訓-号‘:』三;'一“

2019年4月16日小テスト解答

／ 、

I関数

/(",z/) :="2‑"l/+!ﾉ2+4z+6Z/

の停留点を求めましょう．

1．

、里 ノ

解答

６＋０十ｍ０４０一一一十一一刻６

０４＋＋ ＋＋１ｙ

んん

すなわち ^一理毛

﹄■ｊ

｛

をクラメールの公式で解くと

＝:'訓‑号 :』 三;'一

〃＝二

2 −1 3

−1 2 −1 2

となりますから， ノの停留点は(",")､‑号,一等)です．

注意さらに学習を進めるとノはR2上(",y)=(一号,等)で最小値をとること， より詳しくは

("'≦'(¥,‑¥） （",'諾(‑号,‑¥)）

を示すことができます．

／ 、

11クラメールの公式を用いて

｛

を満たす(",z/,z)に対して〃,!/をzで表しましょう．

、 ノ

解答

｛鍼,二言雪

をクラメールの公式を用いて釘,!/について解くと

＝

＝;{(‑"+')‑(−1)(薯−1)}=;0=。

2 1

＝;{(縁−1)‑2(‑"十')}=;(雛‑3)=富‑Ⅲ

1 11 ‑z+1

I/=, ̲1l . ￨2 z‑'

2 1

1

UcIR2 1¥1,凸

3:U‑‑3 IR

P｡ (q! 6‑)eU

wix(PD)=寸で(P｡)=･

加仙>， ￨ く Ⅷ: ｜>・

（やeu，

弓丁[P3 >Ef(P｡）

＜

P‑=tPo

（ Peo

チ

−

−

２

６−｜渉や１

３ 才

ｊ

ｆ〜ノ

ＣＬ

りぴ︑

−

へ里Ｉ ｒＥ

一 一

壹

健Ｐ ；ｘ叺Ｃ 才１︐ 才ヴ ミイ陸○

１

十八 Ｗ４＋﹄２

一 一

Ｊ

︑︑Ｊ ＬｊＺｐ１Ｌ

Ｉ

−

−

Ｌ

へ一し︑ノ

ｃｘｌ ｊ 九丁

￨簿輔≦ 2,ZI =3>｡ I

ォ(‑写 ‑筈） （

〆−−うオtx,1)> ﾌ(（ 州(｣？ ‑号う ）

d

q

可

﹄

2平面の交わり

NobuyukiTOSE

April23! 2019

Z平面⑬交わり ユノユロ

N ｜ ￨ ,』Ⅱ:PITフSE

2枚の平面が定める直線

座標空間の点(x,y,z)が方程式

｛

を満たすときx,yをzで表しましょう．

｛

ｙｙｌ２ｉＩ

ｚぐ上司上Ｚ

x− y

x ‑ 3y

二＝二

:＝＝

１−１１２

＝3≠0であるので， こ

とxとyの連立1次方程式とみなします

れをクラメールの公式で解きます．

2平面⑩交わり Zノユ0

ⅡLuL山T型自

2枚の平面が定める直線(2)

１ｚ

Ｏｊ

二３

︵Ｕｚ

ｌ−３ｈい 一一１−３

ｚＸｚｌ

＋／１

Ⅱ１１｜心Ⅱｊ

皇包聿岾芋峠

１１ 皿︲トーⅡｌ旧い

×ｖゾ

3／1⑥ 2平面の交わり

Mjl:4脚, ， 1壱目

D 1

1

）

イ D)

0

○

‐

2枚の平面が定める直線(3)／

2=o瓜乙〜

(3)‑(;)

ベクトル表示をすると

『

: )‑≦M)､(:"

となるので(0,‑',0)を通り(1)が方向べｸﾄﾙである直線であること

が分かる． これは(1)が定める平面と(2)が定める平面の交わりがなす直

線であることが分かる．

z平面の交わり 4／1回

Flmlh皿ﾛhm I 囹

理

平面の方程式

−

い」 上〔L）芝 ↓ぬ

︑︑ｂ

戸 z鵲可一

点(0,‑1,0)は

x‑y+z= 1…(1)

を満たす． これから

1…(1)

1

＋＋

x一 y

‑） 0 − （‑1）

ｚ︹Ｕ

二＝＝

巳＝三

× (y+1) +z=0 ･ ･ ･(1)' となります． (1)'は

(:')(yf')=0

ユ平面の交わり E／畑 N｢,L巳祠fIルl T凸弔呈

平面の方程式(2)

/111

−1

('ノ

(:1)

ます．

三

2平面の交わり 5／ユロ

1,1 1 1L蝉uLl T賃E

(a, 1,｡>五通･し

cL) 2)c+1ーモュー

べｸﾄﾙ(:)は平面（1）

平面(2)とも平行である．

(1)=0， （1）

）

一一う (o!〜1，･）

7／'⑥

2平面、交わり NIfI n, , ！ 『18田

2平面の交わり(2)

2平面の交わり

｛:繩鯛割｜;｜

を考えます． (1)と(2)の法線ベクトルについて

G)邦"

→

pl=

が成立するとします． さらに

＝、

ll al a2

b, b2

D= ≠0

4L')L･t･6!1=o( !

C{&

堂NZ‑C1′も

を仮定します．

I:L,

塾平面の交わり 日/'g

『 ｜hnfE↑H ｜ ， 〕5

Cl

‐も（ 〔し

ア）

2平面の交わり(3)

I

クラメールの公式を用いて

×=音'二笙蝋 ×−台'二｜

,−台￨:；

崔 、ン ＝ クテ

1 1a, oI1

Cl ーL−

! Dla2 012

C2

、

I

一

し

e

と2直線の交わりは直線としてパラメータ表示される

回／1ロ 2平面の交わり

1, 1 1冊川 T･澤

そ二一t I

｜

−ベクトル積

2平面の交わり(4)

(FI) qZ

(;￨ ), 凡≦

ィ ￨鱸' 1

×座＝‐￨龍｜

（ '鰯￨ ノ

をβ,とめの外積（ベクトル積） と呼びます． このとき 5,̲Lpi×座, pi̲L51×座

Rいズ 2云 う〆洲恐1Iz(¥3.

﹁ｐｌＭ

二

血痕

2

Lﾛ／ユロ

2平面の交わり Tll lhIn'114fT

2019脚ﾉ21 経済数学̲練習問題(2019年04月23日）

(2)(K,L)､216,103)のときの資本の限界生産物MPKと労働の限界生産物MPLを求めて，F(216,998)と F(217.5,103)の近似値を求めましょう．

XX次の3点A,B,Cを通る平面の方程式を求めましょう．

(1)A(0,0,0),B(1,2,3),C(4,5,6) (2)A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4) (3)A(1,2,3),B(‑1,‑1,0),C(2,‑3,5)

C

い）

B

￨證宝1

‑I;:

｜朕

‑3

1

6

−弓

一一 −

一 一

’

web.econ.keio.acjp/StaWtoseﾉcoursﾉ2019/emath/emath2019LecO3̲O423exo.html 2/2

■

可

転置行列・2次形式・座標の平行移動

NobuyukiTOSE

経済数学,Apri l 23, 2019

転量行列･2次形式･座榎の平行移動 ^ユノユ4

11 1 ．JID T

2次正方行列の転置

ベクトルの転置

(::） (爵）

t =(a,a2), t(a,a2)=

2×2行列の転置

（；)に対し g:'‑(")‑

2×2行列B=

8‑㈲＝噌一( ×ty) （ ）

転侭行列・Z次形式・座榎の平行移動 2／14

『, l 1LuL晩TSE

公式

内積と転置

列ベクトルβ,5ER2に対して

（β,3)=tp･5

すなわち

((:),(#))=ax+by=(ab)(#)

重要な公式8:2×2−

(BC)､(:))‑((;),.s(:))

これがあるので転置行列を考えます．

転凪行列･正次形式･座樫の平行移動 ^3／ユ4

Hf血q､Ⅶ』片 10月F

｜;； ， 1 、）

？＝

『

GIT

( ）

⑮,了） 1ｺ :!f‑‑十閉園=(f! IE･‑P"》

一 一

重要な公式の証明

B(7)=(")(7)=xp+yaeIRL

に注意します． このとき

‑LHS=(xP+y3,(:))

=x(5,(:))+y(3,(:))

＝((;ﾙ(鮒￨)）

（(;).側)）

ノ,e(w(::)(;))‑((;)③訓

afQ又弓1+､.

:1)

（

4／'4

転屋行列 2次形式・座担叫平行識 I.' ･I,u！ ￨』￨ 』 ｜ ， 5E

’

注意

(:)（館)に濁し℃

（:)(ﾘ)‑(:鯛；)‑側）

2×2行列

｜ 紀■行男･2次形式･座標の平行移動 ^5ノエ4

r,Iご1』 fI1

（乏忌）さ剛蘓刊 1

A=

に縮〔:、

(A(1),(1))= ),(ｲ)）

2変数2次関数・平行移動座標変換

（

f cl)

f‑ ;(c>LT‑6,1)

=QX,ﾕT2cD[､j

億>蝋『 十61L

坐百ﾅー

一

・ 他．ｖ

一 一

稿二〔／

AQz 衆

Z=X2

( ： )。

１−２−１ →

b=

(:）

はA=

z=(A

これを平行移 と表現される．

(f)=(ダニ閲)=(')−αここでα=(W)

す（さらに国を選んで簡単にする)．

(等）

(W)

○

転遼行列. 。次形式・座穣の平行移動 巳／14

’

2変数2次関数

ハ≦(‑'象

z=(A((f)+薊》(¥)+n)+(5, (f)+m)

=(A(f),(f))+(A(¥) ;a)+(Aα､Lil)+(A") 6A､A

＋( , ( ))応す ‐−

／､， でもA二A河荊．

｡),d)=((f),tAd)､(f),Ad)

）

ここで

であることを用いると

﹃一﹁牢

z､A(f),(¥))+

+(Aa,")+(b

=(A(f),(f))+

ヒマ洗う

（ 渋)ﾐ鼬，

ｱﾉﾕ4

｜ 稔屋行列･Z次形式･座覗⑮平行移動

￨ ･1[土， 、fl lu1Tp目E

↑↑

﹁︒訓

暴飛ｊ︑

一 一

十﹃一﹁域へ盛﹃久

ＡＡ

←

2変数2次関数の標準形

壷!!渦!'颪(）

（ 齢）

１−２１

１−２１一

ここでdet(A)=

(AIキ･。'と玉

(菫）

４３

１−２↓ｂｌ

Ａ１２

↓α １３

(:)＝ (}:）

Ｉｔ

Ｑ４船

ＡｌＡ

が2Ad+5=6を満たします． このとき

z=(A(¥),(f))+

=(A(f),(f))+

I

一一へ

Q̲

u

笹

｜ 転■行^{列・2次形式 座標の平行移動 8／M}

F, ￨ ll, ,､山Tロ配

qcKvMe"､, (s に ̲又̲2‑

一 一

； 則︲︒

十Ｌ

ｒｌｌｌｌｌし

~

斗踊韮迄昼

'｣ '･も'洲

・≦脳'弐・弓'し=さ

2鬼公'行3'{式

碧 3(} ，略(' （二､1$ 珊珂

（ご＋ス忍邑1 二個E) ltM昼冠｜

（預尋fAで 二 ｜恵忍け） ｜茂ら

壬食代 眼

（忌引＝〜偲國1

ＩＬ

ＱＢＣ

（

一、〃

P ） q( ,(十e(

TC't=o<l

!

）

A'2KL久と之 IAI= ltAI

一

諭坤 唯

岬十河 A言千A言

入船で〉

一一

Aいす）

−−

cI IQ2

（ ‑e↓てz つ m （｡n

11

）

（ い《 GL)(¥>

,七口Cす） ）

一一

〃

一一今

ClX‑t｡6，I=

常兜 (い"(1)）

cﾓｰで 篁)）

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つ

く 〜

坐和よ心 坐︑未Ｒ

一一

︑１Ｊｔ乢寸一つ・

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Ⅲ （1）