整数環の素因数分解の一意性

整数論において基本的でかつ結構難しいのは、素因数分解の一意性である。例えば、2ⁿが 3で割り切れないことはよく知られている。

2ⁿ= 3x

とすると、右辺でxを素因数分解することで素因数3を含んだ分解が得られるが、左辺には 3は現れないから素因数分解が二通りあることになり矛盾である。

この証明には、「自然数は素数の積にかける。その表し方はただ一通りである。」という定 理、すなわち「素因数分解の一意性」が使われている。しかし、なぜ素因数分解はただ一通り なのか？中高の数学の教科書は、これについて証明を与えていないものが多い。

整数環において素因数分解がただ一通りなのは、つきつめれば次の定理による。

定理4.7.1. Zにおいて、可逆でない既約元は素元である。

なんのことだかは、以下に説明する。

単位的可換環Rにおける素元aとは、a∈Rであって(a)が素イデアルとなるもののこと であった。これは、x, y, z∈Rに対して

xy=az⇒(∃b∈R, x=ba)または (∃c∈R, y=ca)

が成り立つことであった。（定義4.6.22。）

既約元の方も復習しておく(定義4.6.17)。

定義4.7.2. 単位的可換環Rにおいて、a∈Rが既約元(irreducible element)であるとはaの 約元が自明なものに限られることである。すなわち、xy=aならばxかyが積の可逆元（す なわち単元）となることを言う。

ただし、0は既約元とみなさない。

問題4.34. Rが整域の時は、a∈Rが既約元であることはa̸= 0で xy=a⇒(∃b∈R, x=ba)または(∃c∈R, x=ca) がなりたつことと同値であることを示せ。

次の定義は実質的に中学か高校で習うものである。

定義4.7.3. Zにおいて、可逆でない既約元のうち正のものを素数(prime number)という。

これで、定理4.7.1に現れた既約元、素元の定義が明らかになった。

命題4.7.4. 整域Rにおいて、素元は既約元である。

証明. 素元ならば、問題4.34の条件を満たす。とくにz= 1でもこの条件を満たす。これが、

aが既約元であることに他ならない。

では、定理4.7.1がなぜ素因数分解の一意性を導くのか。そもそも素因数分解の一意性とは 何か。

定義4.7.5. 単位的可換環Rにおいて、二つの元a, bが同値であるとは、a=ubとなる単元 u∈R^×があること。このときa∼bであらわす。

問題4.35. Rが整域であるとき、上の条件は、二つの単項イデアルが一致すること

(a) = (b) と同値であることを示せ。

定理4.7.6. x∈Zとし、x̸= 0とする。Zの１でない互いに同値でない素元p1, p2, . . . , psと 自然数n1, n2, . . . , ns (>0)が存在して

x=upⁿ₁¹pⁿ₂²· · ·pⁿ_s^s

と書けたとする（ここにu=±1）と、このような書き方は±1倍を除いてただ一通りである。

すなわち、他に

x=vq₁^m1q^m₂²· · ·q_t^nt

とかけたとする（vは±1、q_iは相異なる既約元）と、s=tでqiの番号を入れ替えれば±pi

と一致しm_i=n_iとなる。

4.7. 単項イデアル整域 115 証明. p₁は素元であるから、p₁|x=vq₁^m1· · ·q_t^ntよりp₁|vまたはp₁|q₁または. . .またはp₁|q_t。 p1|vとすると、可逆元の約数は可逆元だからp1が素元であることに反する。よってp1はqi

のいずれかの約数。qの添え字をとりかえることによりp1|q1としてよい。q₁は既約元なので p₁=±q₁である。よって

upⁿ₁¹pⁿ₂²· · ·pⁿ_s^s=vq^m₁¹q₂^m2· · ·qⁿ_t^t であり、両辺をp₁=±q₁で割ること（問題4.12）で

upⁿ₁¹⁻¹pⁿ₂²· · ·pⁿ_s^s = (±v)q₁^m1−1q^m₂²· · ·qⁿ_t^t

これを次々繰り返していけば、p₁=±q1は同時につきるはずである。なぜならば、もしもど ちらか片方が先に尽きたとして、かりにq₁が先に尽きたとする。p₁は左辺に残っているから、

この証明の先頭に書いた議論によりp1はq2, . . . , qtのいずれかを割り切り、（qiの既約性から）

割り切ったものと同値となる。しかるに、p₁とq1は同値であるから、q₁, q2, . . . , qtのいずれ も同値ではない、という仮定に反している。

こうして次々に既約元をキャンセルしていくことで、このような分解は±1倍と積の順序の 入れ替えを除いてただ一通りであることがわかる。

xが可逆元であるときには、s= 0として上の定理は成立しているものとみなす。

定理4.7.7. Zの全ての０でない元xに対し、xは既約元の積としてあらわされる。

証明. xが既約元でないとする。x = yz （y, zは単数でない）という形にできる。すると、

|y|,|z|は|x|より真に小さい。|x|に関する帰納法を使う。|x|= 1ではx=±1より０個の既約 元の積としてあらわされる。|x| ≤n−1ならば既約元の積に分解される、と仮定して|x|=n の時を証明すればよい。が、x=yzよりy、zの既約分解は帰納法の仮定により存在するので それらを合わせたものがxの既約分解である。

以上により、「整数はすべて素数の積に分解され、その分解の仕方は一意である」という定 理が証明された。ただし定理4.7.1はまだ証明していないのでその証明を以下に与える。

命題4.7.8. 整数環では、最大公約数が存在する。すなわち、a, b∈Zに対してd|a, d|bなるd であって、他にc|a, c|bを満たすcに対してはc|dとなるようなものがある。dをgcd(a, b)と 記す。

証明. am+bnの形にかける正の整数のうち、最小のものをdとすると上の性質を満たしてい る。ということが、定理2.4.64の証明に示されている。

命題4.7.9. a∈Zを可逆でない既約元とすると、それは素元である。

証明. az=xyとする。gcd(a, x)|aであり、aは既約元だからgcd(a, x)∼aまたはgcd(a, x)∼ 1.

前者の時にはa∼gcd(a, x)|xとなるからa|xで、素元の条件を満たす。後者のとき、同様 にgcd(a, y)∼aならばa|yで素元の条件を満たす。問題がおきるのは

gcd(a, x)∼1,gcd(a, y)∼1

のときであるが、このとき

an+bx= 1, am+cy= 1 が解けるので、辺々掛けて

a(anm+ncy+bxm) +bxcy= 1 よって定理2.4.64より(aX+ (xy)Z= 1の形なので)

gcd(a, xy) = 1 である。一方az=xyより

a|gcd(a, xy) であるからこれは矛盾である。