四変数基本対称式の解放

４変数対称式からなる連立方程式の解法 と ４次方程式の解

Solving the simultaneous equation of the symmetric tetravariate polynomials and The roots of a quartic equation

Oomori, Yasuhiro in Himeji City, Japan Dec.31, 2011 Abstract §1. 基本的な４変数対称式からなる連立方程式を、４次対称群𝔖4の表現を指針にして解法します。 また、解法手順の結果より４次対称群の表現の拡大と商群列を表示し、その可解性を確認にします。 §2. ４変数対称式からなる連立方程式の解法を４次方程式へ応用します。また、４次方程式の重解条 件 と ４次関数の導関数 の関係を確認します。 † 本文は、解法の手順を簡潔・丁寧に記述することを目的としています。厳密性には、十分な配 慮はできていません。

§1. 基本的な４変数対称式からなる連立方程式の解法 方針 本章では次の４変数{α, β, γ, δ}の連立方程式 (1) の解法について述べます。 � 𝑠1 𝑠2 𝑠3 𝑠4 = = = = a1 a2 a3 a4 an∈ ℂ:複素数の集合 (1) � 𝑠1 𝑠2 𝑠3 𝑠4 ∶= ∶= ∶= ∶= α + β + γ + δ αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ αβγ + αβδ + αγδ + βγδ αβγδ (1.2) 定義 1. 式(1.2)を ４変数基本対称式 と呼び連立方程式 式(1) を ４変数連立基本対称方程式 と呼ぶ。 本文ではこのような 本文のみ用語 を使っていきます。以後も、必要時毎に定義してきます。 次に複数の多項式の組にも名前をつけておきます。 定義 2. ４本の４変数多項式の組を Ex.1 の様にベクトル表示したとき、これを ４次元４変数多項式ベクトル または単に 多項式ベクトル と呼ぶ． 特に各４変数が 多項式ベクトル の各成分である 式(2) の様な４次元ベクトル表示φを ４次元４変 数基本単項式ベクトル または単に 基本単項式ベクトル と呼ぶ。 � α + β + γ + δ αβ + βγ + γδ αβγ + βγδ αβγδ � ∈ ℂ4_{[Φ] Φ = {α, β, γ, δ}} ℂ4_{[α, β, … ]: ℂ[α, β, … ]の Descartes 冪} ℂ[α,β, … ]: ℂ上の多項式 ，ℂ:複素数の集合 Ex.1 φ: = � α β γ δ � (2)

それでは “４変数連立基本対称方程式 の解法の方針 及び その方針概図 Fig.1 を示します。 〈 ４変数基本単項式ベクトル から ある可逆な変換 で４次対称群𝔖4の作用で不変な ４変数対称多 項式ベクトル をもとめる。次にその４次対称群𝔖4の作用で不変な ４変数対称多項式ベクトル の各成 分を《 対称式の基本定理 》に基づき４変数基本対称式で変数変換し４変数基本対称式からなる多項式 を求め、それを逆変換させ ４変数基本単項式ベクトル の各成分を４変数基本対称式と複素数及び四則 演算・冪根からなる式で表す。 〉 φ = � α β γ δ �𝒯��⎯⎯�𝑠𝑠𝑠 ⎝ ⎛ 𝑠𝑠𝑠1(α, β, γ, δ) 𝑠𝑠𝑠2(α,β, γ, δ) 𝑠𝑠𝑠3(α,β, γ, δ) 𝑠𝑠𝑠4(α,β, γ, δ)⎠ ⎞ ∶= φ𝑠𝑠𝑠 Change of variables by eq.(1)

���������������������� 𝑜𝑜 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑒𝑓𝑡𝑓𝑓 𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠_{𝑒𝑓 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑡𝑒𝑆𝑐 𝑝𝑒𝑓𝑠𝑓𝑒𝑠𝑆𝑓𝑓} ⎝ ⎛ 𝑝𝑜𝑝𝑠1(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) 𝑝𝑜𝑝𝑠2(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) 𝑝𝑜𝑝𝑠3(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) 𝑝𝑜𝑝𝑠4(𝑠1,𝑠2, 𝑠3, 𝑠4)⎠ ⎞ = φ𝑠𝑠𝑠𝒯�𝑠𝑠𝑠 −1 �⎯⎯� ⎝ ⎛ 𝑠𝑜𝑝1(𝑠1,𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) 𝑠𝑜𝑝2(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) 𝑠𝑜𝑝3(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) 𝑠𝑜𝑝4(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4)⎠ ⎞ = � α β γ δ � 𝒯�sym ：基本単項式ベクトルから対称多項式ベクトルへの“ある可逆な変換” 𝑠𝑠𝑠n ：対称式 𝑝𝑜𝑝𝑠n ：多項式 𝑠𝑜𝑝n ：解

Change of variables by eq(1) ：式(1)を用いた変数変換

the fundamental theorem of symmetric polynomial ：« 対称式の基本定理 »

Fig.1 〈“ある可逆な変換”〉は、‘式の対称性と代数的独立性 および 変換の可逆性’ に基づき考慮すると、 次の Ex.2 と Ex.3 の様な写像 ℒ�と 𝒫A � の合成写像であると啓示されます。ただし、本文の“可逆な変n 換”については後述します広義の逆写像を持つことを意味します。 ℒ�(φ) ∶= A�A α β γ δ � = � 𝐴11𝛼 + 𝐴12𝛽 + 𝐴13𝛾 + 𝐴14𝛿 𝐴21𝛼 + 𝐴22𝛽 + 𝐴23𝛾 + 𝐴24𝛿 𝐴31𝛼 + 𝐴32𝛽 + 𝐴33𝛾 + 𝐴34𝛿 𝐴41𝛼 + 𝐴42𝛼 + 𝐴43𝛾 + 𝐴44𝛿 � A = � 𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴14 𝐴21 𝐴22 𝐴23 𝐴24 𝐴31 𝐴32 𝐴33 𝐴34 𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44 � ℒ�：“多項式ベクトル”の各成分を正則行列𝐴を用いて A 一次形式の“多項式ベクトル”にする写像 Ex.2

𝒫� (φ) ∶= �n α β γ δ � ⨀ ⋯ ⨀ � α β γ δ � ����������� n = � αn βn γn δn � : = φn _{n ∈ ℕ: 自然数の集合} ʘ:Hadamard 積の記号， 𝒫�:“多項式ベクトル”の各成分をｎ乗にする写像 n Ex.3 ここでℒ�と𝒫A � の写像に名前をつけておきます。 n 定義 3. Ex.2 の様に“多項式ベクトル”の各成分を正則行列Aを用いて一次形式の“多項式ベクトル”に写像する ℒ�を“正則な線型変換”と呼ぶ。もしくは正則性が明らかなときは単に“線型変換”と呼ぶ。 A 定義 4. Ex.3 の様に“多項式ベクトル”の各成分のｎ乗からなる“多項式ベクトル”に写像する 𝒫� を“ｎ次冪乗n 変換”もしくはｎ乗が明らかなときは単に“冪乗変換”と呼ぶ。 “多項式ベクトル” ψを“冪乗変換”𝒫� させn た“多項式ベクトル”をψの“ｎ次冪乗多項式ベクトル”と呼ぶ。 “正則な線型変換”は全単射になり逆写像がありますが、“冪乗変換”は全射で１対１では無く可逆変換で はありません。しかし、本文では広義に値域の元から定義域の原像への写像を逆写像とみなします。例 えば Ex.4 の様に“２次冪乗変換”で同じ“２次冪乗多項式ベクトル”になる“多項式ベクトル”の元の有限集 合𝑪ψ𝑎, 𝑪ψ𝑏を考えると、この集合は“多項式ベクトル”全体の集合{ψ | ψ ∈ ℂ4[Φ]}の部分集合で類にするこ とができます。さらに、“多項式ベクトル”全体の集合{ψ | ψ ∈ ℂ4_{[Φ]}を類別でき同値関係を定めること} ができます。よって、“２次冪乗変換”は、“２次冪乗多項式ベクトル”すなわち値域から定義域の類への 全射が定義できます。 ψ𝑓 = � α αβ αβγ γδ �, ψ𝑓2= � −α −αβ αβγ γδ �, ψ𝑓3⋯_{un−invetible}�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝒫�2 ψ𝑓2= ⎝ ⎛ α2 α2_β2 α2_β2_γ2 γ2_δ2 _⎠ ⎞ ⇓ extension of definition 𝑪ψ𝑎 = �ψ = ψ𝑓, ψ𝑓2⋯ �ψ2= ψ𝑓2� 𝑪ψ𝑏= �ψ = ψ𝑏,ψ𝑏2⋯ �ψ2= ψ𝑏2� ⋮ ⟼ 𝒫_� 2 ψ𝑓2 ψ𝑏2 ⋮ ℂ4_{[Φ] = 𝑪} ψ𝑎∪ 𝑪ψ𝑏∪ ⋯ , 𝑪ψ𝑖∩ 𝑪ψ𝑗 = ∅ if 𝑖 ≠ 𝑗 Ex.4

定義 5. Fig.3 の様に“多項式ベクトル”全体の集合ℂ4_{[Φ]の２つの元 ψ} 𝑓, ψ𝑓′が“ｎ次冪乗変換” 𝒫� で同じ“ｎ次𝑓 冪乗多項式ベクトル”になる関係を満たすとき、ψ𝑓と ψ𝑓′ は互いに“ｎ乗同値”であると呼び、“ ~n ”を ℂ4_{[Φ] の“ｎ乗同値関係”と呼ぶ。また、ψ} 𝑓と“ｎ乗同値”な元を集めた集合を“ψ𝑓のｎ乗同値類” [ψ𝑓]n と 呼ぶ。 ℂ4_{[Φ]の“ｎ乗同値関係” ∼} 𝑓 は同値律を満たすので商集合を定めることができます。“多項式ベクトル” 全体の集合ℂ4_{[Φ]の“ ∼} n ”による商集合を“ ℂ4[Φ] ∕∼n ”と表します。 “ｎ次冪乗多項式ベクトル”𝒫� (ℂn 4_{[𝛷]) の集合から“商集合“ ℂ}4_{[Φ] ∕∼} n ”への全射を√𝒫n� で表すと、この √𝒫 n� が“ｎ次冪乗変換” 𝒫_{�の“完全逆変換”に成ります。 n} ψ𝑓∼n ψ𝑓′: ⟺ ψ_𝑓n = ψn_𝑓′ ψ_𝑓 , ψ_𝑓′∈ ℂ4[Φ] Φ = {𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿} ⇓ √𝒫 n� ∶ 𝒫_{� (ℂn 4[Φ]) �⎯⎯⎯� ℂ4[Φ] ∼} n ⁄ ; ψ𝑓n �⎯⎯⎯� [ψ𝑓]n ℂ4_{[Φ] ∕∼} n: = {[ψ]n | ψ ∈ ℂ4[Φ]} [ψ𝑓]n:= {ψ ∈ ℂ4[Φ] | ψ ∼n ψ𝑓} ⇓ ∴ √𝒫n� = full inverse of 𝒫_�n 𝒫_{� ∶ ℂ}n 4_{[Φ] ⟶ ℂ}4_{[Φ] ; ψ} 𝑓⟼ ψ𝑓n Fig.3 定義 5.より“ｎ次冪乗変換”は広義の“可逆な変換”になります。したがって本文の主目的は 適当な“線型 変換”と適当な“冪乗変換”の合成写像である“ある可逆な変換”の導出手順を示し、４変数“対称多項式ベク トル”を求めることとなります。 次に４変数“基本単項式ベクトル”φ対する４次対称群𝔖4の作用の表現を考えます。 Tab.1 に４次対称群𝔖4を類別にまとめています。また Tab.1.2 では４次対称群𝔖4を、点群における Schönflies の記法 𝔖4≅ 𝐓𝒅= {𝐸, 8𝐶3, 3𝐶2, 6𝑆4, 6𝜎𝑓} を用いて類別し、 “４変数基本単項式ベクトル” φを 幾何的に表現した構造式を付記しました。

Class 𝔖4 Normal subgroup （_1） �α β γ δα β γ δ� = 𝔢 (ab)(cd) �α β γ δβ α δ γ�， �α β γ δγ δ α β�，�α β γ δδ γ β α� 𝔙𝔎 (abc) �α β γ δ_{α γ δ β� �}α β γ δ_{α δ β γ�}，_{�α β γ δ} γ β δ α� �α β γ δδ β α γ�, �α β γ δ_{β δ γ α� �}α β γ δ_{δ α γ β�}，_{�α β γ δ} β γ α δ� �α β γ δγ α β δ� 𝔄4 (ab) �α β γ δ_{α γ β δ�}，_{�α β γ δ} δ β γ α�，�α β γ δα β δ γ�，�α β γ δβ α γ δ�, �α β γ δ_{α δ γ β�}，_{�α β γ δ} γ β α δ� (abcd) �α β γ δ_{β δ α γ�}，_{�α β γ δ} γ α δ β�，�α β γ δδ γ α β�，�α β γ δγ δ β α�, �α β γ δ_{β γ δ α�}，_{�α β γ δ} δ α β γ� a≠b≠c≠d a,b,c,d∈{α,β,γ,δ} Tab.1

T𝑑†≅𝔖4

class Permutation representation of𝔖4 with skeletal fomulae

[E] _{�α β γ δ} α β γ δ� �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� [C2] φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� β α δ γ� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� γ δ α β� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� δ γ β α� [C3] φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� α γ δ β� φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� α δ β γ� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� γ β δ α� φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� δ β α γ� ， φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� β δ γ α� φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� δ α γ β� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� β γ α δ� φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� γ α β δ� [σ𝑑] φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� α γ β δ� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� δ β γ α� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� α β δ γ� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� β α γ δ� , φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� α δ γ β� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� γ β α δ� [S4] φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� β δ α γ� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� γ α δ β� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� δ γ α β� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� γ δ β α� , φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� β γ δ α� ,φ�α β γ δ�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� δ α β γ� φ = †: Schönflies notation Tab.1.2

４変数“基本単項式ベクトル”φ の４次対称群𝔖4軌道は Ex.5 の様に４変数“基本単項式ベクトル”の各成 分の置換になり行列で表現できます。 � 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 � ⟼𝔖4 �… � β α δ γ � , � γ δ α β � , � δ γ β α � ⋯ � ：𝔖4𝑜𝑜𝑜𝑖𝑜 ⟺ �…� 0 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 11 0 � , � 0 0 0 0 1 00 1 1 0 0 1 0 00 0 � , � 0 0 0 0 0 11 0 0 1 1 0 0 00 0 � ⋯ � � α β γ δ � = ℛφ(𝔖4)φ Ex.5 このような𝔖4軌道の元が、その各成分の置換もしくは一次形式になっている元、すなわち４次対称群 𝔖4の作用を４ ４行列で表現できる“多項式ベクトル”に名前を付けておきます。 定義 6. Ex.6 の様に群𝔖4の作用で得られる“多項式ベクトル” ψの𝔖4軌道 の各元が“多項式ベクトル” ψの各成 分の一次形式で現せるとき、“多項式ベクトル”は“線型同調”していると言う。“線型同調”しているψへ作 用する元𝔰 ∈ 𝔖4の行列表現をℛψ(𝔰)、群𝔖4の行列表現をℛψ(𝔖4)とする。 また特に、“多項式ベクトル”の軌道の各元の成分が“多項式ベクトル”の各成分の置換のとき、“多項式 ベクトル”を“同調多項式ベクトル”と呼ぶ。 ⎝ ⎛ α2_{+ β}2 α2_{− β}2 γ2 δ2 _⎠ ⎞�α β γ δ_{�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯�} γ δ α β�∈𝔖4 ⎝ ⎛ γ2_{+ δ}2 γ2_{− δ}2 α2 β2 _⎠ ⎞ ⟺ ⎝ ⎜ ⎛ 0 0 1 1 0 0 1 −1 1 2 1 2 0 0 1 2 −1 2 0 0 ⎠ ⎟ ⎞ ⎝ ⎛ α2_{+ β}2 α2_{− β}2 γ2 δ2 _⎠ ⎞ Ex.6 ４変数“基本単項式ベクトル” φ に作用する４次対称群𝔖4の行列表現ℛφ(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4を Tab.1.3 に表しま す。

T𝑑 class ℛφ(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4≅ 𝐓𝒅 Normal subgroup [E] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4= ℛφ(𝔢) [C2] � 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �，� 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 �，� 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 � 𝔙𝔎 abelian [C3] � 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 � � 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 �，� 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 � � 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 �， � 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 � � 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 �，� 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 � � 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 � 𝔄4 [σ𝑑] � 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 �，� 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 �，� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �，� 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �， � 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 �，� 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 � [S4] � 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 �，� 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 �，� 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 �，� 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 �, � 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 �，� 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 � Tab.1.3

Fig.4 の様に、４次対称群𝔖4の行列表現が４変数“基本単項式ベクトル” φの“可逆な変換”に伴い全てが 単位行列になっていれば、“ある可逆な変換”で得られる４変数“対称多項式ベクトル”が求まります。 ℛφ(𝔰) = �⋯ � 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 � , � 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 � , � 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 � ⋯ �𝒯��⎯⎯� �⋯ �𝑠𝑠𝑠 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � , ⋯ � 𝔰 ∈ 𝔖4 ⇕ φ = � α β γ δ �𝒯��⎯⎯�𝑠𝑠𝑠 ⎝ ⎛ 𝑠𝑠𝑠1(α, β, γ, δ) 𝑠𝑠𝑠2(α, β, γ, δ) 𝑠𝑠𝑠3(α, β, γ, δ) 𝑠𝑠𝑠4(α, β, γ, δ)⎠ ⎞ = φ𝑠𝑠𝑠 Fig.4 以下、４次対称群の行列表現が単位行列になるように４変数“基本単項式ベクトル”を変換していきます。 ¶手順 step1 “４変数基本単項式ベクトル” φ式(2)を“線型変換”して、４次対称群𝔖4の行列表現 ℛφ(𝔰) ;𝔰 ∈ 𝔖4の内 で“可換な正規部分群”が対角行列である“線型同調多項式ベクトル”を求めます。 φ = � α β γ δ � (2) ここで対角化可能な行列を対角化する正則行列に名前をつけておきます。 定義 7.

Ex.7 の様に対角化可能な行列Aを対角化する正則行列の集合を行列 Aの“対角化行列集合” Λ(A)、その 元を行列Aの“対角化行列 ”と呼ぶ。また、“対角化行列”の各成分を適当な公約数で割り簡単な成分にす ることを“通約する”と呼ぶ。 Λ(A) = �𝛬𝜆 � 𝛬𝜆A𝛬𝜆−1= 𝛬𝜆� 𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴14 𝐴21 𝐴22 𝐴23 𝐴24 𝐴31 𝐴32 𝐴33 𝐴34 𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44 � 𝛬𝜆−1= � 𝜆10 0 0 0 𝜆20 0 0 0 𝜆30 0 0 0 𝜆4 � ≔ 𝒜𝒹𝛬𝜆(A)� Ex.7

４次対称群𝔖4の‘可換な正規部分群’は、Fig.5 の類[𝑬] と類[𝑪𝟐]の和からなる通称 « Klein の４元群 𝔙𝔎 »と呼ばれる部分群になります。行列表現 ℛφ(𝔙𝔎)の“対角化行列”は、例えば、“通約した”正則行列とし て式(3)の様な“対角化行列” Hがあります。以後、このような“対角化行列”が重要な役割を持ちます。 “対角化行列” Hで“４変数基本単項式ベクトル”φを “線型変換”すると 式(4) が得られます。ちなみに、 “対角化行列” Hは通称 « 4 次 Hadamard 行列 »と呼ばれています。 ℛφ(𝔙𝔎) = ℛφ([𝑬],[𝑪𝟐]) = �� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � , � 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 � , � 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 � , � 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 �� Fig.5 Λ(ℛφ(𝔙𝔎)) ∋ H = � 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 1 � = H4 H4：4 次 Hadamard 行列 (3) ℒ�(φ) = H�H α β γ δ � = � α + β + γ + δ α − β + γ − δ α + β − γ − δ α − β − γ + δ � = φ1 (4) “多項式ベクトル” φ1式(4)の４次対称群𝔖4の行列表現 ℛφ1(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4は Tab.2 になり、‘Klein の４元群 𝔙𝔎’は対角行列になっています。手順 step1 が達成されました。 また、行列表現 ℛφ1(𝔰) ; 𝔰 ∈ 𝔖4は、直和分解されほとんどの成分が零である行列になっています。行列 表現 ℛφ(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4と行列表現 ℛφ1(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4は 式(4.2) の関係を持っています。

T𝑑 class ℛφ1(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4≅ 𝐓𝒅 Normal subgroup [E] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4= ℛφ1(𝔢) [C2] � 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 � 𝔙𝔎 abelian [C3] � 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 � � 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 �,� 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 � � 1 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 −1 0 �, � 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 0 0 0 0 1 0 � � 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 �,� 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 −1 0 0 � � 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 −1 0 � 𝔄4 [σ𝑑] � 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 �,� 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 � [S4] � 1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 �,� 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 �, � 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 0 � Tab.2 ℛφ(𝔰) ℒ̂�H �� ℛφ1(𝔰) = H4ℛφ(𝔰)H4−1= 𝒜𝒹H4�ℛφ(𝔰)� 𝔰 ∈ 𝔖4 (4.2) H4−1=1₄H4∗

ここで、この様な形態の行列に名前をつけておきます。 定義 8. Ex.8 の様に各列・各行の成分が一つの成分以外、他全てが零である行列を“正則で最も疎な行列”もし くは“正疎な”行列と呼ぶ。特に Ex.9 の様に非零の成分がすべて 1 である“正則で最も疎な行列”を“単疎な” 行列と呼ぶ。 � 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 4 0 0 0 � : 𝑜𝑟𝑟𝑟𝑝𝑟𝑜, 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑠𝑟𝑠𝑜 Ex.8 � 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 � ∶ 𝑜𝑖𝑜𝑟𝑜𝑠, 𝑜𝑟𝑟𝑟𝑝𝑟𝑜, 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑠e𝑠𝑜 Ex.9 よって、“同調多項式ベクトル”の４次対称群の行列表現は“単疎な”行列に成ります。 ¶手順 step2 手順 step1 で得られた“多項式ベクトル” φ1式(4) を“冪乗変換”して行列表現ℛφ1(𝔙𝔎) が単位行列であ る（もしくは行列表現 ℛφ1(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4が “単疎な”行列になる） “同調多項式ベクトル”を求めます。 行列表現 ℛφ1(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4は“正疎”でかつ非零各成分は±1 である行列になっています。すなわち、手順 step1 で得られた“多項式ベクトル” φ1式(4) を“２n 次冪乗変換”することになります。n=1 の最小次数の “２次冪乗変換” 𝒫�でφ2 1式(3)を変換すると“多項式ベクトル” φ2式(5) が得られます。 𝒫� (φ2 _{1) =} ⎝ ⎜ ⎛ (α + β + γ + δ) 2 (α − β + γ − δ)2 (α + β − γ − δ)2 (α − β − γ + δ)2 ⎠ ⎟ ⎞ = φ2 (5) この“多項式ベクトル” 𝜑2式(5) の４次対称群𝔖4の行列表現ℛ𝜑1(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4 Tab.3 は“単疎な”行列になっ ており“多項式ベクトル” 𝜑2が“同調多項式ベクトル”であることが判ります。行列表現 ℛ𝜑1(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4と 行列表現ℛ𝜑2(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4は 式(5.2) の関係を持っています。

T𝑑 class ℛφ2(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4≅ 𝐓𝒅 Normal subgroup [E] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4= ℛφ2(𝔢) [C2] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � 𝔙𝔎 abelian [C3] � 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 � � 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 �,� 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 � � 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 �, � 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 � � 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 �,� 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 � � 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 � 𝔄4 [σ𝑑] � 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 �,� 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 � [S4] � 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 �,� 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 � Tab.3 ℛφ1(𝔰) 𝒫�2 �� ℛφ2(𝔰) = ℛφ1(𝔰) ⨀ ℛφ1(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4 (5.2) ʘ: Hadamard product sign

“４変数同調多項式ベクトル” φ2式(5) の４次対称群𝔖4の行列表現ℛφ2(𝔖4)は、Tab.3.2 の様に ℛφ2(𝔖4) ≅ 𝔖3≅ 𝔖4/𝔙4になります。 ¶手順 step3 手順 step2 で得られた“同調多項式ベクトル” φ2式(5) を“線型変換”し、４次対称群𝔖4の行列表現 ℛφ2(𝔖4) ≅ 𝔖3 Tab.3.2 の内の‘可換な正規部分群’が対角行列である“線型同調多項式ベクトル”を求めま す。 この場合 Tab.3 の類 [𝑬] ,[𝑪𝟐]および[𝑪𝟑]の和からなる‘4 次交代群𝔄4’の行列表現 ℛφ2(𝔄4) がℛφ2(𝔖4) の‘可換な正規部分群’になります。 行列表現ℛφ2(𝔄4) ≅ 𝔄3の“対角化行列”は、例えば、“通約した”正則行列として 式(6) の様な“対角化 行列” H’があります。“４変数同調多項式ベクトル” φ2を“対角化行列” H’ で“線型変換”するとφ3式(7) が 得られます。ちなみに、“対角化行列” H’ 式(6) は１次の単位行列と« 3 次複素 Hadamard 行列 »の直和 からなっています。 Λ(ℛφ2(𝔄4)) ∋ H’ = � 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 𝜔 𝜔2 0 1 𝜔2 _𝜔 � = I1⨁H3 I1: 1 次の単位行列 H3: 3 次複素 Hadamard 行列 𝜔: 立方根 𝜔2_{+ 𝜔 + 1 = 0} (6) ℒ� (φH’ 2) = H’ ⎝ ⎜ ⎛ (α + β + γ + δ) 2 (α − β + γ − δ)2 (α + β − γ − δ)2 (α − β − γ + δ)2 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎛ (α + β + γ + δ) 2 (α − β + γ − δ)2_{+ (α + β − γ − δ)}2_{+ (α − β − γ + δ)}2 (α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔}2_{(α − β − γ + δ)}2 (α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2 ⎠ ⎟ ⎞_{= φ} 3 (7) “多項式ベクトル式” φ3式(7) の４次対称群𝔖4の行列表現ℛφ3(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4 はTab.4 になります。行列表現 ℛφ2(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4と行列表現ℛφ3(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4は 式(7.2) の関係を持っています。３次交代群𝔄3’ ℛφ3(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔄4 は対角行列になっています。行列表現ℛφ3(𝔖4)は、Tab.4.2 の様に直和分解されかつ“正疎な”行列になっ ています。

C₃𝑣 class ℛφ2(𝔖4) ≅ 𝔖3≅ 𝐂𝟑𝟑 Normal subgroup [E] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4= ℛφ2(𝔢) [C3] � 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 � � 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 � 𝔄3 abelian [σ𝑣] � 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 � , � 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 � , � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 � Tab.3.2

T𝑑 class ℛφ3(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4≅ 𝐓𝒅 Normal subgroup [E] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4= ℛφ3(𝔢) [C2] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � 𝔙𝔎 abelian [C3] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ω2 ₀ 0 0 0 ω � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ω 0 0 0 0 ω2 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ω 0 0 0 0 ω2 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ω2 ₀ 0 0 0 ω �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ω2 ₀ 0 0 0 ω � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ω 0 0 0 0 ω2 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ω 0 0 0 0 ω2 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ω2 ₀ 0 0 0 ω � 𝔄4 [σ𝑑] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ω2 0 0 ω 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ω2 0 0 ω 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ω 0 0 ω2 ₀ �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ω 0 0 ω2 ₀ �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 � [S4] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ω2 0 0 ω 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ω2 0 0 ω 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ω 0 0 ω2 ₀ �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ω 0 0 ω2 ₀ �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 � ω: cubic root ω2_+ω+1=0 Tab.4 ℛφ2(𝔰) ℒ�H �� ℛφ3(𝔰) = H’ℛφ2(𝔰)H’−1= 𝒜𝒹H’�ℛφ2(𝔰)� 𝔰 ∈ 𝔖4 H’: I1⨁H3 H’−1= I1⨁ 1 3H3∗ (7.2) H’−1_{= I} 1⨁1₃H3∗ I1:Identity matrix of order 1

C₃𝑣 class ℛφ3(𝔖4) ≅ 𝔖3≅ 𝐂𝟑𝟑 Normal subgroup [E] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4= ℛφ3(𝔢) [C3] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ω2 ₀ 0 0 0 ω � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ω 0 0 0 0 ω2 � 𝔄3 abelian [σ𝑣] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ω2 0 0 ω 0 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ω 0 0 ω2 ₀ �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 � ω: cubic root ω2_+ω+1=0 Tab.4.2

¶手順 step4 手順step3で得られた“多項式ベクトル” φ3式(7)を “冪乗変換”し、４次対称群𝔖4の行列表現が“単疎な” 行列になる“同調多項式ベクトル”を求めます。 行列表現ℛφ3(𝔖4)は“正疎”でかつ非零成分が 1 と 1 の 3 乗根である行列になっています。すなわち、 手順 step3 で得られた“多項式ベクトル” φ3式(7)を“３n 次冪乗変換”することになります。n=1 の最小次 数の“３次冪乗変換”𝒫� でφ3 _{3式(7)を変換すると斉 6 次の“多項式ベクトル” φ4式(8)が得られます。} 𝒫� (φ3 _{3) =} ⎝ ⎜ ⎛ (α + β + γ + δ) 6 {(α − β + γ − δ)2_{+ (α + β − γ − δ)}2_{+ (α − β − γ + δ)}2_}3 {(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔}2_{(α − β − γ + δ)}2_}3 {(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3 ⎠ ⎟ ⎞_{= φ} 4 (8) この斉６次の“多項式ベクトル” φ4式(8)の４次対称群𝔖4の行列表現ℛφ4(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4 Tab.5 は“単疎な”行 列になっており“多項式ベクトル” φ4が“同調多項式ベクトル”であることが判ります。行列表現 ℛφ3(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4と行列表現 ℛφ4(𝔰) ; 𝔰 ∈ 𝔖4は 式(8.2) の関係を持っています。 斉６次の“４変数同調多項式ベクトル” φ4式(8)の４次対称群𝔖4の行列表現ℛφ4(𝔖4)は、Tab.5.2 の様に ℛφ4(𝔖4) ≅ 𝔖2≅ 𝔖3/𝔄3になります。 ¶手順 step5 手順 step4 で得られた“同調多項式ベクトル” φ4式(8) を“線型変換”し４次対称群𝔖4の行列表現 ℛφ4(𝔖4) ≅ 𝔖2 Tab.5.2 が対角行列である“線型同調多項式ベクトル”を求めます。 行列表現ℛφ4(𝔖4)の“対角化行列”は、例えば、“通約した”正則行列として 式(9) の様な“対角化行列” H”があります。“４変数同調多項式ベクトル” φ4を“対角化行列” H”で “線型変換”するとφ5式(10) が得 られます。ちなみに、“対角化行列” H”式 (9) は２次の単位行列と« 2 次 Hadamard 行列 »の直和からな っています。 Λ(ℛφ4(𝔖4)) ∋ H” = � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 −1 � = I2⨁H2 I2: 2 次の単位行列 H2: 2 次 Hadamard 行列 (9)

T𝑑 class ℛφ4(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4≅ 𝐓𝒅 Normal subgroup [E] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4= ℛφ4(𝔢) [C2] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � 𝔙𝔎 abelian [C3] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � 𝔄4 [σ𝑑] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 � [S4] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 � Tab.5 ℛφ3(𝔰) 𝒫�3 �� ℛφ4(𝔰)＝ℛφ3(𝔰) ⨀ ℛφ3(𝔰)⨀ ℛφ3(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4 (8.2) ʘ:Hadamard product sign

C𝑠 class ℛφ4(𝔖4) ≅ 𝔖2≅ 𝐂𝒔 Normal subgroup [E] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4= ℛφ4(𝔢) [σ] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 � Tab.5.2

ℒ� (φH” 4) = H”φ4 = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ (α + β + γ + δ)6 {(α − β + γ − δ)2_{+ (α + β − γ − δ)}2_{+ (α − β − γ + δ)}2_}3 [{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔}2_{(α − β − γ + δ)}2_}3 +{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3_] [{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔}2_{(α − β − γ + δ)}2_}3 −{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3_{] ⎠} ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ = φ5 (10) “多項式ベクトル式” φ5式(10)の４次対称群𝔖４の行列表現 ℛφ5(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4はTab.6 になります。行列表 現 ℛφ4(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4と行列表現 ℛφ5(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4は 式(10.2) の関係を持っています。行列表現 ℛφ5(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4は、対角行列になっています。直和分解されかつ“正疎な”行列になっています。行列表現 ℛφ5(𝔖4)は、 Tab.6.2 に示します。 ¶手順 step6 手順 step5 で得られた“多項式ベクトル” φ5式(10)を“冪乗変換”し、４次対称群𝔖4の行列表現 ℛφ5(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4が単位行列I4になる“同調多項式ベクトル”を求めます。 行列表現 ℛφ5;(𝔖4) は、“正疎”でかつ各非零成分が ±1 である行列になっています。すなわち、手順 step5 で得られた“多項式ベクトル” φ5式(10)を“２n 次冪乗変換”することになります。n=1 の最小次数 の“２次冪乗変換” 𝒫�でφ2 _{5式(10)を変換すると斉 12 次の“多項式ベクトル” φ𝑠𝑠𝑠式(11)が得られます。} 𝒫� (φ2 _{5) =} ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ (α + β + γ + δ)12 {(α − β + γ − δ)2_{+ (α + β − γ − δ)}2_{+ (α − β − γ + δ)}2_}6 [{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔}2_{(α − β − γ + δ)}2_}3 + {(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3_]2 [{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔}2_{(α − β − γ + δ)}2_}3 − {(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3_]2_⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ = φ𝑠𝑠𝑠 (11) 手順 step1から手順 step6までの一連の変換の合成写像で得られた斉 12次の“多項式ベクトル” φ𝑠𝑠𝑠式 (11)の４次対称群𝔖4の行列表現 ℛφ𝑠𝑠𝑠(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4 Tab.7 は、すべて単位行列になっています。行列表現 ℛφ𝑠𝑠𝑠(𝔖4)は、Tab.7.2 の様に単位行列に成りました。行列表現ℛφ𝑠𝑠𝑠(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4と行列表現 ℛφ5(𝔰); 𝔰 ∈ 𝔖4は 式(11.2) の関係を持っています。 よって、〈‘４変数基本単項式ベクトル’ φ式(2) から“ある可逆な変換”で４次対称群𝔖4の作用で不変な ‘４変数対称多項式ベクトル’〉φ𝑠𝑠𝑠式(11) が求まったことを確認できました。

T𝑑 class ℛφ5(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4≅ 𝐓𝒅 Normal subgroup [E] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4= ℛφ5(𝔢) [C2] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � 𝔙𝔎 abelian [C3] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � 𝔄4 [σ𝑑] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 � [S4] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 � Tab.6 ℛφ4(𝔰) ℒ�H" �⎯� ℛφ5(𝔰) = H”ℛφ4(𝔰)H”−1= 𝒜𝒹H”�ℛφ4(𝔰)� 𝔰 ∈ 𝔖4 H”:I2⨁H2 (10.2) H”−1_{= I} 2⨁1₂H2∗ I2:Identity matrix of order 2

C𝑠 class ℛφ5(𝔖4) ≅ 𝔖2≅ 𝐂𝒔 Normal subgroup [E] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4= ℛφ5(𝔢) [σ] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 � Tab.6.2

T𝑑 class ℛφ𝑠𝑠𝑠(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4≅ 𝐓𝒅 Normal subgroup [E] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4= ℛφ𝑠𝑠𝑠(𝔢) [C2] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � 𝔙𝔎 abelian [C3] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � 𝔄4 [σ𝑑] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � [S4] � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �, � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 �,� 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � Tab.7 ℛφ5(𝔰) 𝒫�2 �� ℛφ𝑠𝑠𝑠(𝔰) = ℛφ5(𝔰) ⨀ ℛφ5(𝔰) 𝔰 ∈ 𝔖4 (11.2) ʘ: Hadamard product sign

ℛφ𝑠𝑠𝑠(𝔖4) ≅ {𝔢} � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � = I4 Tab.7.2

¶手順 step7 斉 12 次の４変数 “正調不動点” φ𝑠𝑠𝑠式(11)を ‘４変数基本対称式’ 𝑠𝑓で変数変換して行きます。まず、 φ𝑠𝑠𝑠式(11)の代わりに対称性を保持して次数を下げた “簡約な４変数対称多項式ベクトル” φ𝑒式(12) を考えます。 ⎝ ⎛ 𝑜1(α, β, γ, δ) 𝑜2(α, β, γ, δ) 𝑜3(α, β, γ, δ) 𝑜4(α, β, γ, δ)⎠ ⎞ = φ𝑒⟸ φ𝑠𝑠𝑠: = ⎝ ⎜ ⎛𝑜1 12_{(α,β, γ, δ)} 𝑜26(α, β, γ, δ) 𝑜33(α, β, γ, δ) 𝑜4(α, β, γ, δ) ⎠ ⎟ ⎞ (12) φ𝑒= � 𝑜1 𝑜2 𝑜3 𝑜4 � ∶= ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ α + β + γ + δ (α − β + γ − δ)2_{+ (α + β − γ − δ)}2_{+ (α − β − γ + δ)}2 [{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔}2_{(α − β − γ + δ)}2_}3 + {(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3_] [{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔}2_{(α − β − γ + δ)}2_}3 − {(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3_]2_⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ (12.2) 𝜔: 立方根 𝜔2_{+ 𝜔 + 1 = 0} “４変数対称多項式ベクトル” φ𝑒式(12.2) の各成分{𝑜1, 𝑜2, 𝑜3, 𝑜4}を４変数基本対称式(1) {𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4} の多項式で Fig.6 のように変数変換をすると次の連立恒等式 式(13) を得ます。

𝑜n Change of variables by eq.(1)���������������������� 𝑜𝑜 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑒𝑓𝑡𝑓𝑓 𝑡ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠_{𝑒𝑓 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑡𝑒𝑆𝑐 𝑝𝑒𝑓𝑠𝑓𝑒𝑠𝑆𝑓𝑓} øn

≜ 𝑜n(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4)

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ø_ø1(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) = 𝑜1∶= α + β + γ + δ 2(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) = 𝑜2∶= (α − β + γ − δ)2+ (α + β − γ − δ)2+ (α − β − γ + δ)2 ø3(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) = 𝑜3∶= {(α − β + γ − δ)2+ 𝜔(α + β − γ − δ)2+ 𝜔2(α − β − γ + δ)2}3 +{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3 ø4(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) = 𝑜4∶= [{(α − β + γ − δ)2+ 𝜔(α + β − γ − δ)2+ 𝜔2(α − β − γ + δ)2}3 −{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3_]2 (13) ⎩ ⎨ ⎧ø_ø1₂∶= 𝑠_{∶= 3ø}1₁2_{− 8𝑠} 2 ø3∶= 3ø2c − 𝑑̇ ø4∶= ø32− 4c3 (13.2) �𝑐 ∶= ø22− 3 �14ø22+ 1 4(3𝑠14− 16𝑠12𝑠2+ 64𝑠1𝑠3− 256𝑠4)� 𝑑̇ ∶= ø23− 27(𝑠13− 4𝑠1𝑠2+ 8𝑠3)2 (13.3) 次に、この式(13) と式(1) を“正調不動点” φ𝑠𝑠𝑠式(11)・(12) に入れて“正調遷移”の広義の逆変換を して解を求めれば、“４変数連立基本対称方程式” 式(1) の解がその中に存在します。 解をより限定するために、次数を下げた連立恒等式(13)を用いて連立方程式 式(1)を解きます。 では、式(1)を式(13.2), (13.2)に入れた値を式(14)で表して式(13)を連立対称方程式として解きます。 � 𝑠1 𝑠2 𝑠3 𝑠4 = = = = a1 a2 a3 a4 an∈ ℚ (1) 𝑂n≜ øn(𝑠n= an) b1≜ 𝑐(𝑠n= an) b2≜ 𝑑̇(𝑠n= an) � (14) 式(13) (14)の解は式(15)になります。式(14)の解は２４つの解の“多項式ベクトル”が得られますが、 式(15)は示すとおり、解の“多項式ベクトル”の成分は一組になり{α, β, γ, δ}と表記しています。解 式(15) は “４変数連立基本対称方程式” 式(1) の解でもあります。すなわち、式(1)が代数的に解けました。

� α, β, γ, δ � a1= α + β + γ + δ a2= αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ a3= αβγ + αβδ + αγδ + βγδ a4= αβγδ � = ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧1 4�𝑂1+ � 1 3�𝑂2+ � 1 2�𝑂3+ �𝑂4� 3 + �3 1₂�𝑂3− �𝑂4�� + �1₃�𝑂2+ 𝜔�3 1₂�𝑂3+ �𝑂4�+ 𝜔23�1₂�𝑂3− �𝑂4�� _{+ �}1 3�𝑂2+ 𝜔2� 1 2�𝑂3+ �𝑂4� 3 + 𝜔�3 1₂�𝑂3− �𝑂4��� , 1 4�𝑂1− � 1 3�𝑂2+ � 1 2�𝑂3+ �𝑂4� 3 + �3 1₂�𝑂3− �𝑂4�� + �1₃�𝑂2+ 𝜔�3 1₂�𝑂3+ �𝑂4�+ 𝜔23�1₂�𝑂3− �𝑂4�� _{− �}1 3�𝑂2+ 𝜔2� 1 2�𝑂3+ �𝑂4� 3 + 𝜔�3 1₂�𝑂3− �𝑂4��� , 1 4�𝑂1+ � 1 3�𝑂2+ � 1 2�𝑂3+ �𝑂4� 3 + �3 1₂�𝑂3− �𝑂4�� − �1₃�𝑂2+ 𝜔�3 1₂�𝑂3+ �𝑂4�+ 𝜔23�1₂�𝑂3− �𝑂4�� _{− �}1 3�𝑂2+ 𝜔2� 1 2�𝑂3+ �𝑂4� 3 + 𝜔�3 1₂�𝑂3− �𝑂4��� , 1 4�𝑂1− � 1 3�𝑂2+ � 1 2�𝑂3+ �𝑂4� 3 + �3 1₂�𝑂3− �𝑂4�� − �1₃�𝑂2+ 𝜔�3 1₂�𝑂3+ �𝑂4�+ 𝜔23�1₂�𝑂3− �𝑂4�� _{+ �}1 3�𝑂2+ 𝜔2� 1 2�𝑂3+ �𝑂4� 3 + 𝜔�3 1₂�𝑂3− �𝑂4��� ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ 𝜔: 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜔2_{+ 𝜔 + 1 = 0} (15) ⎩ ⎨ ⎧𝑂_𝑂1= a1 2= 3𝑂12− 8a2 𝑂3= 3𝑂2b1− b2 𝑂4= 𝑂32− 4b13 _{(15 − 2)} �b1= 𝑂22− 3 �14𝑂22+ 1

4(3a14− 16a12a2+ 64a1a3− 256a4)� b2= 𝑂23−27(a13− 4a1a2+ 8a3)2

¶まとめ 手順 step1 から手順 step6 までの一連の変換の合成写像に名前をつけておきます。 定義 9. “同調多項式ベクトル”から別の“同調多項式ベクトル”へ写像する適当な“線型変換” ℒ� と“冪乗変Λ 換”𝒫_{� の合成写像 𝒪}𝑓 Λn �:= 𝒫_{� ∘ ℒ}n _{� を“正調変換”と呼ぶ。 Λ}

よって上記で手順 step1 と step2、step3 と step4、step5 と step6 の合成写像は式(16) 𝒪�:= 𝒫_H2 � ∘ ℒ2 �_H 𝒪� := 𝒫H’3 � ∘ ℒ3 �H’ 𝒪� := 𝒫_H"2 � ∘ ℒ2 �_H" � (16) になり、それぞれが“正調変換”に成ります。 定義 10. “基本単項式ベクトル”から複数回の“正調変換”をして得られた“対称多項式ベクトル”を“正調不動点” と呼ぶ。また、この様に“基本単項式ベクトル” φから“正調不動点” φ𝑠𝑠𝑠に変換する一連の“正調変換”の 合成写像を“正調遷移”と呼ぶ。 よって 手順 step1 から手順 step6 までの一連の変換の合成写像式(17) 𝒯�𝑒: = 𝒪� ∘ 𝒪H"2 � ∘ 𝒪H’3 � (17) H2 は“正調遷移” 𝒯�𝑒∈ 𝒯�𝑠𝑠𝑠 に成ります。

手順 step1 から手順 step6 の“４変数連立基本対称方程式”の解法の手順を概図 Fig.6 にまとめ現してお

きます。また Fig.6-2 では、各手順での４次対称群𝔖4の各作用の行列表現の変化を Schönflies の点群の

記号と Mulliken の既約表現の記号で現しました。𝔖4の既約表現の 5 つの指標 �𝛘1𝔖4, 𝛘2𝔖4,𝛘3𝔖4, 𝛘4𝔖4, 𝛘5𝔖4� は Tab.8 に表記しました。

φ 𝑒𝑒.(2) 𝒪�_H2 �� φ2 𝑒𝑒.(5) 𝒪�_H’3 �� φ4 𝑒𝑒.(8) 𝒪�_H"2 �⎯� �������������𝒯�o φ𝑠𝑠𝑠 𝑒𝑒.(11)⇔ φ𝑒𝑒.(12.2)𝑒 𝑒𝑒.(1) ���� φ𝑒= ⎝ ⎛ 𝑠1 3ø12− 8𝑠2 3ø2𝑐 − 𝑑̇ ø32− 4𝑐3⎠ ⎞ _{𝑟𝑒. (13.2)} ⇔ 𝑟𝑒. (16) 𝑆𝑒𝑓𝑓𝑡𝑆𝑒𝑓 of 𝑒𝑒.(1) 𝑉𝑟𝑐𝑜𝑜𝑜 𝑜𝑜𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑜𝑠𝑟𝑜𝑖𝑜𝑜 φ 𝒪_���H2 _φ 2 𝒪�_H’3 �� φ4 𝒪�_H"2 �⎯� φ𝑠𝑠𝑠 ℛφ(𝔖4)

Tab.1.3 ≅ 𝔖4 ℛTab.3.2φ2(𝔖4)≅ 𝔖3 ℛTab.5.2φ4(𝔖4)≅ 𝔖2 ℛφTab.7.2𝑠𝑠𝑠(𝔖4)= {E4} ℛφ2(𝔄4) ≅ 𝔄3 ℛφ(𝔖4) ⊳ 𝒟φ(𝔙𝔎) ℛφ2(𝔖4) ⊳ ℛφ2(𝔄4) kerℛφ2≅ 𝔙𝔎 𝑜𝑜𝔖4 kerℛφ4≅ 𝔄4 𝑜𝑜𝔖4 𝑀𝑟𝑜𝑜𝑖𝑀 𝑜𝑟𝑝𝑜𝑟𝑠𝑟𝑜𝑜𝑟𝑜𝑖𝑜𝑜 𝑟𝑀𝑜𝑟𝑜𝑠𝑖𝑜𝑜 ℛφ(𝔖4) ⇐ ℛ_ℛφ(𝔖4) φ(𝔙4) ≅ ℛφ2(𝔖4) ⇐ ℛφ2(𝔖4) ℛφ2(𝔄4) ≅ ℛφ4 (𝔖4) 𝚲(ℛφ(𝔙𝔎)) ∋ H = � 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 1 � = H4 H4：4 次 Hadamard 行列 (3) H−1₌1 4H4∗ 𝚲(ℛφ2(𝔄4)) ∋ H’ = � 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 ω ω2 0 1 ω2 _ω � = I1⨁H3 I1: 1 次の単位行列 H3: 3 次複素 Hadamard 行列 𝜔: 立方根 ω2_{+ ω + 1 = 0} (6) H’−1_{= I} 1⨁1₃H3∗ 𝚲 �ℛφ4(𝔖4)� ∋ H” = � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 −1 � = I2⨁H2 I2: 2 次の単位行列 H2: 2 次 Hadamard 行列 (9) H”−1_{= I} 2⨁1₂H2∗ Fig.6

φ ℛφ(𝔖4) Tab.1.3 ≅ 𝐓𝒅 𝒪�_H2 �� φ2 ℛφ2(𝔖4) Tab.3.2 ≅ 𝐂𝟑𝟑 𝒪�_H’3 �� φ4 ℛφ4(𝔖4) Tab.5.2 ≅ 𝐂𝒔 𝒪�_H"2 �⎯� φ𝑠𝑠𝑠 ℛφ𝑠𝑠𝑠(𝔖4) Tab.7.2 ≅ {𝔢} (𝒜1) ∶= {(1)} (𝒜2) ∶= {(1), (−1)} (ℰ) ∶= ��1 0_{0 1� , �}0 1_{1 0� , �}ω 0_{0 ω}2� , �0 ω 2 ω 0� , �ω 2 ₀ 0 ω� , � 0 ωω2 _0�� (𝒯1) ∶= ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ �1 0 00 1 0 0 0 1� , � 0 1 0 0 0 1 1 0 0� , � 0 0 1 1 0 0 0 1 0� , � 1 0 0 0 0 1 0 1 0� , � 0 1 0 1 0 0 0 0 1� , � 0 0 1 0 1 0 1 0 0� , �10 −10 00 0 0 −1� , � 0 1 0 0 0 −1 −1 0 0 � , �− 0 0 1 1 0 0 0 −1 0� , � 1 0 0 0 0 −1 0 −1 0 � , � 0 1 0 −1 0 0 0 0 −1� , � 0 0 1 0 −1 0 −1 0 0� , �−1 00 −1 00 0 0 1� , � 0 −1 0 0 0 −1 1 0 0� , � 0 0 −1 −1 0 0 0 1 0� , � −1 0 0 0 0 −1 0 1 0 � , � 0 −1 0 −1 0 0 0 0 1� , � 0 0 −1 0 −1 0 1 0 0 � , �−1 00 1 00 0 0 −1� , � 0 −1 0 0 0 1 −1 0 0� , � 0 0 −1 1 0 0 0 −1 0 � , � −1 0 0 0 0 1 0 −1 0� , � 0 −1 0 1 0 0 0 0 −1� , � 0 0 −1 0 1 0 −1 0 0 �⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ Fig.6.2 � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � ℛφ(𝔖4) ↓_ℒ� _H � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � ℛφ2(𝔖4) ↓_ℒ� _H’ � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � ℛφ4(𝔖4) ↓_ℒ� _H" ℛφ𝑠𝑠𝑠(𝔖4) = 4(𝒜1) � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � ℛφ1(𝔖4) = (𝒜1)⨁(𝒯1) 𝒫�↗ 2 � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � ℛφ3(𝔖4) = 2(𝒜1)⨁(ℰ) 𝒫�↗ 3 � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � ℛφ5(𝔖4) = 3(𝒜1)⨁(𝒜2) 𝒫�↗ 2 � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � 𝒜1 𝒜1 𝒜1 𝒜2 𝒜1 𝒜1 𝒜1 𝒜1 ℰ 𝒜1 𝒜1 𝒜1 𝒯1 ≅T𝑑 C𝑠 𝒜1 𝒜1 ≌ 𝒜1 C3𝑣 ≌

Irreducible representation of 𝔖4

character martix groups

𝛘₁𝔖4_{= (1 1 1 1 1)} ℛ_�𝛘 1 𝔖4_〉(𝔖4) = {(𝒜1)} 𝛘₂𝔖4_{= (1 1 1 −1 −1)} ℛ_�𝛘 2 𝔖4_〉(𝔖4) = {(𝒜2)} 𝛘₃𝔖4_{= (2 2 −1 0 0)} ℛ_�𝛘 3 𝔖4_〉(𝔖4) ∋ (ℰ) 𝛘₄𝔖4_{= (3 −1 0 1 −1)} ℛ_�𝛘 4 𝔖4_〉(𝔖4) ∋ (𝒯1) 𝛘₅𝔖4_{= (3 −1 0 −1 1)} ℛ_�𝛘 5 𝔖4_〉(𝔖4) 𝛘𝔖4(ψ) ∶= (trℛ_ψ(𝐸) trℛ_ψ(𝐶₃) trℛ_ψ(𝐶₂) trℛ_ψ(𝑆₄) trℛ_ψ(𝜎_𝑓)) 𝔖4≅ 𝐓𝒅 = {𝐸, 8𝐶3, 3𝐶2, 6𝑆4, 6𝜎𝑓} ψ ∈ ℂn_{[Φ] , Φ = {α, β, γ, δ}} |𝛘〉 ∶= {ψ ∈ ℂn_[Φ]�𝛘𝔖4(ψ) = 𝛘 𝛘 ∈ ℂ5} Tab.8

§2. ４次方程式の解 ４次方程式の解法 本章では §1. の ４変数連立基本対称方程式 の解を応用し、次のモニック４次方程式 (2 − 1) の 解法について述べます。 𝑡(𝑀) = 𝑀4_{+ 𝑜𝑀}3_{+ 𝑝𝑀}2_{+ 𝑒𝑀 + 𝑜 = 0 𝑜, 𝑝, 𝑒, 𝑜 ∈ ℂ (2 − 1)} 《 代数学の基本定理》より𝑡(𝑀)は次の 式(2 − 1) に変換できます。 𝑡(𝑀) = (𝑀 − α)(𝑀 − β)(𝑀 − γ)(𝑀 − δ)

Fundamental theorem of algebra (2 − 2)

α, β, γ, δ ∈ {ρ ∈ ℂ|𝑡(ρ) = 0} この式(2 − 2)より式(2 − 1)の《 解と係数の関係 》が式(2 − 3)で表わせられます。 � 𝑜 𝑝 𝑒 𝑜 = = = = −(α + β + γ + δ) αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ −(αβγ + αβδ + αγδ + βγδ ) αβγδ

Relation between coefficients and roots of a polynomial

_{(2 − 3)} 式(2 − 3)は通称« 4 次の Viéta 式 »と呼ばれています。 この« 4 次の Viéta 式 »式(2 − 3)を解けばモニック４次方程式 (2 − 1)の解が得られます。 式(2 − 3) と §1. の 式(1.2)、(13)、(13.1)、(13.2)を整理した連立恒等式 (2 – 4)から連立方程式を 立て解きます。 � −𝑜 𝑝 −𝑒 𝑜 = 𝑠1∶= α + β + γ + δ = 𝑠2∶= αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = 𝑠3∶= αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = 𝑠4∶= αβγδ (2 − 3.2) 式(2 − 3)を式(2 – 3.2)に変形し式(2 – 4.4)にいれた値を式(2 – 5)として式(2 – 4)に入れた連立方程式 (2 – 6) を解くと解の式(2 − 7)が１組得られます。 よって、モニック４次方程式 (2 − 1)の解である式(2 − 7)が求まりました。

⎩ ⎨ ⎧𝑜_𝑜1(α, β, γ, δ) 2(α, β, γ, δ) 𝑜3(α, β, γ, δ) 𝑜4(α, β, γ, δ) = = = = ø1(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) ø2(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) ø3(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) ø4(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4) (2 − 4) � 𝑠1 𝑠2 𝑠3 𝑠4 ∶= ∶= ∶= ∶= α + β + γ + δ αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ αβγ + αβδ + αγδ + βγδ αβγδ (2 − 4.2) ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧_𝑜𝑜1∶= α + β + γ + δ 2∶= (α − β + γ − δ)2+ (α + β − γ − δ)2+ (α − β − γ + δ)2 𝑜3∶= {(α − β + γ − δ)2+ 𝜔(α + β − γ − δ)2+ 𝜔2(α − β − γ + δ)2}3 +{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3 𝑜4∶= [{(α − β + γ − δ)2+ 𝜔(α + β − γ − δ)2+ 𝜔2(α − β − γ + δ)2}3 −{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3_]2 (2 − 4.3) ⎩ ⎨ ⎧_øø1₂∶= 𝑠_{∶= 3𝑠}1₁2_{− 8𝑠} 2 ø3∶= 3ø2c − 𝑑̇ ø4∶= ø32− 4c3 (2 − 4.4) �𝑐 ∶= ø22− 3�14ø22+14(3𝑠14− 16𝑠12𝑠2+ 64𝑠1𝑠3− 256𝑠4)� 𝑑̇ ∶= ø23− 27(𝑠13− 4𝑠1𝑠2+ 8𝑠3)2 (2 − 4.4.2) Øn≜ øn(𝑠1= −𝑜, 𝑠2= 𝑝, 𝑠3= −𝑒, 𝑠4= 𝑜) 𝐶 ≜ 𝑐(𝑠1= −𝑜, 𝑠2= 𝑝, 𝑠3= −𝑒, 𝑠4= 𝑜) 𝐷̇ ≜ 𝑑̇(𝑠1= −𝑜, 𝑠2= 𝑝, 𝑠3= −𝑒, 𝑠4= 𝑜) � (2 − 5) ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧Ø_Ø1= α + β + γ + δ 2= (α − β + γ − δ)2+ (α + β − γ − δ)2+ (α − β − γ + δ)2 Ø3= {(α − β + γ − δ)2+ 𝜔(α + β − γ − δ)2+ 𝜔2(α − β − γ + δ)2}3 +{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3 Ø4= [{(α − β + γ − δ)2+ 𝜔(α + β − γ − δ)2+ 𝜔2(α − β − γ + δ)2}3 −{(α − β + γ − δ)2_{+ 𝜔}2_{(α + β − γ − δ)}2_{+ 𝜔(α − β − γ + δ)}2_}3_]2 (2 − 6)

{α, β, γ, δ} = {ρ ∈ ℂ|𝑡(𝜌) = ρ4_{+ 𝑜ρ}3_{+ 𝑝ρ}2_{+ 𝑒ρ + 𝑜 = 0}} = ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧1 4�Ø1+ � 1 3�Ø2+ � 1 2�Ø3+ �Ø4� 3 + �3 1₂�Ø3− �Ø4�� + �1₃�Ø2+ 𝜔�3 1₂�Ø3+ �Ø4�+ 𝜔2�3 1₂�Ø3− �Ø4�� _{+ �}1 3�Ø2+ 𝜔2� 1 2�Ø3+ �Ø4� 3 + 𝜔�3 1₂�Ø3− �Ø4��� , 1 4�Ø1− � 1 3�Ø2+ � 1 2�Ø3+ �Ø4� 3 + �3 1₂�Ø3− �Ø4�� + �1₃�Ø2+ 𝜔�3 1₂�Ø3+ �Ø4�+ 𝜔2�3 1₂�Ø3− �Ø4�� _{− �}1 3�Ø2+ 𝜔2� 1 2�Ø3+ �Ø4� 3 + 𝜔�3 1₂�Ø3− �Ø4��� , 1 4�Ø1+ � 1 3�Ø2+ � 1 2�Ø3+ �Ø4� 3 + �3 1₂�Ø3− �Ø4�� − �1₃�Ø2+ 𝜔�3 1₂�Ø3+ �Ø4�+ 𝜔2�3 1₂�Ø3− �Ø4�� _{− �}1 3�Ø2+ 𝜔2� 1 2�Ø3+ �Ø4� 3 + 𝜔�3 1₂�Ø3− �Ø4��� , 1 4�Ø1− � 1 3�Ø2+ � 1 2�Ø3+ �Ø4� 3 + �3 1₂�Ø3− �Ø4�� − �1₃�Ø2+ 𝜔�3 1₂�Ø3+ �Ø4�+ 𝜔2�3 1₂�Ø3− �Ø4�� _{+ �}1 3�Ø2+ 𝜔2� 1 2�Ø3+ �Ø4� 3 + 𝜔�3 1₂�Ø3− �Ø4��� ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ 𝜔: 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜔2_{+ 𝜔 + 1 = 0} (2 − 7) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧Ø1= −𝑜 Ø2= 3Ø12− 8𝑝 Ø3= 3Ø2𝐶 − 𝐷̇ Ø4= Ø32− 4𝐶3 (2 − 7.2) �𝐶 = Ø22− 3𝐶2 𝐷̇ = Ø23− 27𝐷̇22 (2 − 7.3) �𝐶2= 14Ø22+ 1 4(3𝑜4− 16𝑜2𝑝 + 64𝑜𝑒 − 256𝑜) 𝐷̇2= 𝑜3− 4𝑜𝑝 + 8𝑒 (2 − 7.4)

４次方程式の重解条件 次にモニック４次方程式 𝑡(𝑀) 式(2 – 1)の解 式(2 − 7)の重解条件を Tab.2-1 にまとめておきます。 Tab.2-1 のΔ、Δ̇、Δ̈ はモニック４次方程式 (2 – 1)の判別式 及び 多項式 𝑡(𝑀)の一次、二次導多項式 の判別式です。 𝑡(𝑀) = 𝑀4_{+ 𝑜𝑀}3_{+ 𝑝𝑀}2_{+ 𝑒𝑀 + 𝑜 = 0 (2 − 1)} Δ ∶= {(α − β)(α − γ)(α − δ)(β − γ)(β − δ)(γ − δ)}2_{: 𝑡(𝑀)の判別式} Ø4= Ø32− 4𝐶3= −3346Δ 𝑡’(𝑀) = 4𝑀3_{+ 3𝑜𝑀}2_{+ 2𝑝𝑀 + 𝑒 (2 − 8)} Δ̇ ∶=₄13(−33𝑜3𝑒 + 2332𝑜2𝑝2+ 2233𝑜𝑝𝑒 − 25𝑝3− 2233𝑒2) ∶ 𝑡’(𝑀)の判別式 𝐷̇ = Ø23− 27𝐷̇22= 45Δ̇ 𝑡”(𝑀) = 12𝑀2_{+ 6𝑜𝑀 + 2𝑝 (2 − 9)} Δ̈ ∶=₁₂1(3𝑜2_{− 8𝑝) ∶ 𝑡”(𝑀)の判別式} Ø2= 3Ø12− 8𝑝 = 12Δ̈ 多項式 𝑡(𝑀) を４次曲線と見た場合、Δ̇とΔ̈ はそれぞれ４次曲線𝑡(𝑀)の極値点の重解条件と変曲点の 重解条件になります。

Multiplicity Discriminant Roots of 𝑡(𝑀) double Ø4= 0 Δ = 0 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧1 4�Ø1+ � 1 3�Ø2+ 2� 1 2Ø3 3 � + 2�1₃�Ø2− �3 1₂Ø3�� , 1 4�Ø1− � 1 3�Ø2+ 2� 1 2Ø3 3 �� , 1 4�Ø1+ � 1 3�Ø2+ 2� 1 2Ø3 3 � − 2�1₃�Ø2− �3 1₂Ø3�� , 1 4�Ø1− � 1 3�Ø2+ 2� 1 2Ø3 3 �� ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ triple

�

Ø4 = 0 Ø3 = 0

�

𝐶 = 0_{Δ = 0} or

�

𝐶 = 0_Δ

_̇

_{= 0}

�

𝐶 = 0_𝐷

_̇

_{= 0} ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧1₄�Ø1+ 3�1₃Ø2� , 1 4�Ø1− � 1 3Ø2� 1 4�Ø1− � 1 3Ø2� 1 4�Ø1− � 1 3Ø2� _⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ two double

�

Ø4 = 0 Ø3 = 2Ø23

�

𝐶2 = 0 𝐷

̇

₂ = 0 ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧14�Ø1+ �Ø2�, 1 4�Ø1− �Ø2� 1 4�Ø1− �Ø2� 1 4�Ø1+ �Ø2� ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ quadruple

�

ØØ4₃ = 0= 0 Ø2 = 0

�

Δ = 0Δ

̇

= 0 Δ

̈

= 0 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧14Ø1 1 4Ø1 1 4Ø1 1 4Ø1⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫

�

Δ: Discriminant of 𝑡Δ

̇

: Discriminant of 𝑡’

(

(

𝑀𝑀

)

)

Δ

̈

: Discriminant of 𝑡”

(

𝑀

)

, �

𝐶 =

(

3𝑜 2 _{− 8𝑝}

₎

2_{− 3𝐶} 2 𝐶₂ = 1 4

(

3𝑜 2 _{− 8𝑝}

)

2₊1 4(3𝑜 4_{− 16𝑜}2_{𝑝 + 64𝑜𝑒 − 256𝑜)} 𝐷

̇

₂ = 𝑜3 − 4𝑜𝑝 + 8𝑒 Tab.2-1

Reference：

［１］Wikipedia ．http://ja.wikipedia.org/ ＆ http://wikipedia.org/ ．

［２］藤永 茂；成田 進（著）．『化学や物理のためのやさしい群論入門』．㈱岩波書店，2001．

［３］国吉 秀夫（著）；高橋 豊文（改訂）．『群論入門［新訂版］』（サイエンスライブラリ理工系の数学 ＝ ８）．

㈱サイエンス社，2001．