画像解析論（２）　講義内容

• 信号処理と画像処理 • 二次元システムとその表現 • 二次元システムの特性解析 • 各種の画像フィルタ

画像解析論（２）

主な講義内容

東京工業大学 長橋 宏

信号処理と画像処理

信号処理系

画像処理系

処理の 応答 実時間性が求められる ある程度の処理時間 が許容される 記憶域 メモリ容量に対する_{制限が厳しい} 大容量のメモリ使用が_{容認され易い} 入出力 の流れ オンラインでの対応 が厳しく求められる オフラインでの対応が 容認され易い 系の持 つ特徴 線形性・因果性 非線形性・非因果性

信号処理システム

) (t x    T

 

( ) ) (t T x t y 

入力

出力

 



T

線形システム：

線形システムとは



_{a1x1(t) a2x2(t)}



_a1T

 

_{x1(t) a2T}



_x2(t)



　を満たす． T    ステムとは 時不変（空間不変）シ





を満たす． が に対する出力 入力 であるとき， に対する出力が 入力 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 d d t t y t x T t y t y t t x t x t y t x     

2次元システム ) , (x y f g(x, y)  O



f (x, y)



} { O

)}

,

(

{

)}

,

(

{

)}

,

(

)

,

(

{

a

₁

f

₁

x

y

a

₂

f

₂

x

y

a

₁

O

f

₁

x

y

a

₂

O

f

₂

x

y

O





















x y d d f y x f ( , ) 

 

 ( , ) (  ,  )      入力：　 )} , ( { ) , (x y O f x y g  出力：　 を満たす．ここで， とおく．

２次元線形システム(1/3)

は， ２次元線形システムで ス関数） デルタ関数（インパル : ) (



                    d d y x h f d d y x O f d d y x f O y x g ) , ; , ( ) , ( )} , ( { ) , ( } ) , ( ) , ( { ) , (

 

 

 

                               ると 入力を代入して変形す

)

,

(

)

,

(

)

,

(

x

y

f

x

y

h

x

y

g









を表す． ２次元インパルス応答 は， ここで，h(x, y;,)  O  (x, y ) 表す． 積分を，右式のように 応答の 入力信号とインパルス （畳込み積分）

２次元線形システム(2/3)





  1 ) , ( ) 0 , 0 ( ) , ( ) , ( dxdy y x f dxdy y x y x f   𝜉, 𝜂 ：入力座標系 𝑥, 𝑦 ：出力座標系 ディラックのデルタ関数

離散処理システムでは： ) , ( ) , ( ) , ; , ( ) , ( ) , ( n m h n m f n m j i h j i f n m g i j    



空間不変（space invariant)システムと呼ぶ．

)

,

;

,

(

x

y





h

x  と y  のみに依存するとき，

 

・ 　: O ことが可能． する 数・位相）特性を解析 システムの応答（周波

２次元線形システム(3/3)

インパルス応答_によって として， を離散インパルス応答 ) , ; , (i j m n h 空間不変な離散システムでは， ℎ(𝑖, 𝑗; 𝑚, 𝑛) ⟹ ℎ(𝑖 − 𝑚, 𝑗 − 𝑛)

の例 ２次元系列_x(m,n) m n 0 4 3 2 1 1 2 3 4 0 . 1 5 . 0 3 . 0 例 ２次元系列の図式表現 0 . 1 5 . 0 3 . 0 m n 0 ) 2 , 2 ( 3 . 0 ) 1 , 1 ( 5 . 0 ) , ( 1 ) , (           n m n m n m n m x            3 . 0 ) 2 , 2 ( 5 . 0 ) 1 , 1 ( 0 . 1 ) 0 , 0 ( x x x

２次元系列とその表現

        ) ( , 0 ) , ( , 1 ) , ( それ以外      y x y x ユニットサンプル列：𝛿 （離散的） ２次元系列の関数表現例

入力系列 2次元線形システム 出力系列 2

m

n

0 2 2 2 2 ) , (m n x 0 . 1 5 . 0

m

n

0 5 . 0 5 . 0

)

,

(

m

n

h

3

m

n

0 2 2 4 1 1 1 1 1 4 4 1 ) , (m n y ) , ( ) , (m n h m n f 

２次元線形システムの入出力関係

) , (m n x 入力系列 ２次元インパルス応答 出力系列 y(m,n) ) , (m n h





          i j i j j n i m x j i h j n i m h j i x h x n m y( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (2次元システムの例）

3 . 0 0.2 8 . 0 5 . 0 0 . 1 0 . 1 5 . 0 3 . 0 6 . 0 0.4 6 . 1 0 . 1 0 . 2 0 . 2 0 . 1 6 . 0 3 . 0 0.2 8 . 0 5 . 0 0 . 1 0 . 1 5 . 0 3 . 0 _2.0 5 . 0 5 . 0 0 . 1 8 . 0 0.4 2 . 2 3 . 1 3 . 3 3 . 3 3 . 1 8 . 0 0 . 1 と表される。 ) , ( 3 ) , ( 2 ) , ( 1 ) 1 , 1 ( 2 ) , 1 ( ) 1 , ( ) , ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n x n n x n n x n n n n n n n n x              と表される。 とすると に対応する出力を 入力 ) , ( 3 ) , ( 2 ) , ( 1 ) , ( 3 , 2 , 1 3 , 2 , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n y n n y n n y n n n y y y y x x x    0 . 2 0 . 1 0 . 1 ) , ( : x n₁ n₂ 入力系列 1 n 2 n 3 . 0 0.2 8 . 0 5 . 0 0 . 1 0 . 1 5 . 0 3 . 0 インパルス応答 1 n 2 n ) , ( 3 n₁ n₂ y y(n₁,n₂) ) , ( 1 n₁ n₂ y y2(n₁,n₂)

畳込み演算の計算例

２次元線形システムの連結(1/2)

) , ( 1 m n h h2(m,n) h0(m,n) ) , ( 2 ) , ( 1 ) , ( 0 m n h m n h m n h   ) , ( 1 m n h ) , ( 2 m n h ) , ( 0 m n h ) , ( 2 ) , ( 1 ) , ( 0 m n h m n h m n h   システムの縦続接続 システムの並列接続

m n 2 3 1 1 2 1 h 1 1 2 3 2 m n h2 ) , (m n x y(m,n) m n 3 2 2 9 6 1 4 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 6 6 6 2 2 2 1 h h  ) , (m n x y(m,n)

演算の回数は？

２次元線形システムの連結(2/2)

の縦続接続例

と 2

1 h

h

２次元系列のZ変換

は複素変数 2 1 2 1 2 1 , ) , ( ) , ( z z z z n m x z z X m n n m

 

         Z変換は，フーリエ変換と密接な関係 ２次元系列x(m,n)のZ変換 2 2 1 1 2 1 , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (     i i e z e z i i z z X e e X Z z z H z z X z z Y n n h n n x n n y            変換 フーリエ変換 畳込み演算 とする． 変換，フーリエ変換を の ただし，２次元系列 ) , ( ), , ( ) , ( 2 1 2 1 2 1   _i i e e X z z X Z n n x

２次元システムの特性解析

は の振幅特性と位相特性 これより， は， のフーリエ変換 従って， すると， と 変換を の ２次元インパルス応答 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ) , ( 2 1 , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1              i i i e z e z i i i i n n n n e e H e A z z H e e H e e H n n h z z n n h z z H z z H Z n n h i i              

 

と表される． ， それぞれ，_A(_1,₂₎ ₍_1,₂₎

２次元システムの例(1/3)





) 1 )( 1 ( 1 ) , ( 1 2 1 1 4 1 1 2 1 1 1 2 1 1 4 1 2 1              z z z z z z z z H これより，



( , ) ( 1, ) ( , 1) ( 1, 1)



) , ( ) , ( : 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1         x n n x n n x n n x n n n n y n n x に対するシステムの出力が 入力 入出力関係 ) , (n₁ n₂ x y(n1,n2) ) , (n₁ n₂ h





と表される． ルス応答は， このシステムのインパ ) 1 , 1 ( ) 1 , ( ) , 1 ( ) , ( ) , ( ₄1 _{1 2 1 2 1 2 1 2} 2 1 n  n n  n  n  n n   n  n  n h     ) , (n₁ n₂ h 2 n 1 n 0 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1, ) ( , ) ( n n n n z z n n h z z H        

 



直線位相 位相特性： 振幅特性： 従って， のフーリエ変換は，    ) ( ) , ( , 2 cos 2 cos ) , ( 2 cos 2 cos ) 1 )( 1 ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 1 , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1                                                            A e e e z z H e e H n n h i i i e z e z i i i i 1  1  2  2  位相特性 振幅特性 2 2 1 2 1 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 4 1 ) )( ( 4 1                                                         i i i i i i i i e e e e e e e e

) , ( 1 n₁ n₂ h 16 1 1 n 2 n 16 4 16 2 16 1 16 1 16 1 16 2 16 2 16 2 1 n 2 n 16 4 16 1 16 1 16 1 16 1 16 2 16 2 16 2 16 2 ) , ( 2 n₁ n₂ h ) 2 )( 2 ( ) , ( 2 ) 2 1 )( 2 1 ( ) , ( 1 1 2 1 2 1 1 1 1 16 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 16 1 2 1                 z z z z z z H z z z z z z H Z変換は， 各インパルス応答の 零位相 ーリエ変換は， 各インパルス応答のフ   ) cos 1 )( cos 1 ( 4 1 ) , ( 2 ) cos 1 )( cos 1 ( 4 1 ) , ( 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1                    i i i i i e e H e e e H 1 2  振幅特性

２次元システムの例(2/3)

) 1 , 1 ( 1 ) , ( 2 n₁ n₂ h n₁ n₂ h





) 2 1 )( 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( 2 ) 2 1 ( 2 2 4 2 2 ) , ( 1 ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( 2 ) 2 , ( ) 1 , 2 ( 2 ) 1 , 1 ( 4 ) 1 , ( 2 ) , 2 ( ) , 1 ( 2 ) , ( ) , ( 1 2 2 1 2 2 1 1 1 16 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 16 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 0 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 0 1 0 2 2 1 0 2 1 1 0 2 0 1 16 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 16 1 2 1                                                                                         z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z H Z n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n h 変換すると，         

))

,

(

1

)

,

(

n

₁

n

₂

Z

h

n

₁

n

₂

h

の

変換例（前述の

システム

のインパルス応答は， ) , ( 1 n₁ n₂ h

のフーリエ変換は，

)

,

(

2

),

,

(

1

z

₁

z

₂

H

z

₁

z

₂

H





) cos 1 )( cos 1 ( 4 1 ) 2 )( 2 ( 16 1 ) 2 )( 2 ( 16 1 ) , ( 2 ) , ( 2 2 1 2 , 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1                                   i i i i i i i i e z e z i i e e e e e e e e z z H e e H i i





) ( 2 1 2 2 2 , 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 ) cos 1 )( cos 1 ( 4 1 ) 2 )( 2 ( 16 1 ) 2 1 )( 2 1 ( 16 1 ) , ( 1 ) , ( 1                                             i i i i i i i i i i i e z e z i i e e e e e e e e e e e z z H e e H i i

2 2 1 1 2 ) 2 ( ) , ( 2 2 ) 2 ( ) , ( 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1     i i i i e e z z z z H e e z z z z H Z                 変換は， 各インパルス応答の         i i i i i i e e e H e e e H                 2 sin 4 ) , ( 2 2 sin 4 ) , ( 1 2 2 1 2 2 1 2 1 ーリエ変換は， 各インパルス応答のフ 1 n 2 n 2  1 1 ) , ( 1 n₁ n₂ h 1 n 2 n 2  1 1 ) , ( 2 n₁ n₂ h 1  1  1  ) , ( 1 i1 i2 e e H 2  2  2  ) , ( 2 i1 i2 e e H ) , ( 2 ) , ( 1 i1 i2 i1 i2 e e H e e H 

２次元システムの例(3/3)

分離型システム

と表されるとき， が， 変換 の ルス応答 あるシステムのインパ ) ( ) ( ) , ( ) , ( Z ) , ( 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 z H z H z z H z z H n n h  l l l k k kz H z b z a z H        





  _{1 2 2 2} 1 1( ) , ( ) ) , ( ) , ( ), , ( ) , ( _{1 2 1 2 2 1 2 1 2} 1 n n a n k n h n n b n n l h l l k k    





        構成可能 　　　を縦続接続して ム 次元列の２次元システ 各軸上1 h₁(n₁,n₂), h₂(n₁,n₂) このシステムを 分離型システム _と呼ぶ． ここで， とおくと， となり，それぞれ n₁軸上，n₂軸上の系列 となる．

m n 2 3 1 1 2 1 h 1 1 2 3 2 m n h2 ) , (m n x y(m,n) m n 3 2 2 9 6 1 4 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 6 6 6 2 2 2 1 h h  ) , (m n x y(m,n)

分離型２次元システムの例

)

1

]

2

/

[

,

1

]

2

/

[

(

)

,

(

1 1



















 

N

n

j

M

m

i

x

w

j

i

y

M m N n mn

２次元システム（画像フィルタ）

画像フィルタ 11 w w₁₂ 21 w N w₁ 1 M w wMN       ２次元配列

画像フィルタ出力：



1 n 2 n 16 4 16 1 16 1 16 1 16 1 16 2 16 2 16 2 16 2 16 1 16 1 16 1 16 1 16 4 16 2 16 2 16 2 16 2 ２次元インパルス応答 マスク配列 画像フィルタのマスク配列 空間不変な線形システムの 2次元インパルス応答



3 2cos ₁



3 2cos ₂



25 1 | ) , ( | i₁ i2      e e H

画像フィルタの特性

| ) , ( | H ei1 ei2 25 1 25 1 25 1 25 1 25 9 25 3 25 3 25 3 25 3

加重平均フィルタ

16 1 16 4 16 1 16 1 16 1 16 2 16 2 16 2 16 2



2 2cos ₁



2 2cos ₂



16 1 | ) , ( | i₁ i2      e e H 1  1  2  2  | ) , ( | H ei1 ei2

) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , 1 ( ) , ( ) , (               y x f y x f y y x f y y x f y x f x y x f x

•微分演算の差分化（例）

•差分処理のマスク表現

線形フィルタ表現

‐1 1

x



‐1 1

y



１次差分フィルタ

‐1 ‐2 ₂ ‐1 0 1 0 0 1 ‐1 ‐2 2 ‐1 1 0 0 0 1 Sobelフィルタ x 



y

•勾配演算子 𝛻

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = (∆𝑥 𝑥, 𝑦 , ∆𝑦 𝑥, 𝑦 )

2 2 2 2

)

,

(

)

,

(

)

(

)

(

)

,

(

y

y

x

f

x

y

x

f

f

f

y

x

f

T





















•ラプラシアン演算子

ラプラシアンの差分近似（３×３マスク表現） 1 1 ₁ 1 1 1 -8 1 1 1 _{-4 1} 1 0 0 0 1 0 4近傍2次差分 ８近傍2次差分



２次差分フィルタ

差分フィルタの処理例

ガウスフィルタ

     _   ₂ 2 ₂ 2 2 exp 2 1 ) ; , (







x y y x g ２次元ガウス関数： つ に利用される処理の１ 画像処理の中でも頻繁 ) ; (   g ) , (x y f L(x, y;) ) , ( ) ; , ( ) ; , (x y g x y f x y L     ガウスフィルタ） て構成 線形画像フィルタとし ガウス関数　 ₍ のフィルタリング： ガウス関数による画像 よる表現 有限インパルス応答に ガウス関数は±∞で０に収束するが，実用上， ±３𝜎 程度までを考慮すればよい．

有限インパルス応答による表現が可能

ガウスフィルタのカスケード構成

と表される． とおくと， ) ; ( ) ; ( ) ; , ( 2 exp 2 1 ) ; ( ₂ 2 2       y k x k y x g t t k           接続での構成が可能． によって，カスケード インパルス応答 に対応する は， パルス応答 フィルタにおけるイン 種であり，その画像 は分離可能な関数の一 ガウス関数 ) ; ( ) ; , ( ( ; ) ) ; , (     t k y x g h t k h y x g ) ; , (x y  g h h_k(x;) h_k(y;)

ガウス関数の分離性

(ガウスカーネル) ガウスフィルタ カーネルフィルタ１ カーネルフィルタ２

ガウス核の離散化とマスク表現例

) 15 ; ( k ) 10 ; ( k 0 2 4 6 8 2 4 6 8 ) 5 ; (  k

フィルタマスク表現

ガウスカーネルの線形

) 5 ; (x k 0 2 4 6 8 2 4 6 8 ) 5 ; ( y k 回転

ガボールフィルタ

)

,

(

x

y

b

複素ガボール関数

)} ) ( 2 ( { )} ) ( ) ( ( { 2 ₀ 2 2 ₀ 2 _{0 0}

)

,

(

x

y

Ke

a x x b y y

e

i u x v y P

b



  r   r



   正弦搬送波の位相 　 数 正弦搬送波の空間周波 　　 置 ガウス関数のピーク位 　　 ガウス関数の回転角度 　 軸のスケール ガウス関数の振幅，各 　 　　 　　 ここで， : : ) , ( : ) , ( : : , , sin ) ( cos ) ( ) ( sin ) ( cos ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P v u y x b a K x x y y y y y y x x x x r r               



















































0 2 2 2 2 0

cos

2

2

exp

)

,

,

,

;

,

(

x

y

x

r

y

r

x

r

b









sin , cos sin

cos y y y x x x_r   　 _r   　　 ここで，

る利用形式

パラメータの制約によ

)

,

,

,

;

,

(

x

y

u

₀

v

₀

b



_x



_y

0

,

0

,

2

/

1

,

2

/

1

),

2

/(

1

:

(A)

K





_x



_y

a

2





_x2

b

2





_y2





x

₀



y

₀



)

/

(

tan

,

2

/

,

2

/

1

,

1

:

(B)

K



a

2





2

b

2







2





1

v

₀

u

₀



2

(

)



exp

2

1

exp

2

1

0 0 2 2 2 2

y

v

x

u

i

y

x

y x y x





















































i

at



t

a

t

h

h











exp

2

2

exp

2

1

)

,

;

(

*

()

*

(A)

2 2

















を定義．

下のように

形式表現に対して，以

)

,

;

(

*

)

,

;

(

*

)

,

,

,

;

,

(

)

,

,

,

;

,

(

0 0 0 0 0 0

v

y

h

u

x

h

v

u

y

x

b

v

u

y

x

b

y x y x y x

















は

このとき，

続として構成可能． 次元システムの縦続接 る． と分離可能な関数とな 1 は複素数関数． ただし，_h*(t;



_,a)

)

,

;

(

*

x

u

₀

h



_x

h

*

(

y

;



_y

,

v

₀

)

ガボールフィルタの例

0

,

3

/

5

,

5













5

0







₀



10

（B）形式表現

の関数値の変化例 を変化させた場合





,

原画像 フィルタ出力画像

ガボールフィルタの利用例

GF-1 GF-2 GF-m 2D-Gabor Filter Bank input image output images Feature extraction

参考文献

• 長橋宏，信号画像処理，昭晃堂(1998)

• Javier R. Movellan, “Tutorial on Gabor Filters”, (1996) Open source document (GNU Free Documentation)

• 谷荻高嗣：ディジタル信号処理の理論（１）～（３）コロナ社(1987)