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2020 年第 2 回一橋大模試 採点基準 数学
１ (50 点満点)
(1) (配点25点)
l 数学的帰納法を用いる方針に5点 l での成立を確認して5点
l の仮定の下で での成立を導いて10点 l 正しく証明を完了して5点
(1)[別解1] (配点25点)
l 二項定理を用いる方針に5点
l に10点
l 正しく証明を完了して10点 (1)[別解2] (配点25点)
l の最小値を考える方針に5点
l を示して10点
l の最小値に5点 l 正しく証明を完了して5点
(2) (配点25点)
l ≦ を導いて8点 l 背理法を用いる方針に5点 l 矛盾を導く過程に7点 l 正しく証明を完了して5点 (2)[別解1] (配点25点)
l 背理法を用いる方針に5点
l ≦ を導いて10点
l 矛盾を導き証明を完了して10点 3
n=
n k= n k= +1
1 1
1 0
C 2
n n
n k
k
- -
-
=
å
=( )
2n 1 f n = - -n(
1) ( )
f n+ > f n
( )
f n
1 2 n 1
a a !a- n
1 1
2n n
-
2 (2)[別解2] (配点25点)
l 2以上の自然数 について ≧ ( で等号成立)を示して8点 l 背理法を用いる方針に5点
l 矛盾を導く過程に7点 l 正しく証明を完了して5点
,
a b ab a b+ a b=
3
２ (50 点満点)
(1) (配点10点)
l 正しく答えを求めて10点(完答) (2) (配点15点)
l 外接円の半径を正しく求めて5点
l 外接円の中⼼の 座標を正しく求めて5点 l 外接円の中⼼の 座標を正しく求めて5点 (3) (配点25点)
l 領域を図⽰することで把握して8点
l 直線 が円 と接するような のうち⼤きい⽅を求めて8点 l 接点は斜線部の境界上にあることを正しく⽰して9点
x y
2
y= x k- C k
4
３ (50 点満点)
l ≦ のときの を求めて8点
l のときの を求めて16点
l ≦ のときの を求めて8点
l ≦ のときの を求めて8点 l の最⼩値を求めて10点
a 0 M
0 1 a 3
< < M
1
3 a<1 M
1 a M
M
5
４ (50 点満点)
(1) (配点20点)
l (始点は点 または点 でも可)もしくは とい
う形で表して5点
l の各成分を計算し, 方程式を導いて6点 l 方程式を連立して解いて5点
l 答に4点 (2) (配点30点)
l 点を頂点とする四面体が存在するときの の条件を示して3点
l (始点は点 または点 でも可)もしくは と
いう形で表して5点
l の各成分を および (もしくは )を用いて表して2点 l および を計算して4点
l 方程式を連立して解き, (もしくは )を を用いて表して6点
l (もしくは )に関する条件を, に関する条件に読み替えて6点
l 答に4点 AD= pAB+qAC
!!!" !!!" !!!"
B C OD!!!"=aOA!!!"+bOB!!!"+gOC!!!"
, , x y z
4 t
AH=mAB+nAC
!!!" !!!" !!!"
B C OH!!!"=aOA!!!"+bOB!!!"+gOC!!!"
DH!!!"
t m n, a b g, , DH AB 0× =
!!!" !!!"
DH AC 0× =
!!!" !!!"
,
m n a b g, , t ,
m n a b g, , t
6
５ (50 点満点)
(1) (配点20点)
l すべて同じ数字のときに不適であることを示して3点 l すべて同じ色のときに不適であることを示して3点
l 得点が4点となる数字と色の組み合わせを2通り挙げて8点(各4点×2) l 確率を正しく求めて6点
(2) (配点30点)
l 1点から12点までの数字と色の組み合わせを正しく列挙して10点 l 1点から12点までの場合の数を求めて10点
l M
( )
を求めて10点x m
x P x
=
