生保数理講義ノート

(1)

生保数理講義ノート

杉浦誠

最終変更日 : 2023 年 3 月 1 日

参考文献

[F]

二見隆

,

生命保険数学上巻・下巻生命保険文化研究所

(

アクチュアリー会

HP

から購入可能

) [K]

黒田耕嗣

,

生命保険数理

(

アクチュアリー数学シリーズ

5)

日本評論社

この講義ノートは

TeX

で

lifeins.sty

を用いて作成しました。

1

現価計算

生保数理では利息の計算において、利息を元金に組み入れる複利計算を用いる。

年利が

i

のとき、元本

A

に対する

1

年後の元利合計は

(1 + i)A

となり、

2

年後は

(1 + i)

²

A, n

年後には

(1 + i)

ⁿ

A

となる。

≈ A (1 + i)A (1 + i)

²

A (1 + i)

ⁿ

A ≈

0 1 2 n

B = (1 + i)

ⁿ

A

とする。このとき

B

を

A

の終価といい、

A

を

B

の現価という。

A (1 + i)

ⁿ

A

=

0 n

B

では、

n

年後に

B

となるための現価

A

はどうなるか。この

ときも

B = (1 + i)

ⁿ

A

となるから、

(1 + i)

ⁿ

A = B

より

A = 1

(1 + i)

ⁿ

B. □

ここで、現価率

v = 1

1 + i

^{を用いると}

A = v

ⁿ

B

と表される。

•

^{転化と名称利率}

利息を元金に組み入れることを転化といい、

1

年間での組入れ回数を転化回数という。では、年利が

j

であるとき、転化回数

k

のとき実利率

i

を

j

と

k

で表そう。

元本

A

に対する

1/k

年後の元利合計は

( 1 + j

k )

A

となり、下の図のようにこれを

k

回繰り返し

≈ 0

( 1 + j

k )

A

( 1 + j

k )

2

A

( 1 + j

k )

k

≈ A A

1/k 2/k 1

1

年後

( 1 + j

k )

k

A

となる。よって、

( 1 + j

k )

k

A = (1 + i)A

より

i = (

1 + j k

)

k

− 1. □

この

j

を転化回数

k

の名称利率といい

i

^(k)と表す

:

1 + i = (

1 + i

^(k)

k

)

k

, i

^(k)

= k {

(1 + i)

^1/k

− 1 }

. (1.1)

(2)

• δ = log(1 + i)

を利力という。

命題

1.1 (i) v = e

⁻^δ

, (ii) δ = lim

k→∞

i

^(k)

.

証明

: (i)

は

e

^δ

= 1 + i

より明らか。

(ii)

は

f (x) = (1 + i)

^x

= e

^δxとおくと、

lim

k→∞

i

^(k)

= lim

k→∞

(1 + i)

^1/k

− 1

1/k lim

k→∞

f (1/k) − f (0)

1/k = f

^′

(0) = δ. □

• d = i

1 + i

を割引率という。また、転化回数

k

のときの割引率

d

^(k)を

1 − d =

(

1 − d

^(k)

k

)

k

あるいは

d

^(k)

= k {

1 − (1 − d)

^1/k

}

(1.2)

で定める。これは

(1.1)

と対にして覚えるとよい。

命題

1.2 (i) d = iv, v + d = 1, (ii) δ = lim

k→∞

d

^(k)

.

証明

: (i)

は定義より明らか。

(ii)

は命題

1.1 (ii)

と同様に示せるので演習問題とする。

□

命題

1.3

次が成り立つ。

d < d

⁽²⁾

< · · · < d

^(k)

< d

^(k+1)

< · · · < δ < · · · < i

^(k+1)

< i

^(k)

< · · · < i

⁽²⁾

< i.

証明

: g(x) = 1 − (1 − d)

^x

x = 1 − e

⁻^δx

x

^{とおくと、}

d

^(k)

= g ( 1

k )

.

また、

g(x)

は単調減少。実際、

g

^′

(x) = δe

⁻^δx

· x − (1 − e

⁻^δx

)

x

²

= − e

⁻^δx

x

²

(e

^δx

− 1 − δx) < 0.

ここで、

e

^u

> 1 + u (u ̸ = 0)

となることを用いた

(

グラフを描けば自明

)

。よって、

1

k + 1 < 1 k

^より

g

( 1 k + 1

)

> g ( 1

k )

,

すなわち

d

^(k+1)

> d

^(k)を得る。特に命題

1.2 (ii)

より

d

^(k)

< δ

がわかる。

i

^(k)についても

f(x) = (1 + i)

^x

− 1

x = e

^δx

− 1

x

を用い同様に証明できるので、演習問題とする。

□

2

確定年金

•

^{期始払いの確定年金}

¨

a

_n で

n

年契約、期始払い、年金年額

1

の確定年金の現価を、

¨

s

n で

n

1

の確定年金の終価を表す。

ここで、期始払いとは各年度の期始に払われるという意味であり、現価とは契約の開始時、すなわち

0

時点での価値を、終価は契約の終了時点、この場合

n

年後の価値を表すことので、これを図示すると以下のようになる。

≈ 0 1 2 n − 2 n − 1 n

1 1 1 1 1

v v

²

.. . v

ⁿ⁻²

v

ⁿ⁻¹

1 + i (1 + i)

²

.. . (1 + i)

ⁿ⁻²

(1 + i)

ⁿ⁻¹

(1 + i)

ⁿ

¨ a

_n

¨

s

n

(3)

上の図から、

¨ a

_n

, s ¨

_n は以下のように表されることがわかる。

¨

a

n

= 1 + v + · · · + v

ⁿ⁻¹

= 1 − v

ⁿ

1 − v = 1 − v

ⁿ

d , (2.1)

¨

s

n

= 1 + i + (1 + i)

²

+ · · · + (1 + i)

ⁿ

= (1 + i) { (1 + i)

ⁿ

− 1 }

1 + i − 1 = (1 + i)

ⁿ

− 1

d . (2.2)

•

^{期末払いの確定年金}

a

_n で

n

年契約、期末払い、年金年額

1

の確定年金の現価を、

s

n で

n

1

の確定年金の終価を表す。

ここで、期末払いとは各年度の期末に払われることに注意して、下図より

a

n

, s

n が次のように表される。

a

n

= v + v

²

+ · · · + v

ⁿ

= v(1 − v

ⁿ

)

1 − v = 1 − v

ⁿ

i , (2.3)

s

n

= 1 + (1 + i) + · · · + (1 + i)

ⁿ⁻¹

= (1 + i)

ⁿ

− 1

1 + i − 1 = (1 + i)

ⁿ

− 1

i . (2.4)

≈ 0 1 2 n − 2 n − 1 n

1

1 1 1 1

v v

²

.. . v

ⁿ⁻²

v

ⁿ⁻¹

v

ⁿ

1 + i (1 + i)

²

.. . (1 + i)

ⁿ⁻²

(1 + i)

ⁿ⁻¹

a

n

s

_n

命題

2.1 (i) a

n

= v¨ a

n

, (ii) s

n

= v¨ s

n

, (iii) ¨ a

n

= v

ⁿ

s ¨

n

, (i) a

n

= v

ⁿ

s

n

.

証明は容易なので演習問題とするが、

1

年受け取るのが遅れると

v

倍されるからと理解できると望ましい。

•

^年

k

回払いの確定年金

¨

a

^(k)_n で

n

1

、年

k

回払いの確定年金の現価を、

¨

s

^(k)_n で

n

1

、年

k

回払いの確定年金の終価を表す。

ここで、「年金年額

1

、年

k

回払い」なので

1

回あたり

1/k

支払われることに注意すると下図のようになる。

≈

0 1 2 n − 1 n

1 k

1

k · · · 1 k

1 k

上の図から、

¨ a

^(k)_n

, s ¨

^(k)_n は以下のように表されることがわかる。

¨ a

^(k)_n

= 1

k

kn

∑

−1 t=0

v

^t/k

, ¨ s

^(k)_n

= 1 k

∑

kn t=1

(1 + i)

^t/k

.

期末払いの場合は

a

^(k)_n で

n

1

、年

k

回払いの確定年金の現価を、

s

^(k)_n で

n

1

、年

k

回払いの確定年金の終価を表す。

図で表すと

(4)

≈

0 1 2 n − 1 n

1 k 1

k 1 k

1 k

1

k · · · 1 k

1 k

上の図から、以下のように表される。

a

^(k)_n

= 1 k

∑

kn t=1

v

^t/k

, s

^(k)_n

= 1 k

kn

∑

−1 t=0

(1 + i)

^t/k

.

命題

2.2

次が成り立つ

(cf . (2.1)–(2.4))

。

(i) ¨ a

^(k)_n

= 1 − v

ⁿ

d

^(k)

, (ii) ¨ s

^(k)_n

= (1 + i)

ⁿ

− 1

d

^(k)

, (iii) a

^(k)_n

= 1 − v

ⁿ

i

^(k)

, (iv) s

^(k)_n

= (1 + i)

ⁿ

− 1 i

^(k)

.

証明

: (i)

定義式より

(1.2)

に注意して、

¨ a

^(k)_n

= 1

k · 1 − (v

^1/k

)

^nk

1 − v

^1/k

= 1 − v

ⁿ

k { 1 − (1 − d)

^1/k

} = 1 − v

ⁿ

d

^(k)

. (ii)

は同様に、

(iii), (iv)

は

(1.1)

に注意して同様に示せる。

□

命題

2.3 (i) ¨ a

^(k)_n

= ¨ a

^(k)₁

¨ a

_n

= ¨ s

^(k)₁

a

_n

, (ii) ¨ s

^(k)_n

= ¨ a

^(k)₁

¨ s

_n

= ¨ s

^(k)₁

s

_n

, (iii) a

^(k)_n

= a

^(k)₁

¨ a

_n

= s

^(k)₁

a

_n

, (iv) s

^(k)_n

= a

^(k)₁

s ¨

_n

= s

^(k)₁

s

_n

.

証明

: (i)

各保険年度ごとに期始にまとめ、それをもとに計算した式が

¨ a

^(k)_n

= ¨ a

^(k)₁

¨ a

n

,

年度ごとに期末にまとめ、それから計算した式が

¨ a

^(k)_n

= ¨ s

^(k)₁

a

nとなる。図で表すと以下のようになる。

≈

0 1 2 n − 1 n

1 k

¨ a

^(k)₁

1 k

¨ a

^(k)₁

1 k

¨ a

^(k)₁

. . .

k¹ 1 k

1 k

¨ a

^(k)₁

¨

a

^(k)_n

= ¨ a

^(k)₁

¨ a

n

≈ ≈

0 1 2 n − 1 n

1 k

¨ s

^(k)₁

1 k

¨ s

^(k)₁

1

k

. . .

¹^k

¨ s

^(k)₁

1 k

¨ s

^(k)₁

¨

a

^(k)_n

= ¨ s

^(k)₁

a

n

≈

(ii)–(iv)

についても同様に解釈できる。各自試みられたい。

□

•

^{連続払いの確定年金}

連続払いの確定年金の現価は

a

n

=

∫

n 0

v

^t

dt = 1 − v

ⁿ

δ

^{で、終価は}

s

n

=

∫

n 0

(1 + i)

^t

dt = (1 + i)

ⁿ

− 1

δ

^で定

義される。次に注意する。

¯

a

_n

= lim

k→∞

¨ a

^(k)_n

= lim

k→∞

a

^(k)_n

, ¯ s

_n

= lim

k→∞

s ¨

^(k)_n

= lim

k→∞

s

^(k)_n

.

これは区分求積法を通して証明できる。

その他、以下のような記号も用いる。

(

二見氏の教科書を確認のこと。

)

m|

¨ a

n

= v

^m

¨ a

n

,

_m_|

a

n

= v

^m

a

n

, (

据え置き確定年金の現価

) (2.5)

(5)

¨

a

_∞

= 1 + v + · · · + v

ⁿ

+ · · · =

∑

∞ t=0

v

^t

= 1

d (

期始払い永久確定年金の現価

) (2.6) a

_∞

= v + v

²

+ · · · + v

ⁿ

+ · · · =

∑

∞ t=1

v

^t

= 1

i (

期末払い永久確定年金の現価

) (2.7) (I¨ a)

_n

= 1 + 2v + · · · + nv

ⁿ⁻¹

= 1 − v

ⁿ

d

²

− nv

ⁿ

d (

期始払い累加確定年金の現価

) (2.8) (Ia)

n

= v + 2v

²

+ · · · + nv

ⁿ

= v(I¨ a)

n

(

期末払い累加確定年金の現価

) (2.9) (I¯ a)

n

=

∫

n 0

( ⌊ t ⌋ + 1)v

^t

dt =

∑

n k=1

k

∫

k k−1

v

^t

dt = d

δ (I¨ a)

n

(

連続払い累加確定年金の現価

) (2.10) ( ⌊ t ⌋

^は

t

の整数部分、すなわち

t

以下の最大の整数を表す。

)

( ¯ I¯ a)

n

=

∫

n 0

tv

^t

dt = 1 δ

²

−

( n δ + 1

δ

²

)

v

ⁿ

(

連続払い累加確定年金の現価

) (2.11)

問題

2.1

上で定義した

(2.6), (2.7), (2.8), (2.10), (2.11)

の最後の等号、例えば

(2.6)

では

∑

∞ t=0

v

^t

= 1 d

^をそれぞれの式について証明せよ。

3

生命確率

生命表時点

0

で

0

歳の人の人数

l

₀

= 100, 00

人で始まった閉集団

(

新規加入のない集団

)

の

x

年後の生存者数を

l

_xで表し、

x = 0, 1, 2, · · · , ω

を表にしたものを生命表という。ここで

ω

は集団の寿命で

l

_ω

= 0

となる。生保数理では

l

_xは

x

の微分可能な

([0, ω)

上では狭義

)

単調減少で、

x ≥ ω

では

l

_x

= 0

となる関数と考える。

d

_x

= l

_x

− l

_x+1で

x

歳で死亡する人の数を表す。ここで、

l

x

= d

x

+ d

x+1

+ · · · + d

ω−1

(3.1)

となることに注意する。これは人はいつか死亡することに対応する

(cf .

命題

3.1 (4))

。

保険加入時は上記とは異なる生命表を用いることもある。それを選択表といい、

x

歳で加入する場合

l

_[x]

→ l

_[x]+1

→ l

_[x]+2

→ l

x+3

→ l

x+4

→ · · ·

と減少していくと考える。詳しくは二見

[F],

上を参照のこと。

•

^生存確率

,

死亡確率

p

_x

= l

x+1

l

_x

x

歳の人が

1

年後生存している確率

q

x

= d

x

l

_x

x

歳の人が１年以内に死亡する確率

t

p

x

= l

x+t

l

_x

x

歳の人が

t

年後まで生存している確率

(

1

p

x

= p

x

)

t

q

x

= l

x

− l

x+t

l

_x

x

歳の人が

t

年以内に死亡する確率

(

1

q

x

= q

x

)

t|

q

x

= d

x+t

l

_x

x

歳の人が

x + t

歳と

x + t + 1

歳の間に死亡する確率

(

₀_|

q

x

= q

x

) p

x

,

t

p

xを生存確率

, q

x

,

t

q

xを死亡確率

,

t|

q

xを据え置き死亡確率という。

命題

3.1

次が成立する。

(1)

t

p

x

+

t

q

x

= 1,

特に、

p

x

+ q

x

= 1. (2)

t₁+t₂

p

x

=

t₁

p

x

·

t₂

p

x+t₁

.

(3)

_t_|

q

x

=

t

p

x

−

t+1

p

x

=

t+1

q

x

−

t

q

x

. (4)

t

q

x

= q

x

+

₁_|

q

x

+

₂_|

q

x

+ · · · +

_t₋₁_|

q

x

, t ∈ N.

この命題の証明は省略する。

(2)

は「

x

歳の人が

t

1

+ t

2年後生存している確率は、

x

歳の人が

t

1年後生存し

x + t

1歳になりさらに

t

2年後生存している確率に等しい」、

(4)

は「

t

年以内に死亡する確率は、第

1

年度か

(6)

ら第

t

年度のいずれかに死亡する確率に等しい」と理解できるとよりよい

(cf . (3.1))

。ここで、第

k

年度は

k − 1

年後からの

1

年間を意味する。

•

^死力を

µ

_x

= − 1 l

x

d l

_x

dx = − d

dx (log l

_x

)

で定義する。

l

_xは狭義単調減少なので

µ

_x

> 0 (0 ≤ x < ω)

となる。

定理

3.2

_t

p

_x

= exp (

−

∫

t 0

µ

_x+s

ds )

.

証明

: −

∫

t 0

µ

_x+s

ds =

∫

t 0

d

ds (log l

_x+s

) ds = [

log l

_x+s

]

t

s=0

= log l

_x+t

l

x

= log

_t

p

_x

. □

例題

3.1

死力が

µ

_x

= 1

ω − x (0 ≤ x < ω)

のとき、_t

p

_xと_t

q

_x を求めよ。また、

40

歳の人が

55

歳と

60

歳の間に死亡する確率₁₅_|₅

q

₄₀

(ω > 60)

を求めよ。

(

_m_|_t

q

_x

=

_m

p

_x

·

t

q

_x+mと定める。_m_|₁

q

_x

=

_m_|

q

_xである。

)

解

: −

∫

t 0

µ

x+s

ds = −

∫

t 0

1

ω − (x + s) ds = [

log { ω − (x + s) } ]

t

0

= log ω − (x + t) ω − x .

よって、_t

p

_x

= exp

{

−

∫

t 0

µ

_x+s

ds }

= ω − (x + t)

ω − x ,

_t

q

_x

= 1 −

t

p

_x

= 1 − ω − (x + t) ω − x = t

ω − x .

これより、₁₅_|₅

q

40

=

15

p

40

·

5

q

55

= ω − 55

ω − 40 · 5

ω − 55 = 5

ω − 40 . □

定理

3.3 (1) d

dt

^t

p

x

= −

t

p

x

µ

x+t

, (2) d

dx

^t

p

x

=

t

p

x

(µ

x

− µ

x+t

).

証明

: (1) d

dt

^t

p

x

= l

_x+t^′

l

x

= l

_x+t

l

x

· l

^′_x+t

l

x+t

= −

t

p

x

µ

x+t

. (2) d

dx

^t

p

x

= d dx

( l

x+t

l

x

)

= l

^′_x+t

l

x

− l

x+t

l

^′_x

l

x2

= l

x+t

l

x

· l

^′_x+t

l

x+t

− l

x+t

l

x

l

_x^′

l

x

=

t

p

x

( − µ

x+t

+ µ

x

). □

系

3.4 Λ

xで

x

歳の人の余命を表す確率変数とすると、

P (Λ

x

> t) =

t

p

xとなる。これと、定理

3.3 (1)

より

Λ

_xの確率密度関数が

f

_Λ_x

(t) =

_t

p

_x

µ

_x+t

(0 ≤ t < ω − x), f

_Λ_x

(t) = 0 (t ≥ ω − x)

となる。

問題

3.1

次を示せ。

(1)

t

q

x

=

∫

t 0

u

p

x

µ

x+u

du, (2)

_t_|

q

x

=

∫

t+1 t

u

p

x

µ

x+u

du.

例えば、_t

q

_x

=

∫

t 0

u

p

_x

µ

_x+u

du

は

x

歳の人が

0 < u ≤ t

なる

u

年生存し

x + u

歳で

(

死力がかかり

)

死亡したと覚えることもできる。

• x

歳の平均余命を

˚ e

x

=

∫

ω−x 0

t

p

x

µ

x+t

dt =

∫

ω−x 0

t

p

x

dt

で定義する。ここで、一般に非負値確率変数

X

に対し

E[X ] = E[

∫

_∞

0

1

_[0,X]

(t) dt] =

∫

_∞

0

E[1

_(t,_∞₎

(X )] dt =

∫

_∞

0

P (X > t) dt

および

t ≥ ω − x

に対して_t

p

_x

= 0

に注意する。

• x

歳の略算平均余命を

e

x

=

ω

∑

−x t=1

t

_t_|

q

x

=

ω

∑

−x t=1

t

p

xで定義する。ここで、

K

x

= ⌊ Λ

x

⌋

^{とすると、}

E[K

x

] =

∑

∞ t=1

tP (K

x

= t) =

∑

∞ t=1

P (K

x

≥ t)

および

P (K

_x

= t) =

_t_|

q

_xに注意する。この証明は演習問題とする。

その他、以下のような記号も用いる。

n

˚ e

x

=

∫

n 0

t

p

x

dt,

n

e

x

=

∑

n t=1

t

p

x

,

m|

˚ e

x

=

m

p

x

˚ e

x+m

,

m|

e

x

=

m

p

x

e

x+m

.

(7)

問題

3.2 Λ

_x

, K

_xを上記のそれとするとき、_n

˚ e

_x

= E[min { Λ

_x

, n } ],

_n

e

_x

= E[min { K

_x

, n } ]

を示せ。

例

3.2 (

余命の確率分布のモデル

)

(1)

ド・モアブルの法則

(1725

年

) µ

x

= 1

ω − x , 0 ≤ x < ω. (cf .

例題

3.1.) (2)

ゴムパーツの法則

(1825

年

) µ

_x

= Bc

^x

, (B > 0, c > 0

は定数

).

このとき_t

p

_x

= g

^c^x^(c^t⁻¹⁾

,

ただし、

q = e

⁻^B/log^c

.

(3)

メーカムの法則

(1860

年

) µ

x

= A + Bc

^x

, (A > 0, B > 0, c > 0

は定数

).

このとき_t

p

x

= e

⁻^At

g

^c^x^(c^t⁻¹⁾

,

ただし、

g = e

⁻^B/log^c

.

問題

3.3

上で定義したゴムパーツの法則

,

メーカムの法則について_t

p

xが上記の式となることを証明せよ。

4

一時払い純保険料

生命保険契約の価格の計算は、前章で導入した生命表の示す予定死亡率と、利息の計算に用いる予定利率を用いて行う。これに、保険制度の運用に必要な経費をあらかじめ考えておいて、これを保険料に組み入れる。これを予定事業費率とよぶ。これらを総称して計算基礎という。

3

つの計算基礎のうち予定事業費率を除いた、予定死亡率と予定利率から計算した保険料を純保険料といい、

それに予定事業費率を加味して計算した保険料を営業保険料という。

○

1 定期保険

A

_x:n¹ で

x

歳加入、

n

年契約、死亡保険金

1

、死亡時期末払いの定期保険の純保険料を、

A

_x:n¹ で

x

歳加入、

n

1

、死亡時即時払いの定期保険の純保険料を表す。

• A

x:n¹ について

≈ ≈

0 1 2 t − 1 t n

死亡

× v

^t

1

x

歳の人が第

t

保険年度に死亡する、すなわち、

t − 1

年から

t

年までの間で死亡する確率は_t₋₁_|

q

xであるから、純保険料は

A

x:n¹

=

∑

n t=1

v

^t_t₋₁_|

q

x

(4.1)

となる。略算平均寿命で用いた確率変数

K

x

: P (K

x

= t) =

_t_|

q

x

, t = 0, 1, . . .,

を用いると、保険会社の払う保険金の現価

X

が

X = {

v

^K^x⁺¹

, K

x

= 0, 1, · · · , n − 1,

0, K

_x

≥ n

^{となることを用いて、}

A

x:n¹

= E[X] =

∑

n t=1

v

^t_t₋₁_|

q

x

とも表せることに注意する。

• A

_x:n¹ について

0 Λ

_x

n

死亡

× v

^Λ^x

1

x

歳の人の余命

Λ

_xを用いると、保険会社の払う保険金の現価

Y

は

Y =

 



v

^Λ^x

, 0 < Λ

x

≤ n, 0, Λ

x

> n,

と表されるので

A

_x:n¹

= E[Y ] = E[v

^Λ^x

, 0 < Λ

_x

≤ n] =

∫

n 0

v

^t_t

p

_x

µ

_x+t

dt (4.2)

となる。ここで、

Λ

_xの確率密度関数は

f

_Λ_x

(t) =

_t

p

_x

µ

_x+t

, t ≥ 0,

であった。

(8)

A

_x:n¹^(k)で各保険年度を

k

個の小期間に分割し、契約者の死亡に際しそれが起こった小期間の期末に死亡保険金

1

を支払う

n

年契約の定期保険を表す

:

A

x:n¹ (k)

=

∑

nk t=1

v

^t/k

P ( t − 1

k < Λ

x

≤ t k

)

=

∑

nk t=1

v

^t/k

(

t−1

k

p

x

−

_k^t

p

x

). (4.3)

○

2 生存保険

A

x:n¹ で

x

歳加入、

n

年契約、生存保険金

1

の生存保険の純保険料を表す。これは

n

年後の生存を条件に

1

支払う保険で以下のように表される。

A

x:n¹

= v

ⁿn

p

x

. (4.4)

ここで、定期保険

A

_x:n¹ の

x

の上の

1

は

n

年経過より前に

x

歳の人の死亡が起こることを、生存保険

A

_x:n¹の

n

の上の

1

は

x

歳の人が死亡するより前に

n

年経過することを表すと理解するとよい。

○

3 養老保険

A

x:n

= A

x:n¹

+ A

x:n¹

で

x

歳加入、

n

1

死亡時期末払い、生存保険金

1

の養老保険の純保険料を、

A

x:n

= A

x:n¹

+ A

x:n¹

で

x

歳加入、

n

1

死亡時即時払い、生存保険金

1

の養老保険の純保険料を表す。

○

4 終身保険

A

_x で

x

歳加入、終身契約、死亡保険金

1

死亡時期末払の終身保険の純保険料を、

A

_x で

x

歳加入、終身契約、死亡保険金

1

死亡時即時払の終身保険の純保険料を表す。

A

_x

=

ω

∑

−x t=1

v

^t_t₋₁_|

q

_x

, A

_x

=

∫

ω−x 0

v

^t_t

p

_x

µ

_x+t

dt. (4.5)

○

5 据え置き保険

f|

A

x:n¹ で

x

歳加入、

f

年据え置き、

n

年終身契約、

0 f f + n

据え置き期間

この

n

年間の死亡にのみ保険金が支払われる死亡保険金

1

期末払の据え置き定期保険の純保険料

を表す。

このとき、保険金は

f

年後から

n

年間の死亡の際に支払われるので、

f|

A

x:n¹

=

f+n

∑

t=f+1

v

^tt−1|

q

x

= v

^ff

p

x

∑

n s=1

v

^ss−1|

q

x+f

= v

^ff

p

x

A

x+f:n¹

(4.6)

2

つ目の等号は

t = f + s

とし、_f+s₋₁_|

q

_x

= d

_x+f+s₋₁

l

x

= l

_x+f

l

x

· d

_x+f+s₋₁

l

x+f

=

_f

p

_x

·

s−1|

q

_x+f となることを用いた。全く同様に、即時払いの定期保険や養老保険、終身保険の場合も据え置き保険が考えられる。

f|

A

x:n¹

= v

^ff

p

x

A

x+f:n¹

,

_f_|

A

x:n

= v

^ff

p

x

A

x+f:n

,

_f_|

A

x:n

= v

^ff

p

x

A

x+f:n

,

f|

A

x

= v

^ff

p

x

A

x+f

,

_f_|

A

x

= v

^ff

p

x

A

x+f

.

生存保険の一時払い純保険料

A

x:n¹

= v

ⁿn

p

xを用いて、据え置き保険は_f_|

A

x:n¹

= A

x:f

1

A

x+f:n¹ などとも表される。

(9)

5

生命年金の現価

¨

a

x:n で

x

歳加入、

n

年契約、年金年額

1

期始払いの生命年金の現価を、

a

x:n で

x

歳加入、

n

1

期末払いの生命年金の現価を表す。

• a ¨

_x:n について

≈ 0 1 2 n − 2 n − 1 n

1 1 1 1 1

生存を条件に各保険年度期始に

1

支払うのでその現価は次のように表わされる。

¨

a

_x:n

= 1 + vp

_x

+ v

²₂

p

_x

+ · · · + v

ⁿ⁻¹_n₋₁

p

_x

=

n−1

∑

t=0

v

^t_t

p

_x

. (5.1)

命題

5.1

¨ a

x:n

=

∑

n t=1

¨

a

_{t t}₋₁_|

q

x

+ ¨ a

n n

p

x

. (5.2)

これは、生命年金は第

t

保険年度に死亡した場合に保険会社が支払う年金現価は

¨ a

_t

, n

年後生存した場合は

¨

a

n となるためと説明できるが、数式で証明しておこう。

証明

: ¨ a

_t

=

t

∑

−1 l=0

v

^l

=

∑

t k=1

v

^k⁻¹

(k = l + 1

とした

)

に注意して、

∑

n t=1

¨

a

_{t t}₋₁_|

q

_x

+ ¨ a

_{n n}

p

_x

=

∑

n t=1

∑

t k=1

v

^k⁻¹_t₋₁_|

q

_x

+

∑

n k=1

v

^k⁻¹_n

p

_x

=

∑

n k=1

∑

n t=k

v

^k⁻¹_t₋₁_|

q

_x

+

∑

n k=1

v

^k⁻¹_n

p

_x

=

∑

n k=1

v

^k⁻¹

(

_n

∑

t=k

t−1|

q

x

+

n

p

x

)

=

∑

n k=1

v

^k⁻¹k−1

p

x

=

n

∑

−1 l=0

v

^ll

p

x

= ¨ a

x:n

.

ここで、第

k

年度から

n

年度のいずれかに死亡する確率と

n

年後も生存している確率の和が、

k

年後も生存している確率に等しいこと、数式で表すと、

∑

n t=k

t−1|

q

_x

+

_n

p

_x

= (

_k₋₁

p

_x

−

k

p

_x

) + (

_k

p

_x

−

k+1

p

_x

) + · · · + (

_n₋₁

p

_x

−

n

p

_x

) +

_n

p

_x

=

_k₋₁

p

_x を用いた。

□

• a

_x:n について

≈ 0 1 2 n − 2 n − 1 n

1

1 1 1 1

生存を条件に各保険年度期末に

1

支払うのでその現価は次のように表わされる。

a

_x:n

= vp

_x

+ v

²₂

p

_x

+ · · · + v

ⁿ⁻¹_n₋₁

p

_x

+ v

ⁿ_n

p

_x

=

∑

n t=1

v

^t_t

p

_x

. (5.3)

命題

5.1

と同様に、生命年金は第

t

保険年度に死亡した場合に保険会社が支払う年金現価は

a

_t₋₁

, n

年後生存した場合は

a

nとなることから次を得る。

a

_x:n

=

∑

n t=2

a

_t₋₁_t₋₁_|

q

_x

+ a

_{n n}

p

_x

. (5.4)

ここで、第１年度に死亡した人は年金が受け取れないことに注意する。証明は

(5.2)

と同様である。

•

^年

k

回払いの場合は、年金年額

1

より１回あたり

1/k

に注意して、以下のように定義する。

¨ a

^(k)_x:n

= 1

k

nk

∑

−1 t=0

v

^t^{k t}

k

p

xで

x

歳加入、

n

1

、年

k

回期始払いの生命年金の現価を、

(10)

a

^(k)_x:n

= 1 k

∑

nk t=1

v

^{k t}^t

k

p

xで

x

歳加入、

n

1

、年

k

回期末払いの生命年金の現価を表す。

ここで、

k → ∞

とすれば連続払いの生命年金現価を得る。

a

x:n

=

∫

n 0

v

^tt

p

x

dt.

(5.2), (5.4)

と同様に次が成立する。

a

_x:n

=

∫

n 0

a

_{t t}

p

_x

µ

_x+t

dt + a

_{n n}

p

_x

(5.5)

証明は

(5.2)

と同様に重積分の積分順序の交換を用いてもできるが、次のように部分積分を用いてもできる。

∫

n 0

v

^tt

p

x

dt =

∫

n 0

d dt

(∫

t 0

v

^s

ds )

t

p

x

dt = [

a

_{t t}

p

x

]

n 0

−

∫

n 0

a

_t

( −

t

p

x

µ

x+t

) dt

= a

n n

p

x

+

∫

n 0

a

_{t t}

p

x

µ

x+t

dt. □

•

^{終身生命年金}

¨ a

_x

=

ω

∑

−x t=0

v

^t_t

p

_x で

x

歳加入、終身契約、年金年額

1

、期始払いの生命年金の現価を、

a

x

=

ω

∑

−x t=1

v

^tt

p

x で

x

歳加入、終身契約、年金年額

1

、期末払いの生命年金の現価を表す。

連続払いの場合は

a

x

=

∫

ω−x 0

v

^tt

p

x

dt

と表す。

•

^{据え置き生命年金}

0 f f + n

据え置き期間

この期間のみ生存を条件に年金が支払われる

f|

¨ a

x:n で

f

年据え置き期始払いの生命年金を表す。

このとき、生命年金は

f

年後から

n

年間支払われるので、

f|

¨ a

_x:n

=

f+n

∑

−1 t=f

v

^t_t

p

_x

=

n

∑

−1 s=0

v

^s+f_s+f

p

_x

= v

^f_f

p

_x

n

∑

−1 s=0

v

^s_s

p

_x+f

= v

^f_f

p

_x

¨ a

_x+f:n

= A

_x:f¹

a ¨

_x+f:n

. (5.6)

ここで

s = t − f

とし命題

3.1 (2)

を用いた。また、

A

x:f

1は生存保険の一時払い純保険料であった。全く同様に、期末払いや連続払いの生命年金についても据え置き生命年金が考えられる。

f|

a

x:n

= v

^ff

p

x

a

x+f:n

,

_f_|

a

x:n

= v

^ff

p

x

a

x+f:n

,

f|

a ¨

x

= v

^ff

p

x

¨ a

x+f

,

f|

a

x

= v

^ff

p

x

a

x+f

,

f|

a

x

= v

^ff

p

x

a

x+f

.

命題

5.2

(1) ¨ a

_x:n

= 1 + a

_x:n₋₁

, ¨ a

_x:n

= 1 + vp

_x

¨ a

_x+1:n₋₁

. (2) ¨ a

_x:m+n

= ¨ a

_x:m

+ v

^m_m

p

_x

¨ a

_x+m:n

= ¨ a

_x:m

+

_m_|

¨ a

_x:n

. (3) A

x:n¹

= vq

x

+ vp

x

A

x+1:n¹ −1

.

(4) A

x:m+n¹

= A

x:m¹

+ v

^mm

p

x

A

x+m:n¹

= A

x:m¹

+

_m_|

A

x:n¹

. (5) A

_x:m+n

= A

x:m¹

+ v

^mm

p

x

A

x+m:n

= A

x:m¹

+

_m_|

A

x:n

.

証明

: (1)

最初の式は明らか。第

2

式は

(2)

が示されれば

a ¨

_x:1

= 1

により従う。

(3)

も同様に

(4)

で

A

x:1¹

= vq

x

に注意すればよい。

(5)

は

(4)

の両辺に

A

x:m+n¹ を加えればよい。

(11)

(2)

については右図のように、

m

年と

n

年に分ける。前者の現価は

¨ a

x:mであり、後者について

m

年経過時点で

¨ a

x+m:n でこの現価は

v

^m_m

p

_x

¨ a

_x+m:nとなる。

よって、その和と

¨ a

_x:m+n は一致する。

0 m m + n

¨

a

x:m

¨ a

x+m:n

v

^mm

p

x

¨ a

x+m:n

(4)

も

(2)

と同様に

m

年と

n

年に分ければできる。数式による証明は演習問題とする。

□ 6

年払い純保険料

保険料を何年かにわたって年払いする場合を考える。毎回の保険料の額を同じくするとき平準年払いという。

x

歳加入の一時払い純保険料が

A

となる保険の保険料を

m

年にわたって払い込むときの年払い保険料

P

を求める。そのために、予定利率と予定死亡率が予定どおりとしたとき、保険会社の収入現価と支出現価が一致するという、収支相等の原則を用いる。

≈ 0 1 2 m − 1 m

収入支出

P l

x

Al

_x

P l

x+1

0

P l

x+2

0

P l

x+m−1

0

0 0

よって、

(

支出現価

) = Al

xで

(

収入現価

) = P l

x

+ vP l

x+1

+ v

²

P l

x+2

+ · · · + v

^m⁻¹

P l

x+m−1

= P l

_x

(1 + vp

_x

+ v

²₂

p

_x

+ · · · + v

^m⁻¹_m₋₁

p

_x

)

= P l

x

¨ a

x:m

.

よって、

(

収入現価

) = (

支出現価

)

より

P = A

¨ a

_x:m

.

これより、

x

歳加入、

n

1

死亡時期末払いの定期保険の

m

年平準年払純保険料_m

P

x:n¹ は

m

P

x:n¹

= A

x:n¹

¨

a

_x:m

,

特に全期払い込み

(m = n)

のとき、

P

x:n¹

= A

x:n¹

¨ a

_x:n と表す。ただし

m ≤ n

である。同様に以下の記号を用いる。

m

P

x:n

= A

x:n

¨ a

x:m

,

m

P

x:n¹

= A

x:n¹

¨ a

x:m

,

m

P

x:n¹

= A

x:n¹

¨ a

x:m

,

m

P

x:n

= A

x:n

¨ a

x:m

,

m

P

x

= A

x

¨ a

x:m

,

m

P

x

= A

x

¨ a

x:m

, P

_x:n

= A

x:n

¨

a

_x:n

, P

_x:n¹

= A

x:n¹

¨

a

_x:n

, P

_x:n¹

= A

x:n¹

¨

a

_x:n

, P

_x:n

= A

x:n

¨

a

_x:n

, P

_x

= A

x

¨

a

_x

, P

_x

= A

x

¨ a

_x

.

年を

k

回に分ける場合や連続払いの場合は同様の記号も用いる。

P

_x:n¹^(k)

= A

_x:n¹^(k)

¨ a

^(k)_x:n

, P

_x:n^(k)

= A

^(k)_x:n

¨ a

^(k)_x:n

, P

_x:n¹^(k)

= A

_x:n¹

¨ a

^(k)_x:n

, P

^(k)_x:n

= A

_x:n

¨ a

^(k)_x:n

, P

_x:n¹⁽^∞⁾

= A

_x:n¹

a

x:n

, P

⁽_x:n^∞⁾

= A

_x:n

a

x:n

.

ここで

lim

k→∞

P

x:n¹ (k)

= lim

k→∞

P

x:n¹

(k)

= P

x:n¹ (∞)

, lim

k→∞

P

_x:n^(k)

= lim

k→∞

P

^(k)_x:n

= P

⁽_x:n^∞⁾となっていることに注意する。

定理

6.1 (1) A

_x:n

= 1 − d a ¨

_x:n

, P

_x:n

= 1

¨

a

_x:n

− d.

(2) A

^(k)_x:n

= 1 − d

^(k)

¨ a

^(k)_x:n

, P

_x:n^(k)

= 1

¨

a

^(k)_x:n

− d

^(k)

. (3) A

x:n

= 1 − δ a

x:n

, P

⁽_x:n^∞⁾

= 1 a

x:n

− δ.

証明

: (1) ¨ a

_t

= 1 − v

^t

d

^より

v

^t

= 1 − d¨ a

_t

.

よって、

A

x:n

=

∑

n t=1

v

^tt−1|

q

x

+ v

ⁿn

p

x

=

∑

n t=1

(1 − d¨ a

_t

)

t−1|

q

x

+ (1 − d¨ a

n

)

n

p

x

(12)

=

∑

n t=1

t−1|

q

_x

+

_n

p

_x

− d {

_n

∑

t=1

¨

a

_{t t}₋₁_|

q

_x

+ ¨ a

_{n n}

p

_x

}

= 1 − d¨ a

x:n

.

ここで、

(5.2)

を用いた。後者は前者の式の両辺を

¨ a

x:nで割ればよい。

(2)

は命題

2.2 (1)

を用いて、

(3)

は

a

_t

= 1 − v

^t

δ

を用いて同様に証明できる。

(3)

は部分積分を用いて

A

x:n

=

∫

n 0

e

⁻^δt

d

dt ( −

t

p

x

) dt + v

ⁿn

p

x

= [

e

⁻^δt

( −

t

p

x

) ]

n

0

−

∫

n 0

( − δ)e

⁻^δt

( −

t

p

x

) dt + v

ⁿn

p

x

= − e

⁻^δn_n

p

_x

+ 1 − δa

_x:n

+ v

ⁿ_n

p

_x

= 1 − δ a

_x:n とも証明できる。

□

定理

6.1

と同様に終身保険や終身年金ついても以下が成立する。

A

x

= 1 − d a ¨

x

, P

x

= 1

¨

a

_x

− d, A

x

= 1 − δ a

x

, P

⁽_x^∞⁾

= 1 a

_x

− δ.

問題

6.1 (1) A

_xを

P

_xと

d

を用いて表せ。

(2) A = A

_x+1:n₋₁

, a = a

_x:n₋₁

, p = p

_xとするとき、

i

を

A, a, p

(3) P = P

x:n

, a = a

_x+1:n₋₁のとき、

q

xを

P, a, v

7

計算基数

様々な保険料や生命年金を計算するために必要となる計算基数を導入する。その数値表は例えば、

[F],

上

, pp.226 –

にある。

D

_x

= v

^x

l

_x

, N

_x

= D

_x

+ D

_x+1

+ · · · + D

_ω₋₁

, S

_x

= N

_x

+ N

_x+1

+ · · · + N

_ω₋₁

, C

_x

= v

^x+1

d

_x

, M

_x

= C

_x

+ C

_x+1

+ · · · + C

_ω₋₁

, R

_x

= M

_x

+ M

_x+1

+ · · · + M

_ω₋₁

, C

x

= v

^x+¹²

d

x

, M

x

= C

x

+ C

x+1

+ · · · + C

ω−1

, R

x

= M

x

+ M

x+1

+ · · · + M

ω−1

.

ここで、

x ≥ ω

なら

D

x

= 0, C

x

= 0, C

x

= 0, · · · ,

に注意する。

以下、計算基数を用いて様々な保険料や生命年金を表そう。

(1) A

x:n¹

= vq

x

+ v

²₁_|

q

x

+ · · · + v

ⁿ_n₋₁_|

q

x

= v d

x

l

x

+ v

²

d

x+1

l

x

+ · · · + v

ⁿ

d

x+n−1

l

x

= vd

x

+ v

²

d

x+1

+ · · · + v

ⁿ

d

x+n−1

l

_x

(

分母・分子に

v

^xを掛けて

)

= v

^x+1

d

_x

+ v

^x+2

d

_x+1

+ · · · + v

^x+n

d

_x+n₋₁

v

^x

l

x

= C

x

+ C

x+1

+ · · · + C

x+n−1

D

x

= (C

x

+ · · · + C

ω−1

) − (C

x+n

+ · · · + C

ω−1

) D

x

= M

x

− M

x+n

D

_x

. A

x:n¹

= v

ⁿn

p

x

= v

ⁿ

l

x+n

l

_x

= v

^x+n

l

x+n

v

^x

l

_x

= D

x+n

D

_x

. A

x:n

= A

x:n¹

+ A

x:n¹

= M

x

− M

x+n

+ D

x+n

D

x

. (2) ¨ a

x:n

= 1 + vp

x

+ · · · + v

ⁿ⁻¹n−1

p

x

= 1 + v l

x+1

l

x

+ · · · + v

ⁿ⁻¹

l

x+n−1

l

x

= l

x

+ vl

x+1

+ · · · + v

ⁿ⁻¹

l

x+n−1

l

_x

= v

^x

l

x

+ v

^x+1

l

x+1

+ · · · + v

^x+n⁻¹

l

x+n−1

v

^x

l

_x

= D

_x

+ D

_x+1

+ · · · + D

_x+n₋₁

D

x

= (D

_x

+ · · · + D

_ω₋₁

) − (D

_x+n

+ · · · + D

_ω₋₁

)

D

x

(13)

= N

_x

− N

_x+n

D

x

.

同様に

a

_x:n

= N

_x+1

− N

_x+n+1

D

x

.

(3) (1), (2)

より以下を得る。証明のない式の証明は演習問題とする。

f|

A

x:n¹

= A

x:f

1

A

x+f:n¹

= D

x+f

D

_x

M

x+f

− M

x+f+n

D

_x+f

= M

x+f

− M

x+f+n

D

_x

,

_f_|

¨ a

x:n

= N

x+f

− N

x+f+n

D

_x

,

m

P

x:n¹

= A

x:n¹

¨

a

_x:m

= M

x

− M

x+n

N

_x

− N

_x+m

,

m

P

x:n¹

= A

x:n¹

¨

a

_x:m

= D

x+n

N

_x

− N

_x+m

,

m

P

x:n

= M

x

− M

x+n

+ D

x+n

N

_x

− N

_x+m

, A

x

= M

x

D

_x

, ¨ a

x

= N

x

D

_x

, P

x

= A

x

¨

a

_x

= M

x

N

_x

, · · · . (4) A

x:n¹ については以下のように近似を用いる。

A

x:n¹

=

∫

n 0

v

^tt

p

x

µ

x+t

dt =

∑

n k=1

∫

k k−1

v

_:^tt

p

x

µ

x+t

dt

= v

^k⁻¹² と近似する

=

∑

n k=1

v

^k⁻¹²

∫

k k−1

t

p

_x

µ

_x+t

dt

:::::::::::::

=

k−1|

q

x

=

∑

n k=1

v

^k⁻¹²

d

x+k−1

l

_x

= v

¹²

d

x

+ v

¹⁺¹²

d

x+1

+ · · · + v

ⁿ⁻¹⁺¹²

d

x+n−1

l

_x

= C

x

+ C

x+1

+ · · · + C

x+n−1

D

_x

= M

x

− M

x+n

D

_x

.

また、

A

_x:n

= M

_x

− M

_x+n

+ D

_x+n

D

x

となる。

命題

7.1 (1) vD

x

− D

x+1

= C

x

,

特に、

vN

x

− N

x+1

= M

x

. (2) M

x

= D

x

− d N

x

,

特に、

R

x

= N

x

− d S

x

.

証明

: (1) l

x

− l

x+1

= d

xの両辺に

v

^x+1を掛ければよい。後者は

x

を

x, x + 1, . . .

とした前者の式を考え、加えれば得られる。

(2) (1)

の後者で

N

x

− D

x

= N

x+1に注意すると

M

x

= vN

x

− (N

x

− D

x

) = D

x

− (1 − v)N

x

= D

x

− d N

x

.

後者は

(1)

の後者と同様に

x, x + 1, . . .

とした前者の式を考え、両辺を加えれば得られる。

□

命題

7.1

を用いると定理

6.1 (1)

を容易に示すことができる。実際、

A

x:n

= M

_x

− M

_x+n

+ D

_x+n

D

x

= D

_x

− d N

_x

− (D

_x+n

− d N

_x+n

) + D

_x+n

D

x

(7.1)

= D

_x

D

x

− d N

_x

− N

_x+n

D

x

= 1 − d¨ a

_x:n

. □

8

保険金変動保険、変動年金

累加定期保険

≈ ≈

0 1 2 k − 1 k n

死亡

× kv

^k

k

(IA)

x:n¹ で

x

歳加入、

n

年契約、第

k

年度の死亡保険金

k

死�

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