Kan 拡張

Kan ^拡張

alg-d

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2021 年 4 月 2 日

目次

1 定義 1

2 各点Kan拡張 3

3 米田埋込とKan拡張 15

4 普遍随伴 30

1 ^定義

関手F: C →Dと圏U に対して，関手F⁻¹: U^D →U^C がF⁻¹(S) :=S◦F により 定まるのであった(第1章「自然変換・関手圏」のPDFを参照．)．

定義. C, D, U を圏，F: C →D，E: C →U を関手とする．F に沿ったE の左Kan拡 張とは，E ^からF^{−1への普遍射}hF^†E, ηi^{のことをいう．}

E F^†E◦F F^†E

S◦F S

η

θ τF τ

即ち，以下の条件を満たすhF^†E, ηi^{のことである．}

(1) F^†E は関手D→U で，ηは自然変換E ⇒F^†E◦F である．

D

C U

η =⇒

F

E F^†E

(2) 組hS, θi^{が同じ条件を満たす}(即ち S: D → U は関手でθ: E ⇒ S ◦F は自然変 換) ^{ならば，自然変換}τ: F^†E ⇒S ^{が一意に存在して}θ = τF ◦η^{となる．即ち次} の等式が成り立つ．

D

C^η =⇒ U

F

E F^†E

S

τ =

D

C U

=⇒

F θ

E S

自然変換η^を左Kan^拡張hF^†E, ηi^のunit^{と呼ぶ．また，}F ^に沿ったE ^の右Kan^拡張 hF^‡E, εiが自然変換の向きを逆にして得られる．

D

C ε ⇐= U

F

E F^‡E

S

τ =

D

C U

⇐=

F θ

E S

左Kan拡張F^†E をLan_FE，右Kan拡張F^‡E をRan_FE と書くこともある^*1． 普遍射の性質(第1章「極限」のPDFを参照) から次の命題が分かる．

命題 1. F: C →D，E: C →U に対して関手Hom_U^C(E, F⁻¹(−)) : U^D →Setが得ら れる．このとき

Hom_U^C(E, F⁻¹(−))が表現可能関手⇐⇒F^†E が存在する

が成り立つ．またこのときHom_U^C(E, F⁻¹(−)) ∼= HomU^D(F^†E,−)が成り立つ．これ から得られる同型Hom_U^C(E, F⁻¹(F^†E)) ∼= HomU^D(F^†E, F^†E)で右辺のid_F†E に対 応する左辺のη: E ⇒F⁻¹(F^†E)が，左Kan拡張F^†Eのunitである．

*1というか，大抵の本・論文ではLan^やRan^{が使われている．}

命題 2. 各E ∈ U^C に対して，F に沿った左 Kan拡張F^†E ∈ U^D が存在するとする．

このときF^†は関手F⁻¹: U^D → U^C の左随伴関手を定める．随伴F^† a F⁻¹ のunitを η: id_U^C ⇒ F⁻¹◦F^† とするとき，E ∈ U^C に対してη_E がF^†E のunitとなる．同様 に右Kan拡張F^‡: U^C → U^D はF⁻¹ の右随伴関手である．即ちF^† aF⁻¹ a F^‡ とな る．

例 3. ^関手E: J →U ^{に対して余極限}colimE ^とはE ^{から対角関手}∆ : U →U^{J への普} 遍射E ⇒∆(colimE)であった．一方1 ={∗}^{を一点圏として}F: J →1を唯一の関手 とすれば，∆とはF⁻¹: U¹ ∼= U →U^J のことである．F に沿ったE の左Kan拡張は 普遍射E ⇒∆(F^†E)であるから，普遍射の一意性からF^†E ∼= colimE ^{が分かる．}

1

J =⇒ U

F

E

F^†E∼= colimE

即ち，余極限は左Kan拡張である．同様にして，極限は右Kan拡張である．

2 ^各点 Kan ^拡張

余極限(極限)が左Kan拡張(右Kan拡張)であることを使うと，「各点Kan拡張」と いう方法でKan拡張を計算することができる．C, D, U を圏，F: C → D，E: C → U を関手として，左Kan拡張F^†E: D→U が存在するとする．

D

C =⇒ U

F

E F^†E

d ∈Dに対してF^†E(d)を計算したい．dをd(∗) = dとなる関手d: 1→ Dとみなして コンマ圏F ↓dを考えれば次の図式を得る．

1 D

↓ ⇒ = F =⇒ F^†E d

P₁

自然変換を合成すれば次の図式を得る．

1

F ↓d =⇒ U

F^†E(d) P₁

E◦P0

P1 に沿った左Kan拡張は余極限になるから，もしこれが左Kan拡張であれば(実は一般 にはそうなるとは限らない)^，F^†E(d) ∼= colim(E ◦P0)^{となり，左}Kan^{拡張が余極限に} 帰着できる．

以上を踏まえてC, D, U を圏，F: C →D，E: C →U を関手とする．

D

C U

F

E

d∈Dに対してコンマ圏F ↓dを考えれば次の図式を得る．

1 D

F ↓d C U

⇒ = F E d

P₁

P0

今，左Kan拡張hP₁^†(E ◦P0), µ^di^{，即ち余極限}colim(F ↓d −→^P0 C −→^E U)が存在すると 仮定しよう．これを使ってT(d) := colim(F ↓d −→^P0 C −→^E U)と定義する．

1

F ↓d C U

=⇒

µ^d

E T(d) P1

P0

次に射f: d→d⁰ に対してT f を定める．f: d →d⁰は自然変換 1 ^f _⇒ D

d⁰ d

と同一視できることに注意する．コンマ圏F ↓d，F ↓d⁰を考える．

1 D

F ↓d C

⇒ =

θ F

d

P1

P₀

1 D

F ↓d⁰ C

⇒ =

θ⁰ F

d⁰

P₁⁰

P₀⁰

左の図式とf を組み合わせて，次の図式が得られる．

1 D

F ↓d C

⇒ =

θ

⇒f F d⁰

d P1

P₀

コンマ圏F ↓d⁰ の普遍性(「コンマ圏」のPDFを参照)により関手H: F ↓d → F ↓d⁰ が存在し次の等号が成り立つ．

1 D

F ↓d⁰ C F ↓d

⇒ =

θ⁰

=

=

F d⁰

P₁⁰

P₀⁰ P₁

P0

H

=

1 D

C F ↓d

⇒ =

θ

⇒f F d⁰

d P₁

P0

今，余極限T(d) = colim(F ↓d−→^P0 C −→^E U)，T(d⁰) = colim(F ↓d^{0 P}

0

−→0 C −→^E U)が存 在するのであった．

1

C U

F ↓d

=⇒

µ^d

E T(d) P1

P0

1

F ↓d⁰ C U

F ↓d

=⇒

µ^d0

=

= ^E

T(d⁰) P₁⁰

P₀⁰ P1

P0

H

故に左Kan^拡張hT(d), µ^di^{の普遍性により射}T f: T(d) →T(d⁰)^{が存在して次の等式が}

成り立つ．

1

C U

F ↓d

=⇒

µ^d

⇒ ^{T f}

E T(d) P₁

P0

T(d⁰)

=

1

F ↓d⁰ C U

F ↓d

=⇒

µ^d0

=

= ^E

T(d⁰) P₁⁰

P₀⁰ P₁

P0

H

このときT は関手T: D → U となり，T がF に沿ったE の左 Kan拡張となることが 分かる．このことは後で証明することにして認めてしまえば，次の定理が得られる．

定理 4. C, D, U を圏，F: C → D，E: C →U を関手とする．各d ∈D に対して余極 限colim(F ↓d−→^P0 C −→^E U)^{が存在するならば，}F ^に沿ったE ^の左Kan^拡張F^†E ^が存 在してF^†E(d)∼= colim(F ↓d−→^P0 C −→^E U)となる．

C が小圏ならばF ↓dも小圏となる．故に次の系が得られる．

系 5. C, D, U を圏，F: C →Dを関手とする．U が余完備で，C が小圏ならば，任意の 関手E: C → U に対して左Kan拡張F^†E が存在する．故にこの場合F⁻¹ は左随伴を 持ちF^† aF⁻¹: U^C →U^D となる．

Setは余完備であったから次の系を得る．

系 6. C, D を小圏，F: C →D を関手とする．任意の関手E: C^op → Setに対して左 Kan拡張F^†E: D^op →Setが存在する．

D^op

C^op =⇒ Set

F

E F^†E

故に随伴F^†aF⁻¹: Cb→Db が成り立つ^*2．

右Kan拡張に関しても，同様にして次の定理が得られる．

定理 7. C, D, U を圏として，F: C → D，E: C → U を関手とする．各d ∈ Dに対し て極限lim(d↓F → C −→^E U)が存在するならば，F に沿ったE の右Kan拡張F^‡E が

*2正確には(F^op)^†a(F^op)^{−1であるが，単に}F^†aF^{−1と書いている．}

存在してF^‡E(d)∼= lim(d↓F →C −→^E U)となる．

1 D

d↓F C U

=⇒

=⇒ F

E F^‡E d

故にU が完備でC が小圏ならばF^‡E は存在し，特にF⁻¹ aF^‡: Db →Cbである．

例 8. X, Y を集合，f: X →Y を写像とし，逆像を考える写像f⁻¹: P(Y)→ P(X)を 考える．これは(P(X),P(Y)を包含関係による順序で圏とみなしたとき)関手である．

圏2 ={0→ 1}^{を考えれば圏同型}P(X) ∼=2^X が成り立つが，このとき今考えている 関手f⁻¹ は2^Y 3A7→A◦f ∈2^X で与えられる．

Y

X 2

f

f⁻¹(A) A

つまりこのf^{−1は，写像}f ^を(^離散圏X, Y ^の間の)^関手f: X →Y ^{とみなしたときに得} られる関手f⁻¹: 2^Y →2^X と一致している．

2は余完備だから，系5より関手f⁻¹: P(Y)→ P(X)の左随伴関手が存在し，それは 左Kan^拡張f^{†である．これを各点左}Kan拡張で計算してみよう．

A: X →2に対してf^†Aを求めるため，d∈Y を取りコンマ圏f ↓dを考える．

1 Y

f↓d X 2

⇒ = f A d

P1

P0

コンマ圏の定義からf↓d={x ∈X |f(x) =d}=f⁻¹(d)は離散圏である．故に f^†A(d) = colim(f ↓d−→^P0 X −→^A 2) = a

x∈f⁻¹(d)

A(x) となるから

₋

である．即ちA ∈ P(X)に対してf^†A = f(A)となる．従ってf⁻¹: P(Y)→ P(X)の 左随伴関手はf: P(X)3A7→f(A)∈ P(Y)である．

更に2は完備でもあるから，f⁻¹の右随伴関手(=右Kan拡張)も存在する．それを各 点右Kan拡張により同様に計算してみると

1 Y

d↓f X 2

=⇒ f

A d

f^‡A(d) = lim(d↓f →X −→^A 2) = Y

x∈f⁻¹(d)

A(x)

となるから

f^‡A(d) =

0 (あるx∈f⁻¹(d)が存在してA(x) = 0) 1 (そうでないとき)

であり，f^‡A =Y \f(X\A) =:f!(A)^{となることが分かる*3．} 以上により，f⁻¹: P(Y)→ P(X)は左随伴，右随伴両方を持つ．

P(X) P(Y)

f

⊥ f⁻¹

⊥ f!

従ってf⁻¹は余極限，極限両方と交換する．特に次の等式が成り立つ．

f⁻¹(A∪B) =f⁻¹(A)∪f⁻¹(B), f⁻¹(A∩B) =f⁻¹(A)∩f⁻¹(B).

一方f は左随伴を持たない．それはf ^{と極限が交換しない}(^例えばf(A∩B) = f(A)∩ f(B)とは限らない)ことから分かる．

例 9. 位相空間X に対して，Xの開集合全体がなす順序集合OX を圏とみなす．X 上の (集合の)前層とは関手P: O^op_X → Setのことであった．よってOdX := Set^OopX がX 上 の前層がなす圏である．

X, Y を位相空間，f: X →Y を連続写像とする．このとき，X 上の前層P に対して Y 上の前層f_∗P がf_∗P(U) :=P(f⁻¹(U))により定まり，関手f_∗: OdX →OdY を順像と

*3このf!(A)^をsmall image^{と呼ぶ，らしい．}

いうのであった．また関手f_∗ は左随伴関手f^∗ を持ち，これを逆像というのであった．さ て，F を関手O^opY 3 U 7−→f⁻¹(U)∈ OX^op とすれば，定義からf_∗ = F⁻¹: OdX →OdY

である．

O^op_X

O^opY Set

F

f_∗(P) P

故に左随伴の一意性からf^∗ ∼=F^† が分かる．そこで前層P ∈ OdY の逆像F^†P ∼=f^∗(P) を各点左Kan拡張で計算してみる．

U ∈ OX を取りコンマ圏F ↓U を考える．

1 OX^op

F ↓U O_Y^op Set

⇒ = F P U

P₁

P0

F^†P(U) ∼= colim(F ↓U −→ O^{P0 op}_Y −→^P Set) ∼= colim

hV,hi∈F↓UP(V)となる．コンマ圏の定義 から

hV, hi ∈F ↓U ⇐⇒h: F(V)→U in O_X^op

⇐⇒F(V)⊃U

⇐⇒f⁻¹(V)⊃U

⇐⇒V ⊃f(U) となるのでF^†P(U)∼= colim

V⊃f(U)P(V)となり，普段見る逆像の定義が現れる．

例 10. 各点左Kan拡張で書けない左 Kan拡張は存在する．C :=1 = {∗}^，D := 2 = {0 → 1}^，U = {a, b}^とする．F: 1 → 2^をF(∗) := 1^，E: 1 → U ^をE(∗) := a ^で定 める．

2

1 {a, b}

1

a

関手2→U は∆aと∆bの2つしか存在しない．また自然変換a ⇒∆b◦1は存在せず，

a ⇒ ∆a◦1は唯一つ存在する．よって1^†a = ∆aである．一方，0 ∈2 に対して各点左 Kan拡張を考えると

1 2

1↓0 1 {a, b}

⇒ = 1 a 0

P1

P₀

1↓0 = 0だから，colim(1↓0 −→^P0 1−→^a U)は始対象となるが，{a, b}^{は明らかに始対象} を持たない．

さて，残っていた証明を終わらせ，定理4の証明を完成させよう．

証明. まずT が関手となることは普遍性から容易に分かる．T がE のF に沿った左Kan 拡張になっていることを示すため，unitとなる自然変換η: E ⇒T F を定義する．

D

C^η =⇒ U

F

E T

c∈C とするとF c∈Dである．T F cは左Kan拡張 1

F ↓F c C U

=⇒

µ^{F c}

E T F c P1

P₀

で定義されるのであった．hc,id_{F c}i ∈F ↓F cだから，µ^{F c}_hc,id

F ci: Ec → T F cとなる．こ れを用いてηc: Ec→T F cをηc :=µ^{F c}_hc,id

F ciで定める．このηは自然変換である．

...

) f: c→dに対して

Ec T F c

Ed T F d

µ^{F c}_{hc,idF ci}

T F f Ef

µ^{F d}_{hd,idF di}

が可換であることを示せばよい．

1

F ↓F d C U

F ↓F c

===⇒

µ^{F c µ}===⇒ ^{F d}⇒T F f

=

= ^E

T F c P1

P0

H

T F d

T F f ^{の定義から}T F fP1 ◦µ^{F c} = µ_H^{F d である．故に} hc,idF ci ∈ F ↓F c ^に対して T F f ◦µ^{F c}_hc,id

F ci =µ^{F d}_{hc,F fi}となる．ここでµ^{F d} が自然変換だから

F c Ec T F d

F d Ed T F d

F d

µ^{F d}_{hc,F fi}

Ef id

µ^{F d}_hd,id

F di

F f

idF d

F f

が可換である．故に T F f ◦µ^{F c}_hc,id

F ci = µ^{F d}_hd,id

F di ◦Ef となり示したい可換性が示 せた．

普遍性を示すため，S: D→U，θ: E ⇒SF とする．

D

C U

η =⇒ =⇒^θ

F

E T

S

d∈Dを取りコンマ圏を考えて，θと合成すると次の図式を得る．

1 D

F ↓d C U

θ

=⇒

⇒ =

σF

E d S

P1

P₀

=

1

F ↓d C U

=⇒^Sσ◦θP0

E P1

P₀

S(d)

余極限T dの普遍性によりτd: T d→Sdが一意に存在し可換となる．

1

F ↓d C U

=⇒

µ^d

E T(d) P₁

P0

S(d⁰) τd

=⇒^Sσ◦θP0

このτd が自然変換τ: T ⇒S を定める．

...

) f: d→d⁰に対して

T d Sd

T d⁰ Sd⁰

τ_d

Sf T f

τd0

が可換であることを示せばよい．これらの射は次の図式のようになっている．

1

F ↓d⁰ C U

F ↓d

===⇒

µ^d ===⇒

µ^d0

=

= ^E

P1

P0

H

T d T d⁰ Sd

Sd⁰

⇒T f

⇒Sf τd

τ_d0

よってSfP1 ◦(τd)P1 ◦µ^d = (τd⁰)P1 ◦T fP1 ◦µ^{d が示せれば，左}Kan^拡張 hT d, µ^di の普遍性から Sf_P1 ◦ (τ_d)_P1 = (τ_d0)_P1 ◦T f_P1 が分かる．そのためには，任意の hc, ki ∈F ↓dに対してSf ◦τd ◦µ^d_hc,ki =τd⁰ ◦T f◦µ^d_hc,ki を示せばよい．

まずT f ^{の定義から}T fP1◦µ^d =µ^d_H^{0 である．故に}T f ◦µ^d_hc,ki =µ^d_hc,f⁰ _◦ki^が成り立 つ．次にτ_d の定義から(τ_d)_P1◦µ^d =Sσ◦θ_P0 だから，τ_d◦µ^d_hc,ki =Sk◦θ_c となる．

よって

Sf ◦τd ◦µ^d_hc,ki =Sf◦Sk◦θc

τd⁰ ◦T f ◦µ^d_hc,ki =τd⁰ ◦µ^d_hc,f⁰ _◦ki

=S(f◦k)◦θ_c

=Sf◦Sk◦θ_c となり証明が終わった．

このときc∈C^に対してτF c◦ηc =τF c◦µ^{F c}_hc,id

F ci =θc となるからτF ◦η =θ^である．

左Kan拡張T d の普遍性により，このようなτ は一意だから，T はF に沿ったE の左 Kan拡張である．

定理4の形で得られる左Kan拡張を各点左Kan拡張という．正確には次のように定義 する．

定義. F: C →D，E: C →U，T:D →U を関手，η: E ⇒T F を自然変換とする．

D

C U

η =⇒

F

E T

hT, ηi^がF に沿ったE の各点左Kan拡張

⇐⇒ hT, ηi ^が F に沿った E の左 Kan 拡張であり，任意の d ∈ D に対して余極限 colim(F ↓d −→^P0 C −→^E U) が存在する．(このとき定理 4 より T d ∼= colim(F ↓d −→^P0 C −→^E U)である．)

定義. C, D, U, V を圏，F: C →D，E: C →U，K: U →V を関手として左Kan拡張 hF^†E, ηi^{が存在するとする．}

D

C U V

η =⇒

F

E F^†E

K

このときK が左Kan拡張hF^†E, ηi^{と交換するとは，}K を合成して得られる次の図式も

左Kan拡張となることを言う．

D

C U V

Kη =⇒

F

E

K◦(F^†E)

K

(^即ち，hK◦(F^†E), Kηi^がF ^に沿ったKE^の左Kan^{拡張になる．})

定理 11. F: C → D^，E: C →U ^で各点左Kan^拡張F^†E ^{が存在し，関手}K: U → V は余極限と交換するとする．このときK はF^†E と交換する．

証明. F^†E が各点左Kan拡張だから

K◦F^†E(d) =K(colim(E◦P0)) = colim(K ◦E◦P0) =F^†(K◦E)(d).

1 D

F ↓d C U V

F

E F^†E d

P₀

F^†(K◦E)

K

F^†E, F^†(KE)のunitをそれぞれη: E ⇒F^†E◦F，η⁰: KE⇒F^†(KE)◦F とする．

1

F ↓d C U

=⇒

µ^d

E F^†E(d) P₁

P0

1

F ↓d C U V

=⇒

µ^0d

E K

F^†(KE)(d) P₁

P0

とすれば，η_c =µ^{F c}_hc,id

F ci，η⁰_c =µ⁰_hc,id^{F c}

F ciである．Kが余極限と交換するからKµ^{F c}_hc,id

F ci = µ⁰_h^{F c}_c,id

F ciとなり，Kηc =η_c⁰ である．

定理 12. 左随伴関手は左Kan拡張と交換する．

証明. F: C →D，E: C →U を関手，LaR: U →V を随伴関手として，左Kan拡張 hF^†E, ηi^{が存在するとする．}

D

C U V

η =⇒

F

E F^†E

L R

La R: U^C → V^C，La R: U^D →V^D となるのであった．このときS ∈V^Dに対して 自然に

Hom_V^C(LE, F⁻¹(S)) = Hom_V^C(LE, SF)

∼= HomU^C(E, RSF)

= Hom_U^C(E, F⁻¹(RS))

∼= Hom_U^D(F^†E, RS)

∼= HomV^D(L◦F^†E, S)

となるからHom(LE, F⁻¹(−)) は表現可能でF^†(LE) ∼= L◦F^†E となる．F^†(LE) の unitは自然同型Hom(LE, F⁻¹(L◦F^†E))∼= Hom(L◦F^†E, L◦F^†E)でidに対応する 自然変換η⁰: LE ⇒ F^†(LE)◦F であった．一方，この同型でidに対応するのは，随伴 LaRのunitをαとすれば

id ∈ Hom(L◦F^†E, L◦F^†E) α_F†E ∈ Hom(F^†E, R◦L◦F^†E) α_F†E◦F ◦η ∈ Hom(E, R◦L◦F^†E◦F)

Lη ∈ Hom(LE, L◦F^†E ◦F) D

C U V U

η =⇒

F

E F^†E

⇒α

L R

id

となるからη⁰ =Lηである．

3 ^{米田埋込と} Kan ^拡張

補題13. F: C →D，E: C →U を関手としてd∈Dに対してK := (F↓d→C −→^E U) と定める．このときu∈U について自然な同型

が成り立つ．

証明. まず互いに逆な写像

Hom_U^F↓d(K,∆u) ^φu Hom^Cb(Hom_D(F−, d),Hom_U(E−, u))

ψu

を定義しよう．α: K ⇒∆uに対して写像

φu(α)c: HomD(F c, d)→HomU(Ec, u) をφu(α)c(f) :=α_hc,fiで定義する．このφu(α)は自然変換である．

...

) g:c→c⁰をC の射とする．次の左の図式が可換であることを示せばよい．

HomD(F c, d) HomU(Ec, u)

Hom_D(F c⁰, d) Hom_U(Ec⁰, u)

φu(α)c

−◦Eg

−◦F g

φ_u(α)_c0

f⁰◦F g α_hc,f0◦F gi

α_hc0,f⁰i◦Eg f⁰ α_hc0,f⁰i

φu(α)c

−◦F g −◦Eg

φ_u(α)_c0

そこでf⁰ ∈ HomD(F c⁰, d)としてf :=f⁰◦F gと置く．このときコンマ圏の定義か らhc, fi ∈ F ↓d，hc⁰, f⁰i ∈ F ↓dでありg: hc, fi → hc⁰, f⁰i^はF ↓d の射である．

よって，今α: K ⇒∆u: F ↓d →U が自然変換だから，次の図式は可換である．

Ec u

Ec⁰ u

α_hc,fi

Eg id

α_hc0,f0i

即ちα_hc0,f⁰i◦Eg =α_hc,fi =α_hc,f0◦F giとなり，示したい可換性が分かった．

故に φ_u は写像 φ_u: Hom_UF↓d(K,∆u) → Hom^Cb(Hom_D(F−, d),Hom_U(E−, u)) を与 える．

次にβ: HomD(F−, d)⇒HomU(E−, u)^に対してU ^の射 ψu(β)_hc,fi: Khc, fi=Ec→u

をψu(β)_hc,fi :=βc(f)で定める．これは自然変換ψu(β) : K ⇒∆uを定める．

...

) g: hc, fi → hc⁰, f⁰i^をF↓dの射とする．即ちg: c→c⁰はCの射でf⁰◦F g=f となる．次の図式が可換であることを示せばよい．

Ec u

Ec⁰ u

βc(f)

Eg id

β_c0(f⁰)

βが自然変換だから次が可換である．

HomD(F c, d) HomU(Ec, u)

Hom_D(F c⁰, d) Hom_U(Ec⁰, u)

βc

−◦Eg

−◦F g

βc0

f⁰◦F g=f βc(f) β_c0(f⁰)◦Eg f⁰ β_c0(f⁰)

βc

−◦Eg

−◦F g

βc0

故にβc⁰(f⁰)◦Eg =βc(f)である．

このときφ_u ◦ψ_u = id，ψ_u◦φ_u = idである．

...

) まずα:K ⇒∆u，hc, fi ∈F ↓dに対して ψ_u◦φ_u(α)

hc,fi=ψ_u(φ_u(α))_hc,fi =φ_u(α)_c(f) =α_hc,fi

だからψ_u◦φ_u = idである．次にβ: Hom_D(F−, d)⇒Hom_U(E−, u)に対して φ_u◦ψ_u(β)

c(f) =φ_u(ψ_u(β))_c(f) =ψ_u(β)_hc,fi =β_c(f) だからψ_u◦φ_u = idである．

従ってφu は同型である．

後はφ_uがuについて自然であることを示せばよい．そのためにはU の射k: u→vに 対して次の図式が可換であることを示せばよい．(ここでξ は次で定義される自然変換で ある: c∈Cに対してξc := (k◦ −) : HomU(Ec, u)→HomU(Ec, v)．)

Hom_U^F↓d(K,∆u) Hom^Cb(Hom_D(F−, d),Hom_U(E−, u))

− −

φu

ξ◦−

(∆k)◦−

即ちα ∈Hom_U^F↓d(K,∆u)に対して等式φv((∆k)◦α) =ξ◦φu(α)を示せばよい．それ はhc, fi ∈F ↓dに対して

φv((∆k)◦α)c(f) = ((∆k)◦α)_hc,fi =k◦α_hc,fi

ξ◦φ_u(α)

c(f) = ξ_c◦φ_u(α)_c

(f) =ξ_c(φ_u(α)_c(f)) =k◦α_hc,fi となるから分かる．

補題 14. F: C →D，E: C →U，T, S: D→U を関手として，d ∈D，u ∈U につい て自然な同型

φdu: HomU(T d, u)→Hom^Cb(HomD(F−, d),HomU(E−, u)) が存在するとする．d∈D^に対してτd: T d→Sd^をU ^{の射として}

ρd :=φd,Sd(τd) : HomD(F−, d)⇒HomU(E−, Sd) と置く．このとき

τ_d がdについて自然⇐⇒ρ_d がdについて自然

証明. f: d→ d⁰ をDの射とする．自然変換ξ: Hom_U(E−, Sd)⇒ Hom_U(E−, Sd⁰)を c∈C に対して

ξ_c :=Sf ◦ −: Hom_U(Ec, Sd)→Hom_U(Ec, Sd⁰) により定める．このときφdu がu∈U について自然だから

HomU(T d, Sd) Hom^Cb(Hom_D(F−, d),Hom_U(E−, Sd))

HomU(T d, Sd⁰) Hom^Cb(Hom_D(F−, d),Hom_U(E−, Sd⁰))

φd,Sd

ξ◦−

Sf◦−

φ_d,Sd0

は可換である．よってこの図式でのτd の行き先を考えればφd,Sd⁰(Sf◦τd) =ξ◦ρd が分 かる．同様にして自然変換ζ: HomD(F−, d)⇒HomD(F−, d⁰)^をc∈C ^に対して

ζc :=f◦ −: HomD(F c, d)→HomD(F c, d⁰) により定めれば，φ_du がd∈U について自然だから

HomU(T d⁰, Sd⁰) Hom^Cb(HomD(F−, d⁰),HomU(E−, Sd⁰))

HomU(T d, Sd⁰) Hom^Cb(Hom_D(F−, d),Hom_U(E−, Sd⁰))

φ_d0,Sd0

−◦ζ

−◦T f

φ_d,Sd0

が可換となり，τd⁰ の行き先を考えればφd,Sd⁰(τd⁰◦T f) =ρd⁰◦ζが分かる．ここでτd が dについて自然とは

T d Sd

T d⁰ Sd⁰

τ_d

Sf T f

τ_d0

が可換であること，即ちSf◦τ_d =τ_d0 ◦T f である．またρ_d がdについて自然とは HomD(F−, d) HomU(E−, Sd)

HomD(F−, d⁰) HomU(E−, Sd⁰)

ρd

ξ ζ

ρ_d0

が可換であること，即ちξ◦ρd =ρd⁰◦ζ である．今φd,Sd⁰ が全単射であるから Sf ◦τ_d =τ_d0◦T f ⇐⇒ξ◦ρ_d =ρ_d0◦ζ

となり「τd がdについて自然⇐⇒ρcdがdについて自然」が分かる．

定理 15. C, D, U を圏，F: C →D，E: C →U，T: D →U を関手とする．以下の条 件は同値である．

(1) ^あるη: E ⇒T F ^{が存在して}hT, ηi^がF ^に沿ったE ^の各点左Kan^{拡張になる．}

(2) あるη: E ⇒ T F が存在してhT, ηi^がF に沿ったE の左 Kan拡張になり，任意 のu∈U に対してHomU(−, u) : U →Set^opがhT, ηi^{と交換する．}

(3) d∈D，u∈U について自然な同型

Hom_U(T d, u)∼= Hom^Cb(Hom_D(F−, d),Hom_U(E−, u)) が存在する．

証明. (1 =⇒ 2)HomU(−, u) : U →Set^op が余極限と交換するから明らか．

(2 =⇒ 3) ^左Kan^拡張hT, ηi^{が存在し，}HomU(−, u)^{がそれと交換するから} F ^に沿っ たHom_U(E−, u)の左Kan拡張も存在し，それはHom_U(T−, u)である．

D

op F

T

F^†(Hom(E−,u))