その際、確率論特有の解析や高度な組み合わせ論を用いますので、その醍醐味をぜひ体験してください。測度理論が分からないと確率論は理解できないと言われますが、確かに確率論には理解できる部分がたくさんあります。この章では、確率論を学ぶ上で最低限必要な定義や性質について、測度論の知識がなくても理解できるように解説していきます。
確率空間と確率変数 (Probability Spaces and Random Variables)
{Xk}nk=1 とは何か、また n が無限大の場合、これはどういう意味ですか? {Xk}Nk=1 は ∀N≥1 に対して独立です。
期待値, 平均値 (Expectations, Means)
特に、Xk が可算数の値のみを取る場合、S={aj}j≥1 は、上記の式を次のように変更できます。
大数の法則 (LLN=Law of Large Numbers)
それらを、一定の平均 EXn =m と有界分散 v:= supnV(Xn)<∞ を持つ独立した確率変数とします。次に、次のことが当てはまります。独立して生まれたすべての男性が、Y と同じ確率で男児を残すと仮定します。このモデルでは、家族が永遠に存続する確率は、子孫の平均数によって明確に決定されます。値 m=∑ 。
時間的一様マルコフ連鎖 (Time Homogeneous Markov Chain)
さらに、以下の性質を満たす場合、時間的に一様なマルコフ連鎖と呼ばれます。自然数 s と t に対して、マルコフ性質と時間的一様性を使用すると、命題 2.3 j に対して、k∈S;j↔k、j が再帰的または非定常的である場合、k は対応します。
マルコフ特性、時間均一性、遷移確率、枯渇] このことから、{Xn} は均一マルコフ連鎖であり、前セクションの q(j, k) = pk−j 定理 2.2 であることがわかります。)
ゴルトン-ワトソン過程 (Galton-Watson Process)
さらに簡単にするために、次のような時間的均一性も仮定します。遷移確率 qt(i, j) =P(Xt=j |X0=i) と定義されますが、後述するように同様のことが言えます。 when などのプロパティ。
そこで、指数関数的時間（＝指数分布に従うランダムな時間）を導入します。つまり、T は密度関数 f(s) = αe－αs を持ちます。この講義では、T を単純に α 指数関数的時間として定義します。この時間を指数関数的時間と呼びます。
命題 3.1 T が指数時間の場合、次の無記憶特性があります。例 3.1 A と B の 2 台の装置で構成されるシステムがあり、A が故障するまでの時間は 1 の指数時間、B は故障するまでの時間です。システムが故障するまでの時間は 2 指数時間と言われます。この場合、システムに障害が発生するまでにかかる平均時間を求めます。
前の命題から、システムが故障するまでにかかる時間は 3 指数時間であるため、平均は 1/3 になります。
ポアッソン過程 (Poisson Process)
T1 と T2 の結合分布は独立性によりそれらの分布の積であるため、解 Xt は仮定を満たす確率過程となるはずです。
は独立して同一に分布しており、それぞれが λ 指数時間を持ちます。緊急事態の数だけを数える確率過程を考えると、それもポアソン過程になるのでしょうか？もしそうなら、そのパラメータは何ですか?答えは次の命題から簡単にわかります。これは 1 時間あたり 4 回の速度のポアソン過程です。
Xt にはタイプ I とタイプ II の 2 つの異なるタイプのジャンプがあり、それらは確率 p および 1−p で互いに独立して発生すると仮定します。次に、タイプ I のジャンプのみからなる確率過程を Yt として定義します。タイプ II のジャンプのみからなる確率過程を Zt とすると、パラメータ λp と λ(1− p) を持つ独立したポアソン過程になります。Yt と Zt はそれぞれ次のようになります。独立した λp および λ(1−p) ポアソン過程。配布に従ってください。
これは、(Yt) と (Zt) が確率過程として独立していることを意味します。
連続時間ランダムウォーク (Continuous-time Random Walk)
次に、Yt−Ys についても上記と同じ計算を使用します。
連続時間マルコフ連鎖と推移確率 (Continuous-time Markov Chain & Transition
複数の粒子があり、各粒子はランダムに分裂し、確率 pk の独立した λ 指数時間ごとに消滅します。分裂した粒子も同様の法則に従って独立に分裂と消滅を繰り返すと仮定し、時刻tにおける粒子の数をZtと表し、これを連続時間ゴルトン・ワトソン過程と呼ぶ。
定義 5.1 [分岐ランダムウォーク {bxt =bx,λt }] 時刻 0 で x 内に 1 つの粒子があり、ランダムな時刻 (指数関数的時刻) σx で消滅します。指数関数時間 σx,y が到来すると、y 内に 1 つの粒子が誕生します。誕生したそれぞれの粒子は、同じ方法で独立して誕生と死のプロセスを繰り返します。
つまり、p(x, y) = 0 の場合、x から y まで粒子は生成されません。この場合、粒子の生成と消滅のランダムな時間間隔は独立しており、その分布は τ := min{σx, σx,y ;y∈S} と同じです。この場合、粒子が生成される前に死ぬ確率 p0 は次のようになります。誕生する粒子は τx = minyσx,y です。
したがって、粒子あたりの子孫生産の期待値 m は、この場合、粒子は次のように時間の経過とともに進化します。
