(Harish-Chandra,Waldspurger による ) p 進簡約群の Plancherel 公式

(1)

p ^{進簡約群の} Plancherel 公式

(Harish-Chandra, Waldspurger による )

今野拓也 ¹ 、今野和子 ²

2002

年

6

月

28

日

1

九州大学大学院数理学研究院

E-mail : [email protected]

URL : http://knmac.math.kyushu-u.ac.jp/tkonno2599.html

このノートの作成およびその元となったセミナーは文部科学省学術振興会科研費課題番号

12740018

からの補助を受けています。

2

学振特別研究員京都大学大学院人間環境学研究科

E-mail : [email protected]

(2)

(3)

i

序文

これは

2001

年度に九州大学で行った「簡約群と保型形式」セミナーのノートである。テーマとして

p

進簡約群上の調和解析を選び、J.-L. Waldspurgerによる

p

進群の

Plancherel

公式の証明の論文

[Wal]

を詳説した。

実

Lie

群に対する

Plancherel

の公式は

Harish-Chandra

の

1975

年から翌年にかけての一連の論文

[HC84a], [HC84b], [HC84c]

で証明されている。彼は同様に

p

進群に対しても

Plancherel

公式の構成のプログラムやその帰結をアナウンスしていたが

[HC84e], [HC84d]、

不幸にしてその完成を見ないまま

1983

年に死去してしまった。しかし

Harish-Chandra

は指標の局所可積分性を証明した

[HC78]

のうち概説にとどまっている第３部の証明や、

p

進群の

Plancherel

公式について多くのノートを残していたことがわかり、L. Clozelと

P.-J. Sally

がそれを整理し発表する努力を続けてきた

¹

。私の理解が正しければ、[Wal]

はこのプロジェクトの一環である。しかし、Waldspurger自身が導入の中で述べているように、ここでの証明は

Harish-Chandra

の議論を再現するものではなく、その後の表現論の進歩を取り入れた新しいものになっている。

Harish-Chandra

の議論ではまず

Eisenstein

積分を導入しその解析接続を行う。そしてその函数等式から

c

函数を構成し、その性質から絡作用素の基本性質を引き出すという道筋である。一方の

[Wal]

では、[VW90]による実

Lie

群上の絡作用素を直接攻略する議論の類似が展開される。[VW90] では、有限次元表現を用いて

a ^∗ _M,

上の微分作用素

D _π

と「b 函数」b

_π

で函数等式

b π ( λ ) J _P _|P ( π λ ) φ = J _P _|P ( π λ+4ρ P ) I _P ^G ( π λ+4ρ P , D π ( λ )) φ

を満たすものを構成する。ただし

4

章の記号を用いた。これにより絡作用素

J _P|P ( π _λ )

をその

4 ρ P

シフトに関係づけて順次

−ρ P

の方向に解析接続していく。p進群の場合にも微分作用素の代わりに

Levi

部分群の中心の作用を使って類似の議論を行うが、上の函数等式は

4.1.5

節

(4.8)

に簡略化してしまう。特に絡作用素は

a ^∗ _M,

上の有理型函数であるばかりか、Levi 部分群の不分岐指標のなす複素トーラス上の有理函数になってしまう。[VW90]

のアプローチの優れている点は、単に絡作用素が有理型に解析接続できるだけでなくその特異点をもとらえている点である。これにより絡作用素から

c

函数や

Plancherel

測度が構成できるので

Plancherel

公式の証明を著しく単純化できる

([Wal92]

の前半を参照)。

[Wal]

においてもその

p

進類似が展開される。

1 [HC78]

第３部については

Harish-Chandra (notes by S. Debacker and P.-J. Sally, Jr.), Admissible

invariant distributions on reductive p -adic groups , Univ. Lecture Series vol. 16, AMS, (1999)

として発表されている。

(4)

このノートではこれらの構成をできるだけ自己完結するよう解説した。数箇所の例外を除いて、予備知識としては

[Wei]

の１章にある非アルキメデス局所体の基本性質と、それ

を用いて

[BZ76], [BZ77]

で構成されている

p

進簡約群の表現論の基礎のみを仮定してい

る。参照する際の利便性のため章や定理などの番号付けはなるべく

[Wal]

に一致させたが、いくつかの箇所でずれが生じているのは上の理由で初等的な解説や補題などを差し挟んだためである。各章の内容は以下の通りである。

1

章では非アルキメデス局所体上の連結簡約群の構造や、その表現についての基本的な結果を準備する。1.1 節ではあまり文献がない制限ルートの構造や、基礎体の付値の離散性から引き起こされる特性を特に解説した。1.2 節では頻繁に用いられる中心指数による展開を始め、放物型誘導や

Jacquet

加群など

p

進群の表現論の基礎的な道具を思い出す。中心指数以外の概念は許容表現に限らず代数表現に対して意味を持つ点が重要である。[BZ76] では

Jacquet

加群の反傾表現についての記述がないため、それについての

Casselman

の議論

[Cas, 4

章] を

1.3

節にまとめておいた。誘導表現の連続族のように許容的でない代数表現を扱うため、[BDKV84] から表現の

B

族の概念を引用する

1.4。最

後に

1.5

節で表現の行列成分からなる許容函数の空間を用意する。

2

章では以下で用いる評価式を一手に準備する。2.1 節では緩増加性を定義する際に用いられる

Harish-Chandra

の

Ξ

函数を評価するが、後の

Langlands

分類の証明に備えて少し拡張した函数を扱っている。アデール群に対するリダクションの理論と同様、評価式を得るには有理表現を用いることになる。2.2 節ではこの既約有理表現の分類を復習している。ここでは

Galois

コホモロジーについての基礎的な知識が必要になる。2.3, 2.4節ではこれらを用いて主に種々のノルムの比較や積分の収束を中心とした評価式を証明する。

3

章では以下の主人公である緩増加表現を導入する。3.1 節で土台となる二乗可積分表現やその行列成分の間の

Schur

の直交関係を復習した後、3.2-3.5節で緩増加表現と弱

Jacquet

加群や弱定数項などそれにまつわる基本概念を導入する。3.6, 3.7 節ではこれら

の双対的な役割を果たす

Schwartz-Harish-Chandra

函数を導入し、二乗可積分表現の行列成分が中心を法として

Schwartz-Harish-Chandra

函数であることを見る。

絡作用素の解析は

4

章で行われる。絡作用素の定義を述べた後、それが収束域を持つことを証明する

4.1.3, 4.1.4。この議論は標準的で基礎体がアルキメデス的な場合と全く

同じである。上で述べた

[VW90]

の構成の類似は

4.1.5

で行われる。これらから直ちに従う絡作用素の基本性質を

4.1.6

にまとめておく。4.2 では誘導する表現が緩増加な場合の絡作用素を考察する。特に

G

正則な既約二乗可積分表現からの誘導表現は既約でその上の絡作用素が定数倍になることが重要である。4.3 は私が完全に付け加えた唯一の節である。ここではまず絡作用素の応用として既約許容表現の

Langlands

分類を証明する。こ

れと

4.1.5

の中心指数の議論を組み合わせることにより、既約二乗可積分表現からの放物

型誘導表現がパラメタ集合の

Zariski

開部分集合上で既約なことが示せる。この性質により

Plancherel

測度の逆数である

j

函数の存在が保証される

4.4。

5

章では

Plancherel

公式の記述に現れる

Eisenstein

函数、c 函数、Plancherel 測度が導入される。Waldspurger は

K

タイプに沿って積分した

Eisenstein

積分を全く用いず、

代わりに放物型誘導表現の行列成分である

Eisenstein

函数を扱っている。

c

函数もすでに準備されている絡作用素を用いて直接的に定義される。c函数のユニタリ軸上の主張部が

(5)

iii

Plancherel

測度で与えられることがここでの主結果である

5.2。

Plancherel

公式、あるいは

L ² (G)

のスペクトル分解の構成は

6

章から始まる。ここで

は

Eisenstein

函数が滑らかであることを確認した後、それを表現の多様体の連結成分上

で積分して波包函数

(wave packet)

を構成する

6.3。これは既約二乗可積分表現からの誘

導表現の

Weyl

群不変なファイバーの切断に

Schwartz-Harish-Chandra

函数を対応させる連続写像になる。

6.4

では波包函数の定数項（

Harish-Chandra

変換）を計算する。

続く

7

章では逆向きの

Schwartz-Harish-Chandra

函数に波包函数を対応させる写像を構成する。これは既約二乗可積分表現からの誘導表現にそれへの

Schwartz-Harish-Chandra

函数の作用を対応させるという自然なもので、特に

Harish-Chandra

変換と可換である。

7.2

ではこれら二つの写像がほぼ逆写像になっていることを示す。特に波包函数を取る写像は

C (G)

への単射になる。

最後の

8

章ではこの写像の全射性を示す。これは

K

タイプと中心指標を止めたときにそれらを持つ既約二乗可積分表現が有限個しかないことから従う。この有限性はそれらの行列成分たちの間の内積を表す積分の収束によって保証される。タイトルにある

Plancherel

公式はこの定理の系として得られる

(系 8.1.2)。

付録

A

では本文中で何度も用いられる

Bernstein

の中心について

[BDKV84]

から復習しておいた。特に群の中心の非コンパクトな成分については

[BZ76]

ではなく

[BDKV84]

の扱い

A.2

によった。また補題

A.3.5

の単射性の主張は実

Lie

群の表現の指数が消えないことの代わりとして重要な役割を果たしている。

最後になったが、技術的でわかりづらいセミナーに最後までつきあってくださった九州大学数理学府博士課程の井原健太郎君、安田貴徳君に心から感謝したい。

平成１４年６月２８日博多にて今野拓也

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(Harish-Chandra,Waldspurger による ) p 進簡約群の Plancherel 公式

p 進簡約群の Plancherel 公式