ベジエ曲線
b
n0(t)
に対して，曲線上の点b
n0(t
0)
で曲線を分割す る．このとき，二つに分割した曲線はともにベジエ曲線と なる．b0
b1
b2
b3
b10HtL
b11HtL
b12HtL b20HtL b21HtL
b30HtL
図
8
b
0b
1b
10(t)
b
2b
11(t) b
20(t)
... ... ... ...
b
nb
1n−1(t) b
2n−2(t) · · · b
n0(t) (7)
坂根 由昌(大阪大学) 現代数学の基礎 形状設計のための数学入門 33 / 40
補題
2 (
細分割)
ド・カステリョのアルゴリズムを用いて，ベジエ 曲線をt = t
0で２つのベジエ曲線に細分割することができる．細 分割された2
つのベジエ曲線c
1(t), c
2(t)
のベジエ点はド・カステ リョの図式(7)
の境界の点で与えられる．すなわち，b
0, b
10(t
0) , b
20(t
0) , . . . , b
n0(t
0) ,
b
n0(t
0) , b
n1−1(t
0) , b
n2−2(t
0) , . . . , b
n がそれぞれのベジエ点となる．坂根 由昌(大阪大学) 現代数学の基礎 形状設計のための数学入門 34 / 40
証明．
c
1(t) = b
n0(t
0t)
のベジエ点を求めよう．b
n0(t
0t) =
∑
n j=0b
jB
nj(t
0t) =
∑
n j=0b
j∑
n r=jB
rj(t
0)B
nr(t) (8)
=
∑
n j=0b
j∑
n r=0B
rj(t
0)B
nr(t) =
∑
n j=0∑
n r=0b
jB
rj(t
0)B
nr(t)
=
∑
n r=0
∑
n j=0b
jB
rj(t
0)
B
nr(t)
=
∑
n r=0
∑
r j=0b
jB
rj(t
0)
B
nr(t) =
∑
n r=0b
r0(t
0)B
nr(t) .
b
00(t
0) = b
0 に注意して，c
1(t)
のベジエ点はb
0, b
10(t
0), b
20(t
0) , . . . , b
n0(t
0)
となる．同様にして，c
2(t)
のベジエ点はb
n0(t
0), b
n−11(t
0), b
n2−2(t
0) , . . . , b
nとなる．坂根 由昌(大阪大学) 現代数学の基礎 形状設計のための数学入門 35 / 40
ここで，証明に用いた式
(8) B
nj(s t) =
∑
n r=jB
rj(s)B
nr(t)
を示す.
B
nj(st) =
nC
j(1 − st)
n−j(st)
j=
nC
j(1 − t + t − st)
n−j(st)
j=
nC
jn−j
∑
i=0
n−j
C
i(1 − t)
n−j−it
i(1 − s)
i(st)
j=
∑
n−j i=0n
C
j·
n−jC
i· (1 − s)
is
j· (1 − t)
n−j−it
i+j ここでi + j = r
とおくと，=
∑
n r=jn
C
j·
n−jC
r−j· 1
r
C
jB
rj(s) · 1
n
C
rB
nr(t) .
n
C
j·
n−jC
r−jr
C
j·
nC
r= 1
に注意すると求める式を得る．坂根 由昌(大阪大学) 現代数学の基礎 形状設計のための数学入門 36 / 40
例
b
0= ( − 1 , − 1), b
1= (
− 1 3 , 1
) , b
2=
( 1 3 , − 1
)
, b
3= (1 , 1)
をベジ エ点とすると，ベジエ曲線b
n0(t)
は(2t − 1 , (2t − 1)
3)
となる．t = 1
で細分割 したときの制御多角形3
は図9
のようになる．b
0
b
0 1
H 1 3 L
b
0 2
H 1 3 L
b
0 3H 1 3 L
b
1 2
H 1 3 L
b
2 1
H 1 3 L
b
3
b
2b
1
図
9 t = 1
3
で細分割坂根 由昌(大阪大学) 現代数学の基礎 形状設計のための数学入門 37 / 40
ベジエ曲線を細分割すると，
それぞれのベジエ曲線の制御 点が定まり，細分割を繰り返 すとこれらの制御多角形は元 のベジエ曲線に収束する．
t = 1
2
で細分割を繰り返し たとき，制御多角形が元のベ ジエ曲線に収束する様子は図10
のようになる．図
10 t = 1
2
で細分割を4
回繰り返し坂根 由昌(大阪大学) 現代数学の基礎 形状設計のための数学入門 38 / 40
