深い。 (1.1)のような初歩的な評価も曲率寸法条件との関係で初めて考慮しました。 Emery らによって導入された広曲率次元モード。は重み付きリーマン多様体の枠組み内で記述されます。熱分布。
基本的な記号と概念
このセクションでは、ワッサーシュタイン距離の注目すべき特性として、最適な輸送が連続的なサイズ変形による輸送であることについて説明します。これは交通理論の根本的な問題と言えるでしょう。実際、そのようなトピックについては、この章の後のセクションで説明します。 。
Kantorovich 双対性とその応用
さらに、それは必ずしも一意であるとは限りません。 (少なくとも、(−f, g) がカントロヴィッチ ポテンシャルである場合、(−f −α, g+α) はどの α ∈R についても同じです)。一方、Kantrovich ポテンシャルが存在する場合、π が最適な結合であることがすぐにわかります。 E ⊂X×X も、任意の n∈N、(xi, yi)∈ E (i= 1, ..., n この場合 c を a で近似) に対するコスト関数 c に関して巡回単調です。有界関数とリプシッツ連続関数は次のようになります。
最適輸送写像の存在
最適な交通マップの構築には、最適な交通の問題に対していくつかの有益な意味があります。ここでは、 21. アプリケーションでは、写像の存在のみが必要な（最適性は必要とされない）状況でもブレニエの定理が使用されることがあります。 。
Wasserstein 距離
次に (ii) を示します (コンパクトな場合)。次の証明は [178、定理 7.12] からのものです。この設定では、p 番目のモーメントの収束は自動的に弱収束に従うため、Wp での収束と弱収束の等価性を示すだけで十分です。 Wp は W1 と同じ値であるため、p= 1 に設定できます。系 3.2 から、Wp での収束が弱い収束につながることはすぐに明らかです。逆方向もトラック 3.2 に基づいています。 x0 ∈X を基準点とします。カントロヴィッチ ポテンシャルの非一意性に関する (3.4) の直後の注記によると、定数をシフトすることによってテスト関数のファミリーが f(x0) = 0 を満たすと仮定できます。その後、アスコリ-アルゼルの定理からわかります。上記の制約を持つテスト関数全体が均一な収束フェーズでコンパクトであることがわかります。この事実を利用すると、µn が µ に弱く収束するとき、テスト関数 f に対して fdµ が一様に収束することを示すのは簡単です。したがって、W1 の収束が得られます。 。
最適輸送の補間
23ユークリッド空間の場合とは異なり、端点を結ぶ測地線は必ずしも一意ではありません。まず、天下り的ではありますが、μ∈P2(Rm)における「接線空間」TμP2(Rm)とその上の「リーマン空間」を考える必要があります。
Otto 解析における， Wasserstein 空間上の勾配流
さて、Otto 解析を使用すると、Entm の勾配流について次のことがわかります。得る 。これを利用して、次に Entm の勾配流を考えます。 νt を Entm の勾配流、すなわち次のようにします。
Bakry- ´ Emery の曲率次元条件と相対エントロピーの勾配流
5 最適輸送理論に基づく曲率寸法条件 さらに一歩進めてみましょう。この条件は、別のグラジエント フロー定式化 (EDE) における (Q3) の解に関連しています。
曲率次元条件と発展変分不等式
(4.16) の別の証明も知られています。最も古いものは、熱分布の確率的対応です。これは、ブラウン運動の結合法 (並進結合) に基づいています (結合法として W2 で公式化を議論したのは [180] が最初だったと思います。ただし、結合法が強いほど強い。評価はすでに知られていました (参考文献 [180] を参照)。解析的には、Bakry-'Emery 微分評価から派生したいくつかの方法が知られており、この組み合わせた方法は逆リッチ流下での熱分布にも適用できます [118]。微分評価に基づく方法がベースとなっています。この方法は、下位ラプラス値に対応する熱分布に適用できるなどの利点がある [117]。詳細化を含む微分評価に基づく方法については、9.2 節で説明する。
熱分布の同定に関する補足
[8, 74] では、勾配流を定義するために EVI の代わりに EDE を使用することについて議論していることに注意してください (EVI に対する解の存在により、空間に制限が課されます (セクション 7.2 を参照)。したがって、フィンスラー多様体などが適切ではない状況があります) EVI を考慮してください)。熱分布を特定する過程で、(Ptfm)t≥0 が (P2(M), W2) 上で完全に連続した曲線になることが示され、この事実は、使用される EVI ソリューションを考慮するときにも暗黙的に当てはまります (定義 6.2 を参照) ）。この章では、これまで述べてきたことの集大成として、測定計量空間の文脈におけるいくつかの広義の次元曲率条件間の等価性について議論します。これまでの議論を適用するには、測定距離の空間にわたる標準的な熱分布を定義する必要があります。この目的のために、セクション 7.1 で Cheeger 型のエネルギー汎関数を導入します。 。
Cheeger 型エネルギー汎関数
チーガー型エネルギー汎関数の性質として、f ∈D(Ch) のとき、L2(m) の与えられた要素 |∇f|∗ に対して、チーガー型エネルギー汎関数の基本性質として次のことが成り立ちます。 （証拠は省略）。 。
Riemann 的曲率次元条件
「微小ヒルベルト」とは、（a.e.に）接空間と接空間を内積空間とする計量が存在することを意味する。空間は無限小ヒルベルト空間でなければなりません。つまり、以下のことが当てはまります。 。
曲率次元条件の同値性 (N = ∞)
上記を適用して、ν0 = νを満たすEVIの解を(νt)t≧0に設定すると、定理7.12の適用を含めてPtはどの程度「良い」関数に変化しますか? ? 、と言われています。
=∞なので要点だけ説明します（N =∞の説明もここでは省略します）。 .D) で行われる評価の代わりに、|Ptf(x)−Psf(y)| を評価できるようになりました。したがって、この量に対して極限 y→x、s→t を計算します。次に、α∈R に対して s−t=αd(x, y) の関係を満たしながら極限に進みます。そして、得られた式をαに関して最適化すると、(D)'が得られます。したがって、時間差から時間差 Pt、LPtf が現れます (この項は Bakry-Ldoux 微分推定において N < ∞ の場合の固有量です)。 (D)' ⇒ (E)' は (D) です。 。さらに、(K, N)-EVI と時空間収縮性は、セクション 6.1 で説明したように、計量空間 (またはリーマン多様体) の文脈における一般 (関数) 関数の勾配流の理論として記述することができます ([ の第 2 章を参照)。 55]）。滑らかな空間であっても、(K, N) 凸性に基づく傾斜電流の解析はおそらく知られていないでしょう。 ii) (D) で関数 C(t) を導入する理由は、「この式を他の条件から導出すると、初期条件や引数の方法によって異なる定数が得られる」ためです。一方、このフォームから他の条件に移行することもできるため、情報が失われることはありません。さらに、sκを使用しない別の定式化(C)'が知られています([55, 121]を参照)。この式は(C)'にも相当します。ただし、(4.15) は不等式よりも正確であるように見えます。 。
Dirichlet 形式論との関連
まず、関数的不平等について話しましょう。空間 CD(K,∞) では、空間の定義から簡単に導き出すことができます (それぞれ µ1 =m と µ0 =m の場合を考えてみましょう)。両方の不等式は、次の形式の (大域) ポアンカレ不等式 (L2 スペクトル ギャップ不等式) です。
RCD 空間の幾何学
これらの剛性定理に共通しているのは、リーマン多様体には現れない空間（多様体とは限らない）であることに注意してください。 3) RCD 空間の局所構造 Gigli の分配定理を使用して、RCD 空間 (N < ∞ の場合) の局所構造の研究は大きく進歩しました。 。
他の空間族への拡張
ディリクレ形式が保持される (またはディリクレ形式が保存的である) ためのリッチ曲率からの十分条件として。 。
その他の話題
9 RCD 空間の分析に関連するいくつかのトピック。最後に、Bakry-'Emery 曲率次元条件に関連する話題として、|∇f|* の可積分性評価と引数における局所的テスト関数の存在について以下に説明します。可積分性評価は後で直接使用されませんが、Bakry-'Emery 理論の有用性を説明するための例として説明されています。 。
W 2 - 収縮性の拡張
さらに、f ∈W1,2(X) については、次の方程式が成り立ちます。これは、Bakry-Ldoux 微分評価の改善に対応します。証明の考え方は N = ∞ の場合と同じですが、パラメーターの選択はより複雑になります。詳細は省略します。 。輸送コストのより一般的な最適な推定は、リーマン多様体について知られており [122]、取得することができます。
熱分布の W 2 - 評価と W - エントロピー
43] ,Sharp and rigid isoperimetric inequalities in metric gauge spaces with lower bounds of Ricci curvature, Preprint. Propheta, Sharp Sobolev inequality in metric gauge spaces with lower Ricci curvature limits, Probability Anal.
