（始業講演）ナッシュと弧空間のお話

(1)

（始業講演）ナッシュと弧空間のお話

石井志保子

（本稿はシミュレーション学会誌「シミュレーション」

2016

年

9

月号に掲載された「ナッシュ問題顛末記」をシミュレーション学会の許可を得て転載するものです）

1

．ナッシュの死

2015

年

5

月下旬に「ナッシュ問題と弧空間」についての集中講義のために名古屋大学のキャンパスを訪れた時，当大学の准教授から，ナッシュが亡くなったというニュースを知らされた．不運としか言いようのない交通事故だった．オスロでアーベル賞を受賞しその帰路に，自宅のあるニュージャージー州の空港から乗ったタクシーがガードレールに激突し，同乗していた妻のアリシアとともに亡くなったということだった．

86

歳だった．

インターネットは速い．事故の翌日には世界中にニュースは広まり，私のところにも何人かから「お悔やみ」のメールが届いた．その中に私の息子からの「お母さん，気を落とさないでね．」というメールもあり気恥ずかしい気持ちになった．確かに私は題名にナッシュの名前を入れた論文をいくつか書いており，私自身はナッシュに思い入れはあるが，個人的な知り合いではないのでお悔やみを受ける立場でもない．でもその優しさがありがたかった．

ナッシュの死は本当に残念なことであるが，もし事故で死ぬのが彼の運命であったのなら，「それがアーベル賞受賞前でなくて良かった」と思わざるを得ない．

彼はゲーム理論でノーベル経済学賞を受賞したので一般の人たちには経済

(2)

学者だと思われているようだが，ゲーム理論は彼のほんの一面で，数学においてはるかに素晴らしい業績をあげている．そして彼自身も数学で評価されることを真に望んでいたのだった．幸せの中での旅立ちだった．

2

．アーベル賞とフィールズ賞

アーベル賞は

2001

年にノルウェーで創設された数学の最高の賞の一つである．比較的新しい賞であり，長年数学の最高の賞とされてきたフィールズ賞とは性格が異なる．フィールズ賞は受賞時において

40

歳以下という年齢制限がある．これは数学という学問の性格上目覚ましい業績をあげるのが

アーベル賞授賞式でのナッシュの写真

(3)

40

歳前であることが多いため合理的な規則であるように思われる．しかし天才的数学者でも

4

年に一度の国際数学者会議（

ICM

）の授賞式に合わせて最高の業績が年齢的にもタイミング良く出せるとは限らない．また

40

歳以降にも目覚ましい活躍をする数学者もいる．このような人たちを評価すべきであるということで生まれた賞であると理解している．

ナッシュは文献の［

11

］

–

［

13

］にあるように

20

代後半から

30

代にかけて立て続けに，傑出した数学の論文を発表している．いずれも幾何学における画期的な結果である．内容的にも年齢的にもフィールズ賞を受賞しても不思議はない．本人もフィールズ賞を意識していたらしい．しかしなぜか受賞しなかった．ナッシュのあまりにも攻撃的な性格が災いしたのかもしれないと勘ぐることはできるが，上記［

13

］の“

The imbedding problem for Riemannian manifolds

”を発表したのがまだ

28

歳である．もう少し待って次の

ICM

^でも良いのではないかとフィールズ賞選考委員会が考えたとしても不思議はないだろう．しかし「次」は来ることはなかった．

3

．奇妙な論文

ナッシュは

31

歳で統合失調症を発症した．精神病院への入退院を繰り返しながら，精神状態が安定している時に幾つかの論文を書いた．

36

歳の時に［

14

］を出版している．また

39

歳の時に本稿のテーマである論文“

Arc structure of singularities

”を書き上げ，翌年

1968

年にプリンストン大学のファインホール図書館に「提出」している．そしてそれはプレプリントのままコピーされ世界中の数学者の目にするところとなり，多く論文に引用された．文献表にはこの論文の題名と，“

submitted to Fine Hall Library 1968

” と出典が記されている．現代の数学者にとって，これはなんとも不思議な記述である．論文を図書館に提出することが当時は意味を持っていたのだろうか，

“

Publish or Perish

”のスローガンの下，早くたくさんの良い論文を出版することが科学界でのキャリアパスのために最重要であるという認識はすでに

(4)

始まっていたはずである．学術誌に投稿しないで図書館に提出するとは通常の行動ではない．「図書館に提出」についてはのちに述べるが，出版されなかったことについては次のような憶測が自然であろう：

野心家のナッシュは当然どこかのジャーナルにこの論文を投稿した．しかしレフェリーからの要請で修正をしなければならなくなった．その時運悪く病状の悪化のため対応ができなくなり，論文はそのまま放置されることになった…と．

どのジャーナルに投稿したのか，あるいは本当に投稿したのか，ナッシュ亡き今となっては知る由も無い．

その後彼は病気のために数学的には不毛の

30

年を過ごした．そして精神医学的には極めて興味深い，「統合失調症の寛解」の状態に至ったのである．

統合失調症は完治することはないと言われている．ナッシュの場合も完治ではなくて，症状が安定し通常の生活ができるレベルの「寛解」ということになっている．しかしなぜそのような状態になったのかは謎が多い．

1994

年，ナッシュ

66

歳の時にゲーム理論の功績でノーベル経済学賞を受賞することになった．この受賞記念の講演会で大勢の聴衆を前に講演をするまでに回復したのだった．

1995

年には彼のノーベル賞受賞を記念して

Duke Mathematical Journal

がナッシュ記念号を出版し，その中にファインホールに「提出」した

“

Arc structure of singularities

”も掲載されることになった（［

15

］）．

2002

年にはナッシュの同僚だった数学者ハロルド・クーンと科学ジャーナリストのシルビア・ナサー監修による“

The essential John Nash

”（邦題：「ナッシュは何を見たか」［

17

］）が刊行された．その中にナッシュ自身の「自伝」が掲載されている．短いが極めて興味深いものである．

彼は自身の統合失調症の最中にある状態を冷静に記述し，その妄想を自分の理性の力で「拒否するようになった」ことで症状を克服して行ったことが淡々と語られている．

(5)

4

．ナッシュ問題

ファインホールに提出された，くだんの論文はその他にも奇妙な点が多い．題名も誤解を招きやすい．“

Arc structure of singularities

”をそのまま読むと，特異点（あるいは特異点集合）が「弧」のような構造を持っているという意味になる．しかし論文の内容は「特異点を通る『弧』全体の集合の構造」について述べているのだ．（後で述べるが『弧』とは長さのない微小な曲線のことである．）

また本文も通常とは変わっている．定義，補題，命題，定理，と趣旨の明確なフレーズに区切られてはいない．エッセイのように頭に浮かんだままを文章にしているようで，どこまでが定義でどこまでが主張なのか分かりづらい．このような書き方は彼の病気と関係があるのかもしれないが，精神医学の専門家の意見を伺いたいところだ．この書き方のせいで「何が書いてあるのかわからなかった」という数学者もいる．

しかし実際のところ彼はこの論文で，特異点を通る弧全体を考え，その既約な族と，特異点解消に出てくる例外因子の本質的なものとが

1

対

1

に対応する，ということを予想しているのだ．そして

2

次元の

A

n型特異点では実際にその通りに対応していることを例として示している．しかしそれ以外の場合には

2

次元であってもその答えは不明である．これはナッシュ問題と呼ばれるようになった．

5

．弧空間

この論文はもう一つの重要な意味がある．多様体の上の弧全体の集合を幾何学的対象として捉えるという視点である．（数学に詳しい人であれば「モジュライ空間として捉えるという視点」といえばわかりやすいであろう）「多様体上の弧」という概念はニュートンの頃からあった．これは多様体上の曲線をある点の近傍で

1

変数の級数で表現したものである．（図

2

参照）

しかしナッシュはさらに現代的な視点―「弧全体の集合を多様体とみなしてその幾何学的構造に注目する」という視点―を持ち込んだのである．

(6)

弧全体の集合を多様体とみなしたものを「弧空間」と呼ぶ．この弧空間は非特異な多様体と特異点を持つ多様体では，構造が違ってくる．

ナッシュのプレプリントは多くの人の興味を引き，弧空間や弧について研究する人が現れてきた．不思議なことにアメリカではあまり興味を持たれず，主にヨーロッパで研究されることとなった．中でもフランスの女性数学ニュートンの論文［

18

］：平面上の原点の近傍で曲線を１変数の級数で近似している

(7)

者モニーク・レジュン・ジャラベールが

2

次元の特異点と弧に関する研究を精力的に続けていた（［

10

］）．これらは

2

次元のナッシュ問題の解決に向けての基礎作りになった．そして

1995

年，ちょうどナッシュのプレプリントが

Duke Mathematical Journal

に出版された年，モニークの学生であったスペイン人研究者アナ・レゲエラが

2

次元単純特異点についてナッシュ問題を肯定的に解いた（［

20

］）．

2

次元という次元の条件付きでさらに単純特異点という限られた対象であったが，これがナッシュ問題に正面から取り組んだ最初の論文だと言える．（ナッシュ問題に関する数学的解説書は［

8

］を参照されたい．）

またこの年は別の意味でも記念すべき年になった．フィールズ賞受賞者のマキシム・コンツェビッチがこの年の

12

月

7

日にオルセー（のどこかの研究所）で講演をし，その中で弧空間の上でモチビック・インテグレーションを導入し，それを使って双有理同値なカラビ

–

ヤウ多様体のホッジ数は同じであるという結果を紹介した（［

9

］）．当時はフィールズ賞受賞者の一人森重文の

3

次元の極小モデル問題の解決に触発されて，双有理幾何学が急速に発展していた時期である．このような「ホッジ数の双有理不変性」は双有理幾何学的な手法で証明するというのが通常のやり方であろうが，全く想像もつかない弧空間を用いての解決である．その手法の独創性に聴衆は驚いたに違いない．この講演の内容はコンツェビッチ自身によって出版されることはなかったが，その後ベルギーのヤン・デネフとフランスのフランソワ・レゼールのコンビにより，弧空間の構造やモチビック・インテグレーションの理論が整備発展させられ（［

5

］），多くの研究者がこの理論にアクセスできるようになった．ちなみに筆者が初めて弧空間を知ったのは

2000

年にイギリスのニュートン研究所でヤン・デネフの講演を聴いた時であった．その時その独創性にいたく感動し，自分もこの分野で何か仕事をしたい，と切に願ったものである．

(8)

6

．高次元ナッシュ問題

ナッシュ問題は次元に関係なく提起されたものである．従ってこの問題は任意次元の多様体について考えることができる．しかし

2000

年の時点ではこの問題の研究者はほとんど

2

次元の場合しか考えていないようだった．

これには

2

次元特有の理由がある．

2

次元の多様体上の特異点は最小特異点解消というものが存在し，本質的因子は最小特異点解消の上に現れる因子そのものだということである．

3

次元以上になると最小特異点解消は一般には存在せず，本質的因子がとらえにくくなる．多くの研究者は

2

次元の場合が最も易しいと考えているようだった．その上

2

次元特異点には

1960

年代からの知見の蓄積がある．

しかし筆者は

2

次元多様体上の特異点について特に造詣が深いわけではないことが幸いし，最初から任意次元でこの問題にトライしたのだった．そして次元に関係なくトーリック多様体の範疇ではナッシュ問題が肯定的であるという感触を得た．ナッシュの例

A

n特異点もトーリック多様体の範疇に入る．しかしトーリックでない場合はいろいろな美しい性質が崩れるため，

微妙なところを突けば反例ができるのではないかと思った．プリンストン大学のヤーノシュ・コラーとの共同研究が始まり，

2003

年には共著で「任意次元のトーリック多様体においてはナッシュ問題が肯定的に解決され，一般には

4

次元以上で反例が存在する」という結果を

Duke Mathematical Jour-

nal

に掲載することができた（［

7

］）．反例が

4

次元以上となっているのは

4

次元の多様体の特異点解消に出てくる因子は

3

次元であり，

3

次元多様体の中には有理曲線で覆われるにもかかわらず有理的でないという有名な例が存在する．反例にはこの微妙な例を使うからである．これを使うのはコラーのアイデアであった．またこのジャーナルに投稿するということは彼の強い希望であった．ナッシュの論文が掲載されたジャーナルだというのが理由である．これによりトーリック多様体の範疇では任意次元で肯定的ではあるものの

4

次元以上の多様体ではナッシュ問題は一般には否定的に解決されたことになる．一方

2, 3

次元では一般にはまだ答えは分からない．

(9)

この論文はナッシュ問題の研究者たちにとって衝撃であったらしい．後でアナ・レゲエラに聞いたところによるとひどくショックを受けたということだった．それまではほとんどの研究者は

2

次元でしかこの問題を考えてこなかったし，この問題は肯定的に解けるものだと楽観視していた．そこへこの反例である．

2

次元の場合もひょっとしたら否定的なのかもしれないという疑いの気持ちが湧いてきた．これ以後

2

次元多様体のナッシュ問題は，なんらかの条件のもとで肯定的に解決されるという結果が幾つか出てきた．以前よりも活発に研究が進んだようである．

7

．セダーノへ

2008

年の

2

月のスペインの小村セダーノで代数幾何学の最新のトピックスを博士課程の学生に紹介するためのワークショップがあり，そこで弧空間とナッシュ問題の連続講義をすることになった．

まずマドリッド大学のセミナーで講演し翌日マドリッドから参加する教授や学生さんたちと一緒に車に分乗して

300

キロほど北のセダーノに向かった．

同乗していた学生や教師たちは毎年このワークショップに出席しているらしく，毎回途中にある僧院で尼さんが作るクッキーを買い，その先のレストランで昼食をとるというのが，「お決まり」なのだそうだ．日本の代数幾何学のシンポジウムでも毎年同じ場所で開催されるものがある．この参加者は毎年好みの食堂へ行き，「お決まり」の地元メニューを堪能し，情報交換をしている．このような形の研究集会はどこの国でも必要なのだろう．

筆者にとってスペインはその時が初めてだったので，全てが物珍しかった．レストランで生まれて初めて血で作ったプリンを食べたが，コクがあってとても美味しかった．同席したメンバーは私と同じ代数幾何学の学生や先生がほとんどだったが，中に位相幾何学の准教授ハビア・フェルナンデス・

ド・ボバディラと彼の博士課程の学生でスペイン美人のマリア・ぺもいた．指導教員がやたら長い名前である一方で学生の方が極端に短い名前（特

(10)

に姓が

Pe

）であることが仲間うちで面白がられているとのことだった．ただ私とは専門が違うせいかこの二人とはあまり話が盛り上がらなかったように記憶している．彼らの存在がその後大きな意味を持つことになるとは，この時点では想像ができなかった．

8

．スペイン時間とお昼の散歩

スペインの食事時間はひどく遅い．セダーノのワークショップでも朝ごはんが

8

時半頃というのはいいとして，昼食が午後

3

時，昼食後のお昼休みが

5

時まで，それから午後（？）の講演があり，お茶の時間を挟み，夕食が

9

時半，その後で夜のセッションがあるというスケジュールだ．「夕食が

9

時半！」と言って驚いていると主催者は，「外国からの参加者のためにこれでも通常より早めているのだ」と言っていた．

筆者の連続講義は

4

日に分けて行われ，そのほかに

2

つの連続講義と参加学生の発表のセッションもある盛りだくさんのプログラムだった．ほとんどの参加者にとって弧空間やナッシュ問題は目新しいものであったらしく，

講義中は多くのナイーブな質問が出た．そしてお昼休みの時間は毎回周りの小高い丘を散歩し若い参加者にナッシュ問題の詳しい説明をした日もあり，

また道端の香りのあるいろいろな草を説明してもらったりした日もあった．

最後の講義では，「以上のように

2

次元と

3

次元ではまだナッシュ問題は解決されていません．皆さんの中からこれにチャレンジし解決される人が出てくることを期待します．」と言って締めくくった．

9

．

2

次元ナッシュ問題

その翌年

9

月にドイツのオーバーボルファッハ数学研究所で催された研究集会でボバディラと会った時彼は「

2

次元のナッシュ問題を考えているんだ」と話していた．位相幾何学的アプローチが有効ではないかと思っているとのことだった．「さもありなん」と思ったのがその時の感想だった．筆者ももちろん

2

次元のナッシュ問題を考えていた．しかしどうにもうまくい

(11)

かず，代数幾何学的な常識では歯が立たないのではないかという感触を得ていた．通常代数幾何学では

2

次元の場合には古くからの研究の蓄積があり，

新しい知見はそれらをうまく使って得られることが多い．しかしナッシュ問題の場合は勝手が違っている．既存の蓄積は役に立たないのだ．実際，代数幾何学的には研究し尽くされているはずの

2

次元の有理

2

重点に限定してもこの問題の答えはこの時点ではわかっていなかったのだ．別の分野の知見を使うというのはいい考えかもしれないと思った．

筆者はもっとこの問題に執着してもよかったかもしれないが，弧空間では別の魅力的な問題が手招きしていた．ミシガン大学のミルチア・ムスタツァやイリノイ大学のローレンス・アインが完全交差多様体の「逆同伴定理」という代数幾何学での強力な定理を，弧空間を用いて証明していた［

6

］．これも弧空間の驚くべき応用の一つである．この方向で何かできそうな気がしていたのだった．

その翌年プレプリントサーバーにはボバディラの「ナッシュ問題は位相的な問題である」という題名の論文が掲載された．着々と研究は進んでいるようだった．また彼の学生のマリア・ぺ（正確にはマリア・ぺ・ペレイラ）

は

2

次元の商特異点についてはナッシュ問題が肯定的に解決できるという結果を出していた［

19

］．そして翌年

2011

年プレプリントサーバーにはボバディラとマリアの最終結果「

2

次元のナッシュ問題の肯定的解決」が掲載された．

その年に日本で開催された日仏特異点シンポジウムに出席したボバディラはシンポジウム後

1

週間筆者の大学に滞在することを希望し，毎日筆者を相手に位相幾何学を使った

2

次元ナッシュ問題に関する彼らの結果の詳しい説明をしてくれた．使っている位相幾何学については筆者のセンスは十分とは言えないのだが証明のストーリーは合理的だった．この当時は上記の

「

2

次元ナッシュ問題の解決」も「ナッシュ問題は位相的な問題である」さえもジャーナルに投稿はされていたもののまだ正式な受理はなされていない状況であった．ボバディラはレフェリーになりそうな人に，正確に自分の研

(12)

究を理解してもらいたいと考えたのだろう．「来週はプリンストンのコラーに会いに行って説明するのだ」と言っていた．これらの論文を審査するには代数幾何と位相幾何学にまたがる深い知識が必要である．査読には時間がかかると思われた．

しかし

2012

年ついに上記

2

編の論文が掲載される（［

1

］

,

［

2

］）やいなや，

二人は脚光を浴び，色々な研究集会に招待講演を依頼された．マドリッド大学の准教授だったボバディラは幾つかの教授のポストのオファーを受け，

もっとも研究環境の恵まれたバスク応用数学研究所（

BCAM

）の教授の職に就いた．マリアはスペインの目覚ましい業績を上げた若い研究者に授与されるドゥ・フランシア賞（

José Luis Rubio de Francia Prize

）を受賞した．

親しくなったボバディラと語り合っていた時に彼が言うには，実はセダーノでの筆者の講義で初めてナッシュ問題を知ったそうである．そしてすぐに

「これはいけそうだ」と感じたという．お昼休みの散歩の時間には一人で山を歩きながら考え「うん，うん，いけそうだ」という感触を強く持ったということである．

セダーノでの筆者の講義の締めくくりの言葉は実現した．本当に聴衆の中からナッシュ問題の残っているところを解決する人が出てきたのだ．少なくとも

2

次元の場合には．．

10

．

3

次元ナッシュ問題

残る

3

次元の場合にはユタ大学のトマソ・ドゥ・フェルネが反例を構成し，ナッシュ問題は完全解決となった．

2003

年のコラーと筆者による

4

次元の反例を綿密に検証し似た状況を

3

次元で作り出したのであった．

2013

年にプレプリントサーバーに掲載されたのであるが，筆者はそれまで彼がその問題に挑戦しているとは知らなかった．彼はボバディラとは違い，いわば

「身内」でローレンス・アインと筆者の

3

人で特異点を持つ多様体上の弧空間の部分集合と附値との関係を記述した論文を出版したのが

2008

年［

4

］，

その後

2009

年から局所的弧空間が特異点を決定するか，という問題にチャ

(13)

レンジしつつまだ解決に至っていない．時々シカゴに

3

人集合しては再チャレンジし，問題を

2

次元空間内の

0

次元多様体の場合にまで帰着したのだが未だに解決せず，この挑戦は続行中だ．

また

2

次元のナッシュ問題が決着を迎えつつある頃，筆者がムスタツァ

–

アインの「逆同伴定理」に触発されて，どんな特異点でも「逆同伴定理」が成立するように不変数を決め直し，その不変数で特異点の世界を見直す，という論文を書いた．このときほぼ同時にドゥ・フェルネはポスドクのロイ・

ドカンポとともに同様の論文を筆者とは独立に書いていたのだった．

同じことを双方独立に考えてしまうような身内に

3

次元の場合を「してやられた」とも言える．しかし問題を一人で抱え込んでしまうより，多くの人が「寄ってたかって」チャレンジするというのが数学の好ましい発展の仕方だろう．

11

．ビューティフルマインド̶著作と映画と

本稿でのナッシュについての記述の多くはシルビア・ナサー著の「ビューティフルマインド」［

16

］から得たものに基づいている．この本はナッシュの半生を描いたものであるが題名とは裏腹にナッシュの攻撃的な性格や強すぎる自尊心，教養あるアメリカ人なら許容しないであろう非家庭的な行動そして病気の様子が冷徹なほどに克明に描かれている．日本での翻訳本の出版が

2002

年である．本人の存命中によくこのような著作を出版できたと感心したものである．また，なぜ題名をビューティフルマインド（原題：

Beau-

tiful Mind

）にしたのかもよくわからなかった．少なくともこの本の中の

ナッシュはビューティフルではない．本を売るための戦略で，勘違いして買う人を期待してつけた題名かと勘ぐる人もあるかもしれない．ちなみに筆者が今年の

5

月にプリンストン大学での研究集会に参加したおり，ナッシュの同僚だった，ロバート・ガニングにお会いすることができた．筆者が学生のころ読んだテキストの著者であり複素解析の世界のビッグネームである．

85

歳の今もプリンストン大学の教授を務め，研究だけでなく学生の教育に

(14)

も携わっている．早口で明快な話し方をする人だ．「『え？ガニング先生まだ生きているの？』と言われるんだよ」と楽しそうに話していた．彼に「どうしてビューティフルマインドという題名をつけたのだと思いますか？」と訊いたら，「病気によって隠されてしまったナッシュのビューティフルなマインドをナサーは表現したかったのだと私は思う」と話しておられた．ついでに彼に「論文をファインホールに提出」の謎も訊いてみたところ，当時の数学科の図書館（ファインホールビルディングにあった）の司書のケニーさんという女性の発案で，プリンストンの研究者の出来立ての論文を図書館に集め，誰でもが見られるようにして研究の便宜を図ったのだという．のちのプレプリントシリーズに当たるものである．なんらかの権限のあるものではないが，正式の出版までの空白の時間が埋められ研究に資するものだ．何より

“

Arc structure of singularities

”はファインホールに提出されなければ

30

年間人目に触れなかったはずだ．

ナッシュの頃のファインホール．これが数学科の建物だった．今では数学科は高層のビルに移動し，それがファインホールと呼ばれている．

(15)

一方この本の中で印象深かったのは，ナッシュが統合失調症の症状で幽霊のようにプリンストン大学の数学科のある建物をさまよい歩くのを多くの人が目にしていながら，排除しなかったことである．「壊れてしまった人間」

として多くの人々が関わり合いを避けた一方で，彼の業績や才能を大切に思う人々によって彼の自由は支えられてきたのだ．そしてそのような人たちが骨を折って彼のノーベル賞受賞，アーベル賞受賞にまでこぎつけたのである．受賞というものは良い業績を理解し，支え，骨折りを厭わない人がいて初めて実現する．

映画の「ビューティフルマインド」を鑑賞した人は著作を読んだ人より多いかもしれない．映画はハリウッドらしく，美しいものになっていた．映画の冒頭の部分で，学生のナッシュが，なんらかの用があって教授専用のレストランに入り，そこで印象的な場面を目撃する．ある高名な学者らしい人物が食事をしていることに気がついた何人かの教授がそばへ行って次々に自分の万年筆をテーブルの上に置くのだった．何も説明はなかったがそれが尊敬の表現であることは，映画の観客にも理解できた．それを若きナッシュが憧憬の目つきでじっと見つめる．それから映画の中で多くの波乱の時を経て，

ノーベル賞を受賞したナッシュが同じレストランの席につくと，気がついた何人かの教授たちが近寄ってきて恭しく自分の万年筆をナッシュのテーブルにおくのだった．胸が熱くなる場面である．

この万年筆イベントも長年疑問に思っていたことなので，ガニングにお会いした時にプリンストンの伝統なのかと聞いてみた．彼は笑いながら，「いろんな人に訊かれるんだよ．でもこれは全くのフィクションでね．映画を盛り上げるために作り上げたんだね．だって万年筆をそんなにもらったら困るよね」

12

．ナッシュの残したもの

結果的にナッシュ問題は

2

次元の場合にのみ肯定的に解決され，

3

次元以上では一般には成立しない．ただしトーリック多様体の範疇に限れば任意の

(16)

次元で肯定的な答えが得られる，ということになった．全面的に肯定的な答えが得られなかったということはこの問題がつまらない問題だったということではない．

ある場合には成立し，ある場合には成立しないというのはとても微妙なところをついた問題だったのだ．そうして「ナッシュ問題が肯定的であるような特異点」という視点も導かれる．これはこれまでのどのような視点とも異なっている．また何よりもナッシュ問題は，特異点を通る弧と双有理幾何学の橋渡しをした最初の問題という重要な役割があるのだ．ナッシュの論文以後ムスタツァ，アインらにより双有理幾何学に弧空間を用いるという大きな流れもできた．

筆者も現在この流れの中で新しい不変数を使った理論を進める上で，弧空間が極めて有効に使えると思っている．野心は大きい．しかし数学の常であるが，狙った方向が必ずうまくいくとは限らない．人生もそうである．努力は報われるとは限らない．目覚めない方が良かったと思う朝もある．このような日々の中でふとシルビア・ナサーが言いたかったのは，たとえナッシュのように人格が壊れていても，生活が破綻していても，「ひたむきに数学を考えることは美しい」ということだったのだろうか，と思うようになった．

いやそう思いたいのかもしれない．

（文中敬称略）

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1956

^）

20–63.

［

14

^］

J. F. Nash,

^“

Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data

”

Annals of Math. 84

（

1966

）

, 345–355

［

15

］

J. F. Nash,

“

Arc structure of singularities

”

Duke Math. J. 81,

（

1995

）

31–38.

［

16

^］シルビア・ナサー著，塩川優訳『ビューティフルマインド』新潮社（

2002

^）

［

17

^］ハロルド・クーン，シルビア・ナサー監修，落合卓四郎，松島斉訳『ナッシュは何を見たか』シュプリンガー・フェアラーク東京（

2005

）

［

18

］

I. Newton: Méthode des Fluxions et des Suites Infinies, Librairie Scientifique Albert Blanchard,

^（

1966

^）^復刻版

［

19

^］

M. Pe Pereira: The Nash problem for quotient surface singularities J. London Math. Society, 87

（

2013

）

177–203

［

20

］

（始業講演）ナッシュと弧空間のお話