平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 39
したがって, RE =−r
a µa0
r0
¶2 cosψ
≈ µ
−1 + 1 2e2+1
2e02+s2+s02
¶
cos[λ0−λ]
−ee0cos[2λ0 −2λ−$0 +$]−2ss0cos[λ0−λ−Ω0+ Ω]
−1
2ecos[λ0−2λ+$] + 3
2ecos[λ0−$]−2e0cos[2λ0 −λ−$0]
−3
8e2cos[λ0−3λ+ 2$]− 1
8e2cos[λ0+λ−2$]
+ 3ee0cos[2λ−$0−$]−1
8e02cos[λ0 +λ−2$0]
−27
8 e02cos[3λ0−λ−2$0]−s2cos[λ0+λ−2Ω]
+ 2ss0cos[λ0 +λ−Ω0−Ω]−s02cos[λ0+λ−2Ω0]. (B.110) RD を求めるときと同じ形にするため, 何か所かは偏角の符号を変えている.
RI の形を求めるにも同じ方法が使える. RE 中のプライムつきの量とプライム なしの量を入れ替えればよい.
RI =−r0 a0
³a r
´2 cosψ
≈ µ
−1 + 1 2e2+1
2e02+s2+s02
¶
cos[λ0−λ]
−ee0cos[2λ0−2λ−$0+$]−2ss0cos[λ0−λ−Ω0+ Ω]
−2ecos[λ0−2λ+$] +3
2e0cos[λ−$0]−1
2e0cos[2λ0−λ−$0]
−27
8 e2cos[λ0−3λ+ 2$]− 1
8e2cos[λ0+λ−2$]
+ 3ee0cos[2λ−$0−$]− 1
8e02cos[λ0 +λ−2$0]
−3
8e02cos[3λ0−λ−2$0]−s2cos[λ0+λ−2Ω]
+ 2ss0cos[λ0+λ−Ω0−Ω]−s02cos[λ0+λ−2Ω0]. (B.111)
平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 40
る. B.3節では Kaulaの展開式を用いる大きな長所を示したが, Kaulaの公式の主
な欠点は, ラプラス係数を含まないことである.
Ellis & Murray (1999) は, 両方の式の長所を組み合わせたKaula の展開式の変 形を求めている. さらに, あるオーダーまで展開されたある偏角にともなう有限級 数のあらわな式を示してもいる. 偏角の形を
ϕ=j1λ0+j2λ+j3$0+j4$+j5Ω0+j6Ω (B.112) とおき,Nmax を展開式のオーダーの上限とする. Ellis & Murrayは, ϕ にともなう RD の式を次のように表した.
RD =
imax
X
i=0
(2i)!
i!
(−1)i 22i+1αi
× Xi
s=smin
nXmax
n=0
(2s−4n+ 1)(s−n)!
22nn!(2s−2n+ 1)!
s−2nX
m=0
κm(s−2n−m)!
(s−2n+m)!
×(−1)s−2n−mFs−2n,m,p(I)Fs−2n,m,p0(I0) Xi−s
l=0
(−1)s22s (i−s−l)!l!
×
lmax
X
l=0
(−1)l l!
Xl
k=0
à l k
!
(−1)kαl dl dαlb(j)i+1
2
(α)
×X−ji+k,−j2 2−j4(e)Xj−(i+k+1),j1 1+j3(e0)
×cos[j1λ0+j2λ+j3$0+j4$+j5Ω0+j6Ω] (B.113) ここでも, κ0 = 1, m 6= 0 で κm = 2 である.
この計算において,次の関係が成り立っている.
q=j4, (B.114)
q0 =−j3, (B.115)
lmax=Nmax− |j5| − |j6|, (B.116) pmin =−(j5+j6)/2, p0min = 0 (j5+j6 <0 のとき ), (B.117) pmin = 0, p0min = (j5+j6)/2, (j5+j6 ≥0のとき ), (B.118) smin = max (pmin, p0min, j6+ 2pmin,−j5+ 2p0min), (B.119) imax= [(Nmax− |j3| − |j4|)/2]. (B.120)
平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 41
義が必要である. これらは次のとおりである.
nmax= [(s−smin)/2], (B.121)
mmin = 0 ( s, j15 が「両方奇数」, または「両方偶数」のとき ), (B.122) mmin = 1 ( s, j15 が「両方奇数」でも「両方偶数」でもないとき ), (B.123) p= (−j6−m+s−2n)/2 ( p≤s−2n かつp≥pmin のとき), (B.124) p0 = (j5−m+s−2n)/2 ( p0 ≤s−2n かつ p0 ≥p0min のとき ), (B.125)
j =|j2+i−2¯a−2n−2p+q|. (B.126)
q,q0 が ϕ から直接決まり, 加算において固定値であることに注意する. 一方, p, p0 は s, n, m とともに変化するが, 式 (B.124) と (B.125) はつねに成り立つ.
Ellis & Murray (1999)は,式(B.113) 中の離心率と軌道傾斜角の関数の定義式の 中の加算は, せいぜい Nmax の有限級数とするだけでよいことを示している. e に ついてのハンセン係数は,e のオーダーNmax− |j3| − |j5| − |j6|までの項のみ含めれ ばよい. 同様に,e0 についてのハンセン係数は,e0 のオーダーNmax− |j4| − |j5| − |j6| までの項のみ含めればよい. I についての軌道傾斜角関数 F は, I のオーダー Nmax− |j3| − |j4| − |j5| までの項のみ含めればよい. 同様に I0 についての軌道傾 斜角関数 F0 は,I0 のオーダーNmax− |j3| − |j4| − |j6|までの項のみ含めればよい.
間接部は,
RE =−κm(1−m)!
(1 +m)!F1,m,p(I)F1,m,p0(I0)X−j1,−j2 2−j4(e)Xj−2,j1 1+j3(e0)
×cos[j1λ0+j2λ+j3$0+j4$+j5Ω0 +j6Ω] (B.127)
RI =−κm
(1−m)!
(1 +m)!F1,m,p(I)F1,m,p0(I0)X−j−2,−j2 2−j4(e)Xj−2,j1 1+j3(e0)
×cos[j1λ0 +j2λ+j3$0+j4$+j5Ω0+j6Ω] (B.128) p, p0, m は整数であり, 0か 1である. それを満たさない場合は間接部の展開式に その偏角は現れない。RD についてと同様に, 離心率と軌道傾斜角のべき乗の級数 展開式量を減らすことができ,同じ処理を行うことができる. 間接部の展開式中の
平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 42
整数を解析することで, 次の関係式が得られる.
q=j4, (B.129)
q0 =−j3, (B.130)
p= (j2+j4+ 1)/2, (B.131)
p0 =−(j1+j3−1)/2, (B.132)
m=j5−2p0+ 1. (B.133)