写像が演算を保つこと

二項演算をn項演算に一般化して、次のように「写像が演算を保つ（保存する）こと」(mapping preserves operation)を定義する。

定義2.3.7. Sをn項演算α_S:Sⁿ→Sの与えられている集合、Tをn項演算α_T :Tⁿ →T の与えられている集合とする。写像f :S→TがαS, αT を保つとは、

∀s₁, s₂, . . . , s_n f(α_S(s₁, s₂, . . . , s_n) =α_T(f(s₁), f(s₂), . . . , f(s_n)) が成立すること。添え字を落として「fはαを保つ」ということが多い。

この定義は、図式

S^{n f}

→n Tⁿ

↓α_S ↓α_T

S →^f T

が可換であるとも言い換えられる。ここに上の行のfⁿ:Sⁿ →Tⁿは、

fⁿ(s1, . . . , sn) = (f(s1), . . . , f(sn)) で定義される。

この用語を使うならば、「マグマ準同型とは、台集合の間の写像であって、指定された二項 演算◦を保つもの」と言い換えられるし、「モノイド準同型とは、台集合の間の写像であって、

指定された二項演算◦ならびに指定された０項演算eを保つもの」と言い換えられる。

後の節で扱う「群」でも「環」でもそうだが、「準同型」を定義するときに写像に要請され る条件は、「指定された演算を保つこと」のみであり、公理は構わなくて良い。

注意2.3.8. 写像f に対し、fⁿという記法には二つの違った意味がありうる。上の場合には

f :S→T で

fⁿ:Sⁿ→Tⁿ であるが、一方f ∈Map(S, S)のときには関数の合成

fⁿ:=f◦f◦ · · · ◦f ∈Map(S, S)

をあらわしている可能性がある。(定理2.2.14参照。)文脈に従って、どちらのことなのかを 各自判断して欲しい。

命題 2.3.9. (S, αS), (T, αT), (U, αU) を、それぞれ集合とn項演算の組とする。f :S →T がα_S, α_T を保ち、g:T →Uがα_T, α_U を保つならば、

g◦f :S→U はα_S, α_U を保つ。

証明は機械的である。次の図式を使うこともできる。

S^{n f}

→n T^{n g}

→n Uⁿ

↓αS ⟳ ↓αT ⟳ ↓αU

S →^f T →^g U

注意2.1.9参照のこと。

問題2.13. 上の命題2.3.9を証明せよ。

系 2.3.10. 二つのモノイド準同型の合成は、モノイド準同型である。

証明. 証明するべきことはg◦f が二項演算◦ならびに０項演算eを保つことである。が、命

題2.3.9からどちらも従う。なお、系としてではなく、直接証明することも易しい。命題2.1.8

により、◦が保たれていることがわかる。eについては、f(e_S) =e_T(f の準同型性から従う）

の両辺のgによる像をとるとg(f(eS)) =g(eT) =eU である。ここで、二番目の等号に、gの 準同型性を用いた。

次は、二項演算に関する系1.3.23の一般化である。

2.3. モノイド 47 定理2.3.11. Sをn項演算α:Sⁿ →Sの与えられている集合とし、∼をαとコンパチブル なS上の同値関係、すなわち任意のs1, s^′₁, . . . , sn, s^′_n∈Sに対し

s1∼s^′₁, s2∼s^′₂, . . . sn∼s^′_n⇒α(s1, . . . , sn)∼α(s^′₁, . . . , s^′_n) とする。このとき、商集合S/∼にはn項演算α¯ であって

¯

α([s1], . . . ,[sn]) =α(s1, . . . , sn) となるものが唯一つ存在する。

すなわち、商写像qがα,α¯ を保つようなα¯が唯一つ存在する。

例 2.3.12. (Mn(R),×, En)はモノイドである。ここにEnはn次単位行列である。

n次正方行列の下に一行と右に一列、0のみからなる行と列を付け加える写像f :M_n(R)→ Mn+1(R)は、積に関して半群の準同型であるがモノイドの準同型ではない。単位元が単位元 にうつされないからである。

定義2.3.13. (S,◦S, eS)をモノイドとする。id_S :S→Sはモノイド準同型となり、恒等射と 呼ばれる。

(T,◦T, eT)もモノイドとする。モノイド準同型f :S→Tとg:T →Sであって g◦f = idS, f◦g= idT

となるものがあるとき、gをf の、fをgの逆射という。逆射を持つような準同型を可逆射、

または同型射、同型写像、または単に同型という。モノイドであることを強調してモノイド同 型ともいう。

このような状況のとき、モノイドSとTはモノイドとして同型であるという。

半群の場合の定義2.2.5と全く同じであることに注意してほしい。

注意2.3.14. カテゴリー論（圏論）を学ぶと、逆射の定義を統一することができる。

命題 2.3.15. f :S→T がモノイド準同型でかつ全単射であるとする。このとき、fの逆写

像gが存在し、g:T →Sもモノイド準同型となり、したがってfの逆射となる。

証明. gが半群準同型であることは命題2.2.6から従う。あとはg(e_T) =e_Sを言えばよい。f は単射なので、両辺をfで送って一致することを見ればよい。左辺の行先はf(g(eT)) =eT (f がgの逆写像であるから)、右辺の行先はf(eS) =eT (f が単位元を保つから)なので、一致 する。

定義2.3.16. S,S^′をモノイドとする。SからS^′へのモノイド準同型(monoid homomorphism) の集合を

Hommonoid(S, S^′) で表す。特に、S =S^′のとき

Endmonoid(S) := Hommonoid(S, S)

とおいてSのモノイド自己準同型(monoid endomorphism)の集合という。(Endmonoid(S),◦,idS) はモノイドとなる。

なお、定義2.2.7に現れる(Endsemigp(S),◦,idS)や(Endmagma(S),◦,idS)もモノイドである。