ARGOS seminar on intersections of modular correspondences, Ast´erisque 312 (2007) の紹介 (6)

ARGOS seminar on intersections of modular correspondences, Ast´erisque 312 (2007) の紹介 (6)

服部 新

北大理学研究院 3-601 [email protected]

平成 19 年 12 月 8 日

※B. H. Gross, K.Keating,On the intersection of modular correspondences, Invent. Math112 (1993), 225-245 の解説本

1 今回証明すること

K. Keating: Lifting endomorphisms of formal A-modules, Compositio Math. 67(1988) 211–

239,の紹介

K/Q^p：有限次拡大,素元π=πK, 剰余体F^q L/K：二次拡大,相対分岐指数e=e(L/K)

O^s:=O^K+π^sO^L：O^Lの中の, conductor=sのorder k:= ¯F^q,W :=W(k)

G：k上のheight=2のformalO^K-module (同型を除いてunique)

O^D:= Endk(G). これはK上のdivision quaternion algebraD のmaximal order.

Π_D：Dの素元

κ:L→D：K-algebraの埋め込み,をひとつfixする.

r_κ：reduction mapO^L→ O^{κ D}= End_k(G)^Lie→k(以下では省略して書く) A:= ˆO^Lnr,M := Frac(A)

Ms：局所類体論でO^×s ⊆ OL^×に対応するMの有限次Abel拡大 A⁰:=O^Ms,π⁰ :=πMs

es:=







1 ifL/K：不分岐,s= 0 q^s−1(q+ 1) ifL/K：不分岐,s≥0

2q^s ifL/K：分岐

F_/A⁰ ₀：Gのlevelsのquasi-canonical lift for (κ, λ= id) A⁰_n:=A⁰/(π⁰)ⁿ,F_n⁰ :=F⁰⊗^A0A⁰_n (i.e. F₀=G) このとき,

O^s= End(F⁰)⊆ · · · ⊆End_A0

n(F_n⁰)⊆End_A0

n−1(F_n⁰₋₁)⊆ · · · ⊆End_k(F₀⁰) =O^D

1

であるので, f0 ∈ O^D = Endk(G)がどのEnd(F_n⁰)にまで入るのか(i.e. f0 : G → Gがどの f_n:F_n⁰ →F_n⁰ にまでliftするか)を調べたい.

k∈Z≥−1に対し, a(k) := ^(qk−_q^1)(q+1)₋₁ とおく.

定理 1.1 (Keating) f0∈(O^s+ Π^l_DO^D)\(O^s+ Π^l+1_D O^D)(l≥0)だとする. このとき, f0∈End(F_n⁰_l−1)\End(F_n⁰_l).

但し, 





a(₂^l) + 1 ifl≤2s かつl：偶数

a(^l−₂¹) +q^l−21 + 1 ifl≤2s かつl：奇数 a(s−1) +q^s−1+es(^l+1₂ −s) + 1 ifl≥2s+ 1

¤ 注 1.2 l= 2s−1または,l= 2sかつL/Kが分岐,の場合は三番目の式も成立する.

2 _{局所交点数の計算}

(L, Q)⊆(O^D,Nrd)：Z^p上のanisotropic, ternary quadratic space

(L, Q)のGross-Keating invariantを(a1, a2, a3), optimal basisを(ψ1, ψ2, ψ3)と書く.

R=W[[t, t⁰]]：Gのuniversal deformation ring∼=W[[t]]の二階直積,S := Spec(R)

Ii = (hi)：Rにおけるψiのlifting locus (単項イデアルになることを示した). これが定める Spec(R)のdivisorをTⁱとおく.

α(Q) := lg_W(R/I1+I2+I3) = (T¹.T².T³)_S (intersection product) このとき,

定理 2.1 (定理B1)

α(Q) =

( 1 if (a1, a2, a3) = (0,0,1) 2 if (a₁, a₂, a₃) = (0,1,1) 定理 2.2 (定理B2) ψ3=pψ₃⁰,ψ⁰₃∈Endk(G),と書けるとすると,

(T¹.T².T³)_S = (T¹.T².T3⁰)_S+ (T¹.T².V(p))_S. ここでV(p) = Spec(R/p),T3⁰はψ₃⁰ のlifting locus.

定理 2.3 (定理B3) a1≡q2 (2)なら, (T¹.T².V(p))_S =

aX₁−1 i=0

2(i+ 1)pⁱ+

1

2(a1+a2−2)

X

i=a₁

2(a1+ 1)pⁱ+ (a1+ 1)p^{a1 +2a2}. a16≡q2 (2)なら,

(T¹.T².V(p))_S =

a₁−1

X

i=0

2(i+ 1)pⁱ+

1

2(a₁+a₂−1)

X

i=a1

2(a1+ 1)pⁱ.

定理Bは,a₁+a₂+a₃に関するinductionで,上の定理B1〜定理B3に帰着されていた. lifting theoremを使うと, 定理B1と定理B2を示すことが出来る. 定理B3はSpec(k[[X, Y]])上の二つ のdivisorのintersection productを求める問題だが,体k上の話なのでdeformationとは関係なく 計算できる(modular curveのreductionに関するKummer congruenceの帰結).

2