有限要素解の誤差評価 .1 方針

12.4 有限要素解の誤差評価 12.4.1 方針

簡単のため、ここでは2次元の Poisson 方程式の同次Dirichlet 境界値 問題を扱うことにする。関数空間とノルムは

V :=H₀¹(Ω), ∥u∥_V :=∥∇u∥= Z Z

Ω

u_x²+u_y² dx dy

_1/2 .

基礎となるのは証明済みの次の事実である。

誤差最小の原理

uh を有限要素解とするとき、

∥u−u_h∥_V = min

v∈Vh

∥u−v∥_V .

(菊地先生の本では、∥ · ∥V は||| · |||,u_h はubと書いた。)

∥u−v∥_V がある程度具体的に計算できて小さいことを示せるような v ∈V_h を見出せれば ∥u−u_h∥ ≤ ∥u−v∥ という評価が得られる。

v として、ここではいわゆる補間多項式 uh= Πhu ^{を利用する。}

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/ana/応用数値解析特論 第13回 〜有限要素法の理論的背景〜 24 / 38

12.4 有限要素解の誤差評価 12.4.1 方針

簡単のため、ここでは2次元の Poisson 方程式の同次Dirichlet 境界値 問題を扱うことにする。関数空間とノルムは

V :=H₀¹(Ω), ∥u∥_V :=∥∇u∥= Z Z

Ω

u_x²+u_y² dx dy

_1/2 .

基礎となるのは証明済みの次の事実である。

誤差最小の原理

uh を有限要素解とするとき、

∥u−u_h∥_V = min

v∈Vh

∥u−v∥_V .

(菊地先生の本では、∥ · ∥V は||| · |||,u_h はubと書いた。)

∥u−v∥_V がある程度具体的に計算できて小さいことを示せるような v ∈V_h を見出せれば∥u−u_h∥ ≤ ∥u−v∥ という評価が得られる。

v として、ここではいわゆる補間多項式 uh= Πhu ^{を利用する。}

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12.4.2 1 次元の場合の誤差評価

節点の全体を {P_i}^m_i=1 ^{として、区分}1次多項式φ_iで φ_i(P_j) =δ_ij を満 たすものをとると、φ₁,. . .,φ_m は区分1次多項式全体のなす線形空間の 基底になる。

v ∈H¹(I) に対して、Π_hv を次式で定める。

e

v_h(x) = Π_hv(x) :=

Xm i=1

v(x_i)φ_i(x).

Πhv ^はv ^のLagrange 補間、線形補間と呼ばれる。

補題 13.7

∀v ∈H²(I) に対して、

∥v−ev_h∥ ≤ 2

√3h²v^′′, v^′−ve_h^′≤ 2

√3hv^′′. 証明は例えば、齊藤[9]^のpp. 10–13^{に載っている。}

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12.4.2 1 次元の場合の誤差評価

節点の全体を {P_i}^m_i=1 ^{として、区分}1次多項式φ_iで φ_i(P_j) =δ_ij を満 たすものをとると、φ₁,. . .,φ_m は区分1次多項式全体のなす線形空間の 基底になる。

v ∈H¹(I) に対して、Π_hv を次式で定める。

e

v_h(x) = Π_hv(x) :=

Xm i=1

v(x_i)φ_i(x).

Πhv ^はv ^のLagrange 補間、線形補間と呼ばれる。

補題 13.7

∀v ∈H²(I) に対して、

∥v−ev_h∥ ≤ 2

√3h²v^′′, v^′−ve_h^′≤ 2

√3hv^′′. 証明は例えば、齊藤[9]^のpp. 10–13^{に載っている。}

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12.4.2 1 次元の場合の誤差評価

定理 13.8 (有限要素解の誤差評価(1次元の場合))

∀f ∈L²(I) に対して、∃!u_h∈V_h s.t. u_h は弱解、∥u_h∥_V ≤ ∥f∥. さらに

∥u−u_h∥_V ≤Ch∥u^′′∥,∥u−u_h∥ ≤Ch²∥u^′′∥.

証明

補題の二つ目の不等式から

∥u−u_h∥_V =u^′−u_h^′≤ 2

√3hu^′′.

後半は、Aubin-Nitscheのトリック (別名 duality argument)を用いる。

e_h:=u−u_h とおき、

(5) (w,v)_V = (e_h,v) (v ∈V)

を満たす w ∈V ^を求める(この問題を共役な問題と呼ぶ)^。

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12.4.2 1 次元の場合の誤差評価

証明 (続き)

w ∈H²(I) かつ w^′′=−e_h である。

さらにu_h ^はu ^のV_h ^{射影であるから、}e_h=u−u_h^は Π_hw ∈V_h^とは 直交している^a。すなわち(e_h,Π_hw)_V = 0 が成り立つ。

ゆえに(5) にv =e_h を代入して

∥e_h∥² = (e_h,e_h) = (w,e_h)_V = (w −Π_hw,e_h)_V ≤ ∥w −Π_hw∥_V ∥e_h∥_V

≤ 2

√3hw^′′· 2

√3hu^′′= 4

3h²∥e_h∥u^′′. 両辺を ∥e_h∥ ^で割って

∥e_h∥ ≤ 4

3h²u^′′.

a(uh,vh)V = (f,vh) = (u,vh) (vh∈Vhより、(u−uh,vh)V = 0. u−uhをehと書き 換えて、vhとしてΠhw をとって、(eh,Πhw)V = 0.)

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12.4.3 2 次元の場合の誤差評価

Ωは多角形領域(⊂R²),区分1次多項式によるW =H¹(Ω),V =H₀¹(Ω) の近似空間Wh,Vh を導入する。

次の3条件が成り立つようにΩを(閉)三角形T の集合T ^{に分割する。}

(1) S

T∈T T = Ω

(2) 任意の異なる二つの三角形は内部を共有しない。

(3) 任意の三角形の任意の頂点は、他の三角形の頂点としているか、単 独で Ωの角をなすかのどちらかである(ある三角形の辺上に別の三 角形の頂点があることはない)^。

図1:重なり,すき間,頂点が他の要素の辺上にある、なんてのはダメ

かつらだ 桂 田

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12.4.3 2 次元の場合の誤差評価

T ∈T ^の直径 (= sup

x,y∈T

|x−y|=T ^{の外接円の直径}) ^{の最大値を}h ^と おく:

h:= max

T∈T h_T.

三角形分割 T ^を、このh ^{を明示する意味で、}Th と書くことが多い。

H²(Ω)のセミノルム |u|_2,T ^{を次式で定義する}:

|u|_2,T :=

Z Z

T

|u_xx|²+ 2|u_xy|²+|u_yy|² dx dy

1/2

.

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12.4.3 2 次元の場合の誤差評価

1^{次多項式で}T ^{の各頂点で} u ^{と値が一致するものを} Πu ^と書く。

補題 13.9 (局所補間誤差)

T ^{を閉三角形、}u ∈H²(T) ^{とするとき、}

∥Πu−u∥_L²_(T)≤C₁h²_T|u|_2,T,

∥∇(Πu−u)∥_L²_(T) ≤C1

1

sin²θ_ThT|u|_2,T. ただし θT :=T ^{の最小内角}. C1 はT ^やu ^{に無関係な正定数。}

証明は、やはり齊藤[9]^を見よ。

この補題はずいぶん細かいことをやっているようだが、実は理由があ る。分割の族を扱うと、無限に多くの三角形が対象になるので、一般に は、いくらでも小さいθT が出て来るような分割の族がありうる。そうな るとまともな誤差評価が得られないだろうことは容易に想像出来る。そこ で次のような仮定をおくことにする。

かつらだ 桂 田

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12.4.3 2 次元の場合の誤差評価

定義 13.10 (三角形分割の族の正則性, Zl´amalの最小角条件) 三角形分割の族{Th}_h>0 ^が正則 (regular) ^とは、

(6) (∃θ₁>0) inf

Th

min

T∈Th

θ_T ≥θ₁.

この条件を Zl´amal^{の最小角条件と呼ぶ。}

同値な条件に

(7) (∃ν₁ >0)(∀Th∈ {Th})(∀T ∈Th) h_T ρT ≤ν₁. がある。ただし

ρ_T :=T ^{の内接円の直径}. (^条件 (7)^は、3次元の場合にも通用する。)

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12.4.3 2 次元の場合の誤差評価

定理 13.11 (大域的補間誤差)

{Th}h>0 が正則な三角形分割族とするとき、

∥Πhu−u∥ ≤C1h²|u|_2,Ω (u∈H²(Ω)),

∥∇(Πhu−u)∥ ≤ C1

sin²θ1

h|u|_2,Ω (u∈H²(Ω)).

ここでC1は補題13.9中に現れる正定数である。

証明は、やはり齊藤[9]を見よ。

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12.4.3 2 次元の場合の誤差評価

定理 13.12 (H¹ 誤差評価)

Ωは凸多角形領域、{Th}_h>0を Ωの正則な三角形分割の族とする。u∈V を 弱解、Thの連続な区分1次多項式で境界で0になるもの全体をVh,uh∈Vh を 有限要素解とするとき、

∥u−uh∥_V ≤Ch|u|_H2(Ω). ただしC =C(θ₁,Ω)>0.

証明.

誤差最小の原理から、∀vh∈Vhに対して、

∥u−uh∥_V ≤ ∥u−vh∥_V. vhとしてΠhuを代入すると、

∥u−uh∥V ≤ ∥u−Πhu∥V ≤C(θ1,Ω)h|u|2,Ω. ゆえに ∥u−uh∥V ≤C(θ1,Ω)h|u|2,Ω.

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12.4.3 2 次元の場合の誤差評価

定理 13.13 (L²誤差評価)

定理13.12と同じ仮定のもとで

∥u−u_h∥ ≤C^′h²|u|_H²_(Ω).

証明.

定理 13.8の後半の証明と同様にAubin-Nitsche のトリックを用い る。

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12.4.4 まとめ

H^{1誤差評価については}

1次元の証明は、誤差最小の原理＋補間関数の局所的な誤差

2次元の証明は、誤差最小の原理＋補間関数の局所的な誤差＋分割の 正則性から導かれる大域的な誤差評価

L² 誤差評価は、H¹ 誤差評価よりも h の冪が1高い評価が得られる (Aubin-Nitcshe^{のトリックによる})

かつらだ 桂 田

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参考文献 I

[1] 菊地文雄：有限要素法の数理,培風館 (1994),有限要素法の解析に関 する貴重な和書です。版元在庫切れ状態です。 読みたい学生は相談 して下さい。

[2] 田端正久：偏微分方程式の数値解法,^岩波書店 (2010),^{もともとは岩} 波講座応用数学の「微分方程式の数値解法 II」(1994)であった。

[3] Brenner, S. C. and Scott, L. R.: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 3rd edition, Springer (2008).

[4] Brezis, H.: ^関数解析,^産業図書 (1988), (^{藤田 宏},^{小西 芳雄 訳}),^原著 は版を改めて、より内容豊富になっています。

[5] Evans, L. C.: Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS (2010),^{偏微分方程式の定番本}.

[6] 菊地文雄：有限要素法概説,^{サイエンス社} (1980), ^新訂版1999.

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参考文献 II

[7] Dauge, M.: Elliptic Boundary Value Problems on Corner Domains:

Smoothness and Asymptotics of Solutions, Lecture Notes in

Mathematics book series (LNM, volume 1341), Springer (2009), ^明治 大学は電子版を購入してあります。

https://link.springer.com/book/10.1007/BFb0086682 ^でアク セス可能.

[8] Grisvard, P.: Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Boston (1985), SIAM^から 2011^{年に再販されています}.

[9] 齊藤宣一：有限要素法と非線形楕円型方程式の解の可視化, Ver. 2,^今 は公開していないようなので僕の学生で読みたい人は相談 (2009, 2010).

かつらだ 桂 田

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祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/ana/応用数値解析特論 第13回 〜有限要素法の理論的背景〜 37 / 38

ドキュメント内 応用数値解析特論第 13 (ページ 56-73)