テンション構造の形態の理論について

【論　 文】 UDC ：624

．

e74

．

42 日本 建築 学会構 造系論文報告 集 第 395 号

・

昭 和 64 年1月

テ

ン

シ

ョ ン

構 造

の

形 態

の

理 論

に

つ い

て

正 会 員

　安

宅

信

行

＊ 　1

．

は じ めに 　近 年， テンショ ン構 造は大 空 間の架 構 技 術 とし て注 目 されるよ うになり

，

現 在で は建 築 構 造の重 要な

一

分 野 と し て定 着し て き て い る

。

こ の構 造の基準と な る形態は_初 期 応 力のつ り合いを前 提と し

，

形 態の安 定 性や構 造 物と して の耐 荷 能 力は

，

導 入 されて い る初 期 応 力の大 きさに 依 存し て い る

。

そ れ ゆ え_， テ ン シ ョ

』

ン構 造に お い て_， 初 期 応 力は構 造の存 立に関わ る重 要な構 造 要 素とし て位 置 付け ら れて い る

。

この よ う な初期応 力の存在を前提に し た構造物には

，

これ までの _構造に は ない_新た な問題 が発 生し た。 その

一

つ に， 境 界 条件と初 期応 力のつ り合いか ら決ま る形 態 を求め る問題が あ る

。

この _問題 は 形状解析 問題 といわ れ

，

この構 造 を 設計

，

あ るい は解 析す る 以 前 に_解決し て お くべ _{き重要な テ}

ー

マ であ る。 　こ の よ う な問 題は

，

膜 構 造や ケ

t−一

ブル ネッ ト構 造の分 野で_， 基準状態の_形状を決 定す る問題 と し て研 究さ れ

，

これ ま でに_，い ろい ろ な解析手法が提案さ れ て き てい る

。

例え ば

，

つ り合い方 程 式 を厳 密に解こ う とす るものIL4）

，

ま た_， ポテ ン シ ャ ルエ _ネルギ

ー

を最小に しよ うとするも のz ］な どである。 　 現 在

，

こ の問 題の解 法 として は

，Haug3

）_に よって提 案 さ れ た

，

仮 想 仕 事の原 理に基づ く有 限 要 素 法に よ る膜 構 造の形 状 解 析法 が

一

般に定着し て きて いる

。

　しか し

，

形状解 析 問題の理論的な面では十 分に解 明さ れて い る と はい い難く

，

これ まで に提案さ れて いる手法 や実 験 的な事 実を 包括 的に _説明 す ることの でき る 理論は い ま だ確 立さ れては お らず

，

連 続 体の力 学_ρ中では依 然 とじて特殊な問題 とし て扱わ れ

，一

般に馴染み にくい問 題と して受け取ら れて いる よ うで あ る。 そ れ は

，

連続 体 の力 学が媒 体の運 動 やつ り合い形 状な どを記 述 すること を 目的に し て い る の に対 し

，

こ れ ま で の形 状 解 析理論で は媒 体を考 慮す ること な く

，

この問題 を 連続 体の力学で 記述し ようと し ているこ と

，

ま た， 形状解析問 題が構造 上の _{問 題}と して発生してい るこ と か ら

，

この問題を特に 固体の力学 を基に して定 式 化し よ う と する ところに無理 が あ り

，

これまで

，

こ の問 題 を連 続 体の

一

般 的な手 法で 掌 （株 ）ニ ュ

ー

メディッ クス_{総 合 研 究 所 　代 表} 　（昭和63年6月6日原 稿 受理｝ 扱うこ と が で き な かっ た

。

　し か し，

Plateau

は

1873

年に， 閉 じ た空 間 曲 線で囲 まれ た曲面の中で極 小な曲 面は_T

_／

その境 界の空 間 曲線 を 針 金で_作り， こ れ に石鹸 膜を 張 る ことに よっ て実現で き る ことを主 張した

。

こ れ は極 小 曲 面， す なわ ち， 等 応 力 曲 面 を

，

実 在 する物 質の膜で実 現できること を示してお り

，

同 様な立 場にある形 状 解 析 問 題 も適 当な物 質 （媒 体 ） を考える ことによっ て

，

物 質の形 態とし て とらえ る得る こと を示唆し ている。 　そこ で

，

本研究では

，

これ まで に提案さ れている 形状 解 析の_手法に_{矛 盾}す る事な く， ま た， 極 小 曲 面を石鹸膜 などによっ て実 験 的に求め得る 理論 的な根 拠につ い て， 包 括 的に説 明 す ること がで き る 理論の確 立を 目的と し， 媒体と し て 「

0

次弾性体」の_概念を導入 す る。 こ れに よっ て

，

形状 解析問 題が連続体の力 学の_{標準 的}な手法と し て 統

一

的に扱い_得るこ と が

，

明 ら かに な る と 共に

，

連 続体 の_{力 学}と して

，

こ れ まで長 年にわ たっ て蓄 積さ れ て き た 多く の知 見を形状解析問 題に対し て も有効に利用で き る よ うにな るであ ろ う し

，

ま た

，

これ を 通 して

，

これ まで 形 状 解 析 問題 が

一

次元， あ るい は 二 次元的 問 題に限定さ れ てい た もの を

，

三次 元 問題 を も含めて

，

よ り広 く考 察 する事が可 能に な る こ とを期 待し て い る。 　

2．

幾 何 学的 な関係 　

2．1

基準 状態の 形態につ いてSl

・

9）

’

1°）

・

tl） 　つ り_合い_状態にお け る物質点の _{空 間}の _位置ベ _{ク ト}ル を 次の よ うに表 す

。

た だ し

，

添 え 字 は

Einstein

の総 和 規 約に従う も の と し

，123

の値を取る も の と す る。 　　　 R

・

＝xm （_／1κ）em

………・

…………一 ………・

（2

．

1

＞ た だ し

，

　 em ：_{直 交}座標 系の基底ベ ク トル 　 　 　 　

X

皿 ：直 交 座 標 系 　　　 　　が ：

一

_般座標 系 ま た

，

曲線座標 系の基 底ベ ク トル を次の よ うに定 義す る

。

　　　

G

．

＝

∂

R

／∂ノ生h

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

．

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（2

．

2） この と き

，

基 本 計 量テン ソ ルは次の よ うに定 義され る。 　　　

G

∫κ

・

＝G

，

・

G

．

…………一 …………一 ・

t…・

・

（2

．

3） また

，G ＝

det）

G

」iC1

…・

・

……・

・

…・

……・

………・

…・

（2

．

4） と定 義す ることに よっ て

，

基 本 計 量テン ソ ル の反変成 分 は_次の よ うに_{定 義}さ れ る

。

一 93 一

　　　GJh＝

cofactorlGjnl ／

G ………・

…



（2

，

5_） 　

2．2

　変形前の形 態につい て 　 変形前の物 質 点の空 間の位 置ベ ク トルや

，

その ほ かの 幾 何 学 的な基 本 量は上記の変 形 後の場 合に習っ て ， 次の よ う に定義さ れ る

。

　 　　r

＝

xm （ノL「）em

・

・

・

・

・

…



喞

・

・

・

…



一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（2

，

6）

　　　

9h； ∂r ノ∂Ak

…

　『

・

…

　7・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（2

．

7 ）

　　　

9丿κ；

9

丿

・

9h ・

一一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

曾

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

一

（2

．

8

） ま た

，

9

＝det19

」hi

…………・

・

………

（

2．

9

） と定 義す ることによっ て， 基 本 計 量テ ン ソ ル の反 変テ ン ソ ル は次の よ う に定義さ れ る

。

　 　　9”t_{＝ c} ・

fact

・r　

19

，、

1

／9

−一 ・

t・

………・

……

（2

．

10） 　

2．3

　ひずみ お よび仮 想ひずみ 　ひずみ は次の よ う に定 義され る

。

　　　

γ周

＝

（1／2）（

Gv −

9ke）

一 ・

・

…・

………

（

2．

11 ＞ また

，

仮 想ひずみ は次の ように表さ れる

。

　 　　δ）fhi

＝

（1／2）δ

Gnv・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一

一

…

_（2

．

12 ） 　2

．

4　体 積 要 素の変分 　微小体 積要素は 　 　　

dV

＝

VCdnidA2dA

：

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（2

．

13） ように表さ れ

，

こ の_{体積要 素}の_変分は

　　　

δ1／

C

； 〔

1

／

2

）

GnVDG

．　v 〆_乙「

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



_（2

_，

_14＞ よ うに な る。 　

3，

形 状 解 析 問 題の基本式 　形 状 解 析 問題は

，

これ まで_特殊な条件の_下に_存在す る つ _り合い形 態 を求 める問題と して

，

さ まざま な定 式 化が 試み ら れてき た。 例え ば

，

厳密なつ り合い条 件 式 を立て て解こ う と す る もの

，

ま た

，

体 積 を

一

定に して表 面 積 を 最小にす る問 題や， 逆に表 面積を

一

定に し て体 積を最 大 に す る問 題など， い わゆる変 分 問題とし て定 式 化し よう とするもの な どである

。

　

しか し_， 厳 密なつ り合い方 程 式は変 分 原理 よ り導くこ とができ

，

変 分を受け る汎 関 数は_問題の_物理的な意 味を 考え る 上で き わ めて有 効で あ るの で

，

こ こで は形 状 解 析 問題 を 変 分の 問題と して考察す る

。

　

一

般に

，

形 状 解 析 問 題は次の ように_表現で き る。 す な わち， 「領域 内のつ り合い方 程 式と境 界にお ける力学 的 境 界 条 件 式および領 域内の初期応 力分布を仮定し て， その応 力 状 態でつ り合う形 態 を求め る問 題」 こ のよ うに し ても， 問題の

一

_{般性を失うこ と は ない}

_。

こ れを数 式を用い て記 述す る と次の よ うにな る

。

　1

．

つ り合い方 程 式 　 （領 域 内 ）

　　

　

士斎

（

VC

’

　th_）＋pf

−

・

…一 ・

……・

…

（・

・

1

） 　お よび　

C

κ×

th＝

0

・

…・

………・

…t・

（3

．

2） 　

2．

力 学 的境界 条件 　（力 学 的 境 界 上 ） 　 　　 t＝ tD

・

………一 ……・

…・

・

………

（3

．

3）

一 ’

一

　3

．

初 期 応 力の分 布 　 （領 域 内 ） 　　　

tk＝tlit

…・

…・

……・

・

……・

・

一 …一 ・

…・

…・

・

（3

．

4） 　 4

．

ひずみ

一

形 状 関係　 （領 域内 ） 　　　 rv＝＝_（1_〆2_｝（

Gw −

9w_）

………・

……一

（3

．

5｝

こ こ に

，



tk

：

Stress

　Vector（

＝

τhiGj ）　（unknown ）

　 　 　 　 xm ：直 交 座 標 系 　 （unknown ）

　 　 　 　 　

tD

：Boundary 　Stress　Vector_（known _）

　　　 　　 tD

＝

τDWnltG 」

　　　 　τDN ：Bo皿ndary 　Stress　TensQr 　_（known ＞

　 　 　 　 　

tt

：Initial　

Stress

　Vector_（

known

_〕

　 　 　 　 　trit＝ _τ厂WG _」

　　　 　 τ尸：

Initial

　

Stress

　

Tensor

　（

known

＞

　　　 　　

f

：

Gravity

　

Acceleration

　

VectQr

_（

known

_）

　　　 　　ρ ：

Density

　of　

Mass

_（

known

_）

　　　 　 Gbl：変 形 後の基 本 計 量テ ン ソ ル 　　　 　

9ti

：_{変 形 前}の_{基 本 計 量}テン ソ ル 　　　 　　nit

、

：_境界の_{単 位}法線ベ ク トル の共変成分 こ こ で

，

領 域 内の応 力 分 布 は 式 （

3．

4）の規 定に よ り 既 知と なる か ら， 結 局， こ れ は， 三 個の未知の座標 関数

xm

を

，

式 （

3．

1）に含ま れ る 三本のつ り合い 方 程 式か ら決 定す る 問 題に帰着 され る

。

　さ て，こ の 問題 を変分問題へ 変換す ることを考えよ う

。

この表現方 法に は次に示す よ う な仮想仕事の原理と停留 ポ テン シャルエ ネルギ

ー

の_原理 と に よ る二通 りの方 法 が あ る。 　

4．

仮 想 仕 事の原 理 　つ り合い方程式 （

3．

1）と 力学 的 境 界 条 件式 （3

．

3）か ら通 常の_方法で_仮想仕事の_原理が_導か れ る_。

　

　

　

一

∫

川

_盍

蒜

（

vc

’

　th_）・pf

］

aRdV

　　　

＋

∬

（嫉 ｝棚 ・

一

…

……・

・

…・

…・

・

…・

_（4

・

・_） これ を， 部分積分法と

Green−Gauss

の 定理 を 用い て変 形す る， こ のとき， 式 （

3，

4

） を用いて変 形す ると

　　　

f

川 者

一

T・ ・_SG ・ ・＋pfaR

］

　

d

　

v

　

　

　　

・

∫

∫

螺

d

・

一

。

…・

一 ・

・

一 …一 ・

（… ） と なる。 さ らに

，

ひずみ の概 念を導入 するこ とによっ て

，

次の よ うにな る。

　

　

　

fff

　

［

　・・… 7・・＋pfaR

］

dV

　　　　

・

∫

f

　・・aRds

−

・

一 一 ・

・

一 …一

（・

・

3） 式 （4

．

2）あるい は式 （4

．

3）が形 状 解 析 問 題の仮想仕 事 の原理であ る

。

こ こ で

，

注 意 すべ _{き 点 は 固体}の 力 学で通 常 使われている仮想仕 事の_原理 と異な り， 体 積 要

fi

’

　dV や面 積 要素

ds

は変分 を受け る独 立な関 数 を 含ん でお り

，

変分の対象になっ て い る点であ る

。

さ らに

，

式 （3

．

4） におい て

，

等 応 力性を仮 定す る と， 式 （3

．

4）は次の よ

う に書か れ る

。

　　 　虚κ

＝tlt＝

（PoG 岬 ）

G

丿

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4

，

4） こ こ に

，

_p。は定 数と する

。

式 （4

．

4＞ を式 （4

．

3 ）に代 入 す る と，

　　　

・

∫∬

・・

va

赧 ・ ・

d

_ガ

　

　　　

＋

fff

　・faRd　v

　

　　　

・

∬

繊

d

・

一

・

…・

…・

…・

・

……・

…・

…

（・

．

・） こ こ に

，

式 （

2．

13 ）と式 （

2，

14

）の_関係を用い てい る。 　さて

，

式（4

．

5）の_第

一

_項は_{体 積}の _変分を意 味してい る

，

こ の こと は

，

等 応 力 問題が体 積

，

面 積あ るいは線 分の極 値問題に_帰着す ること を示して いる。 　 以 上の よ うに

，

形 状 解 析 問 題は仮 想 仕 事の原 理 を用い て完 全に記 述す る事がで き る。 し か し

，

こ こ で注 意すべ きことは

，

_仮

想仕事の原理に は上述の定式か らも明ら か なよ うに

，

応 カ

ー

ひ_ずみの_{関 係 式}

_，

_すな わ ちs 構 成 方 程 式に は 無関係で あ る

。

こ の こと は領域に物質を規定し て いないか ら， 形 状 解 析 と 言っ ても具 体 的に物 質の形 を決 める の で は_なく_， 力のつ り合い状 態の み を問題と した非 物 質 的な形 状 を決 定 する ことになる。 こ の ことが， 物 質 の力学 的な挙 動を規 定 する連 続 体の力 学と馴 染ま ない点 である

。

そ こ で_， 形 状 解 析 問 題 を連 続 体の 力学の

一

般 的 な手 法で扱 うために は

，

媒 質 （物 質 ）の力 学 的特 性 を規 定す る必要が あ る

。

ここで は， 形 状 解 析 問 題は

，

より具 体 的な物 質の形を決 定する問 題に変 換する こと を意 図し て_， 次の よ うな考 察 を行 う

L

　

5。

構 成 方 程 式 　5

．

1　0次弾 性 体 　 形 状 解 析 問 題 を物 質の形 を決 定する問 題とし て と ら え るた めに は_， その物 質の 力学 的な特 性を決め な け れ ば な ら ない

。

す な わ ち

，

その連 続体の構 成 方 程 式 を 規 定 す る 必要がある

。

　通 常

，

応 力と ひずみとの間に次の よ う な線 形の関 係が 成り立つ と き

，

　　 　τw

＝

HWht　

71t・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

（5

．

1） こ のよ う な物 質は （線 形 ）弾 性 体 と 定 義され る

。

こ こ で

，

応 力は 二階の反 変テ ンソル で あ り

，

ひずみ は 二 階の共 変 テンソ ル で ある か ら， 弾 性 係 数は四階の反 変テンソ ル で 表現さ れ る

。

逆に

_，

こ のよ う な弾性 係 数 を持つ物 質 を（線 形）弾 性 体と定義 す ることが で き る

。

こ れ と 同様に次の こと を参考に し て

0

次弾性 体を定義す る

。

　

Oden，

　

J

．

T ．

は文 献L21の中で 『連 続 体の静 力 学 的な問 題に おい て

，

応 力が ひず

．

み に対 し解 析 的で ある とする と

，

構

成 方 程 式は

一

般に次の よ う に展 開で き る。 　 　 　τ‘丿

一H

‘丿＋

H

’J’C’ γkt 　　 　 　 　十1／2HiJ

’

nt”n γitt7η ．十

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt…

　

tt・

・

t

（5

．

2 ） 　こ こで

，H

“

_，

　

HIJn［

，

　

Hwntmni……

は

，

それ ぞれ

，0

次

，

1次

，

2次

，………

の弾 性 係 数といわ れ_{， 材 料固 有}の _も の と考えられる。 こ こ で

，

γκ尸 0と置くと

，

式 （5

，

2）は 　 　 　τw

＝

H ‘J

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5

鹽

3 ） と な る。 そ れ ゆ え

，0

次の弾 性 係 数

H

“ _は

_，

ひずみ ゼロ の基準状態に_存在す る 「初期応力」あ るい は

，

「規定さ れ た 応 力」を表して いる と 考 えるこ と も 出来る

。

亅と述 べ _てい る

。

　確かに

_，

応 力 と 弾 性 係 数のディ メ ン ジョ ンは等しいか ら， H “ を応 力と考え る こと も， ま た， 弾 性 係 数である と考え ること も可 能で あ る

。

そ れ ゆ え，

HW

は 「

0

次の 弾 性 係 数」とい う面 と 「初 期 応 力」とい う二つ の面 を持 ち合わ せ てい ることにな る

。

　これ ま で の形状 解析に おいて は， これ を 「初期応力」 あ るいは

，

「既 知の応 力」とい う面か らの み と ら え ら れ て お り， 領域 内の連 続体の材 質 特 性に は， な ん ら注

意

が 払わ れ な かっ た

。

しか し， こ こで は， これを 「

0

次の弾 性 係 数 」とい う面 を中 心に考え ることにする。 　 弾 性 係 数が二 階の反 変テ ン ソ ル で表さ れ

，

構 成 方 程式 が式 （5

．

3＞と な る ような媒 質を考える。 こ の ような媒 体はこれ までの弾 性 体と は本質的に異な る。 す な わ ち， こ の媒体では

，

領域 内の任意の点の応 力分布が

．

その点 で の弾 性 係 数に

一

_致す る よ う な特性を持っ てい る。 この よ う な弾 性 係 数を持つ 物 質 を_， こ こで は

0

次 弾 性 体と定 義す る

。

　この

0

_{次 弾 性 体}の_{概 念}を導入 す る と

』

，

形 状 解 析 問題は

0

次弾性 体とい う材質的特 性を持つ連続体の形を求め る 問 題に帰着さ れ

，

こ の点がこれ まで の形 状解析理論と大 き く異な る点であ る。 　さて， 弾性体， 塑性体， お よ び粘弾性 体な ど実体の と も なっ た連 続 体で は実 際の物 質があらか じ め存 在し

，

そ の実 体に合う よ うに構 成 方 程 式が設 定さ れ記 述さ れ る の が普 通である。 し か るに

，

こ こで導 入し た0次 弾 性 体は

，

単に解 析 的な便宜 上 か ら構 成 方 程 式を決 定してお り

，

実 体が ない の で

，

この物 質の特 性あ るい は挙動 を 理解しに くい_。 そこ で

，O

次弾 性体と自然界にあ る実在の_{物 質}と の関係を明ら か に しておこ う。 　 1

．

　静 止 状 態の 理 想 流体の 構 成 方 程 式 は 次の よ うに書 くこ と ができ る。 　 　 　τw

＝−

pGW

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

5．4

＞ こ こ に_{， ρ}：_{定 数}と す る。 　また

，一

般 座 標 系の代わ りに

，

直 交 直 線 座 標 系の場 合 には式 （

5．

4 ）は次の よ うにな る

。

（cf

．

　

Appendix

　

AL

）13｝ 　 　 　τw　：

−

P_δw

・

…・

・

…・

・

…

　

……

　

………

　

…・

（

5．

5 ） こ こ に_， δi丿_{： ク} ロネッ カ

ー

の デル タである

。

さて

，

式 （5

．

3）と式 （5

，

4｝ ある い は式 （5

．

5）と比 較 すると

，

こ れらはい ずれ も二階のテン ソ ル方 程 式で ある の で_， そ の普 遍 性は保 証さ れ る。

一 95 一

　式 （5

．

4）と式 （5

．

5）は式 （5

．

3 ）の特 殊な場 合である， すなわち

，

理 想 流 体の構 成 方 程 式は 0次 弾 性 体の中の等 方 性0次 弾 性 体の構 成 方 程 式に相 当する

。

こ の ことか ら

，

0

次 弾 性 体と は理 想 流 体 を包 含 する材 質 的な概 念で あ り， 0次 弾 性 体の挙 動は理想流体を通して

，

類推す るこ とが可 能で ある こと が わ か る

。

　2

．

石 鹸 膜の構成 方程式につ い て 　石 鹸 膜は石鹸液と空気との_界面に生じ た石 鹸 液その も の と は異な る二 次 元 的 な 媒体と考え る こ と が で き る

。

こ の媒 体の任意の_点で は表面張 力とい われ る応 力 分 布が知 られて い る。 いま仮に

，

こ の表面張力 をこ の点での 0次 弾 性 係 数と考え る と

，

こ の二 次元的 広が り を持っ石 鹸 膜 は O次 弾 性 体の薄 膜と考え るこ と がで き る。 こ の と きの 構 成 方 程 式は次の よ う に な る

。

　　　nao

＝

noAab

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（5

．

6＞ こ こに

，

　 　 　 　 nab ：膜 応 力 　 　 　 　 　n。：膜 応 力に相 当する定 数 　　　 　 H “b

＝

n。A

・

ab で_， 二 次 元 的広 がりを持つ石 鹸 膜 　 　 　 　の 0次弾 性 係 数であ る。 　ま た

，

Aabは 二 次 元 空 間にお け る 反変の基 本 計 量テン ソ ル である。 こ の こ と が

，

等応 力膜の挙動 を 石鹸 膜 （液 体 膜 ） を通 して実 験 的に知ること がで き る 理論的な根拠 を与え る

。

　5

．

2　0次 弾 性 体の性 質 　式 （

5．

3） より明ら かな よ うに

，

領 域 内の応 力は ひず みに無関 係に_， 0次 弾 性 係 数 として規 定さ れ て い る。 し か し_， そ の規 定の仕 方は_， 完 全に 自 由で は な く

，

その 点 で の つ り合い条 件を満 足 する よ うに規定さ れ な け ればな らな い

。

　O次 弾性体の 性 質 は理 想 流 体 （圧 縮 応 力 状態 ）と石鹸 膜 （引張 応 力状態）， これ らは， いずれも0次 弾 性 体の 中の等方 性

0

次 弾 性 体 として考え ら れるが

，

こ の 二 つ の 現実に存 在する例 を通し て

，

0次 弾 性 体の特 性を類推 す ること が で き る

。

（cf

．

　Appendix　A2

．

_） 　L 気 体の場 合 　 気 体の密 度が小さい と き に は

，

これ を無 視す ること が でき

，

領域 内は

一

様な圧 縮 応 力 状 態になっ た

，

いわゆる 大域 的等応力状態と なっ てい る

。

　2

．

液 体の 場 合 　液 体の場 合に は密度は

，

も は や無 視す ることがで き な く な り

，

領域 内は液 面か らの高さに応 じた静 水 圧 状 態 （圧 縮 応 力状 態 〉，すな わ ち

，

局所 的 等 応 力 状 態となっ て い る。 　3

．

石 鹸 膜の場 合 　石 鹸 膜は微視 的に は表裏二枚の_表面 張 力の薄 膜 あるい はこ の 二枚の薄膜の間に 石鹸 液 を挾んだ構 成になっ てい る と考え ら れ る が

，

巨視 的に は表面張 力 （引 張 応 力 状 態 ） を

0

次弾性係 数と し た， 二次 元 的な広 がりを持つ 等 方 性

一

一

0次 弾 性 体の_{薄 膜}と見る こ と が でき る

。

　この場合に も

，

膜のポテンシャ ルカ として導 入 される 自重を考 慮する か否か によっ て

．

局 所 的ある い は大 域 的 な等応 力 状 態と な る

。

　4

．

O次 弾 性 体の荷 重 効 果 　 領 域 内の応 力が O次 弾 性 係 数とし て規 定さ れ て い る

。

その た め

，

境 界に作 用す る力も規 定さ れ たこ とにな る

。

す な わ ち

，

0次 弾 性 体が あ る領 域を占めて い る と き

，0

次弾性 係数は初期応 力と等価である か ら

，

境 界 面に作用 す る力は

，

　 　　 t

＝HiJniG

」

一・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

…

　（5

．

7

） こ こ に

，

　 t：境 界で の応 力ベ ク トル 　 　 　 　 　ni ：境 界 面の単 位 法 線ベ ク トル の共 変 成 分 と して

，一

意 的に規 定 される。 そ れゆえ

，

0次 弾 性 体は 境 界に対し

．一

種の荷 重 効 果 を 与え る

。

こ の ことは

，

理 想 流体が 固定壁面に対し て圧力とし て の荷重効 果が あ る こと を考え れば容 易に 理解し得る

。

　

6．

停 留ポテ ン シャル エ_ネル ギ

ー

の原理 　 連続 体と して 0次 弾性 体を 対象に し た 形 状 解 析 問 題の 定 式は式 （3

．

1 ＞

〜

（3

．

3） 〔3

．

5 ）お よび 式 （

5．

3

）を用い て行わ れる。 式 （3

．

4） と式 （5

．

3） とは内 容 的に は同 じ もの であるが

，

こ れを 構 成 方 程 式と考え る か否か とい う ことは_， 概 念 的にき わ め て大き な違いが あ る

。

　停 留 ポテン シ ャル エ ネル ギ

ー

の原 理は式 （4

．

_{3 ）}に お け る ものと同じ形 式と なる

。

す な わ ち

，

　　

　

f

川

H

物 轟

副

dy

　　

　　

＋

∬

繊

d

・一 ・

一 …一 …一 ・

…・

…

（6

．

1） ま た

，

式 （5

．

4＞の構成方 程 式に対 して は

　　

　

一

・

∫

∬

面

d

・1皰 ガ

　　

　　

＋

fff

_・fcrRdV

　　　　

＋

∬

繊 d・

一

・

・

………・

・

……・

……・

・

_（6

．

2 ） さ て， 物体力 ’ がポテン シ ャル φ か ら求め ら れ る と き に は

，

す な わ ち 　 　 　δφ＝

一

’

SR ・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



甲

・

・

・

…

_（6

．

3_） の とき に は_， こ れ と_質量保存の_条件か ら

，

式 （6

．

2

）は 次の よ うに表現さ れ る

。

　　　

一

・

∫

∫∫

（・ ＋ ・Φ

岼

硼 跏 ・

　　　

・

ル

P

．

・Rd ・

一

・

一 ……鹽

・

……7−

…・

・

_（・

．

・｝ こ の式は理 想 流 体の静 的な状 態に お け るエ _ネル ギ

ー

の収 支を表 し たBernoulli定 理とみること ができ る。 　

7．

等方性の

O

次弾性 体の形態の実例 　以 上の よ うに

_，

_「

0

次弾性体」の概 念を導入 す ること に よっ て， 形状 解析問 題 は

0

次の弾性 体の定営問 題ある い は平 衡 問 題に変 換さ れ る

。

理 想 流 体や石 鹸 膜は等 方 性

の 0次弾性体に含ま れる と考え られる か ら

，

こ こで は

，

主に理 想流 体や石 鹸 膜の平 衡 問 題につ い て考え

，

これら を通し て，

一

般の 0次の弾 性 体の形 態や特性につ い て

，

ある程 度類推する ことが で き る

。

　 7

．

1 容 器 内の理 想 流 体の か た ち （三次元） 　空 気 や 水は昔か ら定 形 を持た ない もの の _{代 表}と して_考 え ら れ て き て い る

。

し か し

，

こ れ らの物 質は環 境に合っ た最 も安 定し た形 態 を指 向しで

，

その形 を変える

。

シャ ボン玉 やゴ ム風 船はそ の容 器に合っ た空 気の かた ちであ り

，

容器内の水も

，

そ の容 器に合っ た形 をし て い る考え ること がで き る。 　

7．

2

　地 球の か た ち （三次元） 　地 球は水 （理 想 流体 〉の _塊と考え ること ができるとい わ れ てい る_。 この_{流 体}が万 有 引 力と自転による遠 心 力 と のつ り合い の上に や や偏 平な球 体を して い る。 　こ こ で

，

簡 単に この定 式を行う

。

直交座標 系 xyz を 取

OP

　 s 回転 軸をz 軸と し

，

水の塊が

一

様な角 速 度 ω で 回 転し てい る と す る と

，

速 度

V

（XYZt ）は

，

　 　 　 匹＝

一

_ω〃 Vy

＝

_ωτ V 。

＝

0

…・

…・

・

一……

（7

．

1） で与え ら れ る定常 流であ る。 この と きの加 速 度は

，

　　 　αx

− 一

ω2y α。

＝一

ω ’ x α。

＝0 ・

・

・

……・

…

（7

．

2｝ とな る

。

これは等 速円運 動の _向心加 速度であ る。 　こ の と き， 運 動エ ネルギ

ー T

は， 　　 　

T ・

＝

（1／2＞ρω ！ 　（x2 ＋劉

…・

・

…………一 ・

・

…

（

7．

3

） と表さ れる

。

こ こ に

，

_{ρ は}理 想 流 体の密 度であ る

。一

方

，

重力と 圧力に よ るポテ ン シ ャ ルエ _ネル ギ

ー

V は 　 　 　V

＝

P97

−一

十

一

P

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

一・

・

・

・

・

…

　（7

．

4） と表される

。

こ こ に

，

_g は重 力 加 速 度であり r は 　　 　r

＝

x： 十

yZ

十22

・

…



’

・

’

・

r・

▼

・

…



「

・

・

r・

…



r・

・

・

・

・

…

_（7

．

_{5 ）} である。 こ こ で

，

ラグ ランジュ 関 数 　　 　ρ工

．

＝

7

「

₋

1／

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一…



一」

・

・

・

・

・

・

…

_（7

．

6_） を導入 すれ ば， ハ ミ ル トン の原 理によっ て

　　　

・

ffff

・・ ・…

d

・

d

・

一

・

・

…・

…・

………

（・

．

・） とな る か ら

，

ρL

＝

c （const ）と な る

。

す な わ ち

，

　　 　（1／2）pω2（x：十yt）

一

_ρ

9r −

p

＝

c

…・

・

…・

…・

（7

．

8_｝ 原 点 r

＝

0におい て

，

圧

_力

を_Poと すると

，

　　 　C

＝−

_Po

…

_∵

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（7

．

9｝ と な る

。

い ま

，

大 気 圧 を

_p

， と す る と

，

　 　 　P　_（xyz _）

＝

_（レ2_）ρげ（x2＋_y2） 　　 　　　 　　

一

ρ9r 十ρo＝ Pr

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（7

，

10_） は大 気と 理想 流 体との接 面 を表す 方程式 であ る。これ を

，

r につ い て_解く と

_，

　　 　r

＝

（

1

／

29

｝ω2（」匚2＋y’） 　　 　　 十（1／ρg ）（ρo

−

PT ）

・

・

∵

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

…

　（7911 ） これ は z 軸を回 転 軸と す る回 転 放 物 面を表して い る。 な お

，

回 転がな い場 合に は ω

＝

0か ら

，

　　 　「

＝

（ユ／ρ9 ）（Po

−

Pr）

＝

const

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（7

．

12 ） と な る

，

これは球 体を表し て い る_。

　

一

方， 式 （7

，

7

）よ り

，

オイラ

ー ・

ラグラン ジュ の 運動 方 程 式は質 量 保 存の_条件 ・

fff

・

d

… d・

一

…

一 ・

・

……・

・

…一 ・

_（・

．

・3 ） を考 慮して

_，

次の よ うに 求め ら れ る

。

　　 　

一

ρcalX

＝一

ρ9X／？

・

一

∂P／∂X

…………・

…

_（7

．

14_） 　　 　

−

PtO2y

＝一

ρ

9

写／r

−

∂

P

／∂

y …………・

…

（7

．

15 ） 　 　 　0

ヨ

ー ρg2／ 7

−

∂p／∂z

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

9

（7

．

16） 式 （7

．

10 ）は式 （7

．

14 ）

〜

（7

．

16）を満 足し て い る ことは 明ら かであ る。 な お

，

これ らの式か ら

，

6節に示し た方 法で， 変分 原 理 の基本式 （7

．

7 ）を求め ること ができ る。 　7

，

3

　石 鹸 膜のか た ち （二_次元） 　フ レ

ー

ム に_張られ た石 鹸膜は

0

次 弾 性 体の _{薄 膜}と考え ること がで き る

。

この_膜の_{表面 張}力 は等 方 性の 0次 弾 性 係 数に相 当す る

。

その形態は上 述の容器の場 合と同じよ うに_境界の_形に_依存す る。 　

7．

4

　 シャボン玉 　空 気 中に浮か ん だ シャボン玉 はO次 弾 性 体と考えられ る空気の_{塊 （自}重は概 略 無 視 し得る）を0次 弾 性 体の薄 膜で包んだ状 態でバ _ラン ス し た複合構 造と なっ てい る。 　7

，

5 水 滴 　蓮の葉の 上の水 滴は 0次弾性 体と考え ら れ る水の塊 （自重は もはや無 視で き ない ） を

0

次 弾 性 体の薄 膜で包 ん だ状 態で バ ラ ンス し た複 合 構 造とな っ て いる

。

　7

．

6　 紙風船 　これ は

，

ほ と ん ど伸び ない膜の内 部に空 気 （0次弾 性 体 ）が充満して バ ラン スし た複 合 構 造と なっ て いる

。

　7

．

7　ゴム風船 　これ は

，

伸び やすい膜の内 部に空 気 （0次 弾 性 体 ）が 充 満して バ ランス した複 合 構 造と なっ てい る

。

　8

．

膜 構 造へ の応 用 　 以 上の よ うな形 状 解 析の

一

般 理 論 を 膜 構 造に適 用す る

。

そ の際

，

仮 想 仕 事の原 理とし て定 式する ことも

，

ま た

，

0次 弾 性 体の連 続 体とし て

，

停 留ポテ ン シ ャ ルエ _ネ ル ギ

ー

の_原理で定 式す ることも可 能であ る が

，

結 果は同 じ形 式と な る

。

こ こ では

，0

次弾性体の連 続 体と して

，

後 者によっ て定式 化 する

。

　8

．

ユ　 基 本 的な関係 　 変 形 後のつ り合い状 態にお ける曲 面 上の任 意の点の位 置ベ ク トル を次の よ うに表す

。

　 　 R

＝

♂ （Aa）em

・

・

……・

…・

・

一 ………

（8

．

1） ただし

，

　 ♂ ：直交 座 標 系の基 底ベ _{ク ト}ル 　 　 　 　 zm ：直交 座 標 系 （m

＝

123 ＞ 　　 　　　Aa ：

一

般 座標 系 （a‘ 12 ） ま た

，

曲 線 座 標 系の基 底ベ ク トル を次の よ う に定義す る

。

　　 　

Aa

＝ ∂

R

／∂Aa

…・

…・

…・

…・

……・

・

…・

・

…・

・

…

（

8▼

2 ） こ の と き_， 基 本 計 量テ ン ソ ル は次の よ うに定義さ れ る

。

一

₉₇

一

　　 　

Aab

＝

Aa・

A

，

……・

・

…・

・

……・

・

一 ・

…・

………

（

8．

3

） ま た

，A ；IAab

」

…………・

………・

……・

…・

・

……・

（＆

4

）

　　　Cab

＝ cofactor 　

l

　

Aabl…・

………

　

（8

．

5）

と定 義 することに よっ て

，

基 本 計 量テン ソ ル の 反 変テン ソ ル を次の よ う に定義す る。 　 　 　

Aab＝

Cab

／

A ・

・

・

・

・

…

　

『

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

…

　

9−・

9・

・

・

・

…

　 （

8．

6） また_， 変 形 前のつ り合い状態 にお ける曲面上の任 意の点 の位 置ベ ク トルを次の ように表 す。 　　 　r

＝

Zom_（ノ

ta

）ε扣ゴ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

「

・

・

・

…

　（

8．

7 ） 変 形 後の場 合と同様な基底ベ _{ク ト}ルを次の よ うに 定義 さ れ る。 　　 　aa

＝

∂r／∂

Aa・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

（

8．

8

） こ のと き

，

基 本 計 量テン ソ ル は次の よ うに定 義され る

。

　　 　αab＝ _{α o}

・

ab

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

’

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（8

．

9 ） ま た

，

a

＝laabl………・

……・

・

・

……・

・

・

……・

（8

．

10） 　　 　c。 、

・

・cofact ・rlα。。卜

・

…・

…・

…・

・

…・

………

（8

．

・11 ） と定 義す ることによっ て， 基本計量テ ンソ ル の反変テン ソ ルを次の よ う に定義す る。 　　 　α 

＝

c。 、／α

…………・

一 ………・

・

…・

_（8

_．

_12） この よ う な 関係を 用い て定 式 化する

。

　

8．

2　膜 構 造の形 状 解 析の定 式 化 　0次 弾 性 体の薄 膜の微 小 面 積に蓄え ら れ る仮 想の ひず みエ _ネルギ

ー

に相 当す るもの は

，

次の よ うに表すこと が で き る。 　　 　δW （zり三

H

帥_{砺 b}（2り

・

・

…………・

…・

……

（

8，

ユ

3

＞ こ こ に

， Hab

　l　

O

次の弾性 係 数 　　 　剛 zり：ひずみエネル ギ

ー

関 数の_{形 状 関 数} 　　 　　　 　　 （zk ：

k＝

1

，

2，

3

_）表 現 ま た

，

ひず み は 次の よ う に 定 義 される

。

　 7de（zt ）

＝

（1／

2

）｛

Aab

（zκ ）

−

aab｝

…

　

一…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

8．14

） 　δっ急b（zt）

；

（1／2）δA　_ab（zh_）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（8

．

15 ） 　これら の関 係を用い る と

，

停 留ポ テン シャ ルエ ネル ギ

ー

の原 理は次の よ う に定 義さ れ る。 δΦ

イ∫

・a・ ・_・… （・

w

万酬 ・

　　　

一

・

ル

_五蒲 齟 ・

　

　　

一

δ

f

　t…

ds ＝

＝

・

……・

・

・

………・

………・

・

（8

・

16） こ こ に

，

研 ：最 終 的に得られ た安 定な曲 面の面 積 要 素 　 　 　 　を表す 　　 　　　 P ：_密度 　 　 　 五 ：物 体 力の成 分 　　 　　　 tk：表面 力の成 分 こ こ で

，

注意すべ _{き点は 固体の力学などで定義さ れ てい} る汎 関 数と異な り面 素N／万 はZκ の_関数と なっ て お り

，

変分 を受け る 点で あ る

。

　さて

，

0次の弾性 膜が等方 性の薄膜と す る

，

す な わ ち

，

　 　 　Hoe

＝

nイ

4

αb

・

・

・

・

・

…



r9…



9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

8．

_17）

一 98 一

こ こ に_，

Aab

は_最終 曲 面の反 変 基 底テ ン ソル である

。

　　 　　n は膜 応 力に相当す る定 義 こ の と き

，

薄 膜の微 小 面 積に蓄え られ る仮 想の ひずみエ ネル ギ

ー

に_{相 当}するもの は_， 次の よ うに表すこ と が で き る

。

　　 　δ

w

〔2κ ）　＝

HdeDrab

（zk） 　　 　　　 　

＝

（1／2）nAab δAab（zk）

…

　

『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（8

．

18） 　

一

方

，

面 素の変 分は次の よ うに書ける

。

　　 　δ》呵

＝

（1／

2

）

Aab

δA　

．

_b（zh ｝》署

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（8

．

19 ） そ れ ゆ え

，

仮想仕 事の式の第

一

項は次の ように な る。

　　　

f

∫

H

・・

_aZa

・（・幅 齟 ・

　　　　

−

ffn

・而 弸 δ

・

…一 ・

……・

一 ・

（

8

… ） これ を用い て仮 想 仕 事の式を書き直す と，

　　　

δΦ

一

・

∫∫

函

d

醐 ・

　

　　

　

　

一

δ

ff

pfkzh 　vXirdAaAb

　　　　　

一

小

2hds − …

……・

… …・

…一

（・

・

21 ） こ こ で

，

物 体 力が ないと す る と

，

等 応 力の面積が最 小に な る曲面を求め ることになり

，

こ れ まで の議 論と完全に

一

_{致す る} 。 　

9．

直 交 座 標 系で の基本式の誘 導 　こ れ まで導い て き た理 論の正 当性 を示 すた めに

，

こ こ で は

R ．Trostel

’）_が 力のつ _り合いより導い た

，

自重を考 慮し た石 鹸 膜の形 状 解 析の基 本 式を

，

こ こ で_示し た方法 によっ て誘 導し ておこう。 　 形 態 安 定 後の曲 面の任 意の点の位 置ベ ク トルを 次式の よ うに定 義 する。 　　 　

R ＝

コcel 十 Ψe！十 z （コc　y）es

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

9，

1

） この と き， 基 底ベ ク トル は次の よ うに定義され る。 　　 　AI

＝

∂Rノ∂x

＝

＝

eL十2コces

’

…

　

一

一

…

　

tt…

　

−t・

・

・

・

・

…

　（

9．

2

） 　 　 　

A2；

∂

R

／∂x

；

e2 十 2ye3

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（9

．

3） こ こに

_，

　 　 　Zx＝ _∂9_／∂x Zu

＝

_∂2_／∂y

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（9

．

4_） で あ る

。

こ の曲 面の基 本 計量 テン ソ ルは次の よ う に な る

。

　 　 　

All

＝ 1_十Zx： 　　 　

AllE1

→

−

Zyl

・

・

・

・

・

・

・

・

…



tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

9．5

_） 　 　 　

Aie

； 2

＝

Zy 　　 　

A

＝

AnA2t−

A12z＝ 1十z＝ t 十2yt

・

・

・

…



tt・

・

…



一

_（

9．

6 ） そ れ ゆ え_， 面 積 要 素は

　　　

朔「

＝



1十 Zx2 十2y2

　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　tt−一

…

　

（

9、

7

） 以 上の諸 式 を用い て

，

内 圧 と 自重の作 用を受ける局所的 等 応 力状 態の膜 搆 造の_{基 礎 方 程}式 を求める。 　膜 張 力にポテンシャ ルエ _ネルギ

ー

は式 （

8．

20

） よ り

，

　　　

・・

イ∫

… ＋・xt ・z． ・ 　

d

・

dy …・

………

（… ） 　こ こ に_{， η}。 は膜応力 （石 鹸 膜の 表 面 張 力 ） を表し て

い る

。

また

，

物 体 力 （自重 ）に対し て は

，

次の よ う な ポ テンシャ ル関 数の存 在 が 知ら れ てい る。

　　　

…

−

ff

・z　 1＋ z

。

t・塚 繭

……一

（・

．

9） こ こ に_{， g} は_曲面の_{単位 面 積 当り}の 自重で定 数 とする。 ま た

，

内圧 に よ る ポ テンシ

’

ヤ ル関 数は 軌

イ∫

鵡 ω齣

……・

・

……・

…・

…

（・… 〉 こ こに

，

p は内 圧を表 して いる。 　式 （

9．

8

）と 式 （9

．

9）お よ び式 （9

．

10）とか ら

，

等 方 性

0

次弾性の_{薄 膜の停 留}ポ テン シャルエ _ネルギ

ー

の原 理 は次の よ う に な る。 　　　δφ

＝

δ（Φ〇十Φ匿十 φ，）；

o ……・

……

　

………

（9

．

ll） こ こ に

，

汎 関数 ¢ は次の よ うに表さ れ る

。

　　　

di＝

＝

_川

_（・・＋9・）・＋ z。 2 ・・_y2

　　　　　

… （

副

d

鞠

……・

・

一 ・

・

……・

…

（・

．

12） ここで

，

変分を受け る独 立の量は 2 である

。

　さ て， この汎関数 φ を停 留にする独 立な関 数z は次 の

Euler−Lagrange

の方程 式を満足 す る。

　

　

　

（・・＋9・）

雋孝

莠

1

・ 　 　 　 9 　　　　　　　　　

・

・

一

一

・

・

・

…

　

，

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（9

．

13 ）

＝P

十 　　　 1＋z_ノ＋Zy2 こ こ に

，

　 　 　∠」z； Zx

！

十Zy

！

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（9

，

14）

　　　 L （z）

＝

Zxt2yy

−

2Zx2vZxy十9y22エx

・

・

・

・

・

・

…

　（

9，15

）

　 　 　Zxx

＝

∂2z ／∂xax 　　　ZVtr

＝

∂22 ／∂₃ノ∂！ノ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（9

．

16 ） 　　　z

＝

_y

＝

∂「 z ／∂x ∂_y である。 式 （9

．

13）は自重 を考 慮し た局 所 的 等 応 力 曲 面 のつ り合い方 程 式であり， 文 献 1 と も完 全に

一

致してい る

。

　さ て， こ こで

，

式 （

9．

12

）の第

一

項を検討し て おこう

，

（e。＋gz ）は応 力と考え ら れ る が

，

これ は

，

理 想 流体の 静 水 圧に相 当する と と もに_， こ れ は_{単位 体積 当}りのエ _ネ ルギ

ー

を表し てお り

，

理 想 流 体のエ ネル ギ

ー

収 支 を表し た

Bemoulli

定理 　 　 　P十_gh十（1／2）pV2

＝

constant

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

（9

．

17） の_前二_項と見ること ができ る。 す な わ ち

，

圧 力と位 置の エ ネルギ

ー

を表 して い る もの と考え ら れる

。

　10

．

ま と め 　10

．

1　弾 性 力 学 あるいは塑性力学は， 連続体の力学の 中で

，

媒 体と_して

，

それぞれ弾 性 体あ るいは塑 性 体を対 象と し た力 学 体 系で あ る

。

形状解析問 題 は， 連 続 体の 力 学の中で媒体と し て，

0

次弾 性体を対 象と し た力学 体系 と考え るこ と がで き る。 す な わ ち

，

「0次 弾 性 体 」とい う 連 続 体 を 考 え ることによっ て

，

形 状 解 析 問題 を連 続 体 の力

_学

の

_枠

組み の中で

，

他の連 続 体と 同 じ よ うに

_，

統

一

し た手 法で扱 うこと がで き る

。

　

10

．

2

　

0次 弾 性 体は理 想 流 体 を 包 含す る材 質 的な概

_念

であ り

，

理想 流 体や 石鹸 膜は等 方 性の 0次 弾 性 体の

一

つ に相 当す る， こ の こと が；等応 力の形状解析 問題 を石鹸 膜 （液体 膜 ）で_{実 験的}に求め るこ との で き る理論的な根 拠 を 与え て い る

。

　10

．

3 形 状 解 析 問 題で は

一

般に応 力は

Euler

応 力で 評 価さ れ てい る

。

そ の ため

，

汎関 数の積分 領域は変 形 後 ある い は安 定 後の領 域を対 象と する ことに な る

。

そ の た め

，

線

，

面 積 あるい は体 積が変 分の対 象にな

．

っ てお り_， こ れ らの諸 量が形 状 解 析 問題の中で重 要な働き をし て い る。 この こと は

，

固 体の 力学で常 用さ れる変 分 原 理と著 し く異な る点であ るe 　

10．

4　形状解析問題 を仮想仕事の _原理 あ るいは停留ポ テン シャル エ ネル ギ

ー

の原 理 と して定 式 化 す るこ と がで き る か ら， これをも と に し て有限要 素法な ど の離散的な 解 法に よ る定 式 化 も容易で ある

。

　 注 　こ の諭 文は文

it5’

7 ）_に

一

_{部 発表され ている}

_。

_{こ れを基に し} て

，

理 論 的な部 分 をま と めた もの で ある

。

　Appendix 　AL 　静 止 状 態にお け る 理想 流体と粘性流体13 ） 　 　 　 粘 性 流体の構 成方 程 式は次 式で与え られ る

。

　 　 　 　 rU

＝−

pδtj_{十 λV}献_δu_十2 μyU

…・

…………

（A1

．

22） 　 　 　

一

方

，

理 想 流 体に対し ては 　 　 　 rU

＝−

pcrtj

・

…………・

・

……・

…・

…・

…・

……

（A1

．

22） 　 　 　と な る。 いま

，

仮に静止状態と す る と

，

速度が0と な 　 　 　り構 成 方 程 式は完 全に

一

致 す る

。

こ の ことは静 止 状 態 　 　 　に お け る挙動 は理 想 流体も粘 性流体も変わ ら ない

。

A2

．

局所 的等 応 力と大 域 的 等 応 力 　 　 　 領 域の任 意の点にお け る応 力にせ ん断 成 分を含まず

，

　 　 全方位的に等しい応力状態

，

す な わ ち

，

その点の モ

ー

　 　 　ル の応 力 円 が 点 となっている状 態 を等応 力 状 態 と定 義 　 　 す る

。

　　　

次に

，

等 応ヵ状 態の領 域Cl

_，

おい て

．

任 意の相 異な る 　 　 二点の応 力 が等しい と き

，

この状 態 を 大 域 的等応 力状 　 　 態と定義す る

。

ま た

，

二 点の応 力が 互い に_異な る と き

，

　 　 　この状 態 を 局 所 的 等 応 力 状 態 と定 義 する

。

　 　 　

一

般に_自重を考慮し た場合

，

等応 力状態を維持す る 　 　 　ことは不 可 能である

。

し か し

，

自重が ポ テン シ ャ ル か 　　　ら導かれ る と きに は局 所 的 等応力 状態 と なっ て バラン 　 　 　スする

。

　 　 　 現 実の事象と し て

，

大 域 的 等 応 力状 態と は容器の中 　 　 の静 止 状 態の自重 を無 視し得る理 想 流体 （気体 ）の応 　 　 力状態 （圧力 ）

．

が これに相 当す る

。

ま た

，

局 所 的 等 応 　 　 力状 態と は容器の中の静 止 状 態の 自重を 無視で き ない 　 　 　よ うな理 想 流 体 （液 体 ）

，

す なわち

，

高さによっ て圧 力 　 　 が変化し ている よ う な応力状態 （圧力 ）がこれ に相当 　 　 す る

。

．

．

．

References

1） Otto　F

．

：

“

Tensile　Structures

”

Vol

．

　

L

　Vol

．

　ll　 MIT 　 　Press　1960

2） 荻 田 直 史：

“

気 球の 自然 形

”

東 京 大 学 宇 宙航 空 研 究 所報告