解答例 ２次数学セレクション

© 㟁㏦ᩘᏛ⯋ 㸫1㸫

㸯 >஑ᕞ኱@

(1) 0f(x) ࡼࡾ, 0

2 1 2 1

sinx   ,

2 1 2 1 sinx  ,

2 1 2 1 sinx 

ࡍࡿ࡜, sinx1, sinx0࠿ࡽ, ӌxӌ࡟࠾࠸࡚, 2





x , 0 ,  (2)

2 1 2 1 sin )

(x  x 

g ࡜࠾ࡃ࡜,

(i)

6

 ӌxӌ

 , ӌxӌ 6

5

ࡢ࡜ࡁ x x sinx 2

1 2 1 sin )

(    

g

(ii)  

6 5

6ӌxӌ ࡢ࡜ࡁ

2 1 2 1 sin )

(x  x 

g

1 sin   x

ࡼ ࡗ ࡚, )yg(x ࡢ ࢢ ࣛ ࣇ ࡢ ᴫ ᙧ ࡣྑᅗࡢࡼ࠺࡟࡞ࡿࠋ

ࡍࡿ࡜, f(x) g(x) ࠿ࡽ, )

( ) (x g x

f  (g(x)Ӎ0) )

( )

(x g x

f  (g(x)ӌ0) ࡼ ࡗ ࡚, )y f(x ࡢ ࢢ ࣛ ࣇ ࡢ ᴫ ᙧ ࡣྑᅗࡢࡼ࠺࡟࡞ࡿࠋ

(3) ࡲࡎ,

6

0ӌxӌ ࡢ࡜ࡁf(x)sinx,

2

6 

 ӌxӌ ࡢ࡜ࡁ f(x)sinx1

ࡲࡓ,





2



  x

y f ࡢࢢࣛࣇࡣ, )y f(x ࡢࢢࣛࣇࢆ x ㍈᪉ྥ࡟ 2

 ࡔࡅᖹ⾜⛣

ື ࡋ ࡓ ࡶ ࡢ ࡛ ࠶ ࡾ,

2

0ӌxӌ ࡟ ࠾ ࠸ ࡚ ࡣ,



x





x



cosx 2

sin

2   

 

f ࡜ ࡞ ࡿ ࠋ

(i)

6

0ӌaӌ ࡢ࡜ࡁ



x



a

dx x x a

F a 2 a₀ 2

0 2sin

1 sin

2 1 cos

sin )

( 



 

(ii)

2

6 

 ӌaӌ ࡢ࡜ࡁ





  

 x xdx a x xdx a

F

6 6

0 sin cos ( sin 1)cos )

( _





 

a



a

x x

6 6

2

sin sin

2 1 8 1

  









_sin 1₂

4 1 sin 2 1 8

1_ 2 _{  }

 a a

4 1 sin sin

2

1 2 _{ }



 a a

㹙ゎㄝ㹛

⤯ᑐ್ࡘࡁࡢ㛵ᩘࡢࢢࣛࣇࢆᥥࡃၥ㢟࡛ࡍࠋ୎ᑀ࡞ሙྜศࡅࡀࡍ࡭࡚࡛ࡍࠋ

2

 

2

1



2



6

 _

6 5 

 

y

x 1

O

2

 

2 1

2



6

 _

6 5



 

y

x 1

© 㟁㏦ᩘᏛ⯋ 㸫2㸫

㸰 >ᮾி኱@

(1) x㸼0ࡢ࡜ࡁ,

1 ) 3 ( 12 ) ( 2 3    _xx x

e e e x

f ࡟ᑐࡋ࡚,

2 2 2 3 2 3 ) 1 ( ) 2 )( 3 ( 12 ) 1 )( 3 3 ( 12 ) (     

 x x x _x x x x

e e e e e e e x

f _{2 2}

5 ) 1 ( ) 3 ( 12   x x x e e e

ࡍࡿ࡜, 0f(x)㸼 ࡼࡾ, )f(x ࡣ༢ㄪ࡟ቑຍࡍࡿࠋ

ࡇࡇ࡛, 

  _   1 ) 3 ( 12 lim ) ( lim ₂ 3 0 0 x x x x x _e e e x

f 㸫҄

     _        x x x x x x x x x _e e e e e e

x _{2 2}

3 1 ) 3 ( 12 lim 1 ) 3 ( 12 lim ) (

lim f ҄

௨ୖࡼࡾ, x㸼0࡟࠾࠸࡚, ௵ពࡢᐇᩘa࡟ᑐࡋ࡚, f(x)a࡜࡞ࡿxࡀࡓࡔ1ࡘ Ꮡᅾࡍࡿࠋ

(2) ࡲࡎ, )x f(t ࡜࠾ࡃ࡜, (t)

dt dx _{ f}

࡜࡞ࡿࠋ

ࡲࡓ, 8f(t) ࡜ࡍࡿ࡜, 8 1 ) 3 ( 12 2 3   t t t e e e ࡜࡞ࡾ, 0 2 9 2

3e3t e2t et  , 0(et 2)(3e2t 4et1) ࡇࡇ࡛, t㸼0ࡼࡾ 㸼1

t

e ࡜࡞ࡾ, 2

t

e , tlog2࡛࠶ࡿࠋ

ྠᵝ࡟, 27f(t) ࡜ࡍࡿ࡜, 27 1 ) 3 ( 12 2 3   t t t e e e ࡜࡞ࡾ, 0 9 12 9

4e3t  e2t et  , 0(et 3)(4e2t3et3) 1

㸼 t

e ࠿ࡽ, 3

t

e , tlog3࡛࠶ࡿࠋ

ࡼࡗ࡚,







 



 3 log 2 log 3 log 2 log 27

8 g(x)dx g( f(t)) f (t)dt tf (t)dt 









log3

2 log 3 log

2

log ( ) )

(t t dt

t f f

    



log3

2 log ( ) ) 2 log ( 2 log ) 3 log ( 3

log f f f t dt



 



 log3

2 log 2 2 1 ) 3 ( 12 2 log 8 3 log 27 dt e e e t t t

ࡉ ࡚, t

e

u ࡜ ࠾ ࡃ ࡜,

t

e dt du _

࡛ ࠶ ࡾ, tlog2ࡢ ࡜ ࡁu2, tlog3ࡢ ࡜ ࡁ 3



u ࡜࡞ࡿࡇ࡜ࡼࡾ,





   3 2 2 2 3 log 2 log 2 2 1 3 1 ) 3 ( du u u dt e e e t t t







   3

2 2 ₁ 2 1 du u







     3 2 1 1 1 1 1 du u

u





3 2 1 1 log   

 _{u u}u

© 㟁㏦ᩘᏛ⯋ 㸫3㸫

௨ୖࡼࡾ,



 27

8 g(x)dx 27log38log212(1log2log3) 1220log239log3

㹙ゎㄝ㹛

© 㟁㏦ᩘᏛ⯋ 㸫4㸫

㸱 >ᮾிᕤ኱@

(1) f(x) sinx ࡜࠾ࡃ࡜, ) sin( )

(x  x

f

 sinx  f(x) ࡲࡓ, kࢆᩚᩘ࡜ࡋ࡚,

) sin(

)

(kx  k x

f  sinx  f(x)

ࡇࢀࡼࡾ, )y f(x ࡢࢢࣛࣇࡣ࿘ᮇ ࡛࠶ࡾ, ࡋ࠿ࡶ┤⥺ 2

k

x  ࡟㛵ࡋ࡚ᑐ⛠

࡛࠶ࡿࡢ࡛,







 2

0 2

0 sin sin )

(

 

dx x n

dx x n

I

n



 2

0 sin 

dx x

n n



x



2 n

0 cos



(2) 10ӌsӌ ࡟࠾࠸࡚,





2 sin sin

cos )

( 2

0 2

0



 

s x

dx x s

s s

 





g ࡜࠾ࡃࠋ

0 2 cos 2 )

(s  sӍ 

g , 0

2 sin 4 )

(s 2 s ӌ 

g

ࡇ ࢀ ࡼ ࡾ, )yg(s ࡢ ࢢ ࣛ ࣇ ࡣ, ྑ ᅗ ࡢ ࡼ ࠺ ࡟, ୖ ࡟ ฝ ࡛ ༢ㄪ࡟ቑຍࡋ,

2 ) 0 (  

g ࠿ࡽ,

s s s

2 ) ( ӌ

ӌg , s s



1



s 2 )

(

0ӌg  ӌ  

ࡼࡗ࡚, xdx s





s s

1 2 cos

0 2

0  



 ӌ 

ӌ (0ӌsӌ1) (3) ࡲࡎ, atx࡜࠾ࡃ࡜,





 2

0 2

0 sin

1 sin



 a

dx x a

dt at

 

 







 2

2 2

0 sin

1 sin

1 



 a

a a

dx x a

dx x a

ࡇࡇ࡛, (1)ࡢ⤖ᯝࢆ⏝࠸ࡿ࡜,



2

0 sin 

dt

at 

 





_{ }2

2 sin

1 

 a

a x dx

a a a

͐͐͐ձ

ࡉ࡚,

 

u

a

x 

2



࡜࠾ࡃ࡜,

 

a ࡀወᩘࡼࡾ,

 



 



   







_       2  0 2

0 2

2

cos 1

2 sin

1 sin

1 a a a a a

a du _a u du

a u a

dx x a

 

2 2

0ӌ 㸺

a a

࠿ࡽ,

 



2

2 sin

1 

 a

a x dx

a

 





 2  0 cos

1 a a _udu

a ͐͐͐ղ

ࡉࡽ࡟, 0ӌa

 

a 㸺1࡞ࡢ࡛, (2)ࡼࡾ,

O x

y

2



2 5 2

3

 2 1

O 1 s 1

© 㟁㏦ᩘᏛ⯋ 㸫5㸫

 

 



1



(

 

) (

 

) 2

cos 2

0 xdx a a a a

a a

a a

     ӌ



  ӌ 

 

 





 

 

 

_aa



a

a dx

x a

a

a a a

  







 1 1 1

2 cos

1

1 2

0





ӌ

ӌ ͐͐͐ճ

ձղճࡼࡾ,

[ ]

[ ]

2

[ ]

₍

₎₍

[ ]

_{) (}

[ ]

₎

0

1 sin 1 1 1

2

a a a a a

at dt

a a a a a





+ - ӌ

ò

ӌ + - - +

-௨ୖࡼࡾ,

(

)(

[ ]

₎

2

0

0 sin 1 1 1

2

a at dt

a





- -

-ò

ӌ ӌ

㹙ゎㄝ㹛

© 電送数学舎 2007 －6－

［東京大］

(1)

t

y1 対 し ,

2

1

t y ,

3

2

t

y , t＞0

い , 曲線

t

y1 下 凸 単調 減少す 。

こ た め, 曲 線 上 点 け 接 線 曲 線 下 側

あ , 曲線上 2点を結ぶ線分 曲線 上側 あ 。

ここ , 0＜x＜a , 0＜ax＜a＜ax い , 右図 ,



 x a

x a tdt

1

＞(台形FABE) (長方形HABG)

a x x a dt t

x a

x a

2 2 1

1 _{ }



 ＞ ……… また,



 

x a

x a tdt

1

＜(台形ABCD) ,



 x a

x a tdt

1









x a x a x x x a x

a       

1 1

2 1 1

2 1

＜ ………

,





x a x a x dt t a

x a x

x

a   





1 1

1 2

＜

＜ ………

(2) ま , 











2

2 3 2

3

1 2

1

1 1

1 2

log dt

t dt t dt

t ………

い , 4 5 

a ,

4 1 

x す ,





12 5 1 3 2 4 1 1 5 2 2

3

1  



＜ ＜ dt

t ………

また, 4 7 

a ,

4 1 

x す ,

(

)

2 3 2

7 2 1 1 1 2

7＜

ò

tdt＜4 2+3 =24………

,

24 17 24

7 12

5 2 log 7 2 5 2 35

24 _{   }

＜ ＜

さ , 35 24

＞0.685＞0.68, 24 17

＜0.709＜0.71 注意す ,

0.68＜log2＜0.71

［解 説］

(2) , ま 2

 

x a

x a

す わ ちa 3x し 計 算 し ま し た ,

4 3 2 log 3 2

＜

＜ し

示せ , や いう感 しました。そこ , 考え直した 上 解 す。

t y

O

A B

C D

a ax x

a

H F

G

© 電送数学舎 2007 －7－

［東北大］

(1) I a 



a xdx

0

0( ) 1





a

x 2 ₀ 3 ) 1 ( 3 2 _





(1 ) 1



3

2 2

3

 

 a ,

) ( lim 2 0

3 a I a a   



   

2 3 2 3 1 1 lim 3 2 a a a a  

 _{ 3}2

(2) In a 



axn xdx

0 1

)

( 



xn x



a  n



axn x dx

0 2 3 1 0 2 3 ) 1 ( 3 2 ) 1 ( 3 2



   

 _an _{a n} a_xn _{x xdx}

0 1 2 3 1 ) 1 ( 3 2 ) 1 ( 3 2



( ) ( )



3 2 ) 1 ( 3 2 1 2 3 a I a I n a

an   n  n

 

す , ( )

3 2 ) 1 ( 3 2 ) ( 3 2 3 1 2 3 a nI a a a I n n n

n    

 _, ) ( 2 3 2 ) 1 ( 2 3 2 )

( 2 1

3 a I n n a a n a

In n n

   



(3)

 

2 ( )

3 a I a n n  

 

) ( 2 3 2 ) 1 ( 2 3 2 1 2 3 2 3 2 3 a I a n n a a n n n         





n n a a I n n a a n         2 3 1 2

3 _{( )}

2 3 2 1 2 3 2 ………(＊)

さ , 0≦x≦a い , x x x

n _

 1

) (

f 単調 増加す こ ,

a a

x

xn 1 n 1

0≦ ≦

こ , x xdx a adx a a

n a

n a

n _{  }  _





1 1 1

0 1 0 0 ≦ ≦ , a a a

In ( ) n 1 0≦ 1 ≦

す ,

2 3 3

2 3

1( ) _{1 1 1}

0 a a a a a a I n

n  _{ }

 

≦

≦ , a→∞ 0

) ( 2 3 1 _   n n a a I , (＊) ,

 

_{( )} lim_a 23 _{I a}

n n a   

 3 2n

2  

［解 説］

(3) (2) 漸 化 式 を 誘 導 し 考 え 筋 し う こ 式を変形す 方法

思 い ませ 。そこ , 直接的 In(a)を評価し,

 

_{( )} lim 2 3 a I a n n a   

 を考えました

, う ま く い ま せ 。 た ,

 

_{( )} lim 2 1

3 a I a n n a    

© 電送数学舎 2008 －8－

［岡山大］

(1) 部分積分を用い ,













_







a _a_x  n  _a_x  n a a _a_x  n 

dx n n x n e n

x e

dx n x e

0

1 0

0

1 1

1 1









n  a 



a ax







n dx n x e

e n a

0

1

1 1

(

)

1

(

)

0

1 1

a _{n n}

a x x a a

e dx e

n n

-=

ò

+ + - + ………

(2) a 0, n 1 , 1 1

n a

 ,





n





n

n a n

a _

  1

1 1≦ ………

また, ,

















 

 _{  }

 

 n a a x n a a x n

a _dx

n x e

dx n x e

n a e

0

1

0 1 1

1





a ax





 

n  



dx n x n

x e

0

1

1 1 1





a ax







n dx n x xe

n 0

1

1

1 ₀

………

,





n





n ea n

a n

a

≦ ≦ 

  1

1 1 ………

(3) , 0≦x≦a い ,





x n

e n

x

≦ 1

1  ,







_  

a _{a x} n

dx n x xe

n 0

1

1 1



a_xeax_ex_dx

n 0

1

≦ 



a a

dx x n e

0 n

e a a

2

2



, ,





n e a n a

ea n a

2 1 ≦ 2



［解 説］

定積分 不等式 証明問題 す。細 く付いた誘導 従え , 式変形 方向を見失

© 電送数学舎 2008 －9－

［筑波大］

(1) )f(t)g(t









 

 e xdx e t x xdx

x t x t 1 1 2 2 log ) (

log t



e xdx



ex xdx

1

1log log







 

e



e



e  dx x x x x x x x t 1 2 1 2

1 ₂ log ₂1 1

log

t



e e



e 



exdx

1 2 2 1 2 ) 1 ( 4 1 4 ) 1 ( 4 1 2 2 2 2      

_t e _{e t} e

(2) 1≦x≦e t＞e ,

e t x

t 

1 1

0＜ ≦ ,







    e e e dx x x e t dx e t x x dx x t x x 1 2 1 2 1 2 log 1 log log

0＜ ≦

ここ , log 0 1 2 ＞ k dx x x e 



く ,

e t k t  ≦ ＜ ( )

0 g 。

す , t→∞ 0

e t

k _{, 0lim ( )}



 t

t g

あ 。

(3) (1) ,

a t bt e t t a t bt t       

 2 2 ₄1 2

4 ) ( ) ( g f





a t b a ab bt e t t       

 2 ₄1 2

4 ) ( g a t b a ab e t b t       

 ₍ 2 ₁₎ 2

4 1 ) 1 ( ) ( g

t→ ∞ , 0g(t) , 0 2

 a t

b

a _,





a t

bt t

t  

2

) (

lim f 有 限 値 た

め 必要 条件 ,

0 1b , b1

こ ,





a t

bt t

t  

2

) (

lim f



( 1)



0

4 1 ) (

lim 2 2 

    

 _{ t e a t}a_a

t g ,

0 ) 1 ( 4

1 _e2_{ a , ( 1)}

4 1 2_

 e

a

［解 説］

(2) k 値を計算す , (2 1) 9

1 _e3_

ます , こ 値 , ここ 必要あ

© 電送数学舎 2008 －10－

［広島大］

(1) 0≦x≦1 い ,





1 1 log ) (   

 _nx

n x x

f く。

0 ) )( 1 ( 1 1 1 1 ) ( x n n x n x n x          f

, 0f(x) f(0)

また, 0≦x≦1 い ,





n x n

x

x) log 1 (

g く。

0 ) ( 1 1 ) ( x n n x x n n x       g

, 0g(x) g(0)

以上 , 0≦x≦1 い ,





n x n x n x ≦ ≦ 

1 log 1 (2) 区間0≦x≦1をn等分し ,

 



_   n k n n k n ₁ 5 1 lim 6 1 1 0 5 _





x dx

(3)



1 15₆



1 25₆

 

1 ₆5



n n n

n

an      ,













_





          n k n n k n n n n a 1 6 5 6 5 6 5 6 5 1 log 1 log 2 1 log 1 1 log log 

ここ ,

 

5

n k

x く , 0≦x≦1 , (1) ,

 



  

5

6 5 5 ₁ 1 log 1 1 n k n n k n k

n ≦  ≦ , 



_

 



_

 

n k n n k n k n a n k n ₁ 5 1 5 ₁ log 1 1 ≦ ≦

(2) ,



 

    n k n n k n ₁ 5 1 1

lim



 

      n k n n k n n n 1 5 1 1 lim 6 1 6 1 1 

 , 6 1 log lim    n n a

す , 対数関数 定義域 連続 あ こ , 6 1

liman e

n 

。

［解 説］

基本的 , し も頻出す タイプ 融合問題 す。し も, (3)へ 誘導 , 無理

© 電送数学舎2009 －11－

９ ［北海道大］ (1) 







4







0 2 4 0 2 1 1 cos 1 tan   dx x dx x

a





4 1 tan 4 0     

 x x

(2) _ 



4  0 2 2 1 tan  dx x

an n 



4







0 2 2 ₁ cos 1 tan  dx x x n





   4 0 2 4 0 2 2 _tan cos 1 tan   dx x dx x x n n



n x



an

n 

  4

0 1 2 tan 1 2 1  n a n 

₂ 1 ₁

………

(3)

4

0≦x≦ い , 曲線ytanx 下 凸 ,

x x

4 tan

0≦ ≦ ,

 

n n

n_x 2 _x2

2 4 tan 0  ≦ ≦ ………

を0 4

 ま 積分す ,

 



4 0 2 2 4 0 

 x dx

an≦ n n

≦

 





4

0 1 2 2 1 2 1 4 0 

  n

n n x n a ≦ ≦

   

) 1 2 ( 4 4 4 1 2

1 2 2 1

 



 _n n  n _n



す , n→∞ 0 ) 1 2 (

4 n  , 0nliman  (4) 両辺

2

) 1

( n を け ,

1 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 1 2                   n a n a a n n n n n n n n

n 2 い ,



          1 1 2 1 2 1 1 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( n k k n n k a a



       n k k k 2 1 1 2 ) 1 ( 4 1  n n 1_a

) 1 (  1 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 4 1 2 1 1 _      



  n k k k 

_

       n k k k 1 1 1 2 ) 1 ( 4 

以上 , (3) ,



      n k k n k 1 1 1 2 ) 1 (

lim





4 )

1 (

lim  1 

 



 n

n

n a 4





［解 説］

細 い詰め やや面倒 す , (4) 設問 あ 有名 級数 値を求め 問題 す。

, (2) (3) 設問 並列 , 両者 結果 (4) 繋 いう解法を います。

1

y

© 電送数学舎2009 －12－

10 ［広島大］ (1) 平行四辺形PPQQ 面積S ,

  

  



1 ( )

S

(2) yex… … ,

x

e

y , )A(0, 1 け

接線l 方程式 , yx1 。

また, )B(0, 2 を通 l 平行 直線m , 2

 x

y ………

を連立し , e x2

x

こ 方程式 2 解 x,  , 2

 



e ……… , 2e  ………

さ , 直線m 曲線

x

e

y 囲ま 図形 面積T ,







 



x

x _dx x _{x e}

e x

T 



   2 

2 )

2

( 2 ( ) 2( ) ( )

2

1 2_2 _ _ _{ e} _e



, e e (2)(2) ,

) 2 )(

( 2 1 ) ( ) ( 2 ) (

2

1 2_ 2 _{       }

          

T

(3) T＜S , ( )( 2) 2

1 _{ }

＜ , ＞0 ,

2 2＜

 

 , 0

2＜  

こ , 線分PQ 中点





2 , 2

R  e e , 第2象限 あ 。

(4) yex 対し,

x

e

y ＞0 , 曲線 下 凸 ,

T＞△APQ S

2 1 

, ( )( 2) 2

1 _{ }

＞ ( ) 2

1 _{ ,}

1 2＞

 

 , 1＞

［解 説］

面積を比較し 不等式を証明す 問題 す。 ひ演習し い ほしい一題 す。

2

1

O x

y

P

Q

A B

l m

P

© 電送数学舎2009 －13－

11 ［筑波大］ (1) 条件 ,













x

t _{t dt}

e x

x

0 ( )

2 1 )

( g

f ………

両辺をx 微分す , ) ( 2 ) ( 1 )

(x x f x e xg x

f      , ex



f(x)1x f(x)



2g(x)………

両辺をx 微分す , 条件 (x) e (x)

x_f

g  ,



(x) 1 x (x)



e



(x) (x) x (x)



2e (x)

ex f   f  x f  f  f  xf

, )f(x)1x f(x)2f(x)x f(x)2f(x , 1

) ( ) ( ) 2 ( )

(     

 x x x x

x f f f ………

(2) )f(x をn次 整式 し,

n

x 係数をa(0) く。た し, n 2 す 。

す , )f(x n1次, )f(x n2次 整式 。 そこ , 両辺

n

x 係数を比較す , 0

 a na

, n1 不適 , こ f(x) 定数また 1次式 あ 。 (3) ま , 0g(x) あ , 両辺 x0を代入す ,

0 1 ) 0 (  

f , 1f(0)

(2) 結論を合わせ , 1f(x)px くこ , , 1

) 1 ( ) 2

(x  px  p

, p1 , 1f(x)x ,





 x _et _{t dt}

x

0 ( 1)

) (

g 



et t



x 



x etdt

0 0

) 1

( ex(x1)1

 

et x₀

x x

x _{x e xe}

e     

 ( 1) 1 1

［解 説］

積分方程式 問題 す。(2) 設問 う , い い 誘導 ため, 見 け

© 電送数学舎2009 －14－

12 ［金沢大］ (1) st く , 1

dt ds

あ , t10 s10 。

また, )f(t 区間



1, 1



連続 , )f(t) f(t 成 立 ,











       

1 0 1

0 1

0 0

1 0

1 f(t)dt f( s)( ds) f( s)ds f(s)ds f(t)dt

(2) 11≦x≦ , 条件 ,



  

 1

1 ( )

)

(x t x t dt

F f 



  







1

1 ( ) ( ) x ( ) ( )

x

dt t x t dt t x

t f f

















 

1 1

1

1 ( ) ( ) x ( ) x ( )

x x

dt t x dt t t dt t x

dt t

tf f f f

) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( 1

1 t dt x x x x t dt x x

x x x F

x x

f f

f f

f

f     











1 1

( ) ( ) x

x

t dt t dt

-= -

ò

f +

ò

f

) ( 2 ) ( ) ( )

(x x x x

F f f  f

(3) 条件 ,  









1

1 ( ) ( )

) (

x x

dt t dt

t

x f f

f …… , )f(x)2f(x ……

さ , g(x) f(x) f(0)cos 2x 対し ,

x x

x) ( ) 2 (0)sin 2

( f f

g    , g(x) f(x)2f(0)cos 2x

す , 0g(0) f(0) f(0)cos0 , g(0) f(0) 2f(0)sin0 f(0)

(1) , 0(0) ( ) 1 ( )

0 0

1  

 







 f t dt f t dt

f , 0g(0)

さ ,





2 2

) ( ) ( 2 1 )

(x x x

G  g g , を利用す ,

) (x

G





( )



( )



( ) ( ) 2 ( ) ( )

2

1 2 2

x x x

x x

x g g g g g

g       





x x x x



x) ( ) 2 (0)cos 2 2 ( ) 2 (0)cos 2

( f f f f

g    





( ) 2 ( )



0 )

(    

g x f x f x ………

, Cを定数 し , G(x)C,



 x



 x C 2 2

) ( ) ( 2

1 _{g g}

さ , 0g(0)g(0) , 0C ,



( )



( ) 0 2

1 2 2

 

 x g x

g

そこ ,



( )



0 2

x

g , 0g(x)2 , 0g(x)g(x) , 0

2 cos ) 0 ( )

(x  f x 

f , f(x) f(0)cos 2x

［解 説］

© 電送数学舎 2010 －15－

13 [大阪大] (1) 2f(x)2log(1ex)xlog 対し , 1

1 2 )

( 

 

 x_x

e e x

f ,

2

2 _{(1 )}

2 )

1 (

2 ) 1 ( 2 ) (

x x

x

x x x x

e e e

e e e e x

 

  

 



f

, )log f(x)log2ex 2log(1ex)2log(1ex)xlog2f(x

(2) 



log2  

0

) (

) 2 log

(x e dx

I f x し, (1) 結果を適用す ,





   

  log2

0 2

log 0

) (

log _{( log2) ( )}

) 2 log

(x e dx x x dx

I f x f



 





_



 log2

0 2 log

0 ( )

) ( ) 2 log

(x f x f x dx (log2)f(0)



f(x)



₀log2

) 0 ( ) 2 log

( f

f 



 2log3log2log2(2log2log2)

9 8 log 2 log 3 3 log

2  

 

［解 説］

© 電送数学舎 2010 －16－

14 [東京工大] (1) f(x)1cosxxsinx 対し ,

x x x x

x) sin sin cos

(   



f xcosx

0＜x＜ い , )f(x 増減 右表 う , 0f(x) 唯一 解をも 。

(2) 0f(x) 解をx す , 1cos sin………(＊)



 

0 (x) dx

J f 



 





 

dx x dx

x) ( )

(

0 f f

ここ , F(x)



f(x)dx く ,





     

 x x x dx x x x x xdx

x

F( ) (1 cos sin ) sin cos cos

C x x x

x  

 2sin cos

, (＊)を用い ,



 





 

) ( )

(x ₀ F x F

J   F(0)F()2F() 

 

 4sin 2 cos 2   

 _(1 cos) 4sin

sin cos 1

2    



 

 4sin 2sin sin

sin 2

2

 

  

(3) (1) , ＜＜

2 あ ,

 

 



_{2 1 4}3



2 2 2

2 4 3 2

2 1 4

3 _{      }

f



3.2



0

4 3 1 4 . 1 2

2 _{   } ＞

こ ,    4 3

2＜ ＜ ,

2 4

3 sin 2 sin

2 

 ＞ 

J

［解 説］

微積分 標準的 問題 す。誘導も細 く付け います。

x 0 …

2 

…  )

(x

f ₀ － 0

) (x

© 電送数学舎 2010 －17－

15 [熊本大] (1) 



x 

x t dt

x) 4 log4(1 tan )

(



f





8

0≦x≦ 対し ,







log (1 tan )

4 tan 1 log )

(x  4  x  4  x

 

f

ここ ,





x x

x x

tan 1

2 tan

1 tan 1 1 4

tan 1

  

   

  ,

2 log tan

1

) tan 1 ( 2 log ) tan 1 ( log tan 1

2 log )

( 4 4 4  4

 

 

 

 

 x _xx

x x

f

2 1 4 log 12

4 

 

(2) (1) , Cを定数 し , x  xC 2 1 ) (

f

さ ,

 

log (1 tan ) 0 8

8 8

4  





_

 _{t dt}

f , 0

8 2

1_{  }

  C

16 

C ,

) 0 (

f

16  C

(3) a1  f(0) 16

 , an1  f(an)

16 2

1 _  

 an ,



₂₄



2 1 24

1    

 n

n a

a

こ ,



 

 

1 1

2 1 48 2

1 24 16 24

 

  

 

 n n

n

a     ,

 

1

2 1 48 24

  

 n

n

a  

［解 説］

底 4 対数 いう , 見た目 異 配慮 結果 した。 , (2) 誘導 し

© 電送数学舎 2010 －18－

16 [筑波大] (1) )f(x 単調増加す 連続関数 , k1≦x≦k い , )f(x)≦f(k

) ( )

( )

( )

(

1 1

1 x dx k dx k dx k

k

k k

k k

k f



f  f



 f



 ≦  

(2) x＞0 f(x)logx く , )f(x 単調増加す 連続関数 , (1) ,

k dx

x

k

k 1log log

≦



 ………

n 2 , 両辺を, k2 knま 和を ,





_



 _

n

k n

k k

k xdx ₂ k

2 1

log log ≦

! log ) 3

2 log( log

3 log 2 log log

1 xdx n n n

n

    

  



≦   ……… , n1 も成立し い 。

さ , 左辺 ,





n n n n n

n

e n e

n n

n n x x x dx

x          



1 1

1

1 log log log 1 log log log

こ , , ! 1

n e

nn n≦ 。

(3) x 0 い , !( ) 1

n e x x  n x 

g く ,

x n x n

e x e nx

x     

 1 1 1

) (

g xn1e1x(nx)

) (x

g 増減 右表 う , (2) ,

0 ! )

(n n e1 n ≦

n

n _

 

g

, x 0 い , 0g(x)≦ す わち ! 1

n e

xn x≦ あ 。

［解 説］

至 尽くせ いう い, 誘導 非常 細 く い い 不等式へ 応用問題

す。

x 0 … n …

) (x

g _{0 0} －

) (x

© 電送数学舎 2010 －19－

17 [東京大] (1) 自然数k 対し ,

x k k x k x x      

1 ₁ 1

) (

f く , 0≦x≦1 い ,

2 ) ( 1 ) ( x k k x    

f ＜0,

3 ) ( ) 1 ( 2 ) ( x k k x   

f ＞0

こ , )f(x 単調 減少し, 曲線y f(x) 下 凸 。 ここ , )y f(x x軸, y軸 交点を, そ

) 0 , 1 (

A ,





k

1 , 0

B く。

また, 点A け 接線 ,

) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1

2    

   x k x k k y

こ 接線 y 軸 交点を C す ,





1 1 , 0 C  k 。

そこ , 面積を比較し , △OAC＜



＜ 1

0 f(x)dx

△OAB ,

k dx x k x k 2 1 1 ) 1 ( 2 1 1 0 ＜ ＜



   ………

(2) ま ,









      1 0 1 0 1 1 1 _dx x k k dx x k

x





1

0

) log( ) 1

(k k x

x  

 

1(k1)



log(k1)logk



k k k 1)log 1 (

1   



す , ,

k k k k k 2 1 1 log ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 1 ＜ ＜     , ) 1 ( 2 1 1 log 1 1 ) 1 ( 2 1

2     

 k k k

k k

k

＜ ＜

ここ ,

2 ) 1 ( 2 1 ) 2 )( 1 ( 2 1  

 k k

k ＜ ,

) 1 ( 2 1 1 log 1 1 ) 2 )( 1 ( 2 1      

 k k k

k k

k

k ＜ ＜ ………

い , kn km1ま 和を ,





_





_ _ _  _ _     1 1 1 ) 1 ( 2 1 1 log 1 1 ) 2 )( 1 ( 2 1 m n k m n k m n

k k k k

k k

k

k ＜ ＜ ………

す ,



    1 ) 2 )( 1 ( 2 1 m n

k k k









   

 1 1₂

1 1 2 1 m n

k k k



1



1 1 1 2 1   

 _{n m}

) 1 )( 1 (

2   

 _mm n_n



_1 _

) 1 ( 2 1 m n

k k k









  

 1 1 1₁

2 1 m

n

k k k



n m



1 1 2 1 _

 m_mnn

© 電送数学舎 2010 －20－

また,











   

1

1 log 1 1 m

n

k k

k

k



   

 m 1 1₁ n

k k











  

1

log ) 1 log( m

n k

k k



  

 m

n k 1k

1 _{logmlogn}

n m

log





 

 m

n k 1k

1

, ,

) 1 )( 1 (

2 m  n n m

＜



 

 m

n

k k

n m

1

1

log ＜

mn n m

2

［解 説］

© 電送数学舎 2010 －21－

18 [京都大] ま , n個 ボールを2n個 箱へ投 入

n

n) 2

( 通 場合 同様 確 しい

す 。

こ , 箱 も 1 個以下 ボールし 入 い い場合 , 2nPn通 あ , そ 確率pn ,

n n n n

n n n

n n

n n

pn n n_{n n} 2 2 1 2 2 2 1

2 1 ) 2 (

P

2 _{  }  _{ }   _  

 

n n n n

n n n

n n n

n          

 1 2 1

2

1 _





 



_nn



n n n

n

n       

 1 1 1 2 1 1 1

2

1 _

す , logpn

















n n n

n n

n

n          

 log 1 1 log 1 2 log 1 1 log 1

2 1

log 

,

n pn n

log lim



  



 



_







n

k

n n

k n

n log2 ₁log 1

1

lim







 

 

 

 n

k

n n

k n ₁log 1

1 lim 2 log

 



  



 







1

0 1 0 1

0 log(1 ) log2 (1 )log(1 )

2

log x dx x x dx

log22log21log21

［解 説］

出題頻度 高い 言えませ , 見 け 確率 区分求積 融合問題

© 電送数学舎 2011 －22－

19 [北海道大] (1) f( ) = 1-cos く , ( ) ( )

x a

x

F x =

ò

+ f  d ,

( ) ( ) ( ) 1 cos( ) 1 cos

F x¢ = f x+a - f x = - x+a - - x

(2) F x¢( )≦0 , 1-cos(x+a)≦ 1-cosx , 両辺を2乗し , 1-cos(x+a) 1≦ -cosx, cos(x+a)-cosx 0, 2sin2 sin 0

2 2

x+a a

-ここ , 0＜a＜2 , sin 0 2

a

＞ あ , 2

sin 0

2

x+a

≦ ………(＊)

す , 0＜x＜2

2 ₂

2 2 2

x a

a + _+a

＜ ＜ , 0 2

a _

＜ ＜ 留意し , (＊)を

満たすx 範囲を求め ,

2 ₂

2

x a

≦ + ≦ , 2

2 2

a _x a

- ≦ ≦ 

-(3) ( ) 1 cos 2sin2 2 sin

2 2

x a x a x a

x x x

F x =

ò

+ -  d =

ò

+  d=

ò

+  d

ここ , 2

 = く , 2d = d ,

2 2

( ) 2 2 sin x a

x

F x  d

+

=

ò

さ , (2) F x( ) 増 減 右 表 う , ( )F x

2

a

x= - 極大,

2 2

a

x= - 極 。

極大値 ,

(

)

2

a

F - 2 4 2 4

2 4 2

2 2 sin 4 2 sin

a a

a d d

 

     

+ +

-=

ò

=

ò

2 4 2

4 2 cos a

 

 +

é ù

= - _{êë úû} 4 2 cos

(

)

4 2 sin

2 4 4

a a



= - + =

極 値 ,

(

2

)

2

a

F - 4 4

0 4

2 2 sin 4 2 sin

a a

a d d



    

+

-=

ò

=

ò

4 0

4 2 cos a



é ù

= - _{êë úû} 4 2 1

(

cos

)

4

a

=

-［解 説］

定 積 分 計 算 問 題 す 。(1) (2) 誘 導 従え , 方針 迷うこ あ ませ 。

, 極大値 極 値 計算 , 三角関数 周期性を利用し います。

x 0 …

2

a

- … 2

2

a

- … 2

( )

F x¢ ₀ － 0

( )

© 電送数学舎 2011 －23－

20 [金沢大] (1) ま ,

[

]

1

1

1 _{log log( 1) log} n

n n n

dx x n n

x

+ ₊

= = +

-ò

ここ , 自然数n 対し, 1n≦x≦n+ , 1 1 1 1

n+ ≦x≦n ,

1 1 1

1 1 1

1

n n n

n n n

dx dx dx

n x n

+ + +

+

ò

＜

ò

＜

ò

, 1 log( 1) log 1

1 n n

n+ ＜ + - ＜n

(2) 2以上 自然数n 対し , (1) ,

1

1 n

k= k

å

＞

{

}

1

log( 1) log n

k

k k

=

+

-å

=log(n+ -1) log1=log(n+1)……… 1

1

1 1 n

k k

-= +

å

＜

{

}

1

1

log( 1) log n

k

k k

-=

+

-å

=logn-log1=logn………

両辺 1を加え , 1

1 n

k= k

å

1

1

1 1

1 n

k k

-=

= + +

å

＜1+logn………

, log(n+1)＜ 1

1 n

k= k

å

＜1+logn

(3) (2) , 2以上 自然数n 対し , ,

1 1 1 1 1

1 ₁

3 2 3

2 n n

ee e e =e+ + + + ＜ 1 logn

e+ =en

さ , を適用し ,

1 1

1 1 2 3

1 n

k= _{ee e e}k

å



＞ 1

1 n

k= ek

å

1

1 n 1

k

e ₌ k

=

å

＞1 log(n 1)

e +

［解 説］

© 電送数学舎 2011 －24－

21 [神戸大] (1)

3

log n

n

dx

x x

ò

3 1 1 _{log log} 3 _{log 3 log log log} log

n _n

n n

dx x n n

x x é ù

=

ò

⋅ =_{êë úû} =

log 3 log log 3 log

n n

= = ………

(2) x＞1 い , ( ) 1 log

x

x x

=

f く ,

2

log 1

( ) 0

( log )

x x

x x

+

¢ = - ＜

f

こ , k 2 , 1k≦x≦k+ い , f(k+1)≦f( )x ≦f( )k ,

1 1 1

(k+1) log(k+1)≦xlogx≦klogk

こ 不等式 各辺をk k+1ま 積分す , 1

1 k

k

dx

+

=

ò

,

1

1 1

( 1) log( 1) log log k

k

dx

k k x x k k

+

+ + ＜

ò

＜ ………

(3) 各辺をn

3 ₁

n - ま 和を ,

3 3 3

1 1 1 1

1 1

( 1) log( 1) log log

n n k n

k

k n k n k n

dx

k k x x k k

- - +

-= + + = =

å

＜

å

_ò

＜

å

3 ₁ 1 log n

n k n

S

k k

-=

=

å

,

3 ₁

1

( 1) log( 1) n

k n k k

-= + +

å

3 3

1 1

log _log n

S

n n _{n n}

= - + ,

3 3

1 1

log _log n

S

n n _{n n}

- + ＜

3

log n

n

dx

x x

ò

＜S_n………

,

3 3

1 1

log 3 log 3

log _log n

S

n n _{n n}

+

-＜ ＜

以上 , lim _n log 3

n¥S =

［解 説］

さ うち 原理を利用し 極限値を求め 問題 す , 方針 迷うこ い

© 電送数学舎 2011 －25－

22 [東京医歯大] (1)

1 0

1 1

n n

I S dx

x

= -

ò

₊ 1 1

0 0

1 ( ) ₁

1 1

n

x

dx dx

x x

-=

ò

₊ -

ò

₊ く ,

1 0

1 ( ) 1 1

n

n

x

I dx

x

- -

-=

ò

₊ 1 1

0

( 1)

1 n

n x _dx

x

+

= -

ò

₊ 1

0 1

n

x _dx x

=

ò

₊

ここ , 0≦x≦1 い , 1

n n

x _x

x

+ ≦ ,

1 ₁

1 0 0

1 1

1 1

n n

n

I x dx x

n n

+

é ù

=_{êë úû} =

+ +

ò

≦

(2) 1

0

1 ( ) 1

n

n x

S dx

x

-=

+

ò

1

{

2 3 1

}

0

1 x x x ( x)n- dx

=

ò

- + - + + -

2 3 4 ₁ 1

0

( 1) 2 3 4

n n

x x x x

x

n

-é ù

=_êë - + - + + - _{ûú 1} 1 1 1 _{( 1)} 11

2 3 4

n

n

-= - + - + + -

また,

1

1

( 1) ( 1)

k n

n k

T

k k

-=

-=

å

₊ 1

(

)

1

1 1 ( 1)

1 n

k

k k k

-=

=

å

- - ₊ ,

(

1 1

) (

1 1

) (

1 1

) (

1 1

)

_{( 1)} 1

(

1 1

)

1 2 2 3 3 4 4 5 1

n n

T

n n

-= - - - + - - - + + - - ₊

{

1 1 1 11

}

1 1

1 2 ( 1) ( 1)

2 3 4 1

n n

n n

-

-= + - + - + + - - - ₊

, 2Tn- Sn 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 1

1 1

n n

n n

-= - - - = +

-+ +

(3) (1) , n ¥ , 0In  ,

[

]

1

1 0 0

1

lim log(1 ) log 2 1

n

n¥S =

ò

+xdx= +x =

(2) , 2Tn = Sn 1 ( 1) 1 1 n

n

+

-+ ,

{

1

}

lim lim 2 1 ( 1) 2log 2 1 1

n

n n

n¥T =n¥ S - + - n+ =

-［解 説］

定積分 級数 い , 過去 類題 出 い 有名問題 す。要演習 1 題