複素関数・同演習第 25 回 目次

複素関数・同演習 第 25 回

〜留数定理〜

かつらだ

桂田 祐史

2020

年

月

日

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 1 / 22

目次

1

本日の内容・連絡事項

2

留数定理

続き

留数の計算

続き

極の場合の留数の計算(続き)

留数定理

定理を述べる 留数定理は万能包丁 留数定理の直観的な証明 留数定理の証明

余談: 回転数を用いた一般化

3

定積分計算への留数の応用 有理関数の

^上の積分

4

参考文献

かつらだまさし

本日の内容・連絡事項

留数を覚えているだろうか。自信がない人は軽く復習しておこう(今日使う計算法 については次のスライド)。

前回留数の計算法を色々述べたが、一つの例を追加しておく。

(簡単な形の)留数定理を述べ、それを知ると色々と見通しが良くなることを説明 し、定理を証明する。

より一般の形の留数定理の紹介をする。ここはスルーしても良い(いわゆるテスト には出ない、というやつ)。

次回に時間的余裕を作りたいので、留数を用いた定積分計算の定理と例を述べる (証明は次回)。

宿題12の解説をします(動画公開は1月12日13:30以降)。 宿題13を出します(締め切りは2021年1月19日(火) 13:30)。 水曜2限の複素関数演習で公開しますが、課題文自体の置き場所は

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/complex/toi13.pdfです(直接アクセス できます)。

参考のため問14を出すかもしれませんが、それは宿題にはしません(提出不要)。 期末レポート課題を出します(これについては別に説明します)。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 3 / 22

急ぎの復習用

定理A,Bは授業で説明した。それからすぐに定理Cが出る。この形で覚えておくと便利 かも。学生は、定理D,E,Fのようなのを覚えるのは問題ない、と期待している。

定理A「cがf のk位の極⇔cのある近傍Uと、Uで正則なg が存在して、

f(z) = g(z)

(z−c)^k (z∈U\ {c}),g(c)̸= 0^{が成り立つ。」}

定理B「c がf のk位の零点⇔cのある近傍Uと、Uで正則なgが存在して、

f(z) = (z−c)^kg(z) (z∈U),g(c)̸= 0が成り立つ。」

定理C「PとQがcのある近傍Uで正則であり、cがPのk位の零点で、

Q(c)̸= 0^{であれば、}cはf := Q

P ^のk位の極である。」

条件Q(c)̸= 0を省くと、結論は「cはf :=Q

P ^の高々k位の極である。」となる。

定理D「cがf の高々k位の極ならば Res(f;c) = 1

(k−1)!lim

z→c

(d dz

)k−1[

(z−c)^kf(z) ]

.^」

定理E「PとQがcのある近傍で正則で、cがPの1位の零点ならば、(cは f :=Q

P ^の高々1^{位の極であり})Res(f;c) = Q(c) P^′(c).^」

定理F^「c^がφ^の1^位の極、ψ^がcのある近傍で正則ならば、c^はf :=φψ^の高々 1位の極で、Res(f;c) =Res(φ;c)ψ(c).」

かつらだまさし

11.2.2 極の場合の留数の計算 ( 続き )

例

Res (tanz

z⁴ ; 0 )

tanz のz= 0の周りのTaylor展開を数項だけでも求めてみる(講義ノート[1]の§7.3命 題7.15 (2021/1/9時点)には、Bernoulli数を用いて一般項を表す公式が載っている。)。

tanz= sinz cosz =

z− 1 3!z³+ 1

5!z⁵− · · · 1−1

2z²+ 1 4!z⁴− · · ·

=z 1− 1

3!z²+ 1 5!z⁴− · · · 1−1

2z²+ 1 4!z⁴− · · ·

.

両辺をz で割り、w=z²とおくと、tanz

z =

1− 1 3!w+ 1

5!w²− · · · 1− 1

2!w+ 1

4!w²− · · · .

これはw の関数として、0の近傍で正則である (分母と分子は収束冪級数で、分母は0 にならない)。ゆえに

∑∞ n=0

anwⁿ と書けるはず。分母を払って (_∞

∑

n=0

anwⁿ ) (

1− 1 2!w+ 1

4!w²− · · · )

= 1− 1 3!w+ 1

5!w²− · · ·.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 5 / 22

11.2.2 極の場合の留数の計算 ( 続き )

例

Res (tanz

z⁴ ; 0 )

tanz のz= 0の周りのTaylor展開を数項だけでも求めてみる(講義ノート[1]の§7.3命 題7.15 (2021/1/9時点)には、Bernoulli数を用いて一般項を表す公式が載っている。)。

tanz= sinz cosz =

z− 1 3!z³+ 1

5!z⁵− · · · 1−1

2z²+ 1 4!z⁴− · · ·

=z 1− 1

3!z²+ 1 5!z⁴− · · · 1−1

2z²+ 1 4!z⁴− · · ·

.

両辺をz で割り、w=z²とおくと、tanz

z =

1− 1 3!w+ 1

5!w²− · · · 1− 1

2!w+ 1

4!w²− · · · .

これはw の関数として、0の近傍で正則である (分母と分子は収束冪級数で、分母は0 にならない)。ゆえに

∑∞ n=0

anwⁿ と書けるはず。分母を払って (_∞

∑

n=0

anwⁿ ) (

1− 1 2!w+ 1

4!w²− · · · )

= 1− 1 3!w+ 1

5!w²− · · ·.

かつらだまさし

11.2.2 極の場合の留数の計算 ( 続き )

例

Res (tanz

z⁴ ; 0 )

tanz のz= 0の周りのTaylor展開を数項だけでも求めてみる(講義ノート[1]の§7.3命 題7.15 (2021/1/9時点)には、Bernoulli数を用いて一般項を表す公式が載っている。)。

tanz= sinz cosz =

z− 1 3!z³+ 1

5!z⁵− · · · 1−1

2z²+ 1 4!z⁴− · · ·

=z 1− 1

3!z²+ 1 5!z⁴− · · · 1−1

2z²+ 1 4!z⁴− · · ·

.

両辺をz で割り、w=z²とおくと、tanz

z =

1− 1 3!w+ 1

5!w²− · · · 1− 1

2!w+ 1

4!w²− · · · .

これはw の関数として、0の近傍で正則である (分母と分子は収束冪級数で、分母は0 にならない)。ゆえに

∑∞ n=0

anwⁿ と書けるはず。分母を払って (_∞

∑

n=0

anwⁿ ) (

1− 1 2!w+ 1

4!w²− · · · )

= 1− 1 3!w+ 1

5!w²− · · ·.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 5 / 22

11.2.2 極の場合の留数の計算 ( 続き )

例

Res (tanz

z⁴ ; 0 )

tanz のz= 0の周りのTaylor展開を数項だけでも求めてみる(講義ノート[1]の§7.3命 題7.15 (2021/1/9時点)には、Bernoulli数を用いて一般項を表す公式が載っている。)。

tanz= sinz cosz =

z− 1 3!z³+ 1

5!z⁵− · · · 1−1

2z²+ 1 4!z⁴− · · ·

=z 1− 1

3!z²+ 1 5!z⁴− · · · 1−1

2z²+ 1 4!z⁴− · · ·

.

両辺をz で割り、w=z²とおくと、tanz

z =

1− 1 3!w+ 1

5!w²− · · · 1− 1

2!w+ 1

4!w²− · · · .

これはw の関数として、0の近傍で正則である(分母と分子は収束冪級数で、分母は0 にならない)。ゆえに

∑∞ n=0

anwⁿ と書けるはず。分母を払って (_∞

∑

n=0

anwⁿ ) (

1− 1 2!w+ 1

4!w²− · · · )

= 1− 1 3!w+ 1

5!w²− · · ·.

かつらだまさし

11.2.2 極の場合の留数の計算

例

冪級数の割り算を使う例

時間の埋め草

つづき

左辺を展開して、両辺の係数を比較すると a0= 1, a1−a0

2 =−1 6, a2−a1

2 +a0

24= 1 120,· · ·

上から順に解くことができて

a0= 1, a1= 1

3, a2= 2 15, · · · ゆえに

tanz=z (

1 +z² 3 + 2

15z⁴+· · · )

,

tanz z⁴ = 1

z³ +1 3·1

z + 2

15z+· · ·.

ゆえに

Res (tanz

z⁴ ; 0 )

=1 3.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 6 / 22

11.2.2 極の場合の留数の計算

例

冪級数の割り算を使う例

時間の埋め草

つづき

左辺を展開して、両辺の係数を比較すると a0= 1, a1−a0

2 =−1 6, a2−a1

2 +a0

24= 1 120,· · · 上から順に解くことができて

a0= 1, a1= 1

3, a2= 2 15, · · ·

ゆえに

tanz=z (

1 +z² 3 + 2

15z⁴+· · · )

,

tanz z⁴ = 1

z³ +1 3·1

z + 2

15z+· · ·.

ゆえに

Res (tanz

z⁴ ; 0 )

=1 3.

かつらだまさし

11.2.2 極の場合の留数の計算

例

冪級数の割り算を使う例

時間の埋め草

つづき

左辺を展開して、両辺の係数を比較すると a0= 1, a1−a0

2 =−1 6, a2−a1

2 +a0

24= 1 120,· · · 上から順に解くことができて

a0= 1, a1= 1

3, a2= 2 15, · · · ゆえに

tanz=z (

1 +z² 3 + 2

15z⁴+· · · )

,

tanz z⁴ = 1

z³ +1 3·1

z + 2

15z+· · ·. ゆえに

Res (tanz

z⁴ ; 0 )

=1 3.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 6 / 22

11.2.2 極の場合の留数の計算

例

冪級数の割り算を使う例

時間の埋め草

つづき

左辺を展開して、両辺の係数を比較すると a0= 1, a1−a0

2 =−1 6, a2−a1

2 +a0

24= 1 120,· · · 上から順に解くことができて

a0= 1, a1= 1

3, a2= 2 15, · · · ゆえに

tanz=z (

1 +z² 3 + 2

15z⁴+· · · )

, tanz

z⁴ = 1 z³ +1

3·1 z + 2

15z+· · ·.

ゆえに

Res (tanz

z⁴ ; 0 )

=1 3.

かつらだまさし

11.2.2 極の場合の留数の計算

例

冪級数の割り算を使う例

時間の埋め草

つづき

左辺を展開して、両辺の係数を比較すると a0= 1, a1−a0

2 =−1 6, a2−a1

2 +a0

24= 1 120,· · · 上から順に解くことができて

a0= 1, a1= 1

3, a2= 2 15, · · · ゆえに

tanz=z (

1 +z² 3 + 2

15z⁴+· · · )

, tanz

z⁴ = 1 z³ +1

3·1 z + 2

15z+· · ·. ゆえに

Res (tanz

z⁴ ; 0 )

=1 3.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 6 / 22

11.1 留数定理 11.1.1 定理を述べる

定理

D

は

の有界領域で、

の領域とみなしたとき

の定理が成立するとす る

例えば、区分的に

級の関数のグラフで挟まれた縦線領域

。

進 行方向の左手に

を見る向き) とおく。Ω は

の開集合で、D

を満たす。

{c_j}^Nj=1

は

内の相異なる点で、f

は正則とする。この とき次式が成り立つ。

(1)

Z

C

f(z)dz = 2πi XN

j=1

Res(f;cj).

かつらだまさし

11.1.2 留数定理は万能包丁

この定理をマスターすると、関数論はとても見通しが良くなる。これまで出て 来た線積分の計算のうち、閉曲線に沿うものの値は、大抵これで分かる。

例えば

の積分公式を導くための重要な積分

|a−c|<r ⇒ Z

|z−c|=r

dz z−a =

2πiRes 1

z−a;a

= 2πi.

また、

の積分公式も

は

z−a

の高々

位の極だから

2πi Z

C

f(z) z−a dz =

1

2πi·2πiRes f(z)

z−a;a

= lim

z→a(z−a)f(z) z−a = lim

z→af(z) =f(a).

もちろん、

これらの等式の証明に留数定理を用いるのは、循環論法になってしまい反則

であるが、分かりやすいであろう。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 8 / 22

11.1.2 留数定理は万能包丁

この定理をマスターすると、関数論はとても見通しが良くなる。これまで出て 来た線積分の計算のうち、閉曲線に沿うものの値は、大抵これで分かる。

例えば

の積分公式を導くための重要な積分

|a−c|<r ⇒ Z

|z−c|=r

dz z−a =

2πiRes 1

z−a;a

= 2πi.

また、

の積分公式も

は

z−a

の高々

位の極だから

2πi Z

C

f(z) z−a dz =

1

2πi·2πiRes f(z)

z−a;a

= lim

z→a(z−a)f(z) z−a = lim

z→af(z) =f(a).

もちろん、

これらの等式の証明に留数定理を用いるのは、循環論法になってしまい反則

であるが、分かりやすいであろう。

かつらだまさし

11.1.2 留数定理は万能包丁

この定理をマスターすると、関数論はとても見通しが良くなる。これまで出て 来た線積分の計算のうち、閉曲線に沿うものの値は、大抵これで分かる。

例えば

の積分公式を導くための重要な積分

|a−c|<r ⇒ Z

|z−c|=r

dz

z−a = 2πiRes 1

z−a;a

= 2πi.

また、

の積分公式も

は

z−a

の高々

位の極だから

2πi Z

C

f(z) z−a dz =

1

2πi·2πiRes f(z)

z−a;a

= lim

z→a(z−a)f(z) z−a = lim

z→af(z) =f(a).

もちろん、

これらの等式の証明に留数定理を用いるのは、循環論法になってしまい反則

であるが、分かりやすいであろう。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 8 / 22

11.1.2 留数定理は万能包丁

この定理をマスターすると、関数論はとても見通しが良くなる。これまで出て 来た線積分の計算のうち、閉曲線に沿うものの値は、大抵これで分かる。

例えば

の積分公式を導くための重要な積分

|a−c|<r ⇒ Z

|z−c|=r

dz

z−a = 2πiRes 1

z−a;a

= 2πi.

また、

の積分公式も

は

z−a

の高々

位の極だから

2πi Z

C

f(z) z−a dz =

1

2πi·2πiRes f(z)

z−a;a

= lim

z→a(z−a)f(z) z−a = lim

z→af(z) =f(a).

もちろん、

これらの等式の証明に留数定理を用いるのは、循環論法になってしまい反則

であるが、分かりやすいであろう。

かつらだまさし

11.1.2 留数定理は万能包丁

この定理をマスターすると、関数論はとても見通しが良くなる。これまで出て 来た線積分の計算のうち、閉曲線に沿うものの値は、大抵これで分かる。

例えば

の積分公式を導くための重要な積分

|a−c|<r ⇒ Z

|z−c|=r

dz

z−a = 2πiRes 1

z−a;a

= 2πi.

また、

の積分公式も

は

z−a

の高々

位の極だから

2πi Z

C

f(z) z−a dz =

1

2πi·2πiRes f(z)

z−a;a

= lim

z→a(z−a)f(z) z −a = lim

z→af(z) =f(a).

もちろん、

これらの等式の証明に留数定理を用いるのは、循環論法になってしまい反則

であるが、分かりやすいであろう。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 8 / 22

11.1.2 留数定理は万能包丁

この定理をマスターすると、関数論はとても見通しが良くなる。これまで出て 来た線積分の計算のうち、閉曲線に沿うものの値は、大抵これで分かる。

例えば

の積分公式を導くための重要な積分

|a−c|<r ⇒ Z

|z−c|=r

dz

z−a = 2πiRes 1

z−a;a

= 2πi.

また、

の積分公式も

は

z−a

の高々

位の極だから

2πi Z

C

f(z)

z−a dz = 1

2πi·2πiRes f(z)

z−a;a

=

zlim→a(z−a)f(z) z −a = lim

z→af(z) =f(a).

もちろん、

これらの等式の証明に留数定理を用いるのは、循環論法になってしまい反則

であるが、分かりやすいであろう。

かつらだまさし

11.1.2 留数定理は万能包丁

この定理をマスターすると、関数論はとても見通しが良くなる。これまで出て 来た線積分の計算のうち、閉曲線に沿うものの値は、大抵これで分かる。

例えば

の積分公式を導くための重要な積分

|a−c|<r ⇒ Z

|z−c|=r

dz

z−a = 2πiRes 1

z−a;a

= 2πi.

また、

の積分公式も

は

z−a

の高々

位の極だから

2πi Z

C

f(z)

z−a dz = 1

2πi·2πiRes f(z)

z−a;a

= lim

z→a(z−a)f(z) z −a = lim

z→af(z) =f(a).

もちろん、

これらの等式の証明に留数定理を用いるのは、循環論法になってしまい反則

であるが、分かりやすいであろう。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 8 / 22

11.1.2 留数定理は万能包丁

この定理をマスターすると、関数論はとても見通しが良くなる。これまで出て 来た線積分の計算のうち、閉曲線に沿うものの値は、大抵これで分かる。

例えば

の積分公式を導くための重要な積分

|a−c|<r ⇒ Z

|z−c|=r

dz

z−a = 2πiRes 1

z−a;a

= 2πi.

また、

の積分公式も

は

z−a

の高々

位の極だから

2πi Z

C

f(z)

z−a dz = 1

2πi·2πiRes f(z)

z−a;a

= lim

z→a(z−a)f(z) z −a = lim

z→af(z) =f(a).

もちろん、

これらの等式の証明に留数定理を用いるのは、循環論法になってしまい反則

であるが、分かりやすいであろう。

かつらだまさし

11.1.2 留数定理は万能包丁 ( 続き )

宿題の問

|z+2|=1

dz

z²(z+ 2) (b) Z

|z−i|=2

dz

z(z −2) (c) Z

C

dz z(z−2) (C

は

2,−πi,−πi)

は、いず れも留数の計算に帰着できる

さらに、問

を出された段階

の積分公式を習ったばかり) では計算で きなかった

Z

|z+2|=1

dz

z²(z+ 2)³

なども計算できるようになる。

|z+2|=1

dz z²(z+ 2)³ =

2πiRes

1

z²(z+ 2)³;−2

=

2πi· 1 2! lim

z→−2

(z+ 2)³ 1 z²(z+ 2)³

_′′

=πi (−2)(−3) z⁴

z=−2

=

6πi

(−2)⁴ = 3πi 8 .

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 9 / 22

11.1.2 留数定理は万能包丁 ( 続き )

宿題の問

|z+2|=1

dz

z²(z+ 2) (b) Z

|z−i|=2

dz

z(z −2) (c) Z

C

dz z(z−2) (C

は

2,−πi,−πi)

は、いず れも留数の計算に帰着できる

さらに、問

を出された段階

の積分公式を習ったばかり) では計算で きなかった

Z

|z+2|=1

dz

z²(z+ 2)³

なども計算できるようになる。

Z

|z+2|=1

dz z²(z+ 2)³ =

2πiRes

1

z²(z+ 2)³;−2

=

2πi· 1 2! lim

z→−2

(z+ 2)³ 1 z²(z+ 2)³

_′′

=πi (−2)(−3) z⁴

z=−2

=

6πi

(−2)⁴ = 3πi 8 .

かつらだまさし

11.1.2 留数定理は万能包丁 ( 続き )

宿題の問

|z+2|=1

dz

z²(z+ 2) (b) Z

|z−i|=2

dz

z(z −2) (c) Z

C

dz z(z−2) (C

は

2,−πi,−πi)

は、いず れも留数の計算に帰着できる

さらに、問

を出された段階

の積分公式を習ったばかり) では計算で きなかった

Z

|z+2|=1

dz

z²(z+ 2)³

なども計算できるようになる。

Z

|z+2|=1

dz

z²(z+ 2)³ = 2πiRes

1

z²(z+ 2)³;−2

=

2πi· 1 2! lim

z→−2

(z+ 2)³ 1 z²(z+ 2)³

_′′

=πi (−2)(−3) z⁴

z=−2

=

6πi

(−2)⁴ = 3πi 8 .

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第25回 2020年1月12日 9 / 22