function2.pdf

基礎数学

1

2009

年前期

,

西岡

http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜nishioka/

2

号館

11

階

38

号室

オフィスアワー

:

水曜

5

限

(

変更した

)

7

関数の概念

7.1

関数による分析

1. ネイピア数*1 _{e = 2.7182· · ·} の巾乗₍べきじょう₎ f (x)_{≡ e}x, x_{∈ R} を指数関数と呼ぶ. -2 -1 1 2 3 5 10 15 20 *1ネイピア数の定義については_,既に論じた_. e_{≡ limn→∞}(1 + 1/n)n_. 2. 指数関数はいろいろな現象を記述するの適した関数である. その例を 挙げてみよう. (i) [携帯電話の契約数] 実例として,日本国内で携帯電話が売り出された 当初での契約数は以下の通りである: ’84 ’85 ’86 ’87 ’88 ’89 契約数(_×1000 件) 13 22 33 56 92 147 1 2 3 4 5 20 40 60 80 100 120 140 図7.1 携帯電話契約数の統計値 これを次の指数関数で近似してみよう: (7.1) f (x) = a eb x, a = 13, b = 0.48246 すると,そのグラフは以下の通りである: 1 2 3 4 5 20 40 60 80 100 120 140 図7.2 関数(7.1)のグラフ,理論値

実際のデータ 図7.1 と 理論値 図7.2 を重ねてみる: 1 2 3 4 5 20 40 60 80 100 120 140 このグラフで, ”青線が統計値, 赤線が理論値” である. 両者は良く一致し ている. 練習問題 7.1. (i) (7.1)の定数 a, bはどうやって決定したのか? (ii) なぜ 関数 (7.1)のグラフは 携帯電話の契約数 図 7.1を良く近似でき るのか ?

8

関数

前述の 例題 から判るように,「関数」という概念が導入されてから,数学 の応用は大幅に広がった. つまり関数を使えば,ある要因とその結果との 関係を厳密に記述できるからである． 定義 8.1. 実数のある部分集合 Df ⊂ Rに属する数x にたいし, (8.1) ある数y が唯一つ対応するとき, その対応を 関数 と呼び, y = f (x) と記述する. ここで xを独立変数, y を従属変数という. また Df を“関数f の定義域”とよぶ. 一方, 関数の値の動く範囲 Rf ≡ {f(x) : x ∈ Df} を値域 と呼ぶ. _$ 注意 8.2. (i) 現代数学では‘関数’ を,集合論でいう写像と同一視するこ とが多い. この立場にたてば, (8.1) は要求せず, (a) (8.1) を満たす関数を, ‘一価関数’という. (b) (8.1) を満たさない関数を, ‘多価関数’という という分類が行われている. ただし本書では,以後の議論を簡易にするため,関数の定義として (8.1) を要求する. (ii) 厳密に言うと, 定義域が異なると別の関数となる. また定義域は区間 で有る必要はない. 例えば,数列 {an} も関数である. この場合, 定義域 D は自然数N と なっている. _$

9

初等関数

今後よく使う関数(初等関数)を列挙する:

9.1

多項式とその仲間

実数 a0, a1,· · · , an にたいし, f (x) = a0+ a1x +· · · anxn, x∈ R という形式を持つ関数を‘多項式’という. より具体的に多項式の例を述 べる. (i) 1次関数: a%= 0, b を定数とする. f (x)≡ a x + b, x ∈ R. (ii) 2次関数: a%= 0, b, c を定数とする. f (x) = a x2_{+ bx + c, x ∈ R.} (iii) 3次関数: a0, a1, a2, a3 %= 0 を定数とする. f (x) = a0+ a1x + a2x2+ a3x3, x∈ R.

例題 9.1. f (x) = 2x2_{− 1 とf (x) = x}3 − 2x2− x₂ + 1 (太線) のグラフ を下に記す: -2 -1 1 2 3 4 -4 -2 2 4 図9.1 2次関数と3次関数 例題 9.2. n 次多項式 f (x) = xn, x∈ R はn が奇数か偶数かでその概形が異なる. (i) n が奇数の時, f (−x) = −f(x) という性質を持っており, ‘奇関数’ と 呼ばれる. 図9.2 奇関数f (x) = x3 のグラフ (ii) nが偶数の時, f (_{−x) = f(x)} という性質を持っており,‘偶関数’と呼 ばれる. 図9.3 偶関数 f (x) = x4 _のグラフ 多項式を拡大して得られる関数の仲間に‘代数関数’と呼ばれるものがあ る. その幾つかの例を述べよう: (v)分数関数: a0, a1,· · · , a3, a4 を実数とするとき, f (x) = a0+ a1x + a2 a3+ x , a3+ x %= 0, g(x) = a0+ a1x + a2+ a3x a4+ a5x + a6x2 , a4+ a5+ a6x2%= 0 などの関数を‘分数関数’という. 例題 9.3. h(x) = 10x + 1 + 1 x のグラフを描け. ♥ [証明] まず f (x) = 1 x (青線) とg(x) = 10x + 1 (赤線)のグラフを描く:

!2 !1 1 2 !40 !20 20 40 60 (vi) 無理関数: 多項式の逆関数から作られる関数を無理関数という. f (x) =√x, x_{≥ 0,} g(x) =!x + 1"1/3, x_{≥ −1,} などが ‘無理関数’ の例である. !1 1 2 3 0.5 1.0 1.5

9.2

指数関数

ネイピア数e = 2.7182_{· · ·} の巾乗 f (x)≡ ex_{, x∈ R. ( しばしば f (x) = exp{x}とも書く. )} が指数関数である. -2 -1 1 2 3 5 10 15 20 図9.4 指数関数 なお次の指数関数の演算公式は既知とする. 指数の計算規則 ! " 補題 9.4. x∈ R にたいし, 次の等式が成立: ex_{· e}y = ex+y, !ex"y = ex·y. _$ # $ 指数関数は自然現象だけでなく社会現象の変遷を記述するのにも適した関 数である. その例は前回の講義で

(i) 携帯電話の契約数, (ii) HIV感染者数

9.3

三角関数

! " # $ % & ' 図9.5 ラジアンと三角関数 I. 点 O を中心とする 半径 1 の円周上に 点A をとる. 通常は 角度 ∠AOB を計る単位として, ‘点O の一周は360度(360◦)’ とする「度」を 用いている. → ところが微分や積分を考えるとき,角度を‘長さ’ で表す方が都合が よい. ラジアン ! " → そこで今後は 点A の位置を 弧#AC の長さ r で表すことにし 「∠AOB = rラジアン」と呼ぶことにする. # $ → 円周率 π を使うと,弧 CD# の長さは π である. 一方 COD は直線な ので ∠DOC を‘度’ で計ると180◦ となる. これから比例で次の対応表が 得られる. 度 0◦ ₄₅◦ ₆₀◦ ₉₀◦ ₁₈₀◦ ₂₇₀◦ ₃₆₀◦ ラジアン 0 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π さて,線分 OA と X軸とのなす角度をθ ラジアン*2_{, XY} 平面での 点 _A

の座標を(x, y) とおくとき,三角関数 sin θ, cos θ, tan θを次で定義する: sin θ ≡ AB OA = x, cos θ ≡ OB OA = y, tan θ ≡ AB OB = y x. !3 !2 !1 1 2 3 !1.0 !0.5 0.5 1.0 図9.6 sin θ (細線)とcos θ (太線) のグラフ *2 常に ラジアン使うので今後は特に ラジアン を表記しない_. II.三角関数の性質を調べよう. • +OAB はOA = 1 の直角三角形なので,ピタゴラスの定理より sin2_{θ + cos}2_{θ =}!_AB"2₊!_OB"2 ₌!_OA"2 _{= 1}2 _{= 1.} • ∠OAB = 90◦− θ だから sin(π 2 −θ) = sin(∠OAB) = OB OA = cos θ の関係式が得られる.

! " # $ % & ' ( ( 上の図から‘三角関数の加法公式’ を導こう. AO = 1, ∠AOB = α, ∠BOD = β とする. また

∠ACD = ∠ABO = ∠AEB = ∠BDC = π/2.

三角関数の定義より, sin(α + β) = AC となる. 一方 四角形 BECD は

長方形なので, EC = BD.

さて ∠BAE = β, AB = sin α だから

AE = AB cos β = sin α_{· cos β.}

また OB = cos α だから

BD = OB sin β = cos α· sin β

となる. これらをAC = AE + EC = AE + BD に代入して,正弦の加法

定理が証明できる:

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β.

同様の計算を cos(α + β) = OC に適用して,余弦の加法公式が得られる.

以上の計算結果を補題としてまとめる.

補題 9.5. (i) sin θ は奇関数, cos θ は偶関数である. (ii) sin2θ + cos2θ = 1. sin(π

2 −θ) = cos θ.

(iii) (加法公式) sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β. cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β. $

9.4

逆関数と合成関数

有る関数が与えられているとき, その関数から新しい関数を作る方法を論 ずる.

[

逆関数

]

関数 f の定義域を Df,値域を Rf とする. ! f ! f"1 ! Df ! Rf ! E

いま, ある部分集合 E⊂ Rf にたいして y ∈ E にたいしては, f (x) = y となるx∈ Df が常に唯一つ存在する とする. このとき x = f−1(y) と表現するが, これを y∈ E の関数とみなして, ‘f の逆関数’ と呼ぶ. ただし, 通常はxとy を入れ替えた表記をつかう: 逆関数 f−1(x), x ∈ E 前の図から明らかなように, 逆関数の関係式 ! " 補題 9.6. 次の等式が成立する. y _{∈ E} にたいし f!f−1(y)"= y, f (x)∈ E である x にたいし f−1!f (x)"= x. $ (9.1) # $ 例題 9.7. つぎの関数の逆関数を求めよ: (i) f (x) = 2x, Df = R, (ii) f (x) = 1/x, Df = {x ∈ R : x %= 0}, (iii) f (x) = 1/(2x), Df = {x ∈ R : x %= 0}, (iv) f (x) = x2_{, D} f = R, ♥ [例題 9.7解答] 9.7 (i) ! " f (x) = 2x, Df = R # $ 逆関数の関係式から x = f (f−1(x)) = 2f−1(x) ⇒ f−1(x) = x 2. ! 1.0 ! 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 ! 2 ! 1 1 2 3 4

9.7 (ii) ! " f (x) = 1/x, Df = {x ∈ R : x %= 0}, # $ やはり逆関数の関係式から, x_{%= 0} では x = f (f−1(x)) = 1 f−1(x) ⇒ f−1(x) = 1 x. 9.7 (iii) ! " f (x) = 1/(2x), Df = {x ∈ R : x %= 0}. # $ やはり逆関数の関係式から, x_{%= 0} では x = f (f−1(x)) = 1 2 f−1_{(x) ⇒} f−1(x) = 1 2x. !2 !1 1 2 !2 !1 1 2 9.7 (iv) ! " f (x) = x2_{, D} f = R. # $ 関数 f (x) = x2_{, D} f = R, にたいしては, E = Df と取るとf (x) = y となるx が唯一つとは限らないので*3_,逆関数 _f−1 は存在しない_. !3 !2 !1 1 2 3 0.5 1.0 1.5 2.0 *3 例えば_{f (x) = 1}となる_xは_{x =±1} と二つある_. しかしE = {x : x ≥ 0} ⊂ Df のように取ると, 逆関数が存在する: f−1(x) =√x, E = Df−1 = {x : x ≥ 0}, !

9.5

合成関数

２つの関数f : Df → Rf と g : Dg→ Rg がRf ⊂ Dg の関係にあると き,新しい関数 合成関数 g!f (x)": Df → Rg ( g ◦ f(x) とも書く) を作ることが出来る. !" #" # ○!! $_{! %!} $_# %_# 例題 9.8. 次の関数 f, g から合成関数 g(f )(x)を作れ. (i) f (x) = x2_{, D} f = R, Rf = {x : x ≥ 0}, g(x) = x3_{, D} g = R, Rg = R. (ii) f (x) = x2, Df = R, Rf = {x : x ≥ 0}, g(x) =√x, Dg= {x : x ≥ 0}, Rg= {x : x ≥ 0}. [解答] (i) f (x) = x2_{, g(x) = x}3 _{の合成関数g(f )(x) は} g(f )(x) = (x2)3 = x6, Dg(f )= R, Rg(f )= {x : x ≥ 0}. (ii) f (x) = x2, g(x) =√x の合成関数g(f )(x) は g(f )(x) =√x2 = |x|, D g(f ) = R, Rg(f )= {x : x ≥ 0}. $

9.6

対数関数

指数関数が広く応用されているため,その逆関数もまた広く使われている. 対数関数 ! " 定義 9.9. 指数関数 f (x) = ex, Df = R, Rf = {x : x > 0} の 逆関数 f−1(x) をとくに‘対数関数’とよび, log x と表記する: 対数関数 f−1(x) = log x, Df−1 = {x : x > 0}, R_f−1 = R. $ # $

-2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 上の図で 太線は 対数関数f−1(x) = log x, 破線はg(x) = x, 細線が 指数 関数 f (x) = ex _{のグラフである.} 自然対数と常用対数 ! " 注意 9.10. (i) a > 0にたいし

log_ax≡ log x_{log a}, x > 0

と表記し, ‘aを底とする対数’と呼ぶが,とくにa = 10の対数 log₁₀x を常用対数 と言う. (ii) この言い方に従えば,例9.9で定義した log x は「ネイピア数e を底とする対数」と呼ぶべきだが,単に 対数 と呼ぶ. しかし,底の区別を明言する必要があるときには, log x を自然対 数と呼ぶ(高校数学と異なる). _$ # $ 対数の計算規則 ! " 命題 9.11. a, b > 0とする.

(i) logaax= x, alogax = x.

(ii) log_a(x y) = log_ax + log_ay, x, y > 0. (iii) logaxy = y logax, x > 0.

(iv) log_ax = logbx logba , x > 0. $ # $ [証明] 指数関数の演算公式 補題 9.4 指数の計算規則 ! "

ex· ey _{= e}x+y_, !_ex"y_{= e}x·y_{. x∈ R. $}

# $ は既知とする. (i) 対数関数は指数関数の逆関数だから, (9.1)より (9.2) elog a = a ! "#$%! & '& 図9.7 x_{→ log a}なら ex_{→ e}log a

となる. この両辺を x乗して ex log a = ax である. 再び (9.1) log eb_{= b}

を使うと,

log ax_{= log(e}x log a_{) = x log a.}

これと 注意 9.10 より logaax= log ax log a = x log a log a = x. 次に (9.2),補題 9.4と 注意9.10 より

alogax=!_elog a"logax= e(log a)·( log x

log a)

= elog x_{= x.}

(ii) まず (i) より x = alogax, y = alogay だから, (i)の第２項にも注意

して

loga(x y) = loga(alogax· alogay)

= log_aalogax+logay = log

ax + logay.

(iii) 再び (i) より x = alogax だから,

logaxy = loga ! alogax"y = log aay logax = y logax. (iv) 注意 9.10より logbx logba = log x/ log b log a/ log b = log x log a = logax. ! 注意 9.12. 自然対数の場合,計算規則はもっと簡潔になる. 自然対数の計算規則 ! "

(i) log ex_{= x, e}log x_{= x.}

(ii) log(x y) = log x + log y, x, y > 0. (iii) log xy _{= y log x, x > 0.}

$ # $ 練習問題9.13. [携帯電話の契約数] 日本国内で携帯電話が売り出された 当初での契約数は以下の通りである: ’84 ’85 ’86 ’87 ’88 ’89 x 0 1 2 3 4 5 契約数(_×1000 件) 13 22 33 56 92 147 これは,次の 定数a, bを上手くとると,指数関数でほぼ正確に近似出来る: f (x) = a eb x, a = 13, b = 0.52 a, bはどうやって決定したのか?

[問題 9.13 解答] f (x) = a eb x _{で x = 0とすると}

13 = f(0) = a eb·0_{= a ⇒ a = 13.}

次に f (x) の両辺の対数をとる: 「対数の計算規則」を使って log f(x) = log!a eb x"= log 13 + b x

ここで, x = 1 とすると

log 22 = log f(1) = log 13 + b.

⇒ b = log 22 − log 13 = log22_{13 /}0.52 · · ·

最後の計算にはコンピューターを使った. !

練習問題 9.14. 次の式を簡単にせよ.

(i) log e 3 +

1

log₃e, (ii) log e

2

− _log1

3e3

+ _{log 3}1 , (iii) log₃2 · log₈27.

[解答] (i) loge 3 +

1

log₃e = log e − log 3 +

1 (log e/ log 3) = 1 − log 3 + log 3 = 1. (ii) log e2₋ 1 log_3e3 + 1 log 3 = 2 log e − 1 log 3/ log 3e + 1 log 3 = 2 − log 3 + log e_{log 3} + 1

log 3 = 2 − 1 − 1 log 3 +

1

log 3 = 1. (iii) log₃2 · log₈27 = log 2

log 3 · log 33 log 23 = log 2 log 3 · 3 log 3 2 log 2 = 1. !