が成り立つ(i= 0,1)．同様の式はνt(i)とνtの間でも成り立つ(i= 0,1)．これらを用いて，
∑
i=0,1
λi
(
Entm(µ(i))−Entm(νt(i))
)−Entm(µ) + Entm(νt)
= ∑
i=0,1
λi (
Entµ(µ(i))−Entνt(νt(i)) )
(7.7) を得る．Entµ(µ(i))を評価するのに，測度の押し出しに関する相対エントロピーの収縮性 [7, Lemma 9.4.5]を(今の設定で)示す．Lemma 3.11を用いて，π(dxdy) = πy(dx)µ(dy), πy ∈
P(X) (y∈X)と分解する．このとき，まず，
dµ(i) dµ (y) =
∫
X
dνt(i) dνt
dπy µ-a.e. y となる．実際，各A∈ B(X)で
µ(i)(A) =π(i)(X×A) =
∫
X×A
dνt(i)
dνt (x)π(dxdy) =
∫
A
(∫
X
dνt(i)
dνt (x)πy(dx) )
µ(dy)
が成り立つことから分かる．これを用いると，Jensenの不等式から，
Entµ(µ(i)) =
∫
X
dµ(i) dµ log
( dµ(i)
dµ )
dµ=
∫
X
(∫
X
dνt(i) dνt
dπy
) log
(∫
X
dνt(i) dνt
dπy
) µ(dy)
≤
∫
X
(∫
X
dνt(i) dνt log
( dνt(i)
dνt )
dπy
)
µ(dy) = Entνt(νt(i))
を得る(i= 0,1)．この不等式を(7.7)に適用すれば，(7.6)が従う． □ Theorem6.6の(2)⇒ (1)の証明の議論では，まず(µs)s∈[0,1] ∈Geo(P2(X))を取り，その W2-測地線上でK凸性の式(5.1)が成り立つことを示している．この議論は任意のW2-測地線 で機能するので，今の設定においては強CD条件を導く．このことから次が分かる．
Corollary 7.10 (RCD ⇒ 強凸) RCD(K,∞)空間は強CD(K,∞)条件をみたす．
この文脈では，RCD(K,∞)空間は，熱分布の解析のために導入された空間族として話を進め てきた．一方この節の冒頭で述べたように，空間族は幾何学的な問題意識からの要請に適った ものでもあった．実際，RCD(K,∞)空間は，以前に考えられてきた曲率次元条件よりも様々 な意味で「行儀の良い(奇妙な振る舞いをしない)」空間(族)になっている61．このことの実例 は8.2節で述べることとし，先ずはBakry- ´Emeryの曲率次元条件との関係に話を移していく．
Proposition 7.11 (RCD空間上の熱流の性質) RCD(K,∞)空間上では，Ptは対称な積分 核(熱核密度)ptを持つ．更に(µxt)t≥0をµ0 =δxをみたすEVIの解とすると，各f ∈L2(m) に対して
Ptf(x) =
∫
X
fdµxt m-a.e. x.
更に，f ∈L∞(m)に対して上式の右辺は有界かつ(t, x)∈(0,∞)×X の関数として連続．
Proof. 例によって概略のみ述べる．まずf ∈C0(X)を確率密度とする．fmをDirac測度の 有限線形結合で(W2の意味で)近似し，EVIの線形性を用いると，Theorem7.9とRemark7.8 (ii)より，
Ptf(x)m(dx) = (∫
X
fdµxt )
m(dx)
が得られる(左辺を，初期値fmのEVIの解とみる)．従って両辺の密度が一致し，Ptfの表 示を得る(一般のf に対しては近似)．EVIの定義よりt >0ならばµxt ∈D(Entm)．従ってµxt はmに関する密度を持ち，これが熱核密度ptになる．ptの対称性はPtの対称性から分かる．
なお，連続性の証明は省略する([10, Theorem 6.1]参照；この命題の，ここまでで示した結果
を用いる)． □
応用として，以上から，ν0 =νをみたすEVIの解を(νt)t≥0とおくと，
∫
X
fdνt=
∫
X
Ptfdν0
が成り立つ．このことから，νtを以下ではPt∗νと書くことにする．ν=fmであれば，Pt∗ν = Ptfmになる．また，以下断りなく，記号PtfをProposition7.11の式の右辺の意味で用いる．
Theorem 7.12 (RCD⇒ Bakry- ´Emery, N =∞) (X, d,m)をRCD(K,∞)空間とする．こ のとき以下が成立．
(C) (W2-収縮性) 各ν, ν′ ∈P2(X), t >0で，
W2(Pt∗ν, Pt∗ν′)≤e−KtW2(ν, ν′).
(D) (Bakry- ´Emeryの微分評価) 各f ∈W1,2(X), t >0で
|∇Ptf|2∗ ≤e−2KtPt(|∇f|2∗).
(E) (Bakry- ´Emeryの(弱)曲率次元条件(N =∞)) f ∈ D(L)かつLf ∈ W1,2(X)をみ たすf とh ∈D(L)∩L∞(m), h≥0かつLh ∈L∞(m)をみたすhに対して，次が成立 する． 1
2
∫
X
|∇f|2∗Lhdm−
∫
X
⟨∇f,∇Lf⟩∗hdm≥K
∫
X
|∇f|2∗hdm.
条件(E)で弱形式(積分形)でBakry- ´Emeryの曲率次元条件を定式化しているのは，|∇f|2∗ ∈ D(L)62がいつ成り立つか不明であったため．この点は9.1節で掘り下げることになる．なお，
この弱形式の定式化は最初に[74]で与えられ，[10,11]で洗練された．
62正確には，D(L)はL1の意味での定義域．
Proof of Theorem 7.12. (C)はTheorem7.9とTheorem6.4から直ちに従う．以下，(C)
⇒ (D) ⇒(E)の順に示す．
「(C) ⇒ (D)」の証明の概略を述べる．ここでは，f ∈ Lip(X)として，minimal relaxed gradientの代わりに局所Lipschitz定数に対する結果として示す．Minimal relaxed gradientの 場合は，そこからうまく(最適輸送に沿った) 積分の形に持ち込んで近似する．以下の証明は [117]によるが，最適輸送を用いた(もう少し洗練された)証明が[10, Theorem 6.2]で述べられ ている63．t >0を固定し，x, y∈Xとする．また，π ∈Π(Pt∗δx, Pt∗δy)をW2に関する最適 カップリングとする．このとき，
|Ptf(y)−Ptf(x)|= ∫
X
fdPt∗δy−
∫
X
fdPt∗δx
= ∫
X×X
(f(z)−f(w))π(dzdw) を得る．|f(z)−f(w)| ≤ |∇f|(z)d(z, w) + (誤差項) と考えられるので，誤差項を無視すると，
Schwarz不等式と(C)から，
|Ptf(y)−Ptf(x)| ≤
√∫
X×X
|∇f|(z)2π(dzdw)
∫
X×X
d(z, w)2π(dzdw)
≤√
Pt(|∇f|2)(x)W2(Pt∗δx, Pt∗δy)≤e−Kt√
Pt(|∇f|2)(x)d(x, y).
ここまで来れば，あとは容易．
「(D) ⇒ (E)」は，Theorem2.3の議論をN =∞の場合に(積分形で)適用すればよい．□ Theorem7.12より，当初の目標であったSturm, Lott-Villaniの曲率次元条件CD(K,∞)か ら(自然な「無限小Hilbert的」の仮定のもとで) Bakry- ´Emeryの曲率次元条件を導出できた．
ここで，Theorem7.12の応用も含め，Ptが関数をどの程度「よい」関数にうつすのか，という
ことに関連する次の注を述べておく．理論を厳密に展開する上でかなり重要な内容を含むが，
技巧的でやや重い話題と考え注とした．本来は定理として述べるべきものである．
Remark 7.13 (Ptによる関数のregularization)
(i) (E)において，試験関数f,hにはかなり強い制約を課している．このような条件をみたす関 数はちゃんと沢山あることを確認しておこう．まずfについて，f :=Ptf0,f0 ∈L2(m), t > 0 であれば，Lf = Pt/2LPt/2f0 ∈ D(E)であるから，(E)の条件をみたす．hに ついては半群の軟化 (mollification) (例えば [159, Theorem 2.7の証明] 参照)を用い る．θ ∈ Cc∞((0,∞)), θ ≥ 0で
∫
Rθ(x) dx = 1 となるものとh ∈ L2(m)に対して，
Pεh:=ε−1
∫ ∞
0
θ(ε−1r)Prfdr と定める．このとき，
LPεh=−1 ε2
∫ ∞
0
θ′ (r
ε )
Prfdr
となるので，h0∈L2∩L∞(m), ε >0に対してh:=Pεh0であれば，hは所与の条件を みたす．なお，半群の軟化の技法は，この種の解析を進める際に様々な場面で有効な近 似として用いることができる．ε→0でPεh→h in L2(m)となることは容易．
63ただし，後で扱うN <∞の場合の証明は，ここで紹介する考え方(の拡張)によるものしか知られていない と思われる．
(ii) RCD(K,∞)空間上，(D)の不等式で，左辺のminimal relaxed gradientを局所Lipschitz 定数に置き換えた式が成り立つ[10, Theorem 6.2]．これは，おおまかにはTheorem 7.5 による．(試験輸送計画に沿った)線積分を，左辺の量をminimal weak upper gradientと みなして評価する．すると，その評価が一様になる(ように関数を近似できる)ことから，
試験輸送計画の極限移行によってLipschitz評価が従う．
よって，f ∈W1,2(X)のときPtf はLipschitz連続になると分かる．特にこのことから
「f ∈W1,2(X)かつ|∇f|∗ ≤1であれば，f ∈Lip(X)かつ各x∈Xで|∇f|(x)≤1」 が示せる [10, Theorem 6.2]64．これを条件(L)と呼ぶことにする．
(iii) RCD(K,∞)空間上，(D)を用いてPtに関するPoincar´e不等式 Pt(f2)−(Ptf)2 ≤ 1−e−2Kt
K Pt(|∇f|2∗) および，逆向きPoincar´e不等式
e2Kt−1
K |∇Ptf|2∗ ≤Pt(f2)−(Ptf)2
が得られる ([11,18, 20, 124]等参照；形式的には，Theorem 2.3(1) ⇒ (2)の証明と類 似の議論をΦ(s)の代わりにPs((Pt−sf)2)に対して行えばよい；(2.4)に相当する性質を 用いる)．K >0のとき，このPtに関するPoincar´e不等式においてt→ ∞とすること で，通常のPoincar´e不等式(ただし定数は1/K)が得られる．
(iv) 上の(ii)と同様の考え方を(iii)に適用すると，次の評価が得られる [10, Theorem 6.5]： 各x∈Xで
|∇Ptf|(x)≤
√ K
e2Kt−1∥f∥∞, (7.8)
ここから，f ∈L∞(m)であればt >0でPtf ∈Lipb(X)が従う．
Theorem7.12で導入された(C)(D)(E)は，単にRCD(K,∞)条件から従う，というだけでな く，次に述べる意味でRCD(K,∞)と同値になっている．これを紹介してこの節を終わろう．
Theorem 7.14 (Bakry- ´Emery ⇒RCD, N =∞) (X, d,m)は(V)，(L) をみたし，かつ無 限小Hilbert的と仮定する．このとき，Theorem 7.12の(C)(D)(E)いずれかの条件が成り立て ば，(X, d,m)はRCD(K,∞)条件をみたす65．
証明は省略する(易しいからではなく，複雑な上に私には要約し難いからである；4.3節の議論 とは異なり，(D)から(A)に至る)．[11]参照．Theorem7.9,7.12,7.14を合わせると，それぞ れの定理で登場した(A)-(E)の条件は(然るべき仮定の下で)全て同値と分かる66．
64正確には，「fの同値類からLip(X)に属するものが取れる」と言うべき．
65(C)から話を始める場合には，正確には，νi≪m,νi=σim,σi∈L1∩L2(m)の場合に限定して，Pt∗νiの代 わりにPtσimとした式をまず考える(i= 0,1)．そこからProposition7.11に相当する主張を導くことができる．
66(E)から出発する時はTheorem2.3の議論を通じて(D)をまず示す．