2.5 双曲線関数 担当：市原

微分積分学１

No.7 2005. 6. 8

2.5 双曲線関数

双曲線関数

¶ ³

次で定義される関数y= sinhx,y= coshx,y= tanhxを総称して双曲線関数という. sinhx=e^x−e^−x

2 , coshx=e^x+e^−x

2 , tanhx= e^x−e^−x e^x+e^−x

sinh, cosh, tanh はそれぞれhyperbolic sine, hyperbolic cosine, hyperbolic tangentの略であり, ハイパボリックサインまたはハイパーサインと読む.

µ ´

定理 10 (双曲線関数の性質) 双曲線関数について,以下の性質が成り立つ. (1) cosh²x−sinh²x= 1

(2) tanhx= sinhx coshx

(3) sinh(α±β) = sinhαcoshβ±coshαcoshβ cosh(α±β) = coshαcoshβ±sinhαsinhβ

双曲線関数と三角関数のこのような類似は偶然ではなく, 2種の関数の間には密接な関係がある.

例題14 上の定理の(1)を証明しなさい.

定理 11 (双曲線関数の導関数)

y= sinhxの導関数はy= coshx, y= coshxの導関数はy= sinhx y= tanhxの導関数はy= 1

cosh²x

例題15 上の定理の(2)を証明しなさい.

定理 12 (逆双曲線関数)

(1) y= sinhxの逆関数をy= arcsinhxと表す. 実際,計算すると arcsinhx= log¡

x+√ x²+ 1¢

となる. またy= arcsinhxの導関数は,y=^√_x¹₂₊₁となる. (2) x=0のとき,y= coshxの逆関数はy= log¡

x+√ x²−1¢

となる. この導関数は,y= 1

√x²−1 となる.

x <0のとき,y= coshxの逆関数はy= log¡ x−√

x²−1¢

となる. この導関数は,y= −1

√x²−1 となる.

(3) y= tanhxの逆関数をy= arctanhxと表す. 実際,計算すると arctanhx= 1

2log1 +x

1−x となる. またy= arctanhxの導関数は,y= 1

1−x² となる. これら逆関数を総称して逆双曲線関数とよぶ.

7

微分積分学１

No.7 2005. 6. 8

2.5 双曲線関数

問題

15

. (1) y = −2 tanh(3x)

(2) y = arcsin x · cosh x

(3) y = sinh(x + 5)

(4) y = log(cosh(3x − 2))

(5) y = arctanh (x

+ 3)

(6) y = x(arcsinh x)

(7) y = (arcsinh (3x + 1))

学籍番号 氏名