• 検索結果がありません。

特定の偏角にともなう項

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 39

したがって, RE =−r

a µa0

r0

2 cosψ

µ

1 + 1 2e2+1

2e02+s2+s02

cos[λ0−λ]

−ee0cos[2λ0 2λ−$0 +$]2ss0cos[λ0−λ−0+ Ω]

1

2ecos[λ02λ+$] + 3

2ecos[λ0−$]2e0cos[2λ0 −λ−$0]

3

8e2cos[λ03λ+ 2$] 1

8e2cos[λ0+λ−2$]

+ 3ee0cos[2λ−$0−$]1

8e02cos[λ0 +λ−2$0]

27

8 e02cos[3λ0−λ−2$0]−s2cos[λ0+λ−2Ω]

+ 2ss0cos[λ0 +λ−0Ω]−s02cos[λ0+λ−2Ω0]. (B.110) RD を求めるときと同じ形にするため, 何か所かは偏角の符号を変えている.

RI の形を求めるにも同じ方法が使える. RE 中のプライムつきの量とプライム なしの量を入れ替えればよい.

RI =−r0 a0

³a r

´2 cosψ

µ

1 + 1 2e2+1

2e02+s2+s02

cos[λ0−λ]

−ee0cos[2λ02λ−$0+$]2ss0cos[λ0−λ−0+ Ω]

2ecos[λ02λ+$] +3

2e0cos[λ−$0]1

2e0cos[2λ0−λ−$0]

27

8 e2cos[λ03λ+ 2$] 1

8e2cos[λ0+λ−2$]

+ 3ee0cos[2λ−$0−$] 1

8e02cos[λ0 +λ−2$0]

3

8e02cos[3λ0−λ−2$0]−s2cos[λ0+λ−2Ω]

+ 2ss0cos[λ0+λ−0Ω]−s02cos[λ0+λ−2Ω0]. (B.111)

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 40

る. B.3節では Kaulaの展開式を用いる大きな長所を示したが, Kaulaの公式の主

な欠点は, ラプラス係数を含まないことである.

Ellis & Murray (1999) は, 両方の式の長所を組み合わせたKaula の展開式の変 形を求めている. さらに, あるオーダーまで展開されたある偏角にともなう有限級 数のあらわな式を示してもいる. 偏角の形を

ϕ=j1λ0+j2λ+j3$0+j4$+j50+j6Ω (B.112) とおき,Nmax を展開式のオーダーの上限とする. Ellis & Murrayは, ϕ にともなう RD の式を次のように表した.

RD =

imax

X

i=0

(2i)!

i!

(1)i 22i+1αi

× Xi

s=smin

nXmax

n=0

(2s−4n+ 1)(s−n)!

22nn!(2s−2n+ 1)!

s−2nX

m=0

κm(s−2n−m)!

(s−2n+m)!

×(1)s−2n−mFs−2n,m,p(I)Fs−2n,m,p0(I0) Xi−s

l=0

(1)s22s (i−s−l)!l!

×

lmax

X

l=0

(1)l l!

Xl

k=0

à l k

!

(1)kαl dl dαlb(j)i+1

2

(α)

×X−ji+k,−j2 2−j4(e)Xj(i+k+1),j1 1+j3(e0)

×cos[j1λ0+j2λ+j3$0+j4$+j50+j6Ω] (B.113) ここでも, κ0 = 1, m 6= 0 で κm = 2 である.

この計算において,次の関係が成り立っている.

q=j4, (B.114)

q0 =−j3, (B.115)

lmax=Nmax− |j5| − |j6|, (B.116) pmin =(j5+j6)/2, p0min = 0 (j5+j6 <0 のとき ), (B.117) pmin = 0, p0min = (j5+j6)/2, (j5+j6 0のとき ), (B.118) smin = max (pmin, p0min, j6+ 2pmin,−j5+ 2p0min), (B.119) imax= [(Nmax− |j3| − |j4|)/2]. (B.120)

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 41

義が必要である. これらは次のとおりである.

nmax= [(s−smin)/2], (B.121)

mmin = 0 ( s, j15 が「両方奇数」, または「両方偶数」のとき ), (B.122) mmin = 1 ( s, j15 が「両方奇数」でも「両方偶数」でもないとき ), (B.123) p= (−j6−m+s−2n)/2 ( p≤s−2n かつp≥pmin のとき), (B.124) p0 = (j5−m+s−2n)/2 ( p0 ≤s−2n かつ p0 ≥p0min のとき ), (B.125)

j =|j2+i−a−2n−2p+q|. (B.126)

q,q0ϕ から直接決まり, 加算において固定値であることに注意する. 一方, p, p0s, n, m とともに変化するが, 式 (B.124) と (B.125) はつねに成り立つ.

Ellis & Murray (1999)は,式(B.113) 中の離心率と軌道傾斜角の関数の定義式の 中の加算は, せいぜい Nmax の有限級数とするだけでよいことを示している. e に ついてのハンセン係数は,e のオーダーNmax− |j3| − |j5| − |j6|までの項のみ含めれ ばよい. 同様に,e0 についてのハンセン係数は,e0 のオーダーNmax− |j4| − |j5| − |j6| までの項のみ含めればよい. I についての軌道傾斜角関数 F は, I のオーダー Nmax− |j3| − |j4| − |j5| までの項のみ含めればよい. 同様に I0 についての軌道傾 斜角関数 F0 は,I0 のオーダーNmax− |j3| − |j4| − |j6|までの項のみ含めればよい.

間接部は,

RE =−κm(1−m)!

(1 +m)!F1,m,p(I)F1,m,p0(I0)X−j1,−j2 2−j4(e)Xj2,j1 1+j3(e0)

×cos[j1λ0+j2λ+j3$0+j4$+j50 +j6Ω] (B.127)

RI =−κm

(1−m)!

(1 +m)!F1,m,p(I)F1,m,p0(I0)X−j2,−j2 2−j4(e)Xj2,j1 1+j3(e0)

×cos[j1λ0 +j2λ+j3$0+j4$+j50+j6Ω] (B.128) p, p0, m は整数であり, 0か 1である. それを満たさない場合は間接部の展開式に その偏角は現れない。RD についてと同様に, 離心率と軌道傾斜角のべき乗の級数 展開式量を減らすことができ,同じ処理を行うことができる. 間接部の展開式中の

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 42

整数を解析することで, 次の関係式が得られる.

q=j4, (B.129)

q0 =−j3, (B.130)

p= (j2+j4+ 1)/2, (B.131)

p0 =(j1+j31)/2, (B.132)

m=j52p0+ 1. (B.133)

関連したドキュメント