本報告書は研究集会「結び目の数理

Quantum U_q(g) invariants of virtual knots

阿部 翠空星

Abstract

仮想結び目に対して2つの不変量を定義する．1つ目は終集合がコード図の 空間をある同値関係で割った空間である．2つ目は複素数をある同値関係で 割った空間の値を係数とする多項式不変量である．この多項式不変量は任意 の半単純リー環とその表現に対して定義出来るが本報告書では簡単のために sl2とso2を取り扱う．

1.

^謝辞

本報告書は研究集会「結び目の数理

」のものである．日本大学文理学部数学科教授茂 手木公彦先生・同学科教授市原一裕先生には研究集会「結び目の数理

を頂いた．ここに感謝の意を表する．また，本研究に関心を持って頂いた京都大学数理 解析研究所研究所員湯淺亘氏に多くのご指摘を頂いた．その結果として発表シートの ライデマイスター移動

に関しては誤謬があることが判明し，本報告書で訂正する．

2.

^{仮想結び目}

仮想結び目とはカウフマンにより導入された，結び目理論を拡張した概念である．仮 想結び目の図式には通常の交点と仮想の交点が存在する．仮想結び目図式を考えると きは簡単のためにガウスダイアグラムとよばれる図

の右図で考える．ガウスダイア

Figure 1:

ガウスダイアグラム

グラムにおいてライデマイスター移動は以下の図

のようなものである．

Theorem 1 ([2]).

仮想結び目

と

に対して，そのガウスダイアグラムをそれぞれ

とするとき，K と

が同値である必要十分条件は，g に以下のライデマイスター 移動

，

，

（図

）を有限回ほどこして

がえられることである．

3.

終集合がコード図の空間の仮想結び目不変量

A(S¹)

を

上のコード図（ヤコビ図）のベクトル空間とする．コード図においてコード の本数をそのコード図の次数という． さらにコード図の空間には

，

，

関

∗〒558-8585 大阪市住吉区杉本3−3−138 大阪市立大学 数学研究所 e-mail:[email protected]

web: https://researchmap.jp/sukuse/

=

=

=

=

= =

Figure 2:

ガウスダイアグラムのライデマイスター移動

係式という同値関係がはいっている．ここで，さらに次の同値関係をいれる．

の

は以下の同値関係である． 

= .

空間

を 

G:= span_C{Gauss diagrams on S¹}

とし，写像

を

Figure 3:

写像

で定義する．写像

は図

の左辺のような配置のときに，3 本のコードを削除して

価

頂点を

つ持つ

字のコードに付けかえたものを引く．その他は恒等写像である．写

像

はガウスダイアグラムにおいて矢印の端点でつくられる弧を順番（例えば，反時 計回り）に写像

ができる弧を探していく．そして，一度写像

をほどこした弧は

回 以上はおこなわずに隣の弧で写像

ができるか，できないかを判断して隣の弧へとう つる．こうして矢印の端点でつくられる弧を一周して写像

の像は決定される．この 決め方は一意であることに注意する．

写像

を以下のように定義する．これにより

（コードの本数）個の

Figure 4:

写像

項があらわれる．

Theorem 2. g

，

が同値であるならば

が成り立つ．よって，

I◦J

は仮想結び目の不変量である．

Proof. A(S¹)/∼

の同値関係

をつかう．ライデマイスター移動

で不変であること

は以下の式よりわかる．

I◦J

( )

=ε + = .

ライデマイスター移動

で不変であることは以下の式よりわかる．

I◦J

( )

=− +ε −ε +

ライデマイスター移動

で不変であることは以下の関係式，

関係式，

関 係式をつかう．

= ∈ A(S¹)/∼

これらの等式よりライデマイスター移動

で不変であることは以下の式と

関係 式よりわかる．

=

=

4.

仮想結び目の量子

不変量（多項式不変量）

前節の写像

，

と次数付きウェイトシステム（重み系）をもちいて仮想結び目の量 子

不変量を定義することを目的とする．まず，写像

の像は

として同値 類

で割らない空間とする．そして，

を半単純リー環，R をその表現とし，W

を次数付きウェイトシステムとする．写像

G−→^J G−→ A^I (S¹)−−−→^Wg,R C[ℏ]

は仮想結び目の不変量ではない．半単純リー環

と

次元ベクトル空間を

として 既約表現だけを考える．まず，

= = 0

が成り立つ条件を考える．まず，AS，IHX，STU 関係式から下記の等式 が成立する．

従って，

をみたす

を写像

G−→^J G−→ A^I (S¹)−−−→^Wg,R C[N,ℏ]

の像に代入する．この写像を

とする．すると，

=

が成り立つ．

Theorem 3.

任意の仮想結び目に対して，量子

不変量は自明な値しか取らない．

Proof. sl2

と

次元ベクトル空間

の表現から以下の等式

がえられる．さらに以下の条件式が成り立つとする．

= .

この等式よりすべてのコード（破線）に対して

の値しか取らない．

仮想結び目の量子

不変量を定義することを目的とする．一般の半単純リー 環

でも同様にして仮想結び目の量子

不変量が定義出来ると予想している．本報 告書では簡単のために

とその既約表現に限って述べる．まず，以下の関係式が知 られている．

W_soN,C^N

( )

= N−1

2 W_soN,C^N

( )

.

W_soN,C^N

( )

=W_soN,C^N

( )

+ (N −2)W_soN,C^N

( )

.

よって，写像

は

P :G−→^J G−→ A^I (S¹)

W_so

N ,CN

−−−−−→C[N,ℏ]−−→^N=2 C[ℏ]

となる．また，簡単な計算で

のとき以下の補題が示せる

W_soN,C^N

( )

N=2

=W_soN,C^N

( )

N=2

= ℏ²

4W_soN,C^N

( )

N=2

.

Proof.

ウェイトシステム

の性質から

W_soN,C^N

( )

=W_soN,C^N (ℏ²

4 − ℏ²

4 − ℏ²

4 + ℏ²

4

)

=W_soN,C^N (Nℏ²

4 − ℏ²

2 +ℏ²

4

) ,

が成り立つ．

のとき

番目の項と

番目の項がうちけしあって，目的の式をえ る．

補題

より，

のとき

W_so2,C²

( )

= ℏ

2W_so2,C²

( )

,

W_so2,C²

( )

=W_so2,C²

( )

= ℏ²

4 W_so2,C²

( )

.

であるから，仮想結び目の不変量にするために新しい写像

を定義する．

まず，任意の

に対して，

を

の既約多項式で既約分解する．そ のとき，(1/2

と

と

の因数はすべて削除した多項式を

とする．つまり，

となる 最大の

以上の整数を

，

，

とすると，

R(f(ℏ)) = f(ℏ)

(¹₂ℏ+ 1)^l(−¹₂ℏ+ 1)^m(−¹₄ℏ² + 1)ⁿ ∈C[ℏ]

である．

次に

W_soN,C^N

( )

= 1.

と重み系を正規化する．

最後に次の補題が補題

から成り立つ．この補題はライデマイスター移動

で不 変であるために必要である．

Lemma 5.

W_so2,C²

( )

=W_so2,C²

( )

.

Theorem 6 ([1]). g

，

が同値であるならば写像

に対して

である．

（略証）ライデマイスター移動

で不変であることは以下のようにしてわかる．

P

( )

=±ℏ 2P

( )

+P

( )

= (±1

2ℏ+ 1)P

( )

−→R P

( )

.

ライデマイスター移動

で不変であることは以下のようにしてわかる．

P

( )

=−ℏ² 4 P

( )

+P

( )

= (−1

4ℏ²+ 1)P

( )

−→R P

( )

.

Example 7.

P

( )

=−3

8ℏ⁴− 1

4ℏ³+ 1ℏ+ 1∈C[ℏ],

Q_so2,C²

( )

=−3

8ℏ⁴− 1

4ℏ³+ 1ℏ+ 1 ∈C[ℏ].

よって， は自明な仮想結び目でないことがわかる．

Corollary 8.

集合

の元は仮想結び目

の不変量である．この不 変量を仮想結び目の普遍量子不変量と定義する．

Conjecture 9.

仮想結び目の普遍量子不変量は任意の仮想結び目の多項式不変量より 普遍であるか．

References

[1] Sukuse Abe, Quantum U_q(so₂) invariants of virtual knots via Finite type invariants, in preparation.

[2] Goussarov, M., Polyak, M., Viro, O.,Finite type invariants of classical and virtual knots, Topology 39(2000) 1045–1068.