河床波の形成機構と河床波上の乱流に関する研究

河床波の形成機構と河床波上の乱流に関する研究

Study on the formation of sand wave and the turbulent flow over sand wave

土木工学専攻  2 号  五十嵐  剛

Go Igarashi

1.はじめに 

沖積河川では,流水により掃流された砂や礫などの土 砂と流水との境界に波紋が形成される.河床に形成され る河床形態のうち,小規模な河床形態として,砂粒径に関 係する波長を持つ砂連と,水深に関係した波長を持つ砂 堆とがある.この二つの河床形態を河床波と一般に呼ぶ.

中規模な河床形態としては,河幅スケールの波長をもつ 砂州がある.発生発達や性質においては,砂漣,砂堆,砂州 とも類似している.砂州は用水路の封鎖や,河川の蛇行を 引き起こし局所的に洗掘を生じさせる.砂州が移動する 際には,水衝部や深掘部も移動させ堤防災害の一因と成 り得る.  

上記被害を減災し,安定した河道を設計・維持・管理す るためには,河床が与えられた水理条件に対しどのよう な形状特性をもった河床形態となるか予測する必要があ る. 

本研究では河床波の形成機構の解明を目的とし,過去 多くの研究者によって行われてきた安定・不安定問題と してではなく初期値問題として河床波の発生発達を支配 する基本式を導出し,解析を行った.また, 河床波上の流 れの基本的な性質を解明することを目的として,波状境 界上の流れを 2 次元せん断流として,座標系には境界層 座標系を用い,レイノルズの手法により解析した. 

2.河床波の形成機構 

2.1. 河床波の発生発達を支配する方程式 

図-1 に示すように,河床では流れ,流砂,河床形状が相 互に作用し合っている.図-2 は河床波上の流れの模式図 である.ここで,

U

:流れの平均流速,

η

^{:基準面からの}

河床の位置,q:非平衡の流砂量（空隙率考慮）,

u₀

:底面 流速,

q₀

:その場の水理量で決定される平衡流砂量,h ：平 均水深である.流砂と河床形状には流砂の連続式(1)が成 立する.  

=0

∂ +∂

∂

∂ x q t

η

     

       

(1)

平衡流砂量

q₀

^{と河床形状}

η

との関係は,Kennedy

¹⁾,林²⁾

により導出された式(2)を用いることにより決定する.こ の式は流れをポテンシャル流で近似し,流砂量が底面流 速のべき乗に比例するとして導かれた.また,一般的に認 められている底面せん断応力

τ

^{と平衡流砂量}

q₀

^の関係

q₀∞τn

により,底面せん断応力と河床形状との関係式

(3)が得られる.

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

=cu x

x

q₀( ) ₀^m 1 α η

 (2),

₀²(1 ) au x

∂ + ∂

= β η

τ

 

⁽³⁾

α

は波形勾配の効果であり,底面せん断応力と河床形状 との間の位相差を表している.底面せん断応力は河床形 状に対して上流側にずれているが,この位相ずれが河床 波の発生・発達に重要な役割を果たしている

^1),2)

.底面流 速

u₀

には流れの連続式より導かれる式(4)を用いる. 

) ,

0 ( η

η ^{U f x} h

U h

u + ⋅

= −

       

(4)

ここで

, f

( )

x,η

は開水路流れにおいて自由水面に発生 する定在波の影響項である.さらにこの式(4)を二項展開 し,

η/h

^の

3

次以上のオーダーを無視すると、底面流速 と底面形状の関係式(5)を得る.

( ) F

m h h m m U

u ^{m m} +

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ + + −

= ₂²

0 1

2

1 η 1 η

   

(5) 

  非平衡状態にある実際の流砂量

q

は

q₀

に対して,ス テップ長

δ

程度下流側にずれている.これは砂のサルテ ーション(跳躍)運動に伴うもので,式(6)が成りたつ.ま たこの式をテイラー展開し,

δ

に関して

2

次のオーダー までを考慮すると式(7)を得る. 

( −δ)

=q x x

q( ) ₀

   

       

(6)

関係式(3)

流砂運動

q

河床形状 η

流水の性質

u,τ

関係式(6)

流砂の連続式 関係式(3)

流砂運動

q

河床形状 η

流水の性質

u,τ

関係式(6)

流砂の連続式

図-1 流砂と流水と河床形状の関係

( )x

(x−δ) q q₀

U h

u0

・

・

・

・ ・

・

・

・

・

・

・ ・

・

・

・

・

・

・

・

・ η

x ( )x

(x−δ) q q₀

U h

u0

・

・

・

・ ・

・

・

・

・

・

・ ・

・

・

・

・

・

・

・

・ η

x

図-2  河床波上の流れの模式図 

( ) 0( ) ^{0 2 2}₂⁰

2 1

x q x

x q q x

q ∂

+ ∂

∂

− ∂

= δ δ

   

 

(7) 

式

(2),(7)より実際の流砂量q

と河床形状

η

との関係式

を得る.この関係式を流砂の連続式(1)に代入し,無次元量

(η′=η/h,x′= x/h,t′=tq/h)を用いて表現し直せ

ば,河床波の発生発達を支配する方程式

(8)が導出される. 

( )

{ }

( )

{ }

( )

{ }

) 2 (

1

1 2 1

1

1 1

1 1

4 2 4

3 2 3

2 2

x x G h

x m h

m h

m x mh

m x t m

= ′

∂ ′

∂ ′

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

∂ ′

′

∂

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

− ′

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

∂ ′

∂ ′

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − + − ′

+

∂ ′

∂ ′

− ′ +

′ +

∂

∂ ′

η α δ

η α δ

δ η

η η α δ

η η η

       (8)  2.2.発生波長と位相速度 

波高の小さい河床波発生初期においては基礎式(8)は 線形偏微分方程式(9)とみなせ,波形を式(10)と置く. 

=0 + ′

+ ′ + ′ + ′

′_{′ x′ x′x′ x′x′x′ x′x′x′x′}

t Aη Bη Cη Dη

η

 

(9)

) exp(ikx′+ t′

′= σ

η

     

   

(10) )

( ³

4

2B k D i Ak Ck

k − − −

σ =

     

(11)

分散関係式(11)から, 最大の成長率を示す波数

kmax

は 線形方程式の各項の係数により式(12)と表される.  

D B

k_max= /2

              

(12)  B=α-m(δ/h),D=0.5α(δ/h)²

 

即ち, 成長率を最大にする卓越波長は近似的に

πδ

π/ 2

2 _max

max = k =

L

となる.これより,発生波長はステ ップ長

δ

に依存していることがわかり

,ステップ長δ

を

Einstein(1950)の理論より粒径d

の100 倍程の値とすれば, 卓越波長

Lmax

は

600d

と表される.この波長は砂漣の一 般的な発生波長である.

分散関係式(11)より,発生する河床波の位相速度 は,_{c k I [ k]}

m σ ω =

= と表せ,c=A-C･k を得る．ここ

で ,c: 河 床 波 の 位 相 速 度 ,ω: 角 速 度,A=m,C=0.5(δ/h)²-α(δ/h)である．ここで河床波が発生 す る よ う な 値(α=13.5,δ/h =1.0,m=3)を 代 入 す る と,c=12k²+3.0=48(π/L)²+3.0 となり,波長の短い波ほ ど速く進む事が分かる． 

2.3.数値解析 

境界条件に,上下端において同じ値をとる周期境界条 件を用い,移流項と拡散項には 4 次精度の中央差分,分散 項と散逸項には 2 次精度の中央差分を行い,非定常項に は 4 次精度の

Runge-kutta-Gill

法を用いて数値計算した. 

2.3.1.数値解析結果 

(i)α

の変化による波形への影響 

図-3 に数値計算により得た発生波形の波高,波長と位 相差パラメータ

α

との関係を示す .波高は

α

の値が大き いほど大きくなる.波長は

α

の値に関わらず,ほぼ一定の 値をとる.α の値は河床波の発達時間と大きな関係があ り,α の値が大きいほど,発達する時間は速くなる.基礎

式の拡散係数の項から

α

は河床波を発生させるように 働く. 

(ii)ステップ長δ/h

の変化による波形への影響 

  図-4 に数値計算により得た発生波形の波高,波長とス テップ長

δ

との関係を示す.波高は

δ/h

が大きいと小さく なり,波長は長くなる.δ/h が大きく拡散係数が正である なら,河床波は発生せず河床波形は平坦になる.すなわち

δ/h

は河床波の発生を抑止するように働く.  

よって,非平衡流砂量

q

には底面せん断応力

τ₀

と河床 形状

η

の間の位相差による上流側への進みと,砂粒子の 跳躍運動に伴う下流側への遅れの二つの作用が存在し, 前者の位相差パラメータである

α

が発生要因となり,後 者の位相差パラメータである

δ

が発生を抑止させてい ることがわかった. 

3.河床波上の流れの解析 

前章では,河床波の不安定性を河床形状・流れ・流砂量 の間の位相ずれにより説明した.しかし, 底面せん断応 力と河床形状との関係において, 流れをポテンシャル流 として解いた場合

^1),2)

には,直接位相差を決定することが できず, 底面せん断応力と河床形状との位相差が水理量 とどのような関係にあるかについては不明である.そこ で, 波状境界上の流れを二次元せん断流として解析を行 うことにより.河床波の発生発達に重要な役割を果たし ている河床せん断応力と河床形状の位相差に水理量がも たらす影響をみた. 

3.1.対象領域と境界層座標系 

流体を乱流状態にある非圧縮性粘性流体として扱う.解 析対象とする領域を,図-5 に示すような微小な振幅をも つ波状境界に平行に挟まれた管路流とする. 流れは境界 層が完全に発達した後の二次元定常流である.本来,開水

10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 1.0

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

δ/h=1.0，m=3

h ηmax

α

10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 1.0

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

δ/h=1.0，m=3

h ηmax

α (a)

h λmax

α

10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 6.0

7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0

(δ/h=1.0，m=3)

h λmax

α

10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 6.0

7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0

(δ/h=1.0，m=3)

(b)

図-3  位相差パラメータ

α

^{と発生波高}

(a)

,波長

(b)

との関係

h ηmax

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

(α=13.5，m=3)

δ h

ηmax

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

(α=13.5，m=3)

δ (a)

h λmax

δ

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0

(α=13.5，m=3)

h λmax

δ

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0

(α=13.5，m=3)

(b)

図-4 ステップ長

δ

^{と発生波高}

(a),波長(b)との関係

 

路上に発達するものを河床波とさすが, 水面波の効果を 除くため,本研究では管路としている.壁面

η

の形状は

η(x,t)=aexp[ik(X-ct)]とおく.速度場を表す適切な座標は平

均波面ではなく,局所的な波面からの距離であること

³⁾

から,

x

軸が河床波の接線方向,

z

軸が河床波に対し鉛 直方向,

y

軸が紙面に対し垂直な方向に向いた境界層座 標系を用いる.ここで,

H

:水路の半幅,

Ur

:断面平均流 速,

u(z)

:時間平均された

z

方向の流速分布である. 

3.2.基礎式の導出 

粘性流体の流れには, Navier-Stokes 方程式が成立する.

連続式と

Navier-Stokes

方程式を境界層座標系により表し,

無次元量 

H x

x_i′= _i/ ,  u_i′=u_i/Ur,  p′= p/ρUr²,  Re=UrHυ

  により無次元化を行う.次に,各従属関数

f

（各方向流速 成分

u_i

^,圧力

p

,せん断応力

τ

）への波状境界による影 響を捉えるために

Reynolds

の方法

⁴⁾

を用い,各従属変数

f

を式(13)のように

3

成分に分ける. 

f f f

f = + ~+ ′

       

(13) 

ここで,

f

:時間平均流成分,

~f

:波状境界の影響による 周期的な成分,

f′

:乱流による不規則変動成分である.

ここで,従属関数

f

の位相平均

f

を,壁面の波形と同 位相である点の集合に対する平均という意味で,式(14) のように定義する. 

( ) ∑ ( )

∞ =

→ +

= ^N

N n f x n y z

z N y x f

0

, 1 ,

lim ,

, λ

     

(14)

ここで,

λ

：波状境界の波長,N：波状境界に対し同位相 の点の数である.位相平均操作には以下の関係式(15),が 成り立つ. 

f

f =

,

_{f = f +}^~_f

, 

^~_{f = f′= f′ =0}

   

(15) 

境界層座標系により表されたNavier-Stokes 方程式と連 続式を,式(15)の関係を用いて位相平均し,周期成分の二 乗以上の項を無視し線形化を行うことにより,流速の各 方向

(x,y,z)

の周期的成分 (

u~,v~,w~

) _{に関する運動方程}

式 を 得 る . 周 期 成 分

~f

に は , 周 期 波

( )

^z

[

^ik

(

^{x ct}

) ]

f a

f = ˆ exp −

~

を仮定する.乱流による非線

形の運動量輸送に対して,レイノルズ応力を仮定し, レ イノルズ応力は渦動粘性係数

ε

^{でひずみ速度に比例す}

るとする.本研究のレイノルズ応力は平坦な河床上で生

じる平均的な成分と波状河床の影響による周期的な成分 の和となる.最終的に,流速の各方向成分

u,w

の周期成分

w

u~,~

_{の複素振幅値}

uˆ,wˆ

に関する連立方程式(16),(17)が 得られる． 

ˆ 0 ˆ+Dw= u

ik

                     (16) 

( )( )

[ ]

( )( )

{

( ) ( )}

( ^{D k} )^{u k} (^{DEDu ED u})

k

w k D E D D k D DE

k D k D k E

i

u ik w u D k D c u

2 2

2 2 2

2 2 2 2 3

4 2 2 4

2 3 2 2 2

Re 2 3

Re

ˆ 2

2 Re 1

ˆ

+

−

−

−

+ +

− +

+

− +

−

=

−

−

−

−

       (17)  3.3.平均流速分布と渦動粘性係数の決定 

3.3.1.滑面 

波状境界の形状を水理学的に滑面とした場合,Reynolds によって示された渦動粘性係数

E⁴⁾

を用いて平均流

u

を 決定する．この方法は

E

と

u

が互いに陰な形で組み込ま れており,与えられた圧力勾配に対し繰り返し計算によ り

E

と

u

が求まる.この式を用いる利点は関数が連続か つ解析的な点である．

3.3.2.粗面 

波状境界の粗度による流速

,せん断応力の周期成分へ

の影響を見るために,平均流の流速分布

u

に粗面におけ る対数分布則

⁵⁾

による式を用いた．

k A z u

z u

s

+

=1ln ) (

* κ (18) )

Re 7 . 18 1 ( log 57 . 5 5 .

8 ₁₀

f k

A= − + H ^s

平均流の粗面の流速分布は抵抗係数

f

,Re 数,無次元 相対粗度

ks

により定まるが

,抵抗係数f

は

Colebrook

に より与えられた内挿式

⁵⁾ (19)からRe

数,無次元相対粗度

ks

により定める． 

Re ) 7 . ( 18 log 0 . 2 74 . 1 1

10 H f

k f

s +

−

= (19) 

渦動粘性係数

E

は,せん断応力の平均成分

τ

^が壁面鉛

直方向

z

に直線分布するという条件と,

τ

が

E

を係数 としてひずみ速度

du/dy

に比例するという条件から決 定する．なお,non-slip 条件は平均流速

u

が

0

となる高さ の地点で与えることとする.

3.4.境界条件 

境界条件は河床波上でnon-slipの条件を与える.また管 路の中心線上では,この線を中心として水路は線対称な 形状をしていることから,鉛直方向流速の周期成分の複 素振幅値

wˆ

も対称とし,一階微分と三階微分値を

0

とす る条件を与える. 

3.5.数値解析  3.5.1.数値解析結果 

図-5,6 は,Re を一定(=25000)とし無次元波数

α⁺

を変 化させた場合(

α⁺=0.01, 0.003, 0,001)の周期成分の鉛直

分布の変化を示している.ここで,正の位相差は波状境界

H

z x

Ur

z=2(H-η)

z=H-η

z=0 H

z x z

x

Ur

z=2(H-η)

z=H-η

z=0 Flow

y

) (z H u

z x z

x

Ur

z=2(H-η)

z=H-η

z=0 H

z x z

x

Ur

z=2(H-η)

z=H-η

z=0 Flow

y

) (z u

図-5 河床波上の流れの解析において 

解析対象とした流れの模式図 

に対し上流側へのずれを,負の位相差は下流側 へのずれを示している. 

図-6 には流速の周期成分

u~

_{の絶対値(a)と位} 相差(b)の鉛直分布を示す. ここで

u~

_は平均流 の摩擦速度

u_*

により無次元化されている. 図 -6(a)より,波数

α⁺

の大小に関わらず, 

u~

_の絶 対値は上に凸のピークを持った形状をしており, 波数が大きいほうがそのピーク値は大きくなる.

ピークの位置は波数が大きくなると,波状境界 側に移動する.図-6(b)より,波数

α⁺

の大小に関 わらず,

z⁺=100

となる位置まで位相差は一定 値(90 度)を取っている.波数

α⁺

の増加に伴い, 管路の中心付近での位相差が

0

に向かう

.

図-7 にはせん断応力の周期成分

τ^~

の絶対値

(a)と位相差(b)の鉛直分布を示す. 図-7(a)より,

波数の大小に関わらず,

z⁺=20

となる付近で

τ^~

の絶対値はピーク値となり, 

u~

_{の絶対値の鉛直} 分布と同様に波数の増加に伴いピーク値は大き くなる.また波数の増加に伴いピークの位置は 波状境界側に移動する. 図-7(b)より波数

α⁺

の大小に関わらず,位相差は波状境界から離れ るにつれ下がり,-180 度に達すると,-180 度のま ま一定値となる.波数が大きいほど

,波状境界に

近い位置で一定値となる. 

図-8 は河床せん断応力の上流側への位相ず れ

θ

と無次元波数

α⁺ (=αυ/U_*)

^{の関係にお} いて過去の測定結果と本研究による解析結果を 比較した図である.図-8(a)は,滑面において

Re

数を変化させたときの位相差と無次元波数

α⁺

の関係であり,Re 数の上昇に対しては,位相差 のピーク値が上昇し,ピーク位置は低波数側に ずれる解析結果を示した. 図-8 中に示した実 験結果より,河床波の波長にはせん断応力の位 相差を生じさせる上下限の長さが存在するが, 解析結果においても,河床波の波長が長すぎて も短すぎても底面せん断応力の河床波形に対す

る上流側へのずれは生じていない.図-8(b)に粗面での位 相差と波数の関係を示す.解析結果では,粗面上の流れに おいては,位相のずれが小さく,位相差にピークを与える ような特定の波数は存在しない. 実験結果においても, 粗面での位相差は滑面に比べ低い. 

4.まとめ 

(1) 波状境界の波数が増加するにつれx

方向流速成分の

周期成分

u~

_,

τ^~

の絶対値の鉛直分布は全体的に増加し, 鉛直分布のピークの位置が波状境界側にずれる.(2) 滑面 の波状境界上の流れでは,底面せん断応力の波状境界と の位相差にピークを与えるような波数が存在し, Re 数の 上昇に対しては,ピーク位置が低波数側にずれる.(3) 粗 面では, 底面せん断応力の波状境界との位相差は小さく,

ピークを与えるような波数は存在しない.  

参考文献  

1)Kennedy,J.F.:The mechanics of dune and antidunes in erodible-bed channels,Fluid Mech.,Vol.16,pp.521-544,1963.

2)Hayashi,T.:Formation of dunes and antidunes in open channels,Proc.ASCE,Vol.96,Bo.HY2,pp.357-366,1970.

3)Benjamine,T.B.:Shearing flow over a wavy boundary, J.Fluid Mech.,vol. 6,pp.161-205,1959.

4)Reynolds,W.C., Hussain,A.K.M.F.:The mechanics of an organized wave in turbulent shear flow , J.Fluid Mech.,vol.

41,part 2 ,pp.241-258 ,1970.

5)日野幹雄：明解水理学,丸善,1983. 

6)

山田正

,

池内正幸

,

植松正伸

:

小規模河床波の発生発達に関 する研究,第

31

回水理講演会論文集

,pp.665-670,1987. 

7)

山田正,竹本典道,大前智敬:河床波上の流れの底面せん断 応力に関する理論的研究, 第

33

回水理講演会論文 集

,pp.421-426,1989. 

*

ˆ u

u

の 絶 対 値

無次元距離

υ

z u*

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 50 100 150 200

Re=25000

α⁺=0.003 α⁺=0.001 α⁺=0.01

*

ˆ u

u

の 絶 対 値

無次元距離

υ

z u*

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 50 100 150 200

Re=25000

α⁺=0.003 α⁺=0.001 α⁺=0.01

(a)

*

ˆ u u

の位 相 差

無次元距離

υ

z u_*

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

0 90 180

Re=25000

α⁺=0.01 α⁺=0.003 α⁺=0.001

*

ˆ u u

の位 相 差

無次元距離

υ

z u_*

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

0 90 180

Re=25000

α⁺=0.01 α⁺=0.003 α⁺=0.001

(b)

図-6 

x

方向流速の周期成分

u~

_の絶対値

_(a)

_{と河床波との位相差}

_(b)

_{の鉛直分布}

*

ˆ τ τ

の絶 対 値

無次元距離

υ

z u*

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

0 4 8 12 16 20

Re=25000 α⁺=0.01 α⁺=0.001 α⁺=0.0003

*

ˆ τ τ

の絶 対 値

無次元距離

υ

z u*

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

0 4 8 12 16 20

Re=25000 α⁺=0.01 α⁺=0.001 α⁺=0.0003

(a)

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

–360 –180 0 180

Re=25000

α

⁺=0.001

α

⁺=0.01

α

⁺=0.003

*

ˆ τ

τ

の 位 相 差

無次元距離

υ

z u_*

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

–360 –180 0 180

Re=25000

α

⁺=0.001

α

⁺=0.01

α

⁺=0.003

*

ˆ τ

τ

の 位 相 差

無次元距離

υ

z u_*

(b)

図-7  せん断応力の周期成分

τ^~

^の絶対値

(a)

と河床波との位相差

(b)

の鉛直分布

の 位 相 差

無次元波数

α⁺(=2πυλu_*)

*

ˆ*

τ τ

10^–4 10^–2 10⁰

0 30 60 90

○ Hanratty(1985)

□ Kendall(1970)

◇ Hsu&Kennedy(1971)

△ Sigal(1970) Re=25000 Re=10000 Re=25000 Re=50000 Re=50000

● 山田(1987) 滑面

の 位 相 差

無次元波数

α⁺(=2πυλu_*)

*

ˆ*

τ τ

10^–4 10^–2 10⁰

0 30 60 90

○ Hanratty(1985)

□ Kendall(1970)

◇ Hsu&Kennedy(1971)

△ Sigal(1970) Re=25000 Re=10000 Re=25000 Re=50000 Re=50000

● 山田(1987) 滑面

(a)

の 位 相 差

無次元波数

α⁺(=2πυλu*)

*

ˆ*

τ τ

10^–4 10^–3 10^–2 10^–1 10⁰ 0

20 40 60 80 100

飛砂移動限界

○ Hanratty(1985)

□ Kendall(1970)

◇ Hsu＆Kennedy(1971)

△ Sigal(1970)

●山田(1987)

◎ 山田(1987)

ks 0.07 ks 0.05 k_s 0.03 滑面

粗面

Re=25000

の 位 相 差

無次元波数

α⁺(=2πυλu*)

*

ˆ*

τ τ

10^–4 10^–3 10^–2 10^–1 10⁰ 0

20 40 60 80 100

飛砂移動限界

○ Hanratty(1985)

□ Kendall(1970)

◇ Hsu＆Kennedy(1971)

△ Sigal(1970)

●山田(1987)

◎ 山田(1987)

ks 0.07 ks 0.05 k_s 0.03 滑面

粗面

Re=25000

(b)

図-8 滑面

(a),粗面(b)での波数α⁺

と底面せん断応力の位相差との関係