番目の質点にはたらく力を考える；

(1)

ex17.WaveEq.1

質量

m

の

N

個の質点が，自然長

`，ばね定数k

のばねでつながれた場合ばねは最初，全て自然長であるとする

xn

n 1

x + n 1

x −

(N+1)l 0

n

番目の質点にはたらく力を考える；

左側のばね長さは

xn(t)−xn−1(t)

なので，はたらく力は

−k (

x_n(t)−x_n₋₁(t)−` )

(1.1)

となる。(

n= 1

の場合は

x0(t) = 0

であると考える。)

右側のばね長さは

xn+1(t)−xn(t)

なので，はたらく力は

k

(

xn+1(t)−xn(t)−` )

(1.2)

となる。(

n=N

の場合は

x_N₊₁(t) = (N+ 1)`

であると考える。)

以上より，運動方程式は

md²x1(t)

dt² = −k (

x1(t)−` )

+k (

x2(t)−x1(t)−` )

, (1.3)

md²x_n(t)

dt² = −k (

xn(t)−xn−1(t)−` )

+k (

xn+1(t)−xn(t)−` )

, n= 2,· · · , N−1 (1.4) md²xN(t)

dt² = −k (

xN(t)−xN−1(t)−` )

+k (

(N+ 1)`−xN(t)−` )

(1.5)

となる。

n

番目の質点のつりあいの位置

x=n`

からのずれを

u_n(t)

とする；

xn(t) =n`+un(t). (1.6)

un(t)

についての方程式は

md²u1(t)

dt² = −k (

2u1(t)−u2(t) )

, (1.7)

md²u_n(t)

dt² = −k

(−u_n₋₁(t) + 2u_n(t)−u_n+1(t) )

, n= 2,· · ·, N−1 (1.8) md²uN(t)

dt² = −k (

uN(t)−uN−1(t) )

(1.9)

となる。

上の連立方程式は

md²un(t)

dt² = −k

(−un−1(t) + 2un(t)−un+1(t) )

, n= 1,· · ·, N (1.10)

u0(t) = 0, uN+1(t) = 0,

境界条件

(1.11)

と表すことができる。

(2)

ex17.WaveEq.2

波動方程式の導出，N

. → ∞

の極限

質点の個数

N

が無限大の極限を考える。ただし, 全質量や全長は一定のままにしたい。

N =3

N =6

N → ∞

ばねに直線状に繋がれた

N

個の質点は

N → ∞

では，質量が均一に分布した棒になると考えられる。また，この棒は力を加えると伸縮し，力を取り除くと長さが元に戻る。このように力を加えると変形し，力を取り除くと形が元に戻る物体を弾性体と呼ぶ。(なお，力を取り除いても形が元に戻らない物体は塑性体と呼ぶ。)

un(t)

の

N→ ∞

の極限

u_n(t)

が質点の個数

N

が無限に多い極限で何を表すかを考えよう。u

n(t)

は，質点系に振動が生じていない状態で元々

x=n`

の位置にある質点の，時刻

t

での位置

x+un(t)

を表している。弾性体の棒で，同様の役割を果たす関数を考える。棒では質量は

x= 0

から

x=L

まで連続的に分布するので，。棒に振動が生じていないときに

x ,(0≤x≤L)

の位置にある棒の一部分が時刻

t

にどの位置に変位しているかを表す関数を

u(x, t)

とする：

振動が生じていないときの位置:x

=x0 =⇒

時刻

t

での位置:x

=x0+u(x0, t) (2.1)

下図は，

u(x, t) =Asin (

4πx L )

sin (

2πt T

)

(2.2)

の場合に，t

= 0

と

t= T

4

の棒の状態が摸式的に示されている：

L x 0

0 t=

4 t=T

( , / 4) sin(4 / ) u x T =A πx L

L x 0

0 t=

3 4 t= T

( , 3 / 4) sin(4 / ) u x T = −A πx L

un(t)

は

N→ ∞

でこの関数

u(x, t)

に近づくと考えられる：

un(t)→u(x, t), N → ∞. (2.3)

ただし，上で

x=n`

である。

(3)

ex17.WaveEq.3

m

，

k

，

`

の

N → ∞

の極限

N→ ∞

の極限で，ばねと質点系のモデルが，断面積

S，長さL，質量密度ρ，ヤング率 E

の均一な弾性体の棒を表すようにしたい。ばねと質点系に現れるパラメータ

m，k，`

をどのように

S，L，ρ，E

と関連付ければよいだろうか？

ばねと質点系の全長は

`(N+ 1)

なので，

`(N+ 1)→L , N → ∞. (3.1)

つまり

`=O(N⁻¹)

となる。また，ばねと質点系の全質量は

mN

，一方，棒の体積は

SL

なので，棒の全質量は

ρSL

となる。従って，

mN →SLρ , N → ∞. (3.2)

つまり

m=O(N⁻¹)

となる。また，(3.1) と

(3.2)

より

m

` → Sρ , N→ ∞ (3.3)

であることがわかる。

弾性体を平衡状態から変形した場合，形を元に戻そうとする復元力がはたらく。この変形を歪み，復元力を応力と呼ぶ。歪みや応力が小さい場合，応力は歪みに比例する

(

フック

(Hooke)

の法則

)

が，この比例係数を弾性定数と呼ぶ。ヤング

(Young)

率は弾性定数の一つである。

上の図のように，棒を長さ方向に大きさ

F =|F~|

の力で引っ張ったとき，棒の長さが

L+ ∆L

になったとする。

単位長さあたりの変位

∆L

L

と単位面積当たりの力

F

S

の間の比例係数がヤング率

E

となる：

F

S =E ∆L

L . (3.4)

ばねと質点系のモデルで，対応する状況を考える。一番右にある

N

番目の質点の左側のばねを取り除き，大きさ

F

の力で

x

軸の正の向きに引っ張る。N 番目の質点の運動方程式は

md²xN(t) dt² =−k

(

xN(t)−xN−1(t)−` )

+F (3.5)

となる。右辺の第

1

項はばねによる力を表す。1

∼N −1

番目の質点の運動方程式の形は変わらない。x

n(t) =

`n+un(t), xn−1(t) =`(n−1) +un−1(t)

を代入すると

md²u₁(t)

dt² = −k (

2u₁(t)−u₂(t) )

, (3.6)

md²un(t)

dt² = −k

(−un−1(t) + 2un(t)−un+1(t) )

, n= 2,· · ·, N−1 (3.7) md²u_N(t)

dt² = −k (

u_N(t)−u_N₋₁(t) )

+F (3.8)

が得られる。

(4)

ex17.WaveEq.4

つりあいの位置を求めよう。u

n(t) =

定数として，

u₁ = u₂−u₁, (4.1)

u_n+1−u_n = u_n−u_n₋₁, n= 2,· · ·, N−1 (4.2) u_N−u_N₋₁ = F

k (4.3)

が得られる。これより

uN −uN−1 = F

k (4.4)

uN−1−uN−2 = F

k (4.5)

· · · u₂−u₁ = F

k (4.6)

u1 = F

k (4.7)

となる。これらの式の和をとると

uN =NF

k (4.8)

が得られる。一番左の質点のつりあいの位置は，x

n=N `+NF

k

，従って，ばねと質点系での伸びは

∆L=NF

k (4.9)

となる。

(3.4)

と

(4.9)

より得られる

∆L= LF SE =NF

k (4.10)

という関係から，

k=N

L SE (4.11)

となるので，k

=O(N)

であることがわかる。また，(3.1) と

(4.11)

より

k`→ SE , N→ ∞ (4.12)

となる。

(5)

ex17.WaveEq.5

運動方程式の

N → ∞

の極限，波動方程式

質点系の

n

番目の質点の運動方程式

md²un(t)

dt² =−k

(−un+1(t) + 2un(t)−un−1(t) )

(5.1)

が

N → ∞

の極限でどのような形になるかを考える。u

n(t)→u(x, t), x=n`

なので，

u_n+1(t)→u(x+`, t), u_n₋₁(t)→u(x−`, t) (5.2)

となる。テイラー展開を用いると

u(x+`, t) = u(x, t) +`∂u(x, t)

∂x +`² 2

∂²u(x, t)

∂x² +O(`³), (5.3)

u(x−`, t) = u(x, t)−`^∂u(x,t)_∂x +^`₂²^∂²_∂x^u(x,t)₂ +O(`³) (5.4)

なので，(5.1) は

m∂²u(x, t)

∂t² =k`²∂²u(x, t)

∂x² +O(k`³) (5.5)

となる。両辺を

`

で割り，(3.3)，(4.12) を用いると

Sρ∂²u(x, t)

∂t² =SE∂²u(x, t)

∂x² +O(`) (5.6)

が得られる。以上より，質点系の運動方程式は

N → ∞

の極限で

∂²u(x, t)

∂t² =v²∂²u(x, t)

∂x² , v=

√ E

ρ (5.7)

となる。(5.7) を

(1

次元の) 波動方程式と呼ぶ。

(参考)

質量やばね定数が等しくない場合

n

番目の質点の質量を

mn

，

n

番目の質点の左側のばねのばね定数を

kn−1

，右側のばねのばね定数を

kn

とする。ばねの自然長は全て

`

とする。

n

番目の質点の運動方程式は

mn

d²un(t) dt² =kn

“

un+1(t)−un(t)

”−k_n−1

“

un(t)−u_n−1(t)

”

(5.8)

となる。

N→ ∞

では

(3.3)

，

(4.12)

が

mn→ρ(x)S` , kn→SE(x)

` (5.9)

に置き換わると考えて，

(5.8)

は

ρ(x)S`∂²u(x, t)

∂t² =SE(x)

`

“

u(x+`, t))−u(x, t)”

−SE(x−`)

`

“

u(x, t)−u(x−`, t)”

(5.10)

となる。

(5.3)

，

(5.4)

と

E(x−`) =E(x)−`dE(x) dx +`²

2 d²E(x)

dx² +O(`³) (5.11)

を用いると

ρ(x)∂²u(x, t)

∂t² = 1

`²

 E(x)

„

`∂u(x, t)

∂x +`² 2

∂²u(x, t)

∂x²

«

−“

E(x)−`dE(x) dx

” „

`∂u(x, t)

∂x +`² 2

∂²u(x, t)

∂x²

«ﬀ +O(`)

= E(x)∂²u(x, t)

∂x² +dE(x) dx

∂u(x, t)

∂x +O(`) (5.12)

となる。右辺を整理して次式が得られる：

ρ(x)∂²u(x, t)

∂t² = ∂

∂x

„

E(x)∂u(x, t)

∂x

«

. (5.13)

(6)

ex17.WaveEq.6

境界条件の

N → ∞

の極限

・固定端の境界条件

両端の質点がばねで壁につながれている場合は

u0(t) = 0, uN+1(t) = 0 (6.1)

に対応して，N

→ ∞

では

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 (6.2)

という境界条件が得られる。これは棒の端が固定されている場合の境界条件となる。

・自由端の境界条件

次に，両端の質点が壁につながれていない場合を考えよう。この場合の境界条件を自由端の境界条件と呼ぶ。1 番目の質点の運動方程式は

md²u₁(t) dt² =k

(

u₂(t)−u₁(t) )

(6.3)

となる。また

N

番目の質点の運動方程式は

md²u_N(t) dt² =−k

(

u_N(t)−u_N₋₁(t) )

(6.4)

となる。これらの式が

n= 1, 2,· · ·, , N

について

md²u_n(t) dt² =−k

(−u_n+1(t) + 2u_n(t)−u_n₋₁(t) )

(6.5)

と一致するためには，u

0(t)

と

uN+1(t)

が

u₀(t) =u₁(t), u_N₊₁(t) =u_N(t) (6.6)

という条件を全ての時刻

t

で満たす必要がある。N

→ ∞

で

u1(t)→u(`, t) =u(0, t) +` ∂u(x, t)

∂x

¯¯¯¯

x=0

+O(`²), (6.7)

uN(t)→u(L−`, t) =u(L, t)−` ∂u(x, t)

∂x

¯¯¯¯

x=L

+O(`²), (6.8)

より，棒の端が固定されていない場合には

∂u(x,t)

∂x

¯¯¯

x=0= 0, ^∂u(x,t)_∂x ¯¯¯

x=L= 0 (6.9)

とう境界条件が現れる。

(7)

ex17.WaveEq.7

.

物理実験(第24版)，龍谷大学理工学部物理実験担当者会議編

(8)

ex17.WaveEq.8

.

基礎物理学，浦上澤之編著(裳華房)

(9)

ex17.source.1

n0

番目の質点に外力

Fx(t)

がはたらく場合

・運動方程式

md²un(t) dt² =−k

(−un−1(t) + 2un(t)−un+1(t) )

+δn n₀Fx(t) (1.1)

クロネッカー

(Kronecker)

のデルタ

δi j= {

1 ; i=j

0 ; i6=j (1.2)

・`

→0

の極限

m→Sρ` , k→ SE

` , n`→x , un(t)→u(x, t), −un−1(t) + 2un(t)−un+1(t)→`² ∂²u(x, t)

∂x² (1.3)

∂²u(x, t)

∂t² =v²∂²u(x, t)

∂x² +F_x(t) Sρ

δ_{n n}₀

` (1.4)

δn n0

` →δ(x−x0), n0`→x0 (1.5)

デルタ

(delta)

関数

δ(x−x0) =

{ ∞ ; x=x₀ 0 ; x6=x0

,

∫ b a

δ(x−x0)f(x)dx=

{ f(x₀) ; x₀∈(a , b)

0 ; x06∈(a , b) (1.6) x=x₀

の位置に，幅が無限に小さく，高さが無限に高い，面積１の山がある。

ヘビサイド

(Heaviside)

関数

θ(x) =

∫ x

−∞

δ(x⁰)dx⁰= {

0 ; x <0

1 ; x >0 (1.7)

【注】δ(

−x) =δ(x)，θ(0) = 1/2

とすることが多い。

【注】δ

n n₀/`

が面積

1

の山になることは，和と積分の関係；

∑

n

` f(n`) −→^`^→⁰

∫ _∞

−∞

f(x)dx (1.8)

より，f

(n`) =δn n₀/`

の場合に成り立つ次の関係式からわかる；

∑

n

` δn n₀

` = 1 −→^`^→⁰

∫ _∞

−∞

f(x)dx= 1. (1.9)

x=x₀

に波源のある

1

次元の波動方程式

∂²u(x, t)

∂t² =v²∂²u(x, t)

∂x² +F_x(t)

Sρ δ(x−x0) (1.10)

この方程式は次のようにも書ける；

∂²u(x, t)

∂t² =v²∂²u(x, t)

∂x² , x∈(−∞,0)

あるいは

x∈(0,∞) (1.11)

∂u(x, t)

∂x

¯¯¯¯

x=+0

− ∂u(x, t)

∂x

¯¯¯¯

x=−0

=−F_x(t)

v²Sρ (1.12)

(1.12)

は

(1.10)

の両辺を

x

について

(−ε , ε)

の区間で積分して，ε

→+0

の極限をとると得られる。

(10)

ex17.OP.1

区間

(0, `)

の直交関数系の例

{e_n(x)},

∫ ` 0

e_m(x)e_n(x) =δ_{m n} (1.1)

(1)

境界条件

en(0) =en(`) = 0

en(x) =

√2

`sin (n

`πx )

, λn= (n

`π )2

, n= 1,2,· · · (1.2)

(2)

境界条件

de_n

dx (0) = de_n dx(`) = 0 e0(x) = 1

√`, en(x) =

√2

`cos (n

`πx )

, λ0= 0, λn= (n

`π )2

, n= 1,2,· · · (1.3)

(3)

境界条件

en(0) = den

dx (`) = 0 en(x) =

√2

`sin

(2n−1 2` πx

)

, λn=

(2n−1 2` π

)2

, n= 1,2,· · · (1.4)

(4)

境界条件

den

dx (0) =e_n(`) = 0 en(x) =

√2

`cos

(2n−1 2` πx

)

, λn =

(2n−1 2` π

)2

, n= 1,2,· · · (1.5)

(5)

境界条件

en(x+`) =en(x)

周期境界条件

c₀(x) = 1

√`, c_n(x) =

√2

`cos (2n

` πx )

, s_n(x) =

√2

` sin (2n

` πx )

, λ_n = (2n

` π )2

, n= 1,2,· · · (1.6)

区間

(0, `)

で定義された関数

f(x)

はこれらの関数系を用いて表すことができる；

f(x) = ∑

n

c_n e_n(x), (1.7)

cn =

∫ ` 0

en(x)f(x)dx . (1.8)

【注】上記の関数系はいずれも演算子

−d²

dx²

の固有関数となっている；

− d²

dx²en(x) =λnen(x). (1.9)

(11)

ex17.OP.2

線形代数との対応

・ベクトル

∼

関数

f(x)

を

{x=x_n =n`}

の値

{f_n=f(x_n), n= 0,±1,· · · }

で近似的に表現する：

f~=√

`







·

· f₋1

f₀ f1

·







, f~^T =√

`

(· · · , f₋1, f0, f1,· · ·)

. (2.1)

・行列

∼

演算子関数の間の関係式

g(x) =− d²

dx²f(x) (2.2)

を

{fn=f(xn), n= 0,±1,· · · }，{gn=g(xn), n= 0,±1,· · · }

を用いて近似的に表現すると

gn = 1

`²(−fn+1+ 2fn−fn−1), n= 0,±1,· · · (2.3)

となる。これらの式を行列とベクトルを用いてまとめて表すと以下のようになる；

~g= 1

`²







· · ·

−1 2 −1

· · ·







f .~ (2.4)

・内積

∼

積分

f~· ~g=f~^T ~g=`

∑∞ n=−∞

f(x_n)g(x_n) =^`^→⇒⁰

∫ _∞

−∞

f(x)g(x)dx . (2.5)

・ベクトルの直交基底による成分

f~ = ∑

n

cn ~en, (2.6)

c_n = ~e_n·f .~ (2.7)

(2.6)

と

(2.7)

がそれぞれ

(1.7)

と

(1.8)

に対応する。

(12)

ex17.Fourier.1

(13)

ex17.Fourier.2

(14)

ex17.Fourier.3

(15)

ex17.Fourier.4

(16)

ex17.Fourier.5

(17)

ex17.GreenFn.1

演算子，

Lˆ= d² dt² +ad

dt +b，のグリーン(Green)

関数，G(t, t

⁰)

とは，

Lˆ

の

“逆行列”のようなもの。

非斉次方程式

(

d² dt² +ad

dt+b )

u(t) =f(t) (1.1)

の特解がグリーン関数を用いて

u(t) =

∫ _∞

−∞

G(t, t⁰)f(t⁰)dt⁰ (1.2)

と表せる。グリーン関数は次を満たす；

(d² dt² +ad

dt+b )

G(t, t⁰) =δ(t−t⁰). (1.3)

線形代数の対応する式は，方程式

(1.1)

に対して，

L~ˆu=f ,~ (1.4)

特解

(1.2)

に対して，

~

u= ˆL⁻¹f ,~ u_i=∑

j

Lˆ⁻_{i j}¹f_j, (1.5)

グリーン関数の性質

(1.3)

に対して，

∑

j

Lˆij Lˆ⁻_jk¹=δi k (1.6)

となる。

t6=t⁰

では

LG(t, tˆ ⁰) = 0

なので，斉次方程式の解，{

Luˆ i(t) = 0, i= 1,2}

を用いて，

G(t, t⁰) = {

u₁(t) ; t > t⁰

u2(t) ; t < t⁰ (1.7)

と表せる。u

1(t)

と

u₂(t)

は，t

=t⁰

で次の条件を満たす；

u1(t⁰) =u2(t⁰), du₁(t) dt

¯¯¯¯

t=t⁰

− du₂(t) dt

¯¯¯¯

t=t⁰

= 1. (1.8)

特に，u

2(t)≡0

の場合，

u₀(0) = 0, du₀(t) dt

¯¯¯¯

t=0

= 1 (1.9)

を満たす斉次方程式の解を用いて，グリーン関数は

G(t, t⁰) =u0(t−t⁰)θ(t−t⁰) (1.10)

と表せる。

λ²+aλ+b= 0

の解を

λ₁, λ₂

とすると，斉次方程式の一般解は

c₁e^λ¹^t+c₂e^λ²^t

なので，条件

(1.9)

より，

c1=−c2= 1 λ1−λ2

(1.11)

となる。従ってグリーン関数は

G(t, t⁰) =e^λ¹^(t⁻^t⁰⁾−e^λ²^(t⁻^t⁰⁾ λ1−λ2

θ(t−t⁰) =

{ e^λ^{1 (}^t−t⁰⁾−e^λ^{2 (}^t−t⁰⁾

λ₁−λ₂ ; t > t⁰

0 ; t < t⁰ (1.12)

となる。特に，

Lˆ= d²

dt² −ω²

の場合，λ

1=iω , λ₂=−iω

なので

G(t, t⁰) = 1

ωsin (

ω(t−t⁰) )

θ(t−t⁰) (1.13)

番目の質点にはたらく力を考える；

質量

の

個の質点が，自然長

のばねでつながれた場合 ばねは最初，全て自然長であるとする

番目の質点にはたらく力を考える；

左側のばね長さは

なので，はたらく力は

となる。(

の場合は

であると考える。)

右側のばね長さは

なので，はたらく力は

となる。(

の場合は

であると考える。)

以上より，運動方程式は

となる。

番目の質点のつりあいの位置

からのずれを

とする；

についての方程式は

となる。

上の連立方程式は

境界条件

と表すことができる。

波動方程式の導出，N

の極限

質点の個数

が無限大の極限を考える。ただし, 全質量や全長は一定のまま にしたい。

ばねに直線状に繋がれた

個の質点は

の

の極限

が質点の個数

が無限に多い極限で何を表すかを考えよう。u

は，質点系に振動が生じていない状 態で元々

の位置にある質点の，時刻

での位置

を表している。弾性体の棒で，同様の役割を果 たす関数を考える。棒では質量は

から

まで連続的に分布するので， 。棒に振動が生じていないときに

の位置にある棒の一部分が時刻

にどの位置に変位しているかを表す関数を

とする：

振動が生じていないときの位置:x

時刻

での位置:x

下図は，

の場合に，t

と

の棒の状態が摸式的に示されている：

は

でこの関数

に近づくと考えられる：

ただし，上で

である。

，

，

の

の極限

の極限で，ばねと質点系のモデルが，断面積

の均一な弾性体 の棒を表すようにしたい。ばねと質点系に現れるパラメータ

をどのように

と関連付ければ よいだろうか？

ばねと質点系の全長は

なので，

つまり

となる。また，ばねと質点系の全質量は

，一方，棒の体積は

なので，棒の全質量は

となる。従って，

つまり

となる。また，(3.1) と

より

であることがわかる。

弾性体を平衡状態から変形した場合，形を元に戻そうとする復元力がはたらく。この変形を 歪み ，復元力 を 応力 と呼ぶ。歪みや応力が小さい場合，応力は歪みに比例する

フック

の法則

が，この比例 係数を 弾性定数 と呼ぶ。ヤング

のばねでつながれた場合ばねは最初，全て自然長であるとする

が無限大の極限を考える。ただし, 全質量や全長は一定のままにしたい。

は，質点系に振動が生じていない状態で元々

を表している。弾性体の棒で，同様の役割を果たす関数を考える。棒では質量は

まで連続的に分布するので，。棒に振動が生じていないときに

の均一な弾性体の棒を表すようにしたい。ばねと質点系に現れるパラメータ

と関連付ければよいだろうか？

弾性体を平衡状態から変形した場合，形を元に戻そうとする復元力がはたらく。この変形を歪み，復元力を応力と呼ぶ。歪みや応力が小さい場合，応力は歪みに比例する

が，この比例係数を弾性定数と呼ぶ。ヤング

番目の質点の左側のばねを取り除き，大きさ

定数として，

次元の) 波動方程式と呼ぶ。

とする。ばねの自然長は全て