• 検索結果がありません。

二次のオーダーまでの逐次展開

(B.4)節で述べた方法の例として, 今度は摂動関数の展開式を離心率と軌道傾斜

角の二次のオーダーまで求めることにする.

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 30

cosψ の級数展開を得るため, まず sinf, cosf を平均近点離角 M で表した展開 式 (2.84), (2.85)を用いる. 二次の項まで書くと,

sinf = sinM +esin 2M +e2 µ9

8sin 3M 7 8sinM

, (B.73)

cosf = cosM +e(cos 2M 1) +e2 µ9

8cos 3M 9 8cosM

. (B.74)

したがって

cos[ω+f] = cosωcosf sinωsinf

cos[ω+M] +e(cos[ω+ 2M]cosω) +e2

µ

cos[ω+M] 1

8cos[ω−M] +9

8cos[ω+ 3M]

, (B.75) sin[ω+f] = sinωcosf + cosωsinf

sin[ω+M] +e(sin[ω+ 2M]sinω) +e2

µ

sin[ω+M] + 1

8sin[ω−M] +9

8sin[ω+ 3M]

. (B.76) ここまでに出て来た多くの展開式(B.3節で扱った Kaulaによるものを含む)を これからも使うため, 摂動関数を軌道傾斜角の正弦や余弦ではなくsin12I やsin12I0 のべき乗で表したい. よって, 次の関係式を用いる.

cosI = 12 sin2 1

2I = 12s2, (B.77)

sinI = 2 sin1 2I

µ

1sin2 1 2I

1

2

= 2s+O(s3). (B.78) ここで, s = sin12I である. これらの表式の置き換えと,式(B.51)-(B.53)で表され るcos[ω+f] と sin[ω+f] の展開式より,

x

r cos[ω+ Ω +M] +e(cos[ω+ Ω + 2M]cos[ω+ Ω]) +e2

µ9

8cos[ω+ Ω + 3M] 1

8cos[ω+ Ω−M]cos[ω+ Ω +M]

+s2(cos[ω−Ω +M]cos[ω+ Ω +M]), (B.79) y

r sin[ω+ Ω +M] +e(sin[ω+ Ω + 2M]sin[ω+ Ω]) +e2

µ9

8sin[ω+ Ω + 3M]1

8sin[ω+ Ω−M]sin[ω+ Ω +M]

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 31

z

r 2ssin[ω+M] + 2es(sin[ω+ 2M]sinω). (B.81) 上式のプライムなしの量をプライムつきの量で置き換えれば, x0/r0, y0/r0, z0/r0 に ついても同じような式を得る. よって, 式 (B.50) より cosψ の式を得る. ここで, 関係式 M =λ−$ω=$−Ωを用いて経度での展開式を表すことができる.

cosψ

(1−e2−e02−s2−s02) cos[λ−λ0] +ee0cos[2λ−2λ0−$+$0] +ee0cos[$−$0] + 2ss0cos[λ−λ0Ω + Ω0]

+ecos[2λ−λ0−$]−ecos[λ0−$]

+e0cos[λ−2λ0+$0]−e0cos[λ−$0] + 9

8e2cos[3λ−λ02$]1

8e2cos[λ+λ02$]

+ 9

8e02cos[λ−3λ0 + 2$0] 1

8e02cos[λ+λ02$0]

−ee0cos[2λ−$−$0]−ee0cos[2λ0−$−$0] +s2cos[λ+λ02Ω] +s02cos[λ+λ02Ω0]

2ss0cos[λ+λ00]. (B.82)

θ=ω+ Ω +f より,

cos[θ−θ0] = (cos Ω cos[ω+f]sin Ω sin[ω+f])

×(cos Ω0cos[ω0+f0]sin Ω0sin[ω0+f0]) + (sin Ω cos[ω+f] + cos Ω sin[ω+f])

×(sin Ω0cos[ω0+f0] + cos Ω0sin[ω0+f0]). (B.83) この式を式 (B.51)-(B.53)と比較すると, I =I0 = 0 とおくことでcos[θ−θ0] の展 開式が cosψ の展開式から得られることがわかる. Ψ = cosψ−cos[θ−θ0] より, cosψ の展開式はΨが cosψ の軌道傾斜角依存の部分であることを示し,

Ψ =s2(cos[λ+λ02Ω]cos[λ−λ0])

+ 2ss0(cos[λ−λ0Ω + Ω0]cos[λ+λ00])

+s02(cos[λ+λ02Ω0]cos[λ−λ0]). (B.84) Ψ は軌道傾斜角の二次のオーダーであることに注意する.

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 32

r/a= 1 +O(e)、r0/a0 = 1 +O(e0) より, 離心率と軌道傾斜角の二次のオーダー までは,

µ1 2 r a

r0 a0Ψ

= 1

2s2(cos[λ+λ02Ω]cos[λ−λ0])

+ss0(cos[λ−λ0Ω + Ω0]cos[λ+λ0 0])

= 1

2s02(cos[λ+λ02Ω0]cos[λ−λ0]). (B.85) と書け, このオーダーまでは e によらない. いま, 二次のオーダーの展開式にのみ 着目しており, Ψ はすでに二次のオーダーであるから, Ψ の二次以上のべきは無視 できる.

ここまででRD の級数の最初の主要な二項を得た(式(B.66)を参照). 任意の整 数 j について, cosj[θ−θ0] の表式を求める必要がある. まず,

cosj[θ−θ0] = cosj[ω+ Ω +f] cosj[ω0+ Ω0 +f0]

+ sinj[ω+ Ω +f] sinj[ω0+ Ω0+f0]. (B.86) 式 (2.88)から

f =M+ 2esinM+ 5

4e2sin 2M +O(e3). (B.87) cosj[ω+ Ω +f]、sinj[ω+ Ω +f] にこの式を適用して, 前にもやったように経度 で書き直してテイラー級数展開すると,次式を得る.

cos (1−j2e2) cos[]

+ µ1

2j2e25 8je2

cos[(2−j)λ−2$]

+ µ1

2j2e2+5 8je2

cos[(2 +j)λ−2$]

−jecos[(1−j)λ−$] +jecos[(1 +j)λ−$], (B.88)

sin (1−j2e2) sin[]

+ µ5

8je21 2j2e2

sin[(2−j)λ−2$]

+ µ5

8je2+1 2j2e2

sin[(2 +j)λ−2$]

+jesin[(1−j)λ−$] +jesin[(1 +j)λ−$]. (B.89)

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 33

プライムなしの量をプライムつきに置き換えると同じような形の cos0 とsin0 の式が容易に得られる. cosj[θ−θ0]の表式は、

cosj[θ−θ0]

(1−j2e2−j2e02) cos[j(λ−λ0)]

+ µ5

8je2+ 1 2j2e2

cos[(2 +j)λ−jλ02$]

+ µ1

2j2e2 5 8je2

cos[(2−j)λ+02$]

+jecos[(1 +j)λ−jλ0−$]−jecos[(1−j)λ+0−$]

+ µ1

2j2e02 5 8je02

cos[+ (2−j)λ02$0] +

µ5

8je02+1 2j2e02

cos[jλ−(2 +j)λ0+ 2$0]

−je0cos[+ (1−j)λ0−$0] +je0cos[jλ−(1 +j)λ0 +$0]

−j2ee0cos[(1 +j)λ+ (1−j)λ0−$−$0]

−j2ee0cos[(1−j)λ+ (1 +j)λ0−$−$0] +j2ee0cos[(1 +j)λ−(1 +j)λ0−$+$0]

+j2ee0cos[(1−j)λ−(1−j)λ0−$+$0]. (B.90)

式 (B.66) の j の和はすべてを足したものであるが, 実際にはこの計算は必要ない

(B.9 節等を参照).

式 (B.60)と (2.81) より, ε= r

a 1≈ −ecosM+ 1

2e2(1cos 2M)

=−ecos[λ−$] + 1

2e2(1cos[2λ−2$]) (B.91) であるから,

ε2 1 2e2+1

2e2cos 2M = 1 2e2+ 1

2e2cos[2λ−2$]. (B.92) ε0, ε02 についても同様な式を得る. εe のオーダーであるから, 二次をこえるべ きは必要ない.

最後に, 式 (B.66)の加算を行う前に, Ai,j,m,n 関数で与えられるラプラス係数の 導関数を求めなければならない. この計算は, この加算における i の値では単純化

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 34

でき,

aia0i+1Ai,j,m,n =ai+ma0i+n+1 m+n

∂am∂a0n

³

a0−(2i+1)b(j)i+1 2(a/a0)

´

(B.93) とすればよい. 微分の結果, a/a0 の関数が残る. ここでの場合, 必要な Ai,j,m,n の 値は,

aia0i+1Ai,j,0,0 =αib(j)i+1 2

(α), (B.94)

aia0i+1Ai,j,1,0 =αi+1Db(j)i+1 2

(α), (B.95)

aia0i+1Ai,j,0,1 =−αi+1Db(j)i+1 2

(α)(2i+ 1)αib(j)i+1 2

(α), (B.96)

aia0i+1Ai,j,2,0 =αi+2D2b(j)i+1 2

(α), (B.97)

aia0i+1Ai,j,1,1 =−αi+2D2b(j)i+1 2

(α)2αi+1(i+ 1)Db(j)i+1 2

(α), (B.98)

aia0i+1Ai,j,2,2 =αi+2D2b(j)i+1

2(α) + 4αi+1(i+ 1)Db(j)i+1 2(α) + 2αi(2i2+ 3i+ 2)b(j)i+1

2(α). (B.99)

i は 0 と 1 の値をとり, それより高次の量は式 (B.66) に Ψi という項があるため 無視できる.

今度は i について和をとる. 離心率と軌道傾斜角の二次のオーダーまで和をと ると,

RD = µ1

2[a0A0,j,0,0+εa0A0,j,1,0+ε0a0A0,j,1,0 + 1

2ε2a0A0,j,2,0 +εε0a0A0,j,1,1+1

2ε02a0A0,j,0,2] +

µ1 2 r a

r0 a0Ψ

aa02A1,j,0,0

cosj[θ−θ0]. (B.100) 既に求めた級数をこの式に適用すると, 23 個の余弦角変数をもつ展開式を得る. これらは, 角変数のオーダー, つまり λλ0 の係数の和によって分類できる. 二 次の展開式を

RD =R(0)D +R(1)D +R(2)D (B.101)

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 35

と書き, R(i)D が展開式のオーダー i の角変数を含む部分を表すものとすると, R(0)D =

µ1 2b(j)1

2

+ 1

8(e2+e02)£

4j2+ 2αD+α2D2¤ b(j)1

2

cos[jλ−jλ0] +

µ1 8ee0£

2j+ 4j22αD−α2D2¤ b(j)1

2

×cos[(1 +j)λ−(1 +j)λ0−$+$0] +

µ1 8ee0£

2j+ 4j22αD−α2D2¤ b(j)1

2

×cos[(1−j)λ−(1−j)λ0−$+$0] +

µ1

4(s2+s02)[−α]b(j)3 2

cos[(1 +j)λ−(1 +j)λ0] +

µ1

4(s2+s02)[−α]b(j)3 2

cos[(1−j)λ−(1−j)λ0] +

µ1

2ss0[α]b(j)3 2

cos[(1 +j)λ−(1 +j)λ0Ω + Ω0] +

µ1

2ss0[α]b(j)3 2

cos[(1−j)λ−(1−j)λ0 Ω + Ω0], (B.102) R(1)D =

µ1

4e[2j−αD]b(j)1 2

cos[(1 +j)λ−jλ0−$]

+ µ1

4e[2j−αD]b(j)1 2

cos[(1−j)λ+0−$]

+ µ1

4e0[1 + 2j+αD]b(j)1 2

cos[jλ−(1 +j)λ0 +$0] +

µ1

4e0[12j+αD]b(j)1 2

cos[+ (1−j)λ0−$0], (B.103)

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 36

R(2)D = µ 1

16e2£

5j+ 4j22αD−4jαD+α2D2¤ b(j)1

2

×cos[(2 +j)λ−jλ−2$]

+ µ 1

16e2£

5j+ 4j22αD+ 4jαD+α2D2¤ b(j)1

2

×cos[(2−j)λ+jλ−2$]

+ µ1

8ee0£

2j 4j22αD+ 2jαD−α2D2¤ b(j)1

2

×cos[(1 +j)λ+ (1−j)λ0−$−$0] +

µ1 8ee0£

2j 4j22αD−2jαD−α2D2¤ b(j)1

2

×cos[(1−j)λ+ (1 +j)λ0−$−$0] +

µ 1 16e02£

4 + 9j+ 4j2+ 6αD+ 4jαD+α2D2¤ b(j)1

2

×cos[jλ−(2 +j)λ0 + 2$0] +

µ 1 16e02£

49j+ 4j2+ 6αD−4jαD+α2D2¤ b(j)1

2

×cos[+ (2−j)λ0 2$0] +

µ1

4s2[α]b(j)3 2

cos[(1−j)λ+ (1 +j)λ02Ω]

+ µ1

4s2[α]b(j)3 2

cos[(1 +j)λ+ (1−j)λ02Ω]

+ µ1

2ss0[−α]b(j)3 2

cos[(1−j)λ+ (1 +j)λ00] +

µ1

2ss0[−α]b(j)3 2

cos[(1 +j)λ+ (1−j)λ00] +

µ1

4s02[α]b(j)3 2

cos[(1−j)λ+ (1 +j)λ02Ω0] +

µ1

4s02[α]b(j)3 2

cos[(1 +j)λ+ (1−j)λ02Ω0]. (B.104) この展開式中の角変数の形は唯一のものではなく, もっと単純化することも可能 である. これは,異なる項を比較すると, R(0)D の第一項を除いて同じ形の組で現れ ているので, 明らかである. 式 (B.66)の j についての和は全部の量についてとっ ているので, 角変数とその項に k を整数として j に対して j → ±j+k という変 換を行うことができる. また, 展開式には余弦のみが現れるので, 偏角の符号を自

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 37

ことができる. ここでは,j を角変数中の λ0 の係数にしている. 例として,R(0)D 中の ee0 の二項を考える. これらは,同じ余弦偏角

0−jλ+$0−$ (B.105)

に変換することができる. ここでは最初の項の j−j に変換し, 次にそれぞれ j →j+ 1 という変換を行っている. この偏角にともなう項は,

1 4ee0£

2 + 6j + 4j22αD−α2D2¤ b(j+1)1

2 . (B.106)

他の偏角に対しても同じ方法を使うことができ, 偏角の数は23 個から 11 個ま で減らすことができる. この変換では, 式 (B.69)で与えられる性質 b(−j)s =b(j)s を 用いた. また, λ0 の係数を j として角変数を表す場合でさえ最終的な展開式の形 は一通りでなく、角変数の反転を使ったj → −j 式の変換では別の形の角変数が 現れる.

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 38

直接部の二次のオーダーの展開式の最終的な形は、

RD = µ1

2b(j)1 2

+ 1 8

¡e2+e02¢ £

4j2+ 2αD+α2D2¤ b(j)1

2

+1 4

¡s2+s02¢ ³

[−α]b(j−1)3 2

+ [−α]b(j+1)3 2

´¶

×cos[0 −jλ]

+ µ1

4ee0£

2 + 6j + 4j22αD−α2D2¤ b(j+1)1

2

×cos[0 −jλ+$0−$]

+

³

ss0[α]b(j+1)3 2

´

cos[0−jλ+ Ω0Ω]

+ µ1

2e[2j−αD]b(j)1 2

cos[0 + (1−j)λ−$]

+ µ1

2e0[1 + 2j+αD]b(j−1)1 2

cos[0+ (1−j)λ−$0] +

µ1 8e2£

5j+ 4j22αD+ 4jαD+α2D2¤ b(j)1

2

×cos[0 + (2−j)λ−2$]

+ µ1

4ee0£

2 + 6j 4j2+ 2αD−4jαD−α2D2¤ b(j−1)1

2

×cos[0 + (2−j)λ−$0−$]

+ µ1

8e02£

27j+ 4j22αD+ 4jαD+α2D2¤ b(j−2)1

2

×cos[0 + (2−j)λ−2$0] +

µ1

2s2[α]b(j−1)3 2

×cos[0 + (2−j)λ−2Ω]

+

³

ss0[−α]b(j−1)3 2

´

cos[0+ (2−j)λ−0Ω]

+ µ1

2s02[α]b(j−1)3 2

cos[0 + (2−j)λ−2Ω0]. (B.107) 式 (B.47)と (B.48) で定義された摂動関数の間接部を求めるのは, すでに cosψ の表式を得ているので比較的簡単である. r/a と (a0/r0)2 の表式は2.5 節の展開で 得られる. 二次までとると,

r

a = 1−ecos[λ−$] +1

2e2(1cos[2λ−2$]), (B.108) µa0

1

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 39

したがって, RE =−r

a µa0

r0

2 cosψ

µ

1 + 1 2e2+1

2e02+s2+s02

cos[λ0−λ]

−ee0cos[2λ0 2λ−$0 +$]2ss0cos[λ0−λ−0+ Ω]

1

2ecos[λ02λ+$] + 3

2ecos[λ0−$]2e0cos[2λ0 −λ−$0]

3

8e2cos[λ03λ+ 2$] 1

8e2cos[λ0+λ−2$]

+ 3ee0cos[2λ−$0−$]1

8e02cos[λ0 +λ−2$0]

27

8 e02cos[3λ0−λ−2$0]−s2cos[λ0+λ−2Ω]

+ 2ss0cos[λ0 +λ−0Ω]−s02cos[λ0+λ−2Ω0]. (B.110) RD を求めるときと同じ形にするため, 何か所かは偏角の符号を変えている.

RI の形を求めるにも同じ方法が使える. RE 中のプライムつきの量とプライム なしの量を入れ替えればよい.

RI =−r0 a0

³a r

´2 cosψ

µ

1 + 1 2e2+1

2e02+s2+s02

cos[λ0−λ]

−ee0cos[2λ02λ−$0+$]2ss0cos[λ0−λ−0+ Ω]

2ecos[λ02λ+$] +3

2e0cos[λ−$0]1

2e0cos[2λ0−λ−$0]

27

8 e2cos[λ03λ+ 2$] 1

8e2cos[λ0+λ−2$]

+ 3ee0cos[2λ−$0−$] 1

8e02cos[λ0 +λ−2$0]

3

8e02cos[3λ0−λ−2$0]−s2cos[λ0+λ−2Ω]

+ 2ss0cos[λ0+λ−0Ω]−s02cos[λ0+λ−2Ω0]. (B.111)

関連したドキュメント