an((z+h)ⁿ−zⁿ)

h −X^∞

n=1

nanzⁿ⁻¹

≤

XN n=1

an

(z+h)ⁿ−zⁿ

h −nzⁿ⁻¹ +

X∞ n=N+1

an

(z+h)ⁿ−zⁿ h

+

X∞ n=N+1

nanzⁿ⁻¹ . 右辺第1項は、(zⁿ)^′=nzⁿ⁻¹ より、|h|^{が十分小さければ} ε

3 ^{より小さい。}

かつらだ桂田

まさし

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