Three-dimensional Green’s function of anisotropic materials using Stroh formalism

日本機械学会［No.0117-1］北陸信越支部 48 期総会・講演会  講演論文集 [2011.3.5  長野県上田市] 

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Stroh 形式を用いた異方性-等方性弾性体の 3 次元グリーン関数 

Three-dimensional Green’s function of anisotropic materials using Stroh formalism

正  古口  日出男（長岡技科大）  ○  神田  剛（長岡技科大院） 

Hideo Koguchi, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata

Tsuyoshi Kanda, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata Key Words: Anisotropy, Isotropy, Elasticity, bimaterial, Green’s Function

1.  緒        言

  等方性弾性体の異材接合体に対する二次元弾性論の歴史 は古く，これまでに多くの理論解析が行われ，工学・工業へ の有益な知見を与えている．しかし，三次元接合体に対する 応力解析，特に界面端に発生する特異応力場についてはあま り行われていない．最近，電子デバイスの中にはシリコンな どの異方性と等方性の弾性体，または異方性と異方性弾性体 の接合部を有する構造体が多くある．接合体の強度評価を行 うには接合界面近傍の応力を高精度に評価する必要がある．

本研究室では，界面上の要素分割を必要としないように，境 界要素法の基本解に界面の境界条件を満たす解を用い，応力 解析を行っている．筆者等が調べた限りでは，3次元異方性- 等方性弾性体のグリーン関数は導出されていない．そこで，

本研究ではStroh形式でそのグリーン関数を導出する．

2.  異方 性-等 方性 弾 性体 のグ リー ン 関数   

  2.1   異 方 性 - 等 方 性 弾 性 体 の グ リ ー ン 関 数     異方 性弾性体および等方性弾性体の基礎式は参考文献^(1),(2)を参 照のこと．

  今，異なる材料特性を有する半無限異方性弾性体が図１の ようにz=0で接合されている場合を考える．z=0を界面とし，

z>0の領域をMaterial 1(異方性体)，z<0の領域をMaterial 2(等 方性体)とする．観測点zと作用点P(0,0,d)の位置関係より，

グリーン関数は以下の3つの領域に対して得られる．グリー ン関数を考える際，z→ ∞のとき変位u→0の条件を満たす よう選定することが必要である．u!は変位{u_x,u_y,u_z}，t!は {!_zx,!_zy,!_zz}からなる応力ベクトルを表している．なお，変 数上の˜は，Fourier変換された関数であることを指している． 

1)   z>d(Material 1)の場合 

    u!⁽¹⁾(!₁,!₂,z)=A⁽¹⁾ e^{"i p*(1)#(z"d)} q^$ +A⁽¹⁾ e^{"i p*(1)#z} q⁽¹⁾ 

  (1) 

    t!⁽¹⁾(!₁,!₂,z)="i#B⁽¹⁾ e^{"i p*(1)#(z"d)} q^$"i#B⁽¹⁾ e^{"i p*(1)#z} q⁽¹⁾

  (2) 

  (3.) 

2) 0 ≤ z < d(Material 1)の場合 

    u!⁽¹⁾(!1,!2,z)="A⁽¹⁾ e^{"ip*(1)#(z"d)} q^$+A e^"ip*(1)#z q⁽¹⁾(3)      !t⁽¹⁾(!1,!2,z)=i"B⁽¹⁾ e^{#ip*(1)"(z#d)} q^$#i"B⁽¹⁾ e^{#i p*(1)"z} q⁽¹⁾

(4)  3)   z<0(Material 2)の場合 

    u!⁽²⁾(!1,!2,z)="A⁽²⁾ e^{"ip*( 2 )#z} q⁽²⁾  (5) 

    t!⁽²⁾(!₁,!₂,z)=i"B⁽²⁾ e^{#ip*( 2 )"z} q⁽²⁾  (6) ここで，各変数の上添字は，Material 1(異方性)とMaterial 2(等 方性)を表している．等方性弾性体に対するA⁽²⁾, B⁽²⁾は以下の 式で与えられる⁽²⁾.

    A^{( )2} =

!i 0 i"n₁z

0 !i i"n₂z

n₁ n₂ 3!4# ! "z

$

%

&

&

&

' ( )) )

(7) 

    B⁽²⁾=µ

1+n₁² n₁n₂ 2 1!

(

)

n₁n₂ 1+n₂² 2 1

(

)

2in1 2in2 2i

(

)

$

%

&

&

&

' ( )) )

(8)

さらに， A⁽¹⁾, B⁽¹⁾ :Material 1の固有ベクトル，p:固有値，

η1=ρcosθ, η2=ρsinθ，n=[n1,n2, 0]=[cos!, sin!, 0]^T，ν:ポアソ ン比，μ:横弾性係数，q^!:Material 1が無限体である場合の 係数ベクトル，q⁽¹⁾,q⁽²⁾:未定係数ベクトル

  また， 固有値pは以下の固有方程式を解くことにより得 られる．

{

(

)

}

ここで，Qik=Cijksnjns,Rik=Cijksnjms,Tik=Cijksmjmsである．

C_ijks:!_ij =C_ijksu_k,lで示される弾性係数テンソル，!_ij:応力テン ソル，u_i:変位ベクトル

  2.2  境 界条 件    作用点P(0,0,d)に集中力f=(f_x,f_y,f_z) が作用している．そのときの界面における変位の連続の条件 および作用点における力の釣合条件は以下のようである． 

  1)  界面における変位の連続性 

        u!⁽¹⁾=u!⁽²⁾ (10)    2)  界面における作用力の釣合 

        t!⁽¹⁾=t!⁽²⁾ (11)    3)  作用点Pにおける変位の連続性 

        u!⁽¹⁾

z+d=u!⁽¹⁾

z!d (12) (.) 

  4)  作用点Pにおける作用力の釣合          t!⁽¹⁾

z+d!t!⁽¹⁾

z!d=!f (13) ()

  2.3   未 定 係 数 ベ ク ト ル の 決 定     ここで前述のq^!， q⁽¹⁾,q⁽²⁾を決定する．まず，境界条件3)，4)から 

    A^{( )1}q^!="A^{( )1}q^!  (14) 

    !i"B^{( )1}q^#!i"B^{( )1}q^#= !f (15)

式(14)より，q^!="

( )

  Fig.1 Two-phase materials

に代入して次式が得られる．

i!

{

( )

}

q^#= i

!

{

( )

}

つぎに，q⁽¹⁾，q^{( )2} を境界条件 1)，2)から求める．これらの 条件にz=0とおいて式(3)~(6)を代入すると次式が得られる．

    !A⁽¹⁾ e^ip*(1)"d q^#+A⁽¹⁾q⁽¹⁾=!A0

( )2

q⁽²⁾ (17)

    !i"B⁽¹⁾q⁽¹⁾!i"B^{( )}₀²q⁽²⁾= !i"B⁽¹⁾ e^ip*(1)"d q^# (18) 式(17)，(18)をq⁽¹⁾,q⁽²⁾について解くと次式が得られる．

q⁽¹⁾=

( )

( )

&' ( !1

)* +*

,^"#$B⁽¹⁾!B⁽¹⁾

( )

&'-

./ e^ip*(1)0d q¹

    =S e^ip*(1)!d q^" (19)

q⁽²⁾=^"#$B₀^{( )2} !B⁽¹⁾

( )

&'

!1

(^"#$B⁽¹⁾!B⁽¹⁾

( )

&' e^ip*(1))d q^*    

    =V e^ip*(1)!d q^" (20)

ここで，A₀^{( )2},B₀^{( )2}の下添え字の0は，z=0を式(7),(8)に代入し て得られる行列であることを意味する．式(19)，(20)をそれ ぞれ式(1)~式(6)に代入し，Fourier逆変換を行うことにより，

実空間における変位および応力の分布を得ることができる．

3.  解析 例 

  解析には異方性材料としてMaterial1にAl，等方性材料と してMaterial2にNiを用いた． Niのポアソン比0.306，横弾

性定数 83.9[GPa]とした．解析結果の比較を行う意味で，

Material 2を異方性のNiの場合を計算した．各材料の弾性定

数を表1に示す．

  解 析 例 と し て(x,y,z)=(0,0,-3~3)[mm]，d=1[mm]の 位 置 に

(fx,fy,fz)=(0, 0,1mN)の集中荷重が作用する場合の変位u_z

およびその拡大図を図2, 3に示す． 

Table.1 Material property

Al[GPa] Ni[GPa]

C₁₁ 111.92 325.7

C₁₂ 58.69 129.03

C₁₃ 56.96 103.17

C₁₅ 2.44 36.58

C₃₃ 113.64 351.57

C₄₄ 24.89 72.47

C₆₆ 26.62 98.33

Fig.2 Displacement uz for fz

Fig.3 Enlargement of Fig.2

z=1mmにz方向の力が作用しているため，z=1mmでuzは無

限に発散する．また，z→ ∞で0 に収束していく．界面を

通過してz<0(Ni)となったとき異方性-等方性・異方性-異方性

ともに変位の傾きが小さくなっていることがわかる．

  また，z<0で変位の値が異方性-異方性のものと比べて，大 きな値となり，若干異なる変位分布が得られた．

4.  結      言 

  本報では，Stroh 形式の異方性弾性体および等方性弾性体 の基礎式を用いて，異方性-等方性弾性体のグリーン関数を 導いた． 

  (3.) 

文      献

(1) Kanda.T, Three-dimensional Green’s functions for two-phase anisotropic materials considering interface mechanical property , Proceedings of the 47th Hokuriku Shinetsu branch Regular Meeting of the Japan Society of Mechanical Engineers, No.107 (2010), pp. 307-308.

(2) Koguchi,H., Surface Green Function With Surface Stresses and Surface Elasticity Using Stroh’s Formalism. ASME Journal of Applied Mechanics, vol.75,No.6 (2008), pp.106