二次のオーダーまでの逐次展開

(B.4)節で述べた方法の例として, 今度は摂動関数の展開式を離心率と軌道傾斜

角の二次のオーダーまで求めることにする.

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 30

cosψ の級数展開を得るため, まず sinf, cosf を平均近点離角 M で表した展開 式 (2.84), (2.85)を用いる. 二次の項まで書くと,

sinf = sinM +esin 2M +e² µ9

8sin 3M − 7 8sinM

¶

, (B.73)

cosf = cosM +e(cos 2M −1) +e² µ9

8cos 3M − 9 8cosM

¶

. (B.74)

したがって

cos[ω+f] = cosωcosf −sinωsinf

≈cos[ω+M] +e(cos[ω+ 2M]−cosω) +e²

µ

−cos[ω+M]− 1

8cos[ω−M] +9

8cos[ω+ 3M]

¶

, (B.75) sin[ω+f] = sinωcosf + cosωsinf

≈sin[ω+M] +e(sin[ω+ 2M]−sinω) +e²

µ

−sin[ω+M] + 1

8sin[ω−M] +9

8sin[ω+ 3M]

¶

. (B.76) ここまでに出て来た多くの展開式(B.3節で扱った Kaulaによるものを含む)を これからも使うため, 摂動関数を軌道傾斜角の正弦や余弦ではなくsin¹₂I やsin¹₂I⁰ のべき乗で表したい. よって, 次の関係式を用いる.

cosI = 1−2 sin² 1

2I = 1−2s², (B.77)

sinI = 2 sin1 2I

µ

1−sin² 1 2I

¶¹

2

= 2s+O(s³). (B.78) ここで, s = sin¹₂I である. これらの表式の置き換えと,式(B.51)-(B.53)で表され るcos[ω+f] と sin[ω+f] の展開式より,

x

r ≈cos[ω+ Ω +M] +e(cos[ω+ Ω + 2M]−cos[ω+ Ω]) +e²

µ9

8cos[ω+ Ω + 3M]− 1

8cos[ω+ Ω−M]−cos[ω+ Ω +M]

¶

+s²(cos[ω−Ω +M]−cos[ω+ Ω +M]), (B.79) y

r ≈sin[ω+ Ω +M] +e(sin[ω+ Ω + 2M]−sin[ω+ Ω]) +e²

µ9

8sin[ω+ Ω + 3M]−1

8sin[ω+ Ω−M]−sin[ω+ Ω +M]

¶

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 31

z

r ≈2ssin[ω+M] + 2es(sin[ω+ 2M]−sinω). (B.81) 上式のプライムなしの量をプライムつきの量で置き換えれば, x⁰/r⁰, y⁰/r⁰, z⁰/r⁰ に ついても同じような式を得る. よって, 式 (B.50) より cosψ の式を得る. ここで, 関係式 M =λ−$ と ω=$−Ωを用いて経度での展開式を表すことができる.

cosψ ≈

(1−e²−e⁰²−s²−s⁰²) cos[λ−λ⁰] +ee⁰cos[2λ−2λ⁰−$+$⁰] +ee⁰cos[$−$⁰] + 2ss⁰cos[λ−λ⁰−Ω + Ω⁰]

+ecos[2λ−λ⁰−$]−ecos[λ⁰−$]

+e⁰cos[λ−2λ⁰+$⁰]−e⁰cos[λ−$⁰] + 9

8e²cos[3λ−λ⁰−2$]−1

8e²cos[λ+λ⁰−2$]

+ 9

8e⁰²cos[λ−3λ⁰ + 2$⁰]− 1

8e⁰²cos[λ+λ⁰−2$⁰]

−ee⁰cos[2λ−$−$⁰]−ee⁰cos[2λ⁰−$−$⁰] +s²cos[λ+λ⁰−2Ω] +s⁰²cos[λ+λ⁰−2Ω⁰]

−2ss⁰cos[λ+λ⁰−Ω−Ω⁰]. (B.82)

θ=ω+ Ω +f より,

cos[θ−θ⁰] = (cos Ω cos[ω+f]−sin Ω sin[ω+f])

×(cos Ω⁰cos[ω⁰+f⁰]−sin Ω⁰sin[ω⁰+f⁰]) + (sin Ω cos[ω+f] + cos Ω sin[ω+f])

×(sin Ω⁰cos[ω⁰+f⁰] + cos Ω⁰sin[ω⁰+f⁰]). (B.83) この式を式 (B.51)-(B.53)と比較すると, I =I⁰ = 0 とおくことでcos[θ−θ⁰] の展 開式が cosψ の展開式から得られることがわかる. Ψ = cosψ−cos[θ−θ⁰] より, cosψ の展開式はΨが cosψ の軌道傾斜角依存の部分であることを示し,

Ψ =s²(cos[λ+λ⁰−2Ω]−cos[λ−λ⁰])

+ 2ss⁰(cos[λ−λ⁰−Ω + Ω⁰]−cos[λ+λ⁰−Ω−Ω⁰])

+s⁰²(cos[λ+λ⁰−2Ω⁰]−cos[λ−λ⁰]). (B.84) Ψ は軌道傾斜角の二次のオーダーであることに注意する.

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 32

r/a= 1 +O(e)、r⁰/a⁰ = 1 +O(e⁰) より, 離心率と軌道傾斜角の二次のオーダー までは,

µ1 2 r a

r⁰ a⁰Ψ

¶

= 1

2s²(cos[λ+λ⁰−2Ω]−cos[λ−λ⁰])

+ss⁰(cos[λ−λ⁰−Ω + Ω⁰]−cos[λ+λ⁰ −Ω−Ω⁰])

= 1

2s⁰²(cos[λ+λ⁰−2Ω⁰]−cos[λ−λ⁰]). (B.85) と書け, このオーダーまでは e によらない. いま, 二次のオーダーの展開式にのみ 着目しており, Ψ はすでに二次のオーダーであるから, Ψ の二次以上のべきは無視 できる.

ここまででR_D の級数の最初の主要な二項を得た(式(B.66)を参照). 任意の整 数 j について, cosj[θ−θ⁰] の表式を求める必要がある. まず,

cosj[θ−θ⁰] = cosj[ω+ Ω +f] cosj[ω⁰+ Ω⁰ +f⁰]

+ sinj[ω+ Ω +f] sinj[ω⁰+ Ω⁰+f⁰]. (B.86) 式 (2.88)から

f =M+ 2esinM+ 5

4e²sin 2M +O(e³). (B.87) cosj[ω+ Ω +f]、sinj[ω+ Ω +f] にこの式を適用して, 前にもやったように経度 で書き直してテイラー級数展開すると,次式を得る.

cosjθ ≈(1−j²e²) cos[jλ]

+ µ1

2j²e²−5 8je²

¶

cos[(2−j)λ−2$]

+ µ1

2j²e²+5 8je²

¶

cos[(2 +j)λ−2$]

−jecos[(1−j)λ−$] +jecos[(1 +j)λ−$], (B.88)

sinjθ ≈(1−j²e²) sin[jλ]

+ µ5

8je²−1 2j²e²

¶

sin[(2−j)λ−2$]

+ µ5

8je²+1 2j²e²

¶

sin[(2 +j)λ−2$]

+jesin[(1−j)λ−$] +jesin[(1 +j)λ−$]. (B.89)

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 33

プライムなしの量をプライムつきに置き換えると同じような形の cosjθ⁰ とsinjθ⁰ の式が容易に得られる. cosj[θ−θ⁰]の表式は、

cosj[θ−θ⁰]≈

(1−j²e²−j²e⁰²) cos[j(λ−λ⁰)]

+ µ5

8je²+ 1 2j²e²

¶

cos[(2 +j)λ−jλ⁰−2$]

+ µ1

2j²e² −5 8je²

¶

cos[(2−j)λ+jλ⁰−2$]

+jecos[(1 +j)λ−jλ⁰−$]−jecos[(1−j)λ+jλ⁰−$]

+ µ1

2j²e⁰²− 5 8je⁰²

¶

cos[jλ+ (2−j)λ⁰−2$⁰] +

µ5

8je⁰²+1 2j²e⁰²

¶

cos[jλ−(2 +j)λ⁰+ 2$⁰]

−je⁰cos[jλ+ (1−j)λ⁰−$⁰] +je⁰cos[jλ−(1 +j)λ⁰ +$⁰]

−j²ee⁰cos[(1 +j)λ+ (1−j)λ⁰−$−$⁰]

−j²ee⁰cos[(1−j)λ+ (1 +j)λ⁰−$−$⁰] +j²ee⁰cos[(1 +j)λ−(1 +j)λ⁰−$+$⁰]

+j²ee⁰cos[(1−j)λ−(1−j)λ⁰−$+$⁰]. (B.90)

式 (B.66) の j の和はすべてを足したものであるが, 実際にはこの計算は必要ない

(B.9 節等を参照).

式 (B.60)と (2.81) より, ε= r

a −1≈ −ecosM+ 1

2e²(1−cos 2M)

=−ecos[λ−$] + 1

2e²(1−cos[2λ−2$]) (B.91) であるから,

ε² ≈ 1 2e²+1

2e²cos 2M = 1 2e²+ 1

2e²cos[2λ−2$]. (B.92) ε⁰, ε⁰² についても同様な式を得る. ε は e のオーダーであるから, 二次をこえるべ きは必要ない.

最後に, 式 (B.66)の加算を行う前に, Ai,j,m,n 関数で与えられるラプラス係数の 導関数を求めなければならない. この計算は, この加算における i の値では単純化

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 34

でき,

aⁱa⁰ⁱ⁺¹Ai,j,m,n =a^i+ma⁰ⁱ⁺ⁿ⁺¹ ∂^m+n

∂a^m∂a⁰ⁿ

³

a^0−(2i+1)b^(j)_i+1 2(a/a⁰)

´

(B.93) とすればよい. 微分の結果, a/a⁰ の関数が残る. ここでの場合, 必要な A_i,j,m,n の 値は,

aⁱa⁰ⁱ⁺¹A_i,j,0,0 =αⁱb^(j)_i+1 2

(α), (B.94)

aⁱa⁰ⁱ⁺¹A_i,j,1,0 =αⁱ⁺¹Db^(j)_i+1 2

(α), (B.95)

aⁱa⁰ⁱ⁺¹A_i,j,0,1 =−αⁱ⁺¹Db^(j)_i+1 2

(α)−(2i+ 1)αⁱb^(j)_i+1 2

(α), (B.96)

aⁱa⁰ⁱ⁺¹A_i,j,2,0 =αⁱ⁺²D²b^(j)_i+1 2

(α), (B.97)

aⁱa⁰ⁱ⁺¹A_i,j,1,1 =−αⁱ⁺²D²b^(j)_i+1 2

(α)−2αⁱ⁺¹(i+ 1)Db^(j)_i+1 2

(α), (B.98)

aⁱa⁰ⁱ⁺¹Ai,j,2,2 =αⁱ⁺²D²b^(j)_i+1

2(α) + 4αⁱ⁺¹(i+ 1)Db^(j)_i+1 2(α) + 2αⁱ(2i²+ 3i+ 2)b^(j)_i+1

2(α). (B.99)

i は 0 と 1 の値をとり, それより高次の量は式 (B.66) に Ψⁱ という項があるため 無視できる.

今度は i について和をとる. 離心率と軌道傾斜角の二次のオーダーまで和をと ると,

R_D = µ1

2[a⁰A_0,j,0,0+εa⁰A_0,j,1,0+ε⁰a⁰A_0,j,1,0 + 1

2ε²a⁰A_0,j,2,0 +εε⁰a⁰A_0,j,1,1+1

2ε⁰²a⁰A_0,j,0,2] +

µ1 2 r a

r⁰ a⁰Ψ

¶

aa⁰²A_1,j,0,0

¶

cosj[θ−θ⁰]. (B.100) 既に求めた級数をこの式に適用すると, 23 個の余弦角変数をもつ展開式を得る. これらは, 角変数のオーダー, つまり λ と λ⁰ の係数の和によって分類できる. 二 次の展開式を

R_D =R⁽⁰⁾_D +R⁽¹⁾_D +R⁽²⁾_D (B.101)

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 35

と書き, R⁽ⁱ⁾_D が展開式のオーダー i の角変数を含む部分を表すものとすると, R⁽⁰⁾_D =

µ1 2b^(j)1

2

+ 1

8(e²+e⁰2)£

−4j²+ 2αD+α²D²¤ b^(j)1

2

¶

cos[jλ−jλ⁰] +

µ1 8ee⁰£

2j+ 4j²−2αD−α²D²¤ b^(j)1

2

¶

×cos[(1 +j)λ−(1 +j)λ⁰−$+$⁰] +

µ1 8ee⁰£

−2j+ 4j²−2αD−α²D²¤ b^(j)1

2

¶

×cos[(1−j)λ−(1−j)λ⁰−$+$⁰] +

µ1

4(s²+s⁰²)[−α]b^(j)3 2

¶

cos[(1 +j)λ−(1 +j)λ⁰] +

µ1

4(s²+s⁰²)[−α]b^(j)3 2

¶

cos[(1−j)λ−(1−j)λ⁰] +

µ1

2ss⁰[α]b^(j)3 2

¶

cos[(1 +j)λ−(1 +j)λ⁰−Ω + Ω⁰] +

µ1

2ss⁰[α]b^(j)3 2

¶

cos[(1−j)λ−(1−j)λ⁰ −Ω + Ω⁰], (B.102) R⁽¹⁾_D =

µ1

4e[2j−αD]b^(j)1 2

¶

cos[(1 +j)λ−jλ⁰−$]

+ µ1

4e[−2j−αD]b^(j)1 2

¶

cos[(1−j)λ+jλ⁰−$]

+ µ1

4e⁰[1 + 2j+αD]b^(j)1 2

¶

cos[jλ−(1 +j)λ⁰ +$⁰] +

µ1

4e⁰[1−2j+αD]b^(j)1 2

¶

cos[jλ+ (1−j)λ⁰−$⁰], (B.103)

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 36

R⁽²⁾_D = µ 1

16e²£

5j+ 4j²−2αD−4jαD+α²D²¤ b^(j)1

2

¶

×cos[(2 +j)λ−jλ−2$]

+ µ 1

16e²£

−5j+ 4j²−2αD+ 4jαD+α²D²¤ b^(j)1

2

¶

×cos[(2−j)λ+jλ−2$]

+ µ1

8ee⁰£

2j −4j²−2αD+ 2jαD−α²D²¤ b^(j)1

2

¶

×cos[(1 +j)λ+ (1−j)λ⁰−$−$⁰] +

µ1 8ee⁰£

−2j −4j²−2αD−2jαD−α²D²¤ b^(j)1

2

¶

×cos[(1−j)λ+ (1 +j)λ⁰−$−$⁰] +

µ 1 16e⁰²£

4 + 9j+ 4j²+ 6αD+ 4jαD+α²D²¤ b^(j)1

2

¶

×cos[jλ−(2 +j)λ⁰ + 2$⁰] +

µ 1 16e⁰²£

4−9j+ 4j²+ 6αD−4jαD+α²D²¤ b^(j)1

2

¶

×cos[jλ+ (2−j)λ⁰ −2$⁰] +

µ1

4s²[α]b^(j)3 2

¶

cos[(1−j)λ+ (1 +j)λ⁰−2Ω]

+ µ1

4s²[α]b^(j)3 2

¶

cos[(1 +j)λ+ (1−j)λ⁰−2Ω]

+ µ1

2ss⁰[−α]b^(j)3 2

¶

cos[(1−j)λ+ (1 +j)λ⁰−Ω−Ω⁰] +

µ1

2ss⁰[−α]b^(j)3 2

¶

cos[(1 +j)λ+ (1−j)λ⁰−Ω−Ω⁰] +

µ1

4s⁰²[α]b^(j)3 2

¶

cos[(1−j)λ+ (1 +j)λ⁰−2Ω⁰] +

µ1

4s⁰²[α]b^(j)3 2

¶

cos[(1 +j)λ+ (1−j)λ⁰−2Ω⁰]. (B.104) この展開式中の角変数の形は唯一のものではなく, もっと単純化することも可能 である. これは,異なる項を比較すると, R⁽⁰⁾_D の第一項を除いて同じ形の組で現れ ているので, 明らかである. 式 (B.66)の j についての和は全部の量についてとっ ているので, 角変数とその項に k を整数として j に対して j → ±j+k という変 換を行うことができる. また, 展開式には余弦のみが現れるので, 偏角の符号を自

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 37

ことができる. ここでは,j を角変数中の λ⁰ の係数にしている. 例として,R⁽⁰⁾_D 中の ee⁰ の二項を考える. これらは,同じ余弦偏角

jλ⁰−jλ+$⁰−$ (B.105)

に変換することができる. ここでは最初の項の j を −j に変換し, 次にそれぞれ j →j+ 1 という変換を行っている. この偏角にともなう項は,

1 4ee⁰£

2 + 6j + 4j²−2αD−α²D²¤ b^(j+1)1

2 . (B.106)

他の偏角に対しても同じ方法を使うことができ, 偏角の数は23 個から 11 個ま で減らすことができる. この変換では, 式 (B.69)で与えられる性質 b^(−j)s =b^(j)s を 用いた. また, λ⁰ の係数を j として角変数を表す場合でさえ最終的な展開式の形 は一通りでなく、角変数の反転を使ったj → −j 式の変換では別の形の角変数が 現れる.

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 38

直接部の二次のオーダーの展開式の最終的な形は、

R_D = µ1

2b^(j)1 2

+ 1 8

¡e²+e⁰²¢ £

−4j²+ 2αD+α²D²¤ b^(j)1

2

+1 4

¡s²+s⁰²¢ ³

[−α]b^(j−1)3 2

+ [−α]b^(j+1)3 2

´¶

×cos[jλ⁰ −jλ]

+ µ1

4ee⁰£

2 + 6j + 4j²−2αD−α²D²¤ b^(j+1)1

2

¶

×cos[jλ⁰ −jλ+$⁰−$]

+

³

ss⁰[α]b^(j+1)3 2

´

cos[jλ⁰−jλ+ Ω⁰−Ω]

+ µ1

2e[−2j−αD]b^(j)1 2

¶

cos[jλ⁰ + (1−j)λ−$]

+ µ1

2e⁰[−1 + 2j+αD]b^(j−1)1 2

¶

cos[jλ⁰+ (1−j)λ−$⁰] +

µ1 8e²£

−5j+ 4j²−2αD+ 4jαD+α²D²¤ b^(j)1

2

¶

×cos[jλ⁰ + (2−j)λ−2$]

+ µ1

4ee⁰£

−2 + 6j −4j²+ 2αD−4jαD−α²D²¤ b^(j−1)1

2

¶

×cos[jλ⁰ + (2−j)λ−$⁰−$]

+ µ1

8e⁰²£

2−7j+ 4j²−2αD+ 4jαD+α²D²¤ b^(j−2)1

2

¶

×cos[jλ⁰ + (2−j)λ−2$⁰] +

µ1

2s²[α]b^(j−1)3 2

¶

×cos[jλ⁰ + (2−j)λ−2Ω]

+

³

ss⁰[−α]b^(j−1)3 2

´

cos[jλ⁰+ (2−j)λ−Ω⁰−Ω]

+ µ1

2s⁰²[α]b^(j−1)3 2

¶

cos[jλ⁰ + (2−j)λ−2Ω⁰]. (B.107) 式 (B.47)と (B.48) で定義された摂動関数の間接部を求めるのは, すでに cosψ の表式を得ているので比較的簡単である. r/a と (a⁰/r⁰)² の表式は2.5 節の展開で 得られる. 二次までとると,

r

a = 1−ecos[λ−$] +1

2e²(1−cos[2λ−2$]), (B.108) µa⁰¶

1

平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 B. 摂動関数 39

したがって, R_E =−r

a µa⁰

r⁰

¶₂ cosψ

≈ µ

−1 + 1 2e²+1

2e⁰²+s²+s⁰²

¶

cos[λ⁰−λ]

−ee⁰cos[2λ⁰ −2λ−$⁰ +$]−2ss⁰cos[λ⁰−λ−Ω⁰+ Ω]

−1

2ecos[λ⁰−2λ+$] + 3

2ecos[λ⁰−$]−2e⁰cos[2λ⁰ −λ−$⁰]

−3

8e²cos[λ⁰−3λ+ 2$]− 1

8e²cos[λ⁰+λ−2$]

+ 3ee⁰cos[2λ−$⁰−$]−1

8e⁰²cos[λ⁰ +λ−2$⁰]

−27

8 e⁰²cos[3λ⁰−λ−2$⁰]−s²cos[λ⁰+λ−2Ω]

+ 2ss⁰cos[λ⁰ +λ−Ω⁰−Ω]−s⁰²cos[λ⁰+λ−2Ω⁰]. (B.110) R_D を求めるときと同じ形にするため, 何か所かは偏角の符号を変えている.

R_I の形を求めるにも同じ方法が使える. R_E 中のプライムつきの量とプライム なしの量を入れ替えればよい.

R_I =−r⁰ a⁰

³a r

´₂ cosψ

≈ µ

−1 + 1 2e²+1

2e⁰²+s²+s⁰²

¶

cos[λ⁰−λ]

−ee⁰cos[2λ⁰−2λ−$⁰+$]−2ss⁰cos[λ⁰−λ−Ω⁰+ Ω]

−2ecos[λ⁰−2λ+$] +3

2e⁰cos[λ−$⁰]−1

2e⁰cos[2λ⁰−λ−$⁰]

−27

8 e²cos[λ⁰−3λ+ 2$]− 1

8e²cos[λ⁰+λ−2$]

+ 3ee⁰cos[2λ−$⁰−$]− 1

8e⁰²cos[λ⁰ +λ−2$⁰]

−3

8e⁰²cos[3λ⁰−λ−2$⁰]−s²cos[λ⁰+λ−2Ω]

+ 2ss⁰cos[λ⁰+λ−Ω⁰−Ω]−s⁰²cos[λ⁰+λ−2Ω⁰]. (B.111)

ドキュメント内 平均運動共鳴による小惑星の軌道進化 - 北海道大学 (ページ 33-43)