１ ⑵ 与式＝３ａ＋６ｂ－２ａ＋ｂ＝ａ＋７ｂ １ ⑶ 与式＝

高校入試模擬テスト 第１回

1 / 6 １

⑴ 与式＝－３＋８＋１＝６

１ ⑵ 与式＝３ａ＋６ｂ－２ａ＋ｂ＝ａ＋７ｂ １ ⑶ 与式＝

２(５ｘ＋３)－３(３ｘ＋２)

６ ＝10ｘ＋６－９ｘ－６ ６ ＝

ｘ

６

１ ⑷ 与式＝ｘ²＋３ｘｙ－(ｘ²＋ｘｙ＋２ｘｙ＋２ｙ²)＝ｘ²＋３ｘｙ－(ｘ²＋３ｘｙ＋２ｙ²)＝

ｘ²＋３ｘｙ－ｘ²－３ｘｙ－２ｙ²＝－２ｙ²

１ ⑸ 与式＝( ６)²－２×２× ６＋２²＋３ ６＝６－４ ６＋４＋３ ６＝10－ ６ ２

⑴ 両辺に２をかけて，ｘ＋４＝２ｘ

ｘ－２ｘ＝－４

－ｘ＝－４

ｘ＝４ １ ⑵

与式＝ｘ²＋(－６＋５)ｘ＋(－６)×５＝(ｘ－６)(ｘ＋５)

１ ⑶

１ｍ当たりの重さは

30ｇ＝ 30

1000 ㎏＝ ３

100 ㎏なので，ｘｍのときは

３

100×ｘ＝３

100

ｘ(㎏)となる。

よって，求める式はｙ＝３

100

ｘである。

３

白色の花の本数について，８ｘ＋６ｙ＝200…①が成り立つ。また，売り上げの合計について，

800ｘ＋400ｙ＝16000…②が成り立つ。①より，４ｘ＋３ｙ＝100…③ ②より，２ｘ＋ｙ＝40…④

③－④×２でｘを消去すると，３ｙ－２ｙ＝100－80

ｙ＝20

④にｙ＝20 を代入すると，２ｘ＋20＝40 ２ｘ＝20

ｘ＝10

よって，花束Ａに使われた赤色の花の本数は 10×10＝100(本)，花束Ｂに使われた赤色の花の本数は ２×20＝40(本)である。花束をつくった後に赤色の花は

80

本残っていたので，花束をつくる前の赤色 の花の本数は，100＋40＋80＝220(本)である。

白色の花の本数と，売り上げの合計について，連立方程式を立てる。花束Ａに使われた白色の花の 本数は８ｘ本，花束Ｂに使われた白色の花の本数は６ｙ本であり，花束Ａの売り上げは

800ｘ円，花束

Ｂの売り上げは

400ｙ円である。

攻略へのアプローチ

この問題では，単位がｇと㎏で異なるので，ｙの単位である㎏に合わせて考える。

攻略へのアプローチ

かけると－30，足すと－１となる２数を探す。かけると－30 になる２つの整数の組み合わせ

は限られるので，そちらを先に探すのがポイントである。

攻略へのアプローチ

高校入試模擬テスト 第１回

2 / 6 ４

⑴ 大小２つのさいころを同時に投げるとき，目の出方は全部で６×６＝

36(通り)ある。そのうち，出る目の和が４となるのは，資料１の●印の

３通りだから，求める確率は， ３

36＝１ 12

⑵ 出る目の和が３の倍数となるのは，資料１の〇印の

12

通りだから，

求める確率は，

12

36＝１

３

⑶

ａｂは最大で６×６＝36 であり，36 以下の平方数は，１²＝１，２²＝４，

３²＝９，４²＝16，５²＝25，６²＝36である。ａｂがこれらの値になる 出方は，資料２の☆印の８通りある。よって，求める確率は，

８

36＝２ ９

５ ⑴

関数ｙ＝１

４

ｘ²において，ｘ＝－４のときｙ＝

１

４×(－４)²＝４，ｘ＝－２のときｙ＝１

４×(－２)²＝１ となる。よって，(ｘの増加量)＝－２－(－４)＝２，(ｙの増加量)＝１－４＝－３だから，求める変 化の割合は，－３

２ ＝－３ ２

関数ｙ＝

１

４ ｘ²は，比例定数が １

４

だから，求める変化の割合は，

１

４

×{－４＋(－２)}＝－３ ２

⑵

関数ｙ＝１

４

ｘ²において，ｘ＝２のときｙ＝

１

４×２²＝１，ｘ＝４のときｙ＝１

４×４²＝４となる。

よって，直線ＣＤの式をｙ＝ａｘ＋ｂとすると，Ｃ(２，１)より，１＝２ａ＋ｂ…㋐，Ｄ(４，４)より，

４＝４ａ＋ｂ…㋑である。この２式を連立方程式として解く。㋑－㋐でｂを消去すると，

４－１＝４ａ－２ａ ３＝２ａ ａ＝３ ２

㋐にａ＝３

２を代入すると，１＝２×３

２＋ｂ １＝３＋ｂ ｂ＝－２ 直線ＣＤの式はｙ＝３

２

ｘ－２であり，切片の座標は(０，－２)なので，求める座標は(０，－２)である。

すべての場合を表にまとめ，条件に合うさいころの目の出方が何通りあるか数える。

攻略へのアプローチ

資料１

小 １ ２ ３ ４ ５ ６

大

１ 〇 ● 〇 ２ 〇 ● 〇 ３ ● 〇 〇 ４ 〇 〇 ５ 〇 〇 ６ 〇 〇

(変化の割合)＝ (ｙの増加量)

(ｘの増加量)

である。

攻略へのアプローチ □

^１

直線ＣＤとｙ軸との交点は，直線ＣＤの切片なので，直線ＣＤの式を求める。

直線の式はｙ＝ａｘ＋ｂと表せる(ａ，ｂは定数であり，どのような文字で表してもよい)。

２点Ｃ，Ｄの座標をそれぞれｙ＝ａｘ＋ｂに代入することでａとｂについての連立方程式ができ るので，それを解けばよい。切片はｂの値である。

攻略へのアプローチ □

１

関数ｙ＝ｐｘ²において，ｘの値がｍからｎまで増加したときの変化の割合は，

(変化の割合)＝

(ｙの増加量)

(ｘの増加量)＝ｐｎ²－ｐｍ²

ｎ－ｍ ＝ｐ(ｎ²－ｍ²)

ｎ－ｍ ＝ｐ(ｎ＋ｍ)(ｎ－ｍ)

ｎ－ｍ ＝ｐ(ｍ＋ｎ) と表せることを利用する。

攻略へのアプローチ □

^２

ａｂが自然数となるのは，ａｂが平方数(自然数を２乗してできる数)のときである。

攻略へのアプローチ

資料２

小 １ ２ ３ ４ ５ ６

大

１ ☆ ☆ ２ ☆ ３ ☆ ４ ☆ ☆ ５ ☆

６ ☆

高校入試模擬テスト 第１回

3 / 6

⑴より，直線ＡＢの変化の割合は－３

２なので，直線ＡＢの傾きは－３

２である。よって，直線ＣＤの 傾きは，３

２とわかる。したがって，直線ＣＤ上ではｘが２増えるとｙは３増えるので，Ｃ(２，１)か ら，ｘが２減って０になると，ｙは３減って１－３＝－２になるので，直線ＣＤの切片は(０，－２) である。以上より，直線ＣＤとｙ軸との交点は(０，－２)である。

直線ＣＤの切片は，－

１

４

×２×４＝－２なので，直線ＣＤとｙ軸との交点は(０，－２)である。

⑶

Ａ(－４，４)，Ｂ(－２，１)，Ｅ(０，４)，Ｆ(０，１)である。

直線ＡＢと直線ＣＤはｙ軸について対称であり，２直線はｙ軸上で交 わるので，Ｇ(０，－２)である。ＡＥ＝(ＡとＥのｘ座標の差)＝４，

ＧＥ＝(ＧとＥのｙ座標の差)＝４－(－２)＝６，ＢＦ＝２，ＧＦ＝

(ＧとＦのｙ座標の差)＝１－(－２)＝３である。よって，四角形 ＡＢＦＥをｙ軸を軸として１回転させてできる立体の体積は，

１

３×４²π×６－１

３×２²π×３＝32π－４π＝28πである。

ＡＥ＝４，ＢＦ＝２より，底面の半径がＡＥで高さがＥＧの円すいと，底面の半径がＢＦで高さが ＦＧの円すいの相似比は４：２＝２：１だから，体積比は２³：１³＝８：１となる。よって，四角形 ＡＢＦＥを，ｙ軸を軸として１回転させてできる立体の体積は，底面の半径がＡＥで高さがＥＧの円 すいの体積の８－１

８ ＝

７

８

(倍)だから，１

３×４²π×６×

７

８

＝28πである。

６ ⑴

台形ＡＢＣＤの面積は，

１

２ ×(２＋６)×４＝16(㎠)である。

直線ＡＢとｙ軸との交点をＧとすると，できる立体は，資料３のような底面の半径がＡＥ，

高さがＧＥの円すいから，底面の半径がＢＦ，高さがＧＦの円すいを切り取った立体となる。

攻略へのアプローチ □

^１

資料３

Ａ

Ｂ Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｏ ｘ

ｙ

Ｄ

Ｃ

直線ＡＢと直線ＣＤはｙ軸に対して線対称なので，直線ＣＤの傾きは，直線ＡＢの傾きの符号

を逆にすることで求められる。次に，傾きの性質から切片の座標を求める。また，２点間の変化 の割合とその２点を通る直線の傾きは等しいことを利用する。

攻略へのアプローチ □

^２

関数ｙ＝ｐｘ²において，ｘ座標がｍとｎの２点を通る直線の切片は，－ｐｍｎと表せることを 利用する。

攻略へのアプローチ □

^３

台形の面積は，

１

２ ×{(上底)＋(下底)}×(高さ)で求められる。

攻略へのアプローチ

直線ＡＢとｙ軸との交点をＧとすると，ＡＥ//ＢＦより，底面の半径がＡＥで高さがＥＧの 円すいと，底面の半径がＢＦで高さがＦＧの円すいは相似なので，体積比は相似比の３乗に等しい ことを利用する。

攻略へのアプローチ □

^２

高校入試模擬テスト 第１回

4 / 6

⑵

ＥＦ//ＢＣより，△ＡＥＧ∽△ＡＢＣであり，相似比は ＡＥ：ＡＢ＝１：４である。よって，ＥＧ＝１

４ＢＣ＝

３

２

(㎝)である。

また，△ＣＡＤ∽△ＣＧＦであり，相似比は，ＡＣ：ＧＣ＝ＡＢ：ＥＢ＝４：(４－１)＝４：３ よって，ＧＦ＝３

４ＡＤ＝

３

２

(㎝)である。したがって，ＥＦ＝

３ ２

＋

３

２

＝３(㎝)

ＨＦ＝ＩＣ＝ＡＤ＝２㎝である。ＥＦ//ＢＣより，

△ＡＥＨ∽△ＡＢＩ，相似比は，ＡＥ：ＡＢ＝１：４であり，ＢＩ＝ＢＣ－ＩＣ＝６－２＝４(㎝) なので，ＥＨ＝１

４ＢＩ＝１(㎝)である。したがって，ＥＦ＝１＋２＝３(㎝)

⑶

ＨＦ＝ＩＣ＝ＡＤ＝２㎝だから，ＥＨ＝４－２＝２(㎝)，ＢＩ＝６－２＝４(㎝)である。

△ＡＥＨと△ＡＢＩの相似比はＥＨ：ＢＩ＝２：４＝１：２なので，ＡＥ＝１

２ＡＢ＝２(㎝) よって，ＥＢ＝４－２＝２(㎝)なので，台形ＡＥＦＤの面積は，１

２×(２＋４)×２＝６(㎠)，台形 ＥＢＣＦの面積は，１

２×(４＋６)×２＝10(㎠)である。したがって，台形ＡＥＦＤと台形ＥＢＣＦの 面積比は，６：10＝３：５

△ＰＡＤと△ＰＥＦと△ＰＢＣの相似比は，ＡＤ：ＥＦ：ＢＣ＝２：４：６＝１：２：３なので，

面積比は，１²：２²：３²である。よって，台形ＡＥＦＤと台形ＥＢＣＦの面積比は，

(２²－１²)：(３²－２²)＝３：５

資料５

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ Ｅ Ｈ Ｆ

Ｉ

点Ａを通り線分ＤＣと平行な直線を引き，ＥＦ，ＢＣとの 交点をそれぞれＨ，Ｉとする(資料５参照)。四角形ＡＩＣＤと 四角形ＡＨＦＤが平行四辺形であることを利用して，

ＥＦ＝ＥＨ＋ＨＦで求める。

攻略へのアプローチ □

^２

⑵の「攻略へのアプローチ

□

^２」と同じように線分ＡＩを引き，△ＡＥＨ∽△ＡＢＩからＡＥ，

ＥＢの長さをそれぞれ求める。次に，台形ＡＥＦＤと台形ＥＢＣＦの面積をそれぞれ求める。

攻略へのアプローチ □

^１

資料４

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ Ｆ

Ｇ

線分ＡＢ，ＤＣをそれぞれ点Ａ，Ｄの向きに延長し，交点 をＰとする(資料６参照)。

(台形ＡＥＦＤの面積)＝△ＰＥＦ－△ＰＡＤ，

(台形ＥＢＣＦの面積)＝△ＰＢＣ－△ＰＥＦを利用して 面積比を求める。また，△ＰＡＤ∽△ＰＥＦ∽△ＰＢＣであ り，面積比は相似比の２乗に等しいことを利用する。

攻略へのアプローチ □

^{２ 資料６}

Ａ Ｄ

Ｅ Ｆ

Ｂ Ｃ

Ｐ

線分ＡＣを引き，ＥＦとの交点をＧとする(資料４参照)。

相似比からＥＧ，ＧＦを求め，ＥＦ＝ＥＧ＋ＧＦで求める。

攻略へのアプローチ □

１

高校入試模擬テスト 第１回

5 / 6 ７ ⑴

⑵①

ＡＣ＝２ＯＡ＝12(㎝)なので，三平方の定理より，ＡＢ＝

ＡＣ²－ＢＣ²＝ 12²－３²＝３ 15(㎝)

②

ＡＢ：ＢＦ＝ＡＣ：ＣＥ＝12：２＝６：１なので，ＢＦ＝１

６ＡＢ＝１

６×３ 15＝ 15 ２ (㎝)

③

△ＡＥＦ∽△ＡＣＢより，ＥＦ：ＣＢ＝ＡＥ：ＡＣ ＥＦ：３＝10：12 よって，ＥＦ＝10×３

12 ＝５

２(㎝)なので，△ＥＢＦ＝１

２×ＢＦ×ＥＦ＝１ ２× 15

２ ×５

２＝

５ 15 ８

(㎠)

△ＥＢＦについて三平方の定理より，ＥＢ＝ ＥＦ²＋ＢＦ²＝ (５

２)²＋( 15

２ )²＝

10(㎝)

△ＡＣＤと△ＥＢＦの面積比は，ＡＣ²：ＥＢ²＝12²：( 10)²＝144：10＝72：５ したがって，△ＡＣＤの面積は，

72

５

△ＥＢＦ＝

72

５

×

５ 15

８

＝９ 15(㎠)

高さの等しい三角形の面積比は，底辺の長さの比に等しいこと

を利用して，△ＥＢＦの面積から，△ＡＢＥ，△ＡＥＤ，△ＡＣＤ の順に面積を求める。また，ＢＣに平行でＯを通る直線とＢＤと の交点をＰとする(資料８参照)と，△ＢＣＥ∽△ＰＯＥであり，

相似比はＣＥ：ＯＥ＝２：４＝１：２なのでＰＯ＝２ＢＣ＝６(㎝) となる。ＯＤも６㎝であることから，ＰとＤは同じ点だとわかる。

よって，△ＢＣＥ∽△ＤＯＥであり，ＢＥ：ＤＥ＝１：２である。

攻略へのアプローチ □

^２

面積比は相似比の２乗に等しいから，△ＥＢＦの面積と△ＡＣＤと△ＥＢＦの面積比から

△ＡＣＤの面積を求める。△ＡＣＤについて長さがわかる辺がＡＣだけなので，三平方の

定理を用いてＥＢを求め，ＡＣ²：ＥＢ²で△ＡＣＤと△ＥＢＦの面積比を求める。

攻略へのアプローチ □

１

図形の証明問題を解くときは，正確な図をかくことが重要である。

問題に図があるときは，資料７のように，与えられた条件(仮定)と 自分がすでに示した内容を表す記号をかき入れながら，考えるとよい。

また，三角形の相似を証明する問題は，２組の角がそれぞれ等しい ことを示すものがほとんどである。この問題の場合，同じ弧に対する

円周角は等しいこと，平行線の錯角は等しいことを利用する。証明の

書き方には一定の型があるので，よく練習して慣れておこう。

攻略へのアプローチ

資料７

Ａ Ｏ Ｂ

Ｃ Ｄ

Ｅ

Ｆ

ＥＦ//ＣＢなので，平行線と線分の比より，ＡＢ：ＢＦ＝ＡＣ：ＣＥである。

攻略へのアプローチ

直径に対する円周角は 90°なので，△ＡＢＣについて，三平方の定理からＡＢを求める。

攻略へのアプローチ

Ｄ(Ｐ)

Ｅ Ｃ

資料８

Ｏ

Ｂ

Ａ Ｆ

高校入試模擬テスト 第１回

6 / 6

攻略へのアプローチ

□

１より，△ＥＢＦ＝

５ 15

８

(㎠)

△ＥＢＦ：△ＡＢＥ＝ＢＦ：ＡＢ＝ 15

２：３ 15＝１：６なので，△ＡＢＥ＝６△ＥＢＦ＝

15 15 ４

(㎠)

△ＡＢＥ：△ＡＥＤ＝ＢＥ：ＤＥ＝１：２なので，△ＡＥＤ＝２△ＡＢＥ＝

15 15 ２

(㎠)

△ＡＥＤ：△ＡＣＤ＝ＡＥ：ＡＣ＝10：12＝５：６なので，△ＡＣＤ＝６

５△ＡＥＤ＝９ 15(㎠)

高校入試模擬テスト 第２回

1 / 7 １

⑴ 与式＝５

10－６ 10＝－１

10

１ ⑵ 与式＝９ａ＋１－６ａ＋４＝３ａ＋５ １ ⑶ 与式＝－

８ｘ²ｙ×６ｘｙ

12ｘｙ² ＝－４ｘ²

１ ⑷ 与式＝( ７)²－(２ ５)²＝７－20＝－13 １ ⑸ 与式＝

９× ３

３× ３＋２ ３＝９ ３

３ ＋２ ３＝３ ３＋２ ３＝５ ３

２

⑴

ａ＋２＝Ａとすると，

(ａ＋２)²－10(ａ＋２)＋９＝Ａ²－10Ａ＋９＝Ａ²＋(－１－９)Ａ＋(－１)×(－９)＝(Ａ－１)(Ａ－９)

Ａを元に戻して，(ａ＋２－１)(ａ＋２－９)＝(ａ＋１)(ａ－７)

１ ⑵

２次方程式の解の公式より，ｘ＝－(－１)± (－１)²－４×３×(－２)

２×３ ＝１± 25

６ ＝１±５ ６ よって，ｘ＝１＋５

６ ＝１，ｘ＝１－５ ６ ＝－２

３

１ ⑶

現在の父と英太くんの年齢について，ｘ＋ｙ＝60…①が成り立つ。また，６年後の父と英太くんの 年齢について，ｘ＋６＝３(ｙ＋６)…②が成り立つ。②より，ｘ＋６＝３ｙ＋18

ｘ＝３ｙ＋12…③

①に③を代入してｘを消去すると，３ｙ＋12＋ｙ＝60 ４ｙ＝48

ｙ＝12

③にｙ＝12 を代入すると，ｘ＝３×12＋12

ｘ＝48

よって，現在の父の年齢は 48 歳，現在の英太くんの年齢は 12 歳である。

６年後の父と英太くんの年齢について，ｘ＋６＝３(66－ｘ)

ｘ＋６＝198－３ｘ ４ｘ＝192 ｘ＝48 よって，現在の父の年齢は 48 歳，現在の英太くんの年齢は 60－48＝12(歳)である。

やや複雑な因数分解の場合，式の一部を別の文字に置きかえるとわかりやすい場合がある。

置きかえた文字を最後に元の式に戻すのを忘れないようにしよう。

攻略へのアプローチ

ｘ²の係数が１ではない２次方程式を解くときは，２次方程式の解の公式を利用する。

２次方程式ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の解は，ｘ＝

－ｂ± ｂ²－４ａｃ ２ａ

攻略へのアプローチ

現在の父の年齢をｘ歳，現在の英太くんの年齢をｙ歳として連立方程式を立てる。

６年後，父の年齢は(ｘ＋６)歳，英太くんの年齢は(ｙ＋６)歳と表せる。

攻略へのアプローチ □

１

現在の父の年齢をｘ歳とすると，現在の英太くんの年齢は(60－ｘ)歳と表せるので，このこと から１次方程式を立てる。６年後，父の年齢は(ｘ＋６)歳，英太くんの年齢は(66－ｘ)歳と表せる。

攻略へのアプローチ □

^２

高校入試模擬テスト 第２回

2 / 7 ３

４ ⑴

表より，(階級値)×(度数)の合計が

835

㎏だから，25 人の握力の平均値は，

835

25

＝33.4(㎏)である。

⑵

度数の合計について，ｘ＋ｙ＋13＋３＋１＝25 より，ｘ＋ｙ＝８…①が成り立つ。

また，(階級値)×(度数)の合計について，15ｘ＋25ｙ＋35×13＋45×３＋55×１＝835 より，

15ｘ＋25ｙ＝190 ３ｘ＋５ｙ＝38…② ②－①×３でｘを消去すると，

５ｙ－３ｙ＝38－24 ２ｙ＝14

ｙ＝７ ①にｙ＝７を代入すると，ｘ＋７＝８ ｘ＝１

よって，アは１，イは７である。

⑶

30 人の(階級値)×(度数)の合計は，32×30＝960(㎏)で，25 人の(階級値)×(度数)の合計は，

835

㎏だから，１年生５人の(階級値)×(度数)の合計は，960－835＝125(㎏)である。１年生５人の 握力は同じ階級に入ったから，１年生５人が入った階級の階級値は，125÷５＝25(㎏)である。

したがって，１年生５人が入った階級は，20 ㎏以上 30 ㎏未満の階級である。

５ ⑴

２＝ａ×(－２)²より，４ａ＝２ ａ＝

１ ２

２点Ａ，Ｂからの距離が等しい点は，線分ＡＢの垂直二等分線上 にある。したがって，線分ＡＢの垂直二等分線と直線 ℓ との交点が

Ｐである(資料１参照)。

攻略へのアプローチ

資料１

Ｐ Ａ

ℓ Ｂ

Ａ(－２，２)は関数ｙ＝ａｘ²のグラフ上の点なので，ｘ＝－２，ｙ＝２を代入してａの値を 求める。

攻略へのアプローチ

30 人の(階級値)×(度数)の合計から，25 人の(階級値)×(度数)の合計を引くことで，

１年生５人の(階級値)×(度数)の合計を求めることができる。

攻略へのアプローチ

度数分布表から平均値を求めるときは，

{(階級値)×(その階級の度数)}の合計

(度数の合計)

を計算すればよい。

攻略へのアプローチ

10 ㎏以上 20 ㎏未満の階級の度数をｘ人，20 ㎏以上 30 ㎏未満の階級の度数をｙ人として連立方 程式を立てる。10 ㎏以上 20 ㎏未満の階級の(階級値)×(度数)は

15ｘ，20 ㎏以上 30 ㎏未満の

階級の(階級値)×(度数)は

25ｙである。

攻略へのアプローチ

高校入試模擬テスト 第２回

3 / 7

⑵

ｙ＝

１

２

ｘ²にＢのｘ座標のｘ＝６を代入すると，ｙ＝

１

２×６²＝18 となるから，Ｂ(６，18)

ｙ＝ｍｘ＋ｎにＡの座標を代入すると，２＝－２ｍ＋ｎ…㋐

ｙ＝ｍｘ＋ｎにＢの座標を代入すると，18＝６ｍ＋ｎ…㋑

㋑－㋐でｎを消去すると，18－２＝６ｍ＋２ｍ 16＝８ｍ

ｍ＝２

㋐にｍ＝２を代入すると，２＝－２×２＋ｎ

ｎ＝６ よって，求める式は，ｙ＝２ｘ＋６

Ａ(－２，２)，Ｂ(６，18)だから，直線ＡＢの傾きは，

18－２

６－(－２)

＝２である。したがって，

直線ＡＢの式をｙ＝２ｘ＋ｎとおいてＡ(－２，２)の座標を代入すると，２＝２×(－２)＋ｎより ｎ＝６となるから，直線ＡＢの式はｙ＝２ｘ＋６である。

なお，直線ＡＢの傾きが２とわかったあとは以下のように考えることもできる。

直線ＡＢ上ではｘが１増えるとｙは２増えるとわかるから，Ａ(－２，２)からｘが２増えて０になると，

ｙは４増えて２＋４＝６になるので，直線ＡＢは点(０，６)を通る。よって，直線ＡＢの切片は６だ

から，直線ＡＢの式はｙ＝２ｘ＋６である。

ｙ＝ １

２ ｘ²の比例定数は １

２

であり，２点Ａ，Ｂのｘ座標はそれぞれ－２，６だから，

直線ＡＢの傾きは，

１

２

×(－２＋６)＝２，切片は－(－２)×６×

１

２

＝６である。

よって，直線ＡＢの式はｙ＝２ｘ＋６である。

放物線ｙ＝ｐｘ²上にある２点Ｍ，Ｎのｘ座標がｍ，ｎであるとき，２点Ｍ，Ｎを通る直線の傾きは

ｐ(ｍ＋ｎ)，切片は－ｍｎｐと表せる。

攻略へのアプローチ □

３

直線の式はｙ＝ｍｘ＋ｎと表せる(ｍ，ｎは定数であり，どのような文字で表してもよい)。

２点Ａ，Ｂの座標をそれぞれｙ＝ｍｘ＋ｎに代入することでｍとｎについての連立方程式ができ るので，それを解けばよい。

攻略へのアプローチ □

^１

２点(ｘ₁，ｙ₁)，(ｘ₂，ｙ₂)を通る直線の傾きはこの２点間の変化の割合と等しいから，

(ｙの増加量)

(ｘの増加量) ＝ ｙ₂－ｙ₁

ｘ₂－ｘ₁

で求められる。傾きとその直線上の１点の座標から，直線の切片を求める ことができる。

攻略へのアプローチ □

^２

高校入試模擬テスト 第２回

4 / 7

⑶

ｙ＝２ｘ＋６にＣのｙ座標のｙ＝０を代入すると，０＝２ｘ＋６より，

ｘ＝－３となるから，Ｃ(－３，０)，ＣＯ＝３である。４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐは同一直線上の点だから，

ＣＡ＝ＰＢより，(ＰとＢのｘ座標の差)＝(ＣとＡのｘ座標の差)＝－２－(－３)＝１

よって，Ｐのｘ座標はＢのｘ座標より１小さいから，ｘ＝６－１＝５

ｙ＝２ｘ＋６にＰのｘ座標のｘ＝５を代入すると，ｙ＝２×５＋６＝16 より，Ｐ(５，16)

直線ＡＢの式はｙ＝２ｘ＋６なので，Ｄ(０，６)，

ＯＤ＝６より，△ＡＯＢ＝

１

２ ×６×{６－(－２)}＝24

△ＣＯＰ＝

１

２ ×３×(ｐ－０)＝

３

２ｐだから，

△ＡＯＢ＝△ＣＯＰより，24＝３

２ｐ ｐ＝16

ｙ＝２ｘ＋６にＰのｙ座標のｙ＝16 を代入すると，16＝２ｘ＋６より，ｘ＝５となるから，Ｐ(５，16) ６ ⑴

ＱＲ＝２㎝，ＰＲ＝７㎝なので，ｙ＝１

２×２×７＝７

⑵

ＣＥ＝４㎝，ＤＥ＝３㎝より，ＣＤ＝ ＣＥ²＋ＤＥ²＝ ４²＋３²＝５(㎝)

点Ｐは，ＡからＣまで動くのにＡＢ＋ＢＣ＝３＋２＝５(㎝)動いており，ＡからＤまで動くのに

５＋ＣＤ＝５＋５＝10(㎝)動いているので，点ＰがＣからＤまで動くときのｘの変域は，５≦ｘ≦10

資料３より，直線ＡＢの切片をＤとすると，

△ＡＯＢ＝ １

２ ×ＯＤ×(ＡとＢのｘ座標の差)で

求められる。また，△ＣＯＰ＝

１

２ ×ＣＯ×(Ｐと Ｏのｙ座標の差)で求められるので，点Ｐのｙ座

標をｙ＝ｐとおき，△ＡＯＢ＝△ＣＯＰでｐに ついての方程式を立てて解く。

攻略へのアプローチ □

２ 資料３

座標平面上の三角形の面積の求め方 下図において，△ＯＳＴ＝△ＯＳＲ＋△ＯＴＲ＝

△ＯＭＲ＋△ＯＮＲ＝△ＭＮＲだから，

△ＯＳＴの面積は以下の式で求められる。

△ＯＳＴ＝１

２×ＯＲ×(ＳとＴのｘ座標の差)

Ｓ

Ｔ Ｒ

Ｏ ｘ

ｙ

Ｎ Ｍ

△ＣＤＥについて，三平方の定理からＣＤの長さを求める。

攻略へのアプローチ

資料４

Ｂ Ａ

Ｃ

Ｄ Ｆ Ｅ

Ｑ

Ｐ Ｒ

資料２より，△ＣＯＰと△ＡＯＢは底辺をそれぞれＣＰ，ＡＢとす ると高さが等しいから，面積比は底辺の長さの比に等しくＣＰ：ＡＢ となる。△ＣＯＰ＝△ＡＯＢだから，ＣＰ＝ＡＢである。

ＣＰ＝ＣＡ＋ＡＰ，ＡＢ＝ＰＢ＋ＡＰだから，ＣＡ＝ＰＢである。

このことから，Ｐの座標を求める。

攻略へのアプローチ □

^１

ｘ＝４のとき，点ＰはＢから４－３＝１(㎝)進んだ位置にある

(資料４参照)。このとき，∠ＰＲＱ＝90°なので，

△ＰＱＲ＝１

２×ＱＲ×ＰＲで求められる。

攻略へのアプローチ

資料２

Ｂ

Ｃ Ｏ

Ｐ

ｘ ｙ

Ａ

高校入試模擬テスト 第２回

5 / 7

⑶

点ＰがＢ上にあるとき(資料５参照)，ＡからＢまで

３㎝なので，ｘ＝３，高さは７㎝なので，ｙ＝７

点ＰがＣ上にあるとき(資料６参照)，ＡからＣまで ３＋２＝５(㎝)なので，ｘ＝５，高さは７㎝なので，ｙ＝７ 点ＰがＤ上にあるとき(資料７参照)，ＡからＤまで ５＋５＝10(㎝)なので，ｘ＝10，高さは３㎝なので，ｙ＝３ 点ＰがＥ上にあるとき(資料８参照)，ＡからＥまで 10＋３＝13(㎝)なので，ｘ＝13，高さは３㎝なので，ｙ＝３ 点ＰがＦ上にあるとき(資料９参照)，ＡからＦまで 13＋１＝14(㎝)なので，ｘ＝14，高さは４㎝なので，ｙ＝４ 点ＰがＡ上にあるとき(資料１０参照)，Ａから２回目のＡまで 14＋２＝16(㎝)なので，ｘ＝16，高さは４㎝なので，ｙ＝４

よって，グラフは，点(３，７)，(５，７)，(10，３)，(13，３)，

(14，４)，(16，４)を直線で結んだ形になる(資料１１参照)。

７ ⑴

直線ＡＢを平行移動させて重なる辺は，資料１２の〇印の辺ＤＣ，辺ＥＦ，

辺ＨＧである。

Ｂ Ａ Ｃ

Ｄ(Ｐ) Ｅ Ｆ

Ｑ Ｒ 高さ３㎝

資料７

Ｂ Ａ Ｃ

Ｄ Ｅ(Ｐ) Ｆ

Ｑ Ｒ 高さ３㎝

資料８

Ｂ Ａ Ｃ

Ｄ Ｅ (Ｐ) Ｆ

Ｑ Ｒ 高さ４㎝

資料９

Ｂ Ｃ

Ｄ Ｅ Ｆ

Ｑ Ｒ 高さ４㎝

資料１０

Ａ(Ｐ)

△ＰＱＲについて，底辺をＱＲ＝２㎝，高さを ｈ㎝とすると，ｙ＝１

２×２×ｈ＝ｈなので，ｙの値

は高さに等しい。また，点Ｐは常に線分上を通る

の で，高さは 各線分上で ，

一定の割 合で変化す

る 。よって， グラフは直 線を結んだ 形となるの で，点Ｐが頂点Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ａ上にある ときの座標をそれぞれ求め，直線で結べばよい。

攻略へのアプローチ

辺ＡＢと平行な辺は，直線ＡＢを平行移動させて重なる辺である。

攻略へのアプローチ

資料１２

Ａ Ｂ

Ｄ Ｃ

Ｅ Ｆ

Ｈ Ｇ Ｂ Ａ

Ｄ Ｅ Ｆ

Ｑ Ｒ 高さ７㎝

資料６

(Ｐ) Ｃ (Ｐ) Ｂ

Ｃ

Ｄ Ｆ Ｅ

Ｑ Ｒ 高さ７㎝

資料５

Ａ

４

Ｏ ５ 10 15 ｘ(㎝)

ｙ(㎠)

資料１１

高校入試模擬テスト 第２回

6 / 7

⑵

△ＣＤＢ＝１

２×ＢＣ×ＣＤ＝１

２×１×３＝

３ ２

(㎠)

△ＣＤＢについて，三平方の定理より，ＤＢ＝ ＢＣ²＋ＣＤ²＝ １²＋３²＝

10(㎝)

△ＣＤＢは底辺をＤＢ＝ 10㎝とすると，高さがＣＨとなるので，△ＣＤＢの面積について，

１

２×

10×ＣＨ＝ ３

２

ＣＨ＝３ ２× ２

10＝３ 10 10 (㎝)

攻略へのアプローチ

□

１より，ＤＢ＝ 10㎝だから，ＤＢ：ＤＣ＝ＢＣ：ＣＨ 10：３＝１：ＣＨ ＣＨ＝３×１

10 ＝３ 10 10 (㎝)

同様にして，△ＣＤＢ∽△ＨＣＢであることを利用してＣＨの長さを求めることもできる。

⑶

立体ＢＣＤ‐ＦＧＨの体積は，(１

２×３×１)×４＝６(㎤)

四角形ＤＰＱＢは，上底がＤＰ＝１㎝，下底がＢＱ＝４－１＝３(㎝)，

高さがＢＤ＝ 10㎝の台形であり，面積は１

２×(ＤＰ＋ＢＱ)×ＢＤ＝

１

２×(１＋３)× 10＝２ 10(㎠)だから，四角すいＣ‐ＤＰＱＢの体積は，１

３×２ 10×３ 10

10 ＝２(㎤) したがって，求める体積は，６－２＝４(㎤)

四角すいＱ‐ＣＰＨＧの高さは，ＧＦ＝１㎝である。四角形ＣＰＨＧ は台形なので，面積は，１

２×(ＰＨ＋ＣＧ)×ＧＨ＝１

２×(３＋４)×３＝

21

２(㎠)だから，四角すいＱ‐ＣＰＨＧの体積は，１ ３×21

２×１＝

７ ２

(㎤) 三角すいＱ‐ＧＨＦの体積は，１

３×(１

２×ＧＨ×ＧＦ)×ＱＦ＝

１ ３×(１

２×３×１)×１＝

１

２

(㎤)である。

問題の図２に線分ＣＰ，ＱＣを引く(資料１４参照)。

立体ＣＰＱ‐ＧＨＦの体積は，立体ＢＣＤ‐ＦＧＨの体積から，

四角すいＣ‐ＤＰＱＢの体積を引いて求められる。

四角すいＣ‐ＤＰＱＢの高さは，⑵で求めた距離に等しい。

攻略へのアプローチ □

^１ _資料１４

Ｂ Ｃ Ｄ

Ｐ

Ｈ Ｇ

Ｆ Ｑ

問題の図３に線分ＨＱ，ＧＱを引く(資料１５参照)と，

立体ＣＰＱ‐ＧＨＦの体積は，四角すいＱ‐ＣＰＨＧの体積と，

三角すいＱ‐ＧＨＦの体積の和で求められる。

攻略へのアプローチ □

^２

求める距離は，面ＣＤＢにおいて，点Ｃから線分ＢＤに引いた

垂線ＣＨの長さに等しい(資料１３参照)。△ＣＤＢの面積について

方程式を立て，距離を求める。

攻略へのアプローチ □

１

資料１５

Ｃ

Ｐ

Ｈ Ｇ

Ｆ Ｑ

資料１３

Ｄ

Ｃ

Ｈ Ｂ

資料１３について，△ＣＤＢ∽△ＨＤＣより，ＣＨの長さを求める。

攻略へのアプローチ □

^２

高校入試模擬テスト 第２回

7 / 7

したがって，立体ＣＰＱ‐ＧＨＦの体積は，

７

２

＋

１

２

＝４(㎤)である。

△ＧＨＦ＝

１

２×３×１＝

３

２

(㎠)，ＣＧ＝４㎝，ＰＨ＝３㎝，ＱＦ＝１㎝なので，

立体ＣＰＱ‐ＧＨＦの体積は，

３

２ × ４＋３＋１

３

＝４(㎤)である。

資料１６

三角柱を，底面と垂直な３本の辺を通るように切断してできる立体の体積は，

(底面積)×(底面と垂直な辺の長さの平均)で求めることができる。

その理由は，以下の通りである。

三角柱を，底面と垂直な３本の辺を通るように切断してできた立体ＩＪＫ‐ＬＭＮ について，右図のように，ＪＬ，ＪＮを引き，ＭからＮＬに対して，垂線ＭＯ を引く。三角すいＪ‐ＬＭＮと四角すいＪ‐ＩＬＮＫに分けて考える。

△ＬＭＮ＝ １

２ ×ＮＬ×ＭＯである。三角すいＪ‐ＬＭＮの体積は，

１

３×△ＬＭＮ×ＪＭ＝△ＬＭＮ×１

３×ＪＭ…① 四角すいＪ‐ＩＬＮＫの体積は，１

３×{１

２×(ＩＬ＋ＫＮ)×ＮＬ}×ＭＯ＝

１

２ ×ＮＬ×ＭＯ×

１

３×(ＩＬ＋ＫＮ)＝△ＬＭＮ×１

３×(ＩＬ＋ＫＮ)…② 立体ＩＪＫ‐ＬＭＮの体積は，①＋②より，

△ＬＭＮ×

１

３×ＪＭ＋△ＬＭＮ×１

３×(ＩＬ＋ＫＮ)＝△ＬＭＮ×１

３×(ＪＭ＋ＩＬ＋ＫＮ)である。

１

３×(ＪＭ＋ＩＬ＋ＫＮ)は底面と垂直な辺の長さの平均だから，三角柱を，底面と垂直な３本の辺 を通るように切断してできる立体の体積は，(底面積)×(底面と垂直な辺の長さの平均)で求める ことができる。ただし，この考え方は三角柱以外では使えないので注意すること。

Ｌ Ｉ

Ｍ Ｋ

Ｏ

Ｎ Ｊ

資料１６より，△ＧＨＦの面積と，３辺ＣＧ，ＰＨ，ＱＦの長さから立体ＣＰＱ‐ＧＨＦの 体積を求めることができる。

攻略へのアプローチ □

３

高校入試模擬テスト 第３回

1 / 7 １

⑴ 与式＝－15

21＋14 21＝－１

21

１ ⑵ 与式＝６＋２＝８

１ ⑶ 与式＝

７ｘ－４－４(ｘ－１)

８ ＝７ｘ－４－４ｘ＋４ ８ ＝３

８

ｘ

１ ⑷ 与式＝ｘ²＋２ｘｙ－{ｘ²－(３ｙ)²}＝ｘ²＋２ｘｙ－(ｘ²－９ｙ²)＝ｘ²＋２ｘｙ－ｘ²＋９ｙ²＝２ｘｙ＋９ｙ² １ ⑸ 与式＝２ ２＋３ ２－６ ２＝－ ２

２

⑴

２ ⑴

与式より，ｘ－４＝± ７

ｘ＝４± ７

１ ⑵ ａ㎝から 10ｘ㎝を引くと７㎝になったので，ａ－10ｘ＝７ １ ⑶

28ｎ＝ ２²×７×ｎ＝２ ７ｎであり，２ ７ｎが自然数になるｎの値は，７×ａ²(ａは自然 数)と表せる(このとき，２ ７ｎ＝２ ７×７×ａ²＝２×７×ａとなる)。このようなｎのうち最小 の数は，ａ＝１のときの，ｎ＝７×１²＝７

１ ⑷

ｙ＝ ａ

ｘ

にｘ＝３，ｙ＝２を代入すると，２＝ａ

３よりａ＝６となる。ｙ＝

６

ｘ

にｘ＝－１を代入すると，

ｙ＝

６

－１＝－６となるから，求める数は－６である。

３ ⑴

≪作図の手順≫ 資料１参照

１．∠ＸＯＹの二等分線を引き，この直線を ℓ とする。

２．点Ｂを通るような，直線 ℓ の垂線を引く。

３．２で引いた垂線と直線 ℓ との交点をＰとする。

⑵

円があって，角の大きさを求める問題では，主に以下の４つを利用して角度を求める。

１．円周角の定理…同じ弧(または等しい弧)に対する円周角は等しい。

２．円周角の定理…同じ弧に対する円周角と中心角の大きさの比は１：２である。

３．半円の弧に対する円周角は 90°である。

４．円の中心と円周上の２点を結んでできる三角形は二等辺三角形になる。

攻略へのアプローチ

７の平方根は

７と－ ７の２つあり，あわせて± ７と表記する。

攻略へのアプローチ

ａ²＝ａを利用して，

の中の数を簡単にしてからｎの値を考える。

攻略へのアプローチ

∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰだから，Ｐは∠ＸＯＹの二等分線上にある。こ の直線上の点で点Ｂとの距離が最も短い点は，点Ｂからこの直線に引 いた垂線との交点の位置にある。

攻略へのアプローチ

資料１

Ｙ

Ｘ Ｐ

Ｂ

Ｏ Ａ

ℓ

反比例の式はｙ＝

ａ

ｘ

またはｘｙ＝ａ(ａは比例定数)と表せる。このどちらかの式にｘとｙの値を 代入すると，比例定数ａが求められる。

攻略へのアプローチ

高校入試模擬テスト 第３回

2 / 7

２点Ｏ，Ｃを結ぶ(資料２参照)。

△ＯＡＣはＯＡ＝ＯＣの二等辺三角形だから，∠ＯＣＡ＝∠ＯＡＣ＝35°

△ＯＢＣはＯＢ＝ＯＣの二等辺三角形だから，∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝58°

したがって，∠ＡＣＢ＝58－35＝23(°)

中心角は，同じ弧に対する円周角の２倍の大きさだから，

∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ＝２×23＝46(°)

４ ⑴

資料３のように人数がわかるから，

２＋７＋３＋４＋５＋４＋３＋２＝30(人)

⑵

資料３より，２冊以下が２＋７＋３＝12(人)，３冊以 下が 12＋４＝16(人)だから，15 番目と 16 番目はとも

に３冊である。よって，中央値も３冊である。

⑶

１年１組の生徒で読んだ冊数が３冊以上の生徒の相対度数は，

４＋５＋４＋３＋２

30

＝0.6 である。

よって，求める人数をｘ人とすると，この中学校の生徒全体において

ｘ

200

＝0.6 だから，ｘ＝120 とな る。

５ ⑴

①において，ｘ＝－２のときｙ＝(－２)²＝４，ｘ＝０のときｙ＝０となる。よって，(ｘの増加量)＝

０－(－２)＝２，(ｙの増加量)＝０－４＝－４だから，求める変化の割合は，－４

２ ＝－２

①の式はｙ＝ｘ²＝１×ｘ²で，比例定数が１だから，求める変化の割合は，１×(－２＋０)＝－２

(変化の割合)＝ (ｙの増加量)

(ｘの増加量)

である。

攻略へのアプローチ □

^１

関数ｙ＝ｐｘ²において，ｘの値がｍからｎまで増加したときの変化の割合は，

(変化の割合)＝

(ｙの増加量)

(ｘの増加量)＝ｐｎ²－ｐｍ²

ｎ－ｍ ＝ｐ(ｎ²－ｍ²)

ｎ－ｍ ＝ｐ(ｎ＋ｍ)(ｎ－ｍ)

ｎ－ｍ ＝ｐ(ｍ＋ｎ) と表せることを利用する。

攻略へのアプローチ □

２

資料２

58° Ｏ Ｃ

Ｂ

Ａ 35°

０ １ ２ ３ ４ ５ 10

(人)

８ ６ ４ ２

７人

４人 ５人

４人 ２人

６ ７ (冊) ０

３人 ３人

２人

資料３

30 人の中央値は，30÷２＝15 より，少ない方 (または多い方)から

15 番目と 16 番目の冊数の平 均である。

攻略へのアプローチ

相対度数は全体に対する割合を表し，(ある階級の相対度数)＝

(その階級の度数)

(度数の合計)

である。

この問題では，

(３冊以上の生徒の度数)

(度数の合計)

から相対度数を求める。

攻略へのアプローチ

高校入試模擬テスト 第３回

3 / 7

⑵

ｙ＝ｘ²にＡのｘ座標のｘ＝－２を代入すると，ｙ＝(－２)²＝４となるから，Ａ(－２，４) ｙ＝ｘ²にＢのｘ座標のｘ＝３を代入すると，ｙ＝３²＝９となるから，Ｂ(３，９)

ｙ＝ｍｘ＋ｎにＡの座標を代入すると，４＝－２ｍ＋ｎ…㋐

ｙ＝ｍｘ＋ｎにＢの座標を代入すると，９＝３ｍ＋ｎ…㋑

㋑－㋐でｎを消去すると，９－４＝３ｍ＋２ｍ ５＝５ｍ

ｍ＝１

㋐にｍ＝１を代入すると，４＝－２＋ｎ

ｎ＝６ よって，求める式は，ｙ＝ｘ＋６

Ａ(－２，４)，Ｂ(３，９)だから，直線ℓの傾きは，

９－４

３－(－２)

＝１である。したがって，直線 ℓ の式をｙ＝ｘ＋ｎとおいてＡ(－２，４)の座標を代入すると，４＝－２＋ｎよりｎ＝６となるから，

直線 ℓ の式はｙ＝ｘ＋６である。

なお，直線 ℓ の傾きが１とわかったあとは以下のように考えることもできる。

直線 ℓ 上ではｘが１増えるとｙは１増えるとわかるから，Ａ(－２，４)からｘが２増えて０になると，

ｙは２増えて４＋２＝６になるので，直線 ℓ は点(０，６)を通る。よって，直線 ℓ の切片は６だから，

直線 ℓ の式はｙ＝ｘ＋６である。

①の式はｙ＝ｘ²＝１×ｘ²で，比例定数が１であり，２点Ａ，Ｂのｘ座標はそれぞれ－２，３だから，

直線ℓの傾きは，１×(－２＋３)＝１である。このあとの求め方は「攻略へのアプローチ

□

２」と同じ である。

直線の式はｙ＝ｍｘ＋ｎと表せる(ｍ，ｎは定数であり，どのような文字で表してもよい)。

２点Ａ，Ｂの座標をそれぞれｙ＝ｍｘ＋ｎに代入することでｍとｎの連立方程式ができるので，

それを解けばよい。

攻略へのアプローチ □

^１

２点(ｘ₁，ｙ₁)，(ｘ₂，ｙ₂)を通る直線の傾きはこの２点間の変化の割合と等しいから，

(ｙの増加量)

(ｘの増加量) ＝ ｙ₂－ｙ₁

ｘ₂－ｘ₁

で求められる。傾きとその直線上の１点の座標から，直線の切片を求める ことができる。

攻略へのアプローチ □

２

２点間の変化の割合とその２点を通る直線の傾きは等しいから，⑴の「攻略へのアプローチ

□

^２」を利用して直線 ℓ の傾きを求めることができる。

攻略へのアプローチ □

^３

高校入試模擬テスト 第３回

4 / 7

⑶

Ｃのｘ座標はＢのｘ座標と同じく３である。ｙ＝ａｘ²にｘ＝３を代入すると，ｙ＝ａ×３²＝９ａとな るから，Ｃ(３，９ａ)と表せる。

四角形ＢＣＤＥが長方形だから，Ｄはｙ軸についてＣと対称なので，Ｄ(－３，９ａ)と表せる。

したがって，ＤＣ＝(Ｃのｘ座標)－(Ｄのｘ座標)＝３－(－３)＝６

⑵よりＢ(３，９)だから，ＢＣ＝(Ｂのｙ座標)－(Ｃのｙ座標)＝９－９ａ

ＤＣ＝ＢＣより６＝９－９ａを解くと，ａ＝

１

３となる。

２ ⑷

直線ℓの式をｙ＝１

２

ｘ＋ｂとし，Ａ(－２，４)の座標を代入する

と，４＝１

２×(－２)＋ｂよりｂ＝５となる。

⑶よりＢ(３，９)，Ｄ(－３，９ａ)と表せるから，Ｍの座標は，

(

３＋(－３)

２ ，

９＋９ａ

２ )＝(０，

９＋９ａ

２ )と表せる。つまり，

Ｍはｙ軸上の点だから，Ｍが直線 ℓ の切片となるようなａの値を 求めればよい。直線 ℓ の切片は５だから，

９＋９ａ

２ ＝５を解く と，ａ＝１

９となる。

６ ⑴

ｘ＝３のとき２点Ｐ，Ｑは２×３＝６(㎝)進んでいるから，図は

資料６のようになる。よって，ｙ＝１

２×ＲＱ×ＡＰ＝１

２×６×６＝18

平行四辺形(正方形，長方形，ひし形を含む)の面積を２等分する直線は，２本の対角線の交点 を通る。平行四辺形の２本の対角線は互いの中点で交わるから，ＢＤの中点をＭとすると，直線

ℓ がＭを通るようなａの値を求めればよい(資料５参照)。２点(ｘ₁，ｙ₁)，(ｘ₂，ｙ₂)の中点の座標 は，(

ｘ₁＋ｘ₂

２

，

ｙ₁＋ｙ₂

２

)である。

なお，直線 ℓ の式は点Ａの座標と傾きによって決まる。ａの値が変化することでＣ，Ｄの座標が 変化し，それにともなってＭの座標が変化することになる。

攻略へのアプローチ

資料６

Ｃ

Ｐ Ｂ

Ａ Ｄ

Ｑ Ｒ

18 ㎝

８㎝

ｘ＝３のときの図をかいて２点Ｐ，Ｑの位置を確認する。

攻略へのアプローチ

②ｙ＝ａｘ²

①ｙ＝ｘ² ｙ Ｅ

Ｄ

Ｂ

Ｃ

資料５

Ｏ ｘ

Ａ

ℓ

Ｍ

②ｙ＝ａｘ²

①ｙ＝ｘ²

Ｏ ｙ

ｘ Ｅ

Ｄ Ｃ

Ｂ

資料４ 長方形ＢＣＤＥが正方形となるのは，縦の辺と横の辺の長

さが等しくなるときだから，ＤＣ＝ＢＣとなるときである。

ＤＣの長さは一定だから，ＢＣの長さをａの文字式で表し，

ａの方程式を立てて解けばよい(資料４参照)。

なお，ａの値が変化すると放物線②の開きぐあいが変化す る。それにともなって，ＣＤは長さが一定のまま上下に移動 し，ＢＣとＥＤの長さが変化する。

攻略へのアプローチ

高校入試模擬テスト 第３回

⑵

ＰはＡからＢまで 18÷２＝９( )で，ＱはＤからＡまで８÷２＝

４( )で，ＲはＤからＣまで 18÷３＝６( )で移動するから，Ｐ，Ｑ，

Ｒが動いている間のῇの変 はそれぞれ，０

ῇ

９，０

ῇ

４，

４

ῇ

10 である。したがって，資料７，８，９の３つの場合に けて 考える。

㸮ӌῇӌ㸲のとき，Ὲ㸻１

２×ＲＱ×ＡＰ＝１

２×２ῇ×２ῇ＝㸰ῇt 㸲ӌῇӌ㸷のとき，Ὲ㸻１

２×ＱＰ×ＤＡ＝１

２×２ῇ×８＝㸶ῇ 㸷ӌῇӌのとき，Ὲ㸻１

２×ＱＰ×ＤＡ＝１

２×18×８＝

また，Ὲ＝２ῇ²(０

ῇ

４)の は，点(０，０)，(１，２)，

(２，８)，(３，18)，(４，32)をなめらかにつないだ 線である。

Ὲ＝８ῇ(４ ῇ

９)の は，点(４，32)，(９， 2)を結んだ線 である。

Ὲ＝ 2(９ ῇ

10)の は，点(９， 2)，(10， 2)を結んだ線 である。

よって， は資料 1 のようになる。

⑶

⑵より，０

ῇ

４ ９

ῇ

10 のときにＡＰ＝ＣＲとなることは ないとわかるから，ῇの変 は，㸲ӌῇӌ㸷である。

㸿㹎㸻㸰ῇ㎝である。Ｒはῇ＝４のときに動き すから，ＤＲはＲが (ῇ－４) 間で動いた長さなので，ＤＲ＝３(ῇ－４)㎝である。

したがって，㹁㹐㸻ＤＣ－ＤＲ＝18－３(ῇ－４)＝㸫㸱ῇ㸩(㎝)

よって，㸿㹎㸻㹁㹐より㸰ῇ＝㸫㸱ῇ㸩を解くと，ῇ＝６となり，㸲ӌῇӌ㸷にあう。

ＡＣとＰＲの交点を とする。△ＡＰ と△ＣＲ におい て，∠Ａ Ｐ＝∠Ｃ Ｒ(対頂角)，∠ＰＡ ＝∠ＲＣ (平行 線の 角)だから，ࡘࡡ࡟ڹ㸿㹎㹑ңڹ㹁㹐㹑が成り立つ。

したがって，㹑ࡀ㸿㹁ࡢ୰Ⅼࡢ࡜ࡁ㸿㹑㸻㹁㹑ࡢ࡜ࡁ㸪 ڹ㸿㹎㹑Ӈڹ㹁㹐㹑となり，㸿㹎㸻㹁㹐となる(資料 11 参 照)。ＡＰとＣＲをそれぞれῇの式で表し，ῇの方程式を立てて 解く。

ᨷ␎࡬ࡢ࢔ࣉ࣮ࣟࢳ

３点Ｐ，Ｑ，Ｒそれぞれが動いているのは，点Ｐが してから から までかを ，ڹ㹎㹏㹐ࡢ㠃✚ࡢኚ໬ࡢࡋ࠿ࡓ࡟

ࡼࡗ࡚ሙྜࢆศࡅ࡚Ὲࢆῇࡢᘧ࡛⾲ࡍ。

ᨷ␎࡬ࡢ࢔ࣉ࣮ࣟࢳ

資料７

Ｃ

㹎 Ｂ Ａ

Ｄ

㹏 Ｒ

18 ㎝

８㎝

０ ῇ ４(ＰとＱが動いている)

資料９

Ｃ

Ｐ Ｂ Ａ

Ｄ

Ｑ

㹐

18 ㎝

８㎝

９ ῇ 10(Ｒだけが動いている)

資料８

Ｃ

㹎 Ｂ Ａ

Ｄ

Ｑ 㹐

18 ㎝

８㎝

４ ῇ ９(ＰとＲが動いている)

資料 1

Ὲ( ) 2 64 56 48 40

16 8 80

32 24

０ 2 16

8 32 24

０ ῇ( )

12 10 8 6 4

資料 11

Ｃ

Ｐ Ｂ Ａ

Ｄ

Ｑ Ｒ

18 ㎝

８㎝

高校入試模擬テスト 第３回

6 / 7 ７ ⑴

資料 12で○印をつけた辺は辺ＡＢと同一平面上にあるので除外する。

残りの辺のうち辺ＡＢと平行な辺はない。延長したときに直線ＡＢと交わる辺もない。

よって，辺ＡＢとねじれの位置にある辺は，辺ＣＦ，辺ＤＦ，辺ＥＦである。

⑵

ＦＰ＝(８－ｘ)㎝だから，ＤＥ²－ＥＰ²＝ＤＦ²－ＦＰ²より，７²－ｘ²＝９²－(８－ｘ)² これを解くとｘ＝２となるので，ＥＰ＝２㎝である。

⑶

ねじれの位置にある辺を見つけるときは，以下の手順によって消

去法で探せばよい。

① 同じ面上にある辺とは，交わるか平行であるかのどちらかな ので，ねじれの位置にはないため，同じ面上の辺は除外する。

②

残りの辺のうち平行の関係にある辺を除外する。

③

残りの辺のうち延長したときに交わる辺を除外する。

④ 残った辺がねじれの位置にある辺である。

攻略へのアプローチ

資料 12

Ｃ

Ｂ Ａ

Ｄ

Ｅ

Ｆ

三平方の定理より，ＤＰ²＝ＤＥ²－ＥＰ²，また，ＤＰ²＝ＤＦ²－ＦＰ²だから，

ＤＥ²－ＥＰ²＝ＤＦ²－ＦＰ²である。ＥＰ＝ｘとし，ｘの方程式を立てて解けば，ＥＰの長さを

求められる。

ＥＰの長さがわかれば，三平方の定理からＤＰの長さを求めることもできる。このように，三角

形の３辺の長さがわかっていれば，１つの頂点から向かいの辺に引いた垂線の長さを求めること ができ，垂線の長さがわかるということは面積を求めることもできるということである。いろい

ろな場面で利用することができる重要な解き方なので，必ず身につけよう。

攻略へのアプローチ

点Ｄから辺ＡＰに引いた垂線と辺ＡＰとの交点をＨとする(資料 13参照)。体積を求める立体は，底面の半径がＤＨで高さが ＨＡの円すいと，底面の半径がＤＨで高さがＨＰの円すいをあわ せた立体(資料 14参照)だから，その体積は，

１

３×ＤＨ²π×ＨＡ＋１

３×ＤＨ²π×ＨＰ＝

１

３×ＤＨ²π×(ＨＡ＋ＨＰ)＝

１

３ ×ＤＨ²π×ＡＰで求められる。

このように，底面が合同な２つの円すいをあわせた立体の体積

は， １

３ ×(底面積)×(高さの和)で求めることができる。

ＤＨの長さの求め方については，以下の３通りの方法がある。

攻略へのアプローチ

資料 13

Ａ

Ｈ

Ｄ Ｐ

６㎝

資料 14

Ｈ Ａ

Ｄ Ｐ

高さの和

高校入試模擬テスト 第３回

7 / 7

⑵より，ＤＰ＝ ＤＥ²－ＥＰ²＝ ７²－２²＝３ ５(㎝) 三平方の定理より，ＡＰ＝ ＡＤ²＋ＤＰ²＝ ６²＋45＝９(㎝)

△ＡＤＰ∽△ＡＨＤだからＰＤ：ＤＨ＝ＡＰ：ＡＤより，３ ５：ＤＨ＝９：６ ＤＨ＝２ ５(㎝)

よって，求める体積は，１

３×ＤＨ²π×ＡＰ＝１

３×(２ ５)²π×９＝60π(㎤)

ＤＰ＝３ ５㎝，ＡＰ＝９㎝だから，△ＡＤＰの面積について，１

２×ＤＰ×ＡＤ＝１

２×ＡＰ×ＤＨ より，１

２×３ ５×６＝１

２×９×ＤＨ

ＤＨ＝２ ５(㎝)

よって，求める体積は，１

３×ＤＨ²π×ＡＰ＝１

３×(２ ５)²π×９＝60π(㎤)

ＤＰ＝３ ５㎝，ＡＰ＝９㎝だから，ＨＡ＝ｙとすると，ＡＤ²－ＨＡ²＝ＤＰ²－ＨＰ²より，

６²－ｙ²＝(３ ５)²－(９－ｙ)² これを解くとｙ＝４となる。

三平方の定理より，ＤＨ＝ ＡＤ²－ＨＡ²＝ ６²－４²＝２ ５(㎝) よって，求める体積は，１

３×ＤＨ²π×ＡＰ＝１

３×(２ ５)²π×９＝60π(㎤)

△ＡＤＰ∽△ＡＨＤが成り立つことを利用して，ＤＨの長さを求めることができる。

攻略へのアプローチ □

^１

「攻略へのアプローチ

□

^１」のようにＤＰとＡＰの長さを求めたあとは，△ＡＤＰの面積につい

てのＤＨの方程式を解くことで，ＤＨの長さを求めることができる。

攻略へのアプローチ □

^２

「攻略へのアプローチ

□

^１」のようにＤＰとＡＰの長さを求めたあとは，⑵の「攻略へのアプロ ーチ」と同様にして，ＤＨの長さを求めることができる。

しかし，この方法は計算が複雑になりがちである。直角三角形の場合は，「攻略へのアプローチ

□

^１

」か「攻略へのアプローチ □

^２

」を利用して垂線の長さを求められるので，直角三角形ではな い場合のみ， 「攻略へのアプローチ □

^３

」を利用しよう。

攻略へのアプローチ □

^３

高校入試模擬テスト 第４回

1 / 6 １

⑴ 与式＝12－２＝10

１ ⑵ 与式＝３ｘ＋15ｙ－14ｘ＋12ｙ＝－11ｘ＋27ｙ １ ⑶ 与式＝９ａ²ｂ×

２

３ａｂ×ｂ＝６ａｂ

１ ⑷ 与式＝( ７)²－(２ ３)²＝７－12＝－５ １ ⑸ 与式＝

12 ６

６ －４ ６＝２ ６－４ ６＝－２ ６

２

⑴

与式＝ａ²＋{５＋(－３)}ａ＋５×(－３)＝(ａ＋５)(ａ－３)

１ ⑵

２次方程式の解の公式より，ｘ＝－５± ５²－４×２×１

２×２ ＝－５± 25－８

４ ＝－５± 17 ４

１ ⑶

ｙ＝ ａ

ｘ

にｘ＝－４，ｙ＝６を代入すると，６＝ ａ

－４よりａ＝－24 となる。ｙ＝－

24

ｘ

にｘ＝３を代入す ると，ｙ＝－24

３＝－８となるから，求める数は－８である。

１ ⑷

大小２個のさいころの目の出方は全部で６×６＝36(通り)ある。ｎは最 大で６×６＝36 であり，36 以下の平方数は，１²＝１，２²＝４，３²＝９，

４²＝16，５²＝25，６²＝36である。ｎがこれらの値になる出方は，資料１ の○印の８通りある。よって，求める確率は，

８

36＝２ ９

３

かけると－15，足すと２になる２数を探す。かけると－15 になる２つの整数の組み合わせは

限られるので，そちらを先に探すのがポイントである。

攻略へのアプローチ

ｘ²の係数が１ではない２次方程式を解くときは，２次方程式の解の公式を利用する。

２次方程式ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の解は，ｘ＝

－ｂ± ｂ²－４ａｃ ２ａ

攻略へのアプローチ

ｎが自然数となるのは，ｎが平方数(自然数を２乗してできる数)のときである。

攻略へのアプローチ

反比例の式はｙ＝

ａ

ｘ

またはｘｙ＝ａ(ａは比例定数)と表せる。このどちらかの式にｘとｙの値を 代入すると，比例定数ａが求められる。

攻略へのアプローチ

線分ＡＢは円Ｐの弦であり，円の中心は弦の垂直二等分線上にある。

したがって，線分ＡＢの垂直二等分線と辺ＢＣの交点をＰとする(資料２ 参照)。

攻略へのアプローチ

資料１

小 １ ２ ３ ４ ５ ６

大

１ ○ ○ ２ ○ ３ ○ ４ ○ ○

５ ○

６ ○

資料２

Ｃ Ａ

Ｂ Ｐ

高校入試模擬テスト 第４回

2 / 6

４ 「いろいろな関数」という分類の問題である。「いろいろな関数」の問題では，重さと郵便料金との関

係や，鉄道・タクシー・バスなどの乗車距離と料金との関係が扱われることが多い。「●はその点を含む ことを，○はその点を含まないことを」表すのはグラフのルールとして決まっていることなので，問題に そのことが書いていなくてもわかるようになろう。

⑴ ●と○の違いに注意してグラフをかくと，資料３のようになる。

⑵ 関数の定義をしっかりと覚えておくこと。「ｘの値が１つに決ま

るとｙの値が１つに決まるとき，ｙはｘの関数である」という定義

と照らし合わせて考えると，比例・反比例や１次関数では，ｙはｘ の関数であると同時にｘはｙの関数であるが，関数ｙ＝ａｘ²やこの 問題の関数では，ｙはｘの関数であるがｘはｙの関数ではないとわ かる(ｙの値が決まってもｘの値が１つには決まらない)。

⑶

送り方Ａだと，40÷７＝５余り５より，_㋐パンフレットが７部入った小さい封筒５つと，_㋑パンフ レットが５部入った小さい封筒１つに分けられる。表１，２より，㋐は１つ 47ｇだから 92 円，㋑は １つ 35ｇだから 92 円なので，送り方Ａの料金は，92×５＋92＝552(円)である。

また，表２からパンフレットは１部６ｇとわかるので，大きい封筒の重さは 19－６＝13(ｇ)とわか る。したがって，大きい封筒にパンフレットを 40 部入れると，13＋６×40＝253(ｇ)になるので，送 り方Ｂの料金は

380

円である。

よって，送り方Ｂの方が，552－380＝172(円)安い。

５ ⑴

バスは 20 秒後までに 120ｍ進んだから，平均の速さは，120÷20＝６(ｍ/秒)

⑵

ｘ＝15 のときまでにバスは

３

10×15²＝135

２(ｍ)進み，英太さんもこのとき同じ地点にいる。したがっ て，英太さんの速さは135

２÷15＝

９

２ (ｍ/秒)なので，ｘ＝20 のとき ９

２

×20＝90(ｍ)進んでいる。

よって，ｘ＝20 のとき，バスと英太さんは 120－90＝30(ｍ)離れている。

送り方Ｂの料金を計算するときは，封筒の重さとパンフレッ

トの重さを分けて考える。

攻略へのアプローチ

(平均の速さ)＝(進んだ道のりの合計)÷(かかった時間の合計)である。

バスの速さは出発してから 20 秒後までに変化している(次第に速くなっている)。移動の途中で 速さが変化していても，ある時点からある時点までの速さがおよそどのくらいかを表したもの が，平均の速さである。

攻略へのアプローチ

まず英太さんの速さを求めてから，20 秒後に英太さんがいる地点を求める。

攻略へのアプローチ

資料３

100

100 200 300 400 500 300

200 350 ｙ

250

150

50

0 0 ｘ

高校入試模擬テスト 第４回

3 / 6

⑶

バスが出発してから 20 秒後までに教子さんは３×(10＋20)＝90(ｍ)進むから，この時点で教子さ んとバスは 600－120－90＝390(ｍ)離れている。したがって，ｔ秒間で教子さんとバスが進む道のり の合計は

390ｍである。出発してから 20 秒後以降のバスの速さは，(600－120)÷(60－20)＝12(ｍ/秒)

だから，３ｔ＋12ｔ＝390となり，ｔ＝26 となる。よって，求める時間は，20＋26＝46(秒後)

20≦ｘ≦60 の範囲においてバスのグラフの式は

ｙ＝ａｘ＋ｂであり，点(20，120)を通るから，

120＝20ａ＋ｂ，点(60，600)を通るから，

600＝60ａ＋ｂが成り立つ。これらを連立方程式と して解くと，ａ＝12，ｂ＝－120 となるから，バス のグラフの式は，ｙ＝12ｘ－120…①である。

教子さんについても，バスがＰ地点を出発してから

ｘ秒後のＰ地点からの道のりをｙｍとすると，速さが

３ｍ/秒だからグラフの式はｙ＝－３ｘ＋ｃと表すこ

とができる。ｘ＝０のときｙ＝600－３×10＝570 となるから，教子さんのグラフの式は，

ｙ＝－３ｘ＋570…②である。

①，②を連立させてｙを消去すると，12ｘ－120＝－３ｘ＋570 15ｘ＝690

ｘ＝46 ｘ＝46 は 20≦ｘ≦60 を満たすから，求める時間は 46 秒後である。

６ ⑴

ＡＢ＝ ＢＤ²－ＡＤ²＝ 13²－12²＝５(㎝) これより，ＡＥ＝５－２＝３(㎝)

また，長方形の２本の対角線は互いの中点で交わるから，ＧはＡＣの中点である。このことと ＡＢ//ＧＨより，△ＡＥＣにおいて中点連結定理を利用できるので，ＧＨ＝１

２ＡＥ＝３ ２(㎝)

△ＢＥＦと△ＧＨＦの相似比はＢＥ：ＧＨ＝２：３

２＝４：３だから，ＥＦ：ＦＨ＝４：３

バスの速さが出発の 20 秒後から一定になるので，バスが出発してから 20 秒後の教子さんの

位置をまず調べる。そこからｔ秒後に教子さんとバスがすれちがうものとし，ｔについての方

程式を立てて解く。

攻略へのアプローチ □

^１

∠ＢＡＤ＝90°だから，三平方の定理より，ＡＢ＝ ＢＤ²－ＡＤ²

また，ＡＢ//ＧＨより△ＢＥＦ∽△ＧＨＦが成り立ち，ＥＦ：ＦＨはその相似比と等しい。

攻略へのアプローチ

15 20 60

ｘ

600

120

ｙ

Ｏ

教子さん

バス

①

② 資料４

教子さんとバスがすれちがうのは 20≦ｘ≦60 の範囲であることを確認したあとは，教子さん

のグラフとバスのグラフの式をそれぞれ求め，２つのグラフの交点のｘ座標を求めればよい(資 料４参照)。

攻略へのアプローチ □

２