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代数幾何学による次元公式の計算

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Academic year: 2024

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Riemann-Roch-Hirzebruch の定理

Chern 類

この目的のために、公理を使用して定義を与え、上記の 4 つの公理を満たすチャーンクラスの一意性がトポロジー理論によって証明されます。

Riemann-Roch-Hirzebruch の定理

Roch-Hirzebruch の定理と呼ばれる次の定理が成り立ちます。これは、コンパクトなリーマン面に関するリーマン・ロッホの定理です。

対数的 Chern 類

その後、ヒルゼブルッフはアティヤとともにこの定理を可微分多様体に一般化しました。つまり、コンパクト多様体上の楕円微分演算子の 2 つの指数に対する方程式を与えました。

Toroidal コンパクト化

Satake コンパクト化

に適切なトポロジを定義すると、Γ\Dn の Satake 圧縮が得られます。次に、ΓA\DIV は、適切なトポロジを使用した ΓA\DIV の Satake 圧縮です。

Toroidal コンパクト化

Hirzebruch-Mumford の比例定理

Hirzebruch の比例定理

Mumford の比例定理

Sk(Γ) の要素は、Γ に関する重み k の頂点形式と呼ばれます。

消滅定理

この証明は基本的に次の定理を証明します。1980 年代に、川俣とフィーヴェークは、それを実行すると、それを示しました。

正則 Lefschetz 公式

これまでに登場した 3 つの定理、リーマン・ロッホ・ヒルツェブルッフの定理、消失定理、セールの双対定理は代数幾何学でよく使われます。定理で g = 1 と設定すると、定理 1.1 は正則になります。 レフシェッツの公式は、リーマン・ロッホ・ヒルツェブルッフの定理を一般化したものです。

参考文献

S∗g(l): S∗g(l) の Satake コンパクト化 Se∗g(l): S∗g(l) のボロノイコンパクト化。

文献と主結果

Voronoi コンパクト化

  • Torus embeddings
  • Toroidal コンパクト化
  • Delony-Voronoi 分解
  • Voronoi コンパクト化

ここで、自己双対錐体とは、以下のような錐体である。 P(Fg') の 2 つのサブグループを次のように定義します。トロイダルコンパクト化は、Γ 許容ファミリを使用して構築されます。

許容される Γ ファミリの定義と部分コンパクト化の確立方法から、次のことがわかります。

Theta constants

定理 2.1 の証明

Step 1

Lg を S∗​​g(l) 後の Lg の拡張とし、Been = s∗Lg とします。

Step 2

上記の定理に基づいて、すべての cj に対して Se∗1(l) のコホモロジー クラス ej が存在し、cj|E =π∗(ej) となります。次に、上記の定理に基づいて、 のすべての For cj に対して、Se∗2(l) のコホモロジー クラス ej が存在し、 cj|E =π∗(ej) となります。したがって、g = 2 の場合、山崎の方法との関係がわかります。

これまでに得られた結果を組み合わせることで、残りの交差点数を計算できます。

定理 2.2 の証明

Step 1

Step 2

Xφ (∃φ∈CG(l)p (Φα)) の Φα は、Φα に対応する Xg の既約成分に相当します。 NG(l)(Φα ) における同値関係を とする。

Step 3

特にτ(φ, Φα)については、Φαが座標軸に平行でない場合は、計算を容易にするために座標軸に平行になるように変数を変換し、その値を求めます。

参考文献

ヒルベルト尖頭形によって形成されるベクトル空間の次元公式は、重みが 2 より大きい場合は清水によって、重みが 2 の場合はフライタグと石川によって与えられます。このセクションでは、それらの次元公式を使用して完全なモジュラー群を計算します。 最後に、代数幾何学に基づく次元公式についてです。

以下は清水の次元公式と呼ばれる結果です。

Prestel の方法 [10] では、Prestel は、クラスのセット間の 1 対 1 対応の楕円固定点の同値クラスをカウントする問題を解決します。この対応により、非自明な作用を持つ M によって決定される楕円固定点は次数 K[M]∩M2(oK) に写像されます。

これは、実二次場の場合の楕円固定点の同値類の数を見つけるために使用されてきました。

この結果の後半は次のように証明される。ここで、カスプ全体と ClK の間には 1 対 1 の対応があり、清水によれば、A ∈ ClK に対応するカスプからの寄与 wA は wA=−π− です。 2√ ワイザーの目的は、ガロア実三次体 K のヒルベルトモジュラーの算術種数 χ(G) を求めることです。

Weisser の方法 K' を仮想アーベル体全体とし、K をその最大の実部分体とします。

新谷によれば、有限の指数集合 J が存在し、Rn+ Reg(K) と Reg(K') はそれぞれ K と K' の制御因子、δ は K 上の K' の相対判別式、ω は K Let です。 ' の 1 の根の数になります。これを a⊂oK') で定義される二次指数とします。 R(j,b-1) については、特定のサブセットと 1 対 1 の対応があることを示し、R(j,b-1) の点を決定するアルゴリズムを提供します。

グランドマンの計算は hK = 1 を想定しており、hK >1 の場合には直接適用できません。

代数幾何学による次元公式

Tsushima の補題

Hilbert modular variety の arithmetic genus

次元公式

シーゲルによれば、vol(Γ\Hn) = 2ζK(−1)[G : Γ] なので、上記の次元公式と清水の次元公式の主項は一致します。 清水の次元公式では、カスプ x wx の寄与を次のように書きます。 w=∑ 次元公式系として、Freitag の結果の特殊なケースが得られます。

ただし、nが4以上になると、基本領域を求めて円錐の分割を与えるのが難しくなるようです。) 上記の定理のような式を与えることも可能ですが、上記のような式を与えることも可能ですが、計算する必要があります。

参考文献

簡単な証明: G の回転のない正規部分群 Γ をとり、有限群 G/Γ と YΓ の場合の V = Ω2 ⊗L⊗(k−1) に対して正規のレフシェッツの公式を使用します。このような適切な圧縮は存在しません。 Rn+ 上の特異群の作用の基本領域を見つけ、滑らかな圧縮を行うためにそれを円錐に分割し、それを計算に使用する必要があります。

参照

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