3 つの異なる点を 3 つの異なる点にマッピングする 1 次分数変換。一次分数変換は、Cb から Cb への同型写像です。リーマン球はリーマン面です。
イントロ ∞ と四則
Cb =C∪ {∞} は体ではないため、簡単に転送したり削除したりすることはできません。 Cb =C∪ {∞} はフィールドではないため、簡単に転送したり削除したりすることはできません。
なぜなら、上記の定理の(3)は逆写像が存在することを示しているからです。上記の定理の(3)から、逆写像が存在することがわかります。 ）。
平行移動 , 定数倍 , 反転 (1)
上記から、平行移動、定数乗算、逆変換は一次分数変換であることがわかりました。上記から、平行移動、定数乗算、逆変換は一次分数変換であることがわかりました。
平行移動 , 定数倍 , 反転 (2)
線形分数変換は、平行移動、定数乗算、および反転の組み合わせとして表現できます。それを証明するにはどうすればよいでしょうか? ) これは c2 の組成です、Ta/c がそれを証明しますか? ） 証拠。
Cb円とは、普通の円と直線（∞を通る無限の半径の円とみなしたもの）の総称です。
線形分数変換は任意の円を Cb にマップします。平行移動では、直線は直線にマッピングされ、円は円にマッピングされます。
相異なる 3 点を相異なる 3 点に写す 1 次分数変換 (1)
この条件が満たされていることは視覚的に確認できます。この条件が満たされていることは視覚的に確認できます。
相異なる 3 点を相異なる 3 点に写す 1 次分数変換 (2)
相異なる 3 点を相異なる 3 点に写す 1 次分数変換 (3)
相異なる 3 点を相異なる 3 点に写す 1 次分数変換 (4)
回答）命題 4.7 の証明を行うイメージです。一次分数変換に対応する行列は −1 です。 3. 解答）定理 4.7 の証明を行うイメージに基づく解答です。目的の 1 次分数変換に対応する行列は、-1 3 です。
Riemann 球面の幾何学的イメージ (1) 立体射影
注: 以下では、φ(N) = ∞ を設定することで、φ を S から Cb へのマッピングに拡張します。この拡張マッピングは立体投影とも呼ばれます。
Riemann 球面の幾何学的イメージ (2) 立体射影の式
Plim → Nφ(P) = ∞ (幾何学的な直観から明らかであり、数式で簡単に表現できます)。もともと S はリーマン球と呼ばれていましたが、Cb と S を φ と同一視することにより、Cb はリーマン球とも呼ばれます。質問: 以下のことを確認してください (幾何学的考察と計算の両方によって)。
質問: 以下のことを確認してください (幾何学的な考慮事項と計算の両方によって)。
Riemann 球面 C b への位相の導入 (1)
点列の極限と関数の極限・連続性を定義するには、トポロジー（開集合族）と呼ばれる構造が必要です。 Cb にトポロジーを導入する 2 つの方法を (導入せずに) 簡単に説明します。どちらの方法でも同じトポロジが得られます。 Cb 方法 1 でのトポロジーの導入 一般に、計量空間はトポロジー空間になります (計量を使用して球を定義し、次に開集合を定義します)。 z1,z2∈Cbの場合。
グラフィックは鮮明ですが、数式が少しわかりにくいです（個人的な意見です）。
Riemann 球面 C b への位相の導入 (2)
方法 2 でトポロジを導入します (一見すると乱雑に見えますが、お勧めします)。は、1 次の分数変換が Cb から Cb への全単射であること、および逆写像も 1 次の分数変換であることをすでに示したことを確認することで、Cb のトポロジーを決定できます。
Cb に対してフェーズを定義できることがわかりました (履歴のみ)。実際、lim は位相に関して収束していることがわかります ((2) の方法を使用すると簡単に考えることができます)。したがって、φ と φ−1 はどちらも Cb から Cb への連続写像です。 一般に、写像 φ:X →Y が全単射で、φ と φ−1 が両方とも同相写像であるとき、X と Y は同相写像であると言われます。私たちが学んだことは次のように簡単に要約できます。一次分数変換は Cb から Cb への同型写像です。実際、Cb から Cb への同型写像は 1 次の分数変換に限定されます。一次分数変換の重要性がわかります。この証明も最終レポート課題の候補問題となります。 1 次の分数変換は、Cb から Cb への同型写像です。
実際、Cb から Cb への同型写像は 1 次の分数変換に制限されます。
Riemann 球面は Riemann 面である
一次分数変換により Cb の円が Cb の円に反映されることを示しましたが、円上にない点についても注目すべき性質が当てはまります。 C は Cb の円、z と z' です。 2.11 と f の位置にある 2 点が一次分数変換のとき、f(z) と f(z') は C に関して互いに鏡像になります。 f(C)。 2.11 一次分数変換による領域の等角写像 写像定理。
多くの場合、領域の単純な等角写像は、一次分数変換になります。 2.11 一次分数変換を使用した領域の等角写像 - 次数分数変換、Schwarz。
2.11 一次分数変換による領域の等角マッピング 上半平面の場合 これは、α、β、γ を 1、0、および ∞ 半平面にマッピングする、一次分数変換による z の画像です。それぞれ単位。ディスク上の 1 次分数変換の一般的な形式は次のとおりです。
