一
| Ｉ
お
数 学 問 題
注意事項
l.この問題冊子は18ページあります。解答用紙には，「数学①｣と｢数学②」
の２枚あり，「数学②｣には表と裏があります。
２．あなたの受験番号は，２枚の解答用紙に印刷されています。印刷されてい る受験番号と，受験票の番号が一致していることを確認しなさい。
３．監督者の指示にしたがい，２枚の解答用紙の所定の欄に氏名を記入しなさい。
４.問題[I),[n)(1),[n)(2)の解答は，解答用紙｢数学①｣の所定の欄にマー クしなさい。
５．問題〔Ⅱ〕(3)，〔Ⅲ〕の解答は，解答用紙｢数学①｣の所定の欄に記入しなさ
い。
６．問題[W],[V]は，解答用紙｢数学②｣の所定の欄に解答しなさい。
７．１問につき２つ以上マークしないこと。２つ以上マークした場合には，
その解答は無効になります。
８．解答は，必ず鉛筆またはシャープペンシル(いずれもHB･黒)で記入しな さい。
９．訂正する場合は，消しゴムできれいに消し，消しくずを残さないこと。
10.解答用紙は，絶対に汚したり折り曲げたりしないこと。また，所定の欄以 外には絶対に記入しないこと。
ll.解答用紙は持ち帰らず，必ず提出しなさい。
12.この問題冊子は必ず持ち帰りなさい。
13.試験時間は120分です。
14．マークシート記入例
← 、
良い例 悪 い 例
●
◎⑭、[I]次の空欄国から[二三コ，に五ｺから[刀にあてはまる
０から９までの数字を，解答用紙の所定の欄にマークせよ。ただし，
｢̅ﾃﾏｰ]，「弓司は2桁の数匡豆]は3桁の数である｡また,空欄 同̅]にあてはまるものを解答群の中から選び.その記号を解答用紙の所定
の欄にマークせよ。
( 1 ) " = 1 9 の と き
回 国
１＋
１
I̅Zす+1+5+3
１ １ 十・・・・・・十 １ ＝一二＝＝＝三日＝＝＝＝＝＝二一l + 2 + … … ＋ 〃
公
である。なお,分数は既約分数にすること。
- 1 -
' １
(このページは，計算や下書きに利用してもよい｡）
ʼ
● 守
b ､
一
〃
２
→q一■ローーｂ ■①一 …一-圭一寺ｑ■e
<'
〉
(2)関数y=xex(x １)の逆関数をy=W(x)とするとき，座標平面上の
直線,＝“と曲線y=W(")で囲まれる図形の面積は同司である｡た
だし,gは自然対数の底である。
オの解答群
⑥ １ ① ２ ② 『１２
③ 且
ｅ,-=4
⑦，千斗
⑤」+士
④』-士
⑥ ２2 22③ , - 42e
⑨ , + 4
q 22il
３
' １
(このページは,･計算や下害きに利用してもよい｡）
｝
Ｉ
１
８
凸
̅
〃
４
一胃・一一一一やロローマー､一凸､■一 一今ロＰ毛二心寺一七｡■令■一一Ｇ４
寅.
》
(3)("+y)(y+z)(z+x)=0,"+y+z=２０,xyzキ０,|xl ２０,
厩享司個ある。
lyl 20,lzl 20を満たす整数恥,y,zの組は全部で
つり
Ｌ
５
一■巳①一一
(このページは，計算や下書きに利用してもよい｡）
３
Ｐ
６
、
ー
〔Ⅱ〕空欄「喜一]から「ﾜｰ]にあてはまる0から9までの数字を,解答用紙
の所定の欄にﾏｰｸせよ｡また空欄[̅扇司に当てはまる数を解答用紙の所定
の欄に記入せよ。
ｌ辺の長さがｌの正十二面体Ｋがある。Ｋ上の４個の頂点A,B,C,Dを図
、
のように取る。辺BCの中点をM,線分AMの長さを とする。
( 1 ) ３ 点 A , M , D を 通 る 平 面 で Ｋ を 切 っ た と き ， 切 り 口 の 周 の 長 さ は
「守一]'＋「ｦ可である。
(2)AB=E三三コ+ʻ国である。「ﾜ司 (3)＝「認可である。
７
(このページば，計算や下書きに利用してもよい｡）
、
̅
タ
８
ー 一 一
一十一一一一一F■ｰも＝一一一■一一
ʼ１
口
｜Ｉ〔Ⅲ〕次の空欄「諏一]から「肝司
に当てはまるもの（数または式）を解答用 紙の所定の欄に記入せよ。(1)複素数αが
I(MI=1,(M3+q2+q+1=̲
《■
■■
■■
■■
■■
■■
■■
■■
■ワ
/百ノ
を満たすならば
α＝[̅矛司
である。ただし,jは虚数単位である。
１
１
９
= 一
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝二三二
|ʼ
(このページは，｡ ｳ 計算や下書きに利用してもよい｡）
ｃｃ
ʼ１
１
１
１
今
- 1 0 - 〃
(2)２個のさいころを同時に振って，２つの目の積が偶数だった場合は試行を終 了し，奇数だった場合は振り直す。ただし，振り直しの回数が定められた上限 に達した場合は，出た目によらず試行を終了する。
いま，〃を自然数とし，振り直しの上限を〃回と定める。試行終了時にお
国
ける２つの目の合計が偶数である確率を〃の式で表すと である。
j ﾛ
- １ １ -
(このページは,計算や下書きに利用してもよい｡）
● 今
ユ
や
̅
'
１ ２
Ｌ
令一.＝一一．．
､5
一 一
(3)三角形ABCにおいて，垂心をH,ABとACの内積をs,AB=c,AC=6 とする。実数ʼ，ʼが
雨＝'屈十9配
を満たすとき，力と９は6,c,sを用いて
，＝辰司,９ 田Ⅱ ■ ■ ■ ■Ⅱ ■ ■ ■ ■
と表される。
Ｉ
- 1 3 -
１ ０
(このページは,"計算や下書きに利用してもよい｡）
徳
全
-
『
１ ４
ｰ
〔Ⅳ〕 ２ つ の 変 量 X , y の デ ー タ が , 3 個 の X , y の 値 の 組 ( " 1 ' y l ) ' ( X 2 ' y 2 ) ' ( x 3 ' y 3 )
で与えられている。
これらが
x , < x 2 < " 3 , j ﾉ , < j b < j h ,
" , + x 2 + x S = 0 , y , + j h + j h = 0
を満たすとき，光とｙの相関係数γについて，以下の問いに答えよ。
(1)不等式-1 γ ｌを証明せよ。
(2)不等式γ＞０を証明せよ。
（注)２つの変量妬,yのデータが，邦個のx,yの値の組(x,,y,),(x2,jb),
……,(輪,〃で与えられているとき,γ=- 聖些を妬とyの相関係数とい SxSy
う。ただし，
１ 〃
Z ( x i - r ) '
〃ノー１
=71(jf-y)'
〃ノー１１．'ʼSx= Sy= ９
鋤 か-ｎ(雌-列 藤=上乞い=含ル
〃ノー１である。
１ ５
1 １
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(このページは，計算や下害きに利用してもよい｡）
●も
Ｌ
ｆ
- 1 6 -
ー
[V]
以下の問いに答えよ。(1)x>0で定義された関数F(x)が，つねにＦ''(x)=0を満たすならば，
F(x)=F'(1)(x-1)+F(1)が成り立つことを示せ。
(2)x>0で定義された関数f(x)は第２次導関数をもつとする。正の実数／に 対して，点(#,f(t))における曲線y=/(x)の接線と,y軸との交点のｙ座標
をg(t)とする。また,"=/(1)とおく。
(a)9(t)をt,/(t),/'(r)を用いて表せ。
(b)任意の正の実数ｔに対して,9(t)=1が成り立つとき,/''(x)を求めよ。
また,f(x)をα,Xを用いて表せ。
(c)任意の正の実数＃に対して,9(t)=1オが成り立つとき,/''(x)を求め よ。また，／(妬)をα,Xを用いて表せ。
１ ７
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(このページは，計算や下書きに利用してもよい｡）
←
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