第 1 章曲線と曲面

第1_{章 曲線と曲面}

1.1 _平面曲線

この節では、平面曲線の基本事項を復習し、平面曲線の曲率が曲線の形を決め ていることと曲率から曲線を構成できることを示す。

一つのパラメータによって平面の点の軌跡として平面曲線を定める。Rの開区 間I上で定義されR²に値を持つ写像p:I →R²について考える。pの接線の変化 を調べることによって、pの曲り方をとらえる。Iの元tに対して微分p^′(t)が0で なければ、p(t)におけるpの接線を引くことができる。そこで、任意のt∈Iに対 してp^′(t)̸= 0となるときに、像p(I)を平面曲線と呼び、写像p:I →R²を平面 曲線のパラメータ表示 という。

平面曲線のパラメータ表示が

p(t) = (x(t), y(t))

によって与えられているとする。

p^′(t) = (x^′(t), y^′(t))

を速度ベクトルとも呼ぶことにする。運動する点の時刻tのときの位置がp(t)で あると考えると、p(t)は平面の点の軌跡を表し、p^′(t)はその軌跡の速度ベクトル とみなせる。速度ベクトルの長さは

∥p^′(t)∥=√

x^′(t)²+y^′(t)²

で与えられる。パラメータがaからb (a ≤b)まで動くときの曲線Cの長さを L(C) =

∫ b a

∥p^′(t)∥dt

で定める。この曲線の長さの定義がパラメータの変更によって変わらないことは、

積分の変数変換の公式よりわかる。始点t=aからパラメータtまでの曲線の長さ をsで表すことにすると、sはtの関数であり

s=

∫ t a

∥p^′(t)∥dt, ds dt = d

dt

∫ t a

∥p^′(t)∥dt =∥p^′(t)∥>0

が成り立つ。最後の不等式はp^′(t)̸= 0という仮定からわかる。微分が正なので、

sはtに関して単調増加になり、逆関数が存在する。よって、tをsの関数として t=t(s)を考えることもできる。これを元の曲線に代入し(x(t(s)), y(t(s)))とする と、パラメータtによる表示からパラメータsによる表示を得る。このパラメータ sを曲線の弧長パラメータと呼ぶ。幾何学的な意味を考えると弧長パラメータsに 関する速度ベクトルは単位ベクトルになることがわかる。曲線に対して弧長パラ メータは平行移動と向きを逆にすることを除けば一意的に定まる。そのため曲線 の一般論を展開する際には、弧長パラメータは使いやすいパラメータである。そこ で、R²の曲線を弧長パラメータsを使ってp(s)と表す。sが弧長パラメータであ ることからp(s)の速度ベクトルp^′(s)は単位ベクトルになり、R² の内積を⟨ ·, · ⟩ で表すと、⟨p^′(s),p^′(s)⟩= 1が成り立つ。この両辺をsで微分すると

0 =⟨p^′(s),p^′(s)⟩^′ =⟨p^′′(s),p^′(s)⟩+⟨p^′(s),p^′′(s)⟩= 2⟨p^′(s),p^′′(s)⟩

となり、⟨p^′(s),p^′′(s)⟩ = 0を得る。これはp^′(s)とp^′′(s)が直交することを意味す る。e1(s) = p^′(s)とおくとe₁(s)とe^′₁(s)が直交することになる。e1(s)を反時計 回りに90度回転したベクトルをe₂(s)で表すと、e^′₁(s)とe₂(s)は線形従属になり

e^′₁(s) =κ(s)e₂(s)

を満たす関数κ(s)が定まる。κ(s)が曲線の曲率である。ここで、⟨e₁(s),e₂(s)⟩= 0 の両辺を微分すると

0 = ⟨e^′₁(s),e₂(s)⟩+⟨e₁(s),e^′₂(s)⟩ となり、

⟨e1(s),e^′₂(s)⟩=−⟨e^′₁(s),e2(s)⟩=−κ(s) がわかる。⟨e₂(s),e₂(s)⟩= 1 の両辺を微分すると

⟨e2(s),e^′₂(s)⟩= 0 がわかる。e1(s),e₂(s)はR²の正規直交基底なので、

e^′₂(s) =⟨e₁(s),e^′₂(s)⟩e₁(s) +⟨e₂(s),e^′₂(s)⟩e₂(s) = −κ(s)e₁(s).

以上より次の定理を得る。

定理 1.1.1 (フレネの公式) 弧長sをパラメータに持つ平面曲線p(s)の曲率をκ(s) とする。p(s)の速度ベクトルe₁(s) = p^′(s)とe₁(s)を半時計回りに90度回転した ベクトルe₂(s)は次を満たす。

e^′₁(s) =κ(s)e₂(s), e^′₂(s) = −κ(s)e₁(s).

R²の元を縦ベクトルとみなして、二つ並べたものを2次正方行列とみると、フ レネの公式を

d

ds[e₁(s)e₂(s)] = [e₁(s)e₂(s)]

[

0 −κ(s) κ(s) 0

]

(1.1) と表せる。e1(s),e₂(s)は曲線の動標構と呼ばれている。曲線の曲率は単位接ベク トルe₁(s)の変化を記述するものとして定めたが、曲率は動標構の変化も記述して いることをフレネの公式は示している。さらにフレネの公式から曲率が曲線の形 を決めていることや、曲率からもとの曲線を構成できることを示す。これらを示 すためと後で曲面の場合に話を進めるために、Rⁿの運動群を考えておく。

n次実正方行列の全体をM(n,R)で表し、

SO(n) ={g ∈M(n,R)|^tgg =In, detg = 1}

によってn次回転群SO(n)を定義する。ここで，^tgはgの転置行列であり、Inは n次単位行列である。回転群SO(n)が行列の積に関して群になることを示してお こう。g, h∈SO(n)に対して

t(gh)(gh) = ^th^tggh=^thI_nh=^thh=I_n, det(gh) = det(g) det(h) = 1 となるので、gh∈SO(n)である。

t(g⁻¹)g⁻¹ =gg⁻¹ =I_n, det(g⁻¹) = (detg)⁻¹ = 1

となるので、g⁻¹ ∈ SO(n)である。以上より、SO(n)が行列の積に関して群にな ることがわかる。

平面曲線の話に戻って、動標構の定め方より[e₁(s) e₂(s)]はSO(2)の元である ことを以下で証明する。

e₁(s) = [

x(s) y(s) ]

とおく。これは単位ベクトルなので

x(s)²+y(s)² = 1

が成り立つ。e2(s)はe₁(s)を反時計回りに90度回転したベクトルだから e₂(s) =

[−y(s) x(s)

]

となる。これらより

[e₁(s)e₂(s)] = [

x(s) −y(s) y(s) x(s)

] ,

t[e₁(s)e₂(s)][e₁(s)e₂(s)] = [

x(s) y(s)

−y(s) x(s) ] [

x(s) −y(s) y(s) x(s)

]

= 1, det[e₁(s)e₂(s)] =

x(s) −y(s) y(s) x(s)

=x(s)²+y(s)² = 1 となり、[e1(s)e₂(s)]∈SO(2)がわかる。

再びRⁿの話に戻り、Rⁿの運動群を定める。Rⁿの向きを変えない等長変換は R∈SO(n)とv∈Rⁿによって次のように表せる。

Rⁿ →Rⁿ; x7→Rx+v この作用を行列の積で実現しようとすると、

[ R v

0 1 ] [

x 1 ]

= [

Rx+v 1

]

とできる。この表現を使って、Rⁿの運動群M(Rⁿ)を M(Rⁿ) =

{[

R v 0 1

]R ∈SO(n),v ∈Rⁿ }

によって定める。R∈SO(n)とv ∈Rⁿの定める等長変換とR^′ ∈SO(n)とv^′ ∈Rⁿ の定める等長変換の合成は

x7→R(R^′x+v^′) +v=RR^′x+Rv^′+v

となるので、RR^′とRv^′+vの定める等長変換になっている。他方、これら等長 変換に対応するn+ 1次正方行列の積は

[ R v

0 1 ] [

R^′ v^′

0 1

]

= [

RR^′ Rv^′+v

0 1

]

となり、上記のRR^′とRv^′+vの定める等長変換に対応するn+ 1次正方行列に 一致する。したがって、M(Rⁿ)の積は等長変換の合成とみなしても、n+ 1次正 方行列の積とみなしてもよい。

M(Rⁿ)の元のRⁿ成分を対応させる写像を π₀ :M(Rⁿ)→Rⁿ;

[ R v

0 1 ]

7→v

で表すことにする。

平面曲線の議論に戻る。平面曲線p(s)とその動標構e₁(s),e₂(s)を合わせたもの

˜ p(s) =

[

e1(s) e2(s) p(s)

0 0 1

]

(s∈I)

は定義域IからM(R²)への写像になりp=π₀◦p˜を満たす。このような性質を持 つp˜をpの持ち上げと呼ぶ。

平面曲線の持ち上げを考える理由は，曲率と運動群の作用との関係を表しやす くするためである。p(s)˜ を微分すると

˜ p^′(s) =

[

e^′₁(s) e^′₂(s) p^′(s)

0 0 0

]

= [

κ(s)e₂(s) −κ(s)e₁(s) e₁(s)

0 0 0

]

= [

e₁(s) e₂(s) p(s)

0 0 1

] 

0 −κ(s) 1

κ(s) 0 0

0 0 0



= ˜p(s)





0 −κ(s) 1

κ(s) 0 0

0 0 0





となり、

˜

p^′(s) = ˜p(s)





0 −κ(s) 1

κ(s) 0 0

0 0 0



 (1.2)

を得る。そこで

K(s) =





0 −κ(s) 1

κ(s) 0 0

0 0 0



 (1.3)

と書くことにすると、(1.2)は

˜

p^′(s) = ˜p(s)K(s) (1.4)

となり、この両辺にp(s)˜ ⁻¹を左から掛けると、

˜

p(s)⁻¹p˜^′(s) = K(s) (1.5)

を得る。

もし、同じ開区間Iで定義された平面曲線p₁(s)とp₂(s)が，R∈SO(2)とv ∈R² によって

p₂(s) =Rp₁(s) +v (s ∈I) を満たすとき、R,vから定まるM(R²)の元を

A= [

R v 0 1 ]

(1.6)

で表すと、˜p₂(s) = A˜p₁(s)が成り立つ。これは次のようにわかる。まず、p₁(s)と p₂(s)の関係式の両辺をsで微分すると、p₁(s)の速度ベクトルにRを作用させる とp₂(s)の速度ベクトルに一致する。これらを反時計回りに90度回転したベクト ルについても同様である。よって、˜p₂(s) = A˜p₁(s)が成り立つことがわかる。こ の等式から

˜

p₂(s)⁻¹p˜^′₂(s) = (A˜p₁(s))⁻¹(A˜p₁(s))^′ = ˜p₁(s)⁻¹A⁻¹A˜p^′₁(s) = ˜p₁(s)⁻¹p˜^′₁(s) がわかり、(1.5)よりp₁(s)とp₂(s)の曲率が等しいと結論できる。

逆に，p₁(s)とp₂(s)が同じ曲率κ(s)を持てば、

˜

p^′₁(s) = ˜p₁(s)K(s), p˜^′₂(s) = ˜p₂(s)K(s)

が成り立つ。この後、n次正則行列に値を持つ関数g(s)に対して、g(s)⁻¹の微分 を計算する必要があるので、これを求めておく。

補題 1.1.2 n次正則行列に値を持つ関数g(s)に対して次が成り立つ。

d

dsg(s)⁻¹ =−g(s)⁻¹g^′(s)g(s)⁻¹. (1.7) 証明 g(s)⁻¹g(s) = I_nの両辺をsで微分すると、積の微分の公式より

( d

dsg(s)⁻¹ )

g(s) +g(s)⁻¹g^′(s) = 0

となり、左辺の第二項を移項して両辺に右からg(s)⁻¹をかけると(1.7)を得る。

(1.7)を使って計算すると

d ds

(p˜₂(s)˜p₁(s)⁻¹)

= ˜p^′₂(s)˜p₁(s)⁻¹+ ˜p₂(s) d

dsp˜₁(s)⁻¹

= ˜p₂(s)K(s)˜p₁(s)⁻¹−p˜₂(s)˜p₁(s)⁻¹p˜^′₁(s)˜p₁(s)⁻¹

= ˜p₂(s)K(s)˜p₁(s)⁻¹−p˜₂(s)˜p₁(s)⁻¹p˜₁(s)K(s)˜p₁(s)⁻¹

= ˜p₂(s)K(s)˜p₁(s)⁻¹−p˜₂(s)K(s)˜p₁(s)⁻¹ = 0

がわかり、˜p₂(s)˜p₁(s)⁻¹ はsに依存しない一定のA∈M(R²)に一致する。すなわ ち、˜p₂(s)˜p₁(s)⁻¹ =Aである。この両辺に右からp˜₁(s)をかけるとp˜₂(s) = A˜p₁(s) となり、(1.6)と同様にAを記述すると、π0◦p˜₂(s) =π₀◦A˜p₁(s)より

p₂(s) =Rp₁(s) +v が成り立つ。以上の議論をまとめると次の定理を得る。

定理 1.1.3 二つの平面曲線が同じ曲率を持つ必要十分条件は、二つの曲線が運動

群の作用で写り合うことである。

開区間I上の関数κ(s)に対して、κ(s)を曲率として持つ曲線を構成する。(1.1) を未知関数[e₁(s)e₂(s)]に関する常微分方程式とみなすと、(1.1)は線形常微分方 程式である。線形常微分方程式の一般論から、任意の初期条件に対して(1.1)の解 はIにおいて一意的に存在することが知られているが、この場合は以下のように 直接解を記述できる。その記述に必要になる回転行列の性質をまず示しておく。

R(θ) = [

cosθ −sinθ sinθ cosθ

]

によって回転行列R(θ)∈SO(2)を定める。θがsの関数の場合には d

dsR(θ) =

[−sinθ^dθ_ds −cosθ^dθ_ds cosθ^dθ_ds −sinθ^dθ_ds

]

= [

cosθ −sinθ sinθ cosθ

] [

0 −^dθ_ds

dθ

ds 0

]

=R(θ) [

0 −^dθ_ds

dθ

ds 0

]

が成り立つ。したがって、常微分方程式(1.1)は、常微分方程式 dθ

ds =κ(s)

に帰着する。これは最も簡単な常微分方程式であり、初期条件θ(s0) = θ0, s0 ∈ I に対して

θ(s) =

∫ s s0

κ(u)du+θ₀

が一意的な解である。これより、R(θ(s))は初期条件R(θ(s₀)) = R(θ₀)に対する (1.1)の一意的な解になる。R(θ(s)) = [e1(s) e₂(s)]によってe₁(s), e₂(s)を定め ると、

e₁(s) = [

cosθ(s) sinθ(s) ]

=



cos(∫s

s0κ(u)du+θ₀ ) sin(∫s

s0κ(u)du+θ₀ )





となる。v0 ∈R²に対して

p(s) =





∫s

s0cos(∫s

s0κ(u)du+θ₀ )

∫_s ds

s0sin(∫s

s0κ(u)du+θ₀ )

ds



+v₀

とおくと、p(s)は曲率κ(s)の平面曲線であることがわかる。

上で構成したp(s)からp(s)˜ を定めると、˜p(s)は(1.4)を満たすこともわかる。

すなわち、(1.4)を未知関数p(s)˜ に関する常微分方程式とみなしたとき、任意の初 期条件に対して(1.4)の解を構成したことになる。

1.2 _線形群

前節ではM(R²)への写像を利用して、平面曲線の曲率とM(R²)の作用との関 係を明らかにし、曲率が平面曲線の一意性と存在を支配していることを示した。こ の方法を曲面の場合に適用するために、行列の成す群への写像の一意性と存在の 条件を考える。

n次実正方行列の全体M(n,R)は自然にRⁿ² と同一視でき、この同一視によっ てRⁿ² の標準的な位相からM(n,R)の位相を定める。

GL(n,R) ={g ∈M(n,R)|detg ̸= 0}

によって一般線形群GL(n,R)を定める。行列式は行列の成分の多項式になり、特 に連続関数になる。よってGL(n,R)はM(n,R)の開集合である。GL(n,R)の部 分群が閉集合になっているとき、線形群と呼ぶ。特に、GL(n,R)はGL(n,R)の部 分群であり閉集合なので、GL(n,R)は線形群である。

SO(n)は線形群であることを示す。SO(n)の定義より

SO(n) ={g ∈GL(n,R)|^tgg =I_n, detg = 1}

である。そこで、φ(g) = ^tgg(g ∈GL(n,R))によって写像φ:GL(n,R)→GL(n,R) を定めると、φ(g)はgの成分の二次式になり、特に連続写像である。したがって、

SO(n) =φ⁻¹(I_n)∩det⁻¹(1)はGL(n,R)の閉集合になり、SO(n)は線形群である。

M(Rⁿ)も線形群であることを示す。

A(Rⁿ) = {[

R v 0 1

]R ∈GL(n,R), v ∈Rⁿ }

とおくと、GL(n+ 1,R)の元の第n+ 1行が[0 1]に固定されたもの全体になって いるので、A(Rⁿ)はGL(n+ 1,R)の閉集合である。M(Rⁿ)の場合と同様に、Rⁿ のアフィン変換x7→Rx+v の合成は対応するA(Rⁿ)の行列としての積に対応す る。特に、行列の積によって群になる。さらに上の形よりA(Rⁿ)は位相空間とし てGL(n,R)×Rⁿと同相になる。M(Rⁿ)はSO(n)×Rⁿと同相になり、SO(n)は GL(n,R)の閉集合なので、M(Rⁿ)はA(Rⁿ)の閉集合になる。したがって、M(Rⁿ) はGL(n+ 1,R)の閉集合になり、M(Rⁿ)は線形群である。

定理 1.2.1 線形群G⊂GL(n,R)の単位元I_nを通る曲線 c: (−ε, ε)→G (c(0) = In) の0における速度ベクトルc^′(0)の全体をgで表す。

[X, Y] =XY −Y X (X, Y ∈M(n,R))

によってM(n,R)の二項演算[X, Y]を定める。すると、gはM(n,R)の部分ベクト ル空間になり、X, Y ∈gに対して[X, Y]∈gが成り立つ。gをGのリー環と呼ぶ。

証明 c(t) =I_nをtで微分すると0になり、0∈gである。X ∈gに対して、In

を通る曲線

c: (−ε, ε)→G (c(0) =I_n)

が存在してc^′(0) =Xとなる。r ∈ Rに対してd :t 7→c(rt)もInを通るGの曲線 になり、d^′(0) =rc^′(0) =rXはgに含まれる。X, Y ∈gに対してI_nを通るGの曲 線x(t), y(t)であってx^′(0) =X, y^′(0) =Y を満たすものをとる。GはGL(n,R)の 部分群なのでx(t)y(t)はInを通るGの曲線になる。さらに、

d

dtx(t)y(t) t=0

= d dtx(t)

t=0

y(0) +x(0) d dty(t)

t=0

=x^′(0) +y^′(0) =X+Y となるので、X+Y ∈gが成り立つ。したがって、gはM(n,R)の部分ベクトル空 間である。

g ∈GとX ∈gに対してgXg⁻¹ ∈gが成り立つことを次に示す。Inを通る曲線 c: (−ε, ε)→G (c(0) =I_n, c^′(0) =X)

をとる。gc(t)g⁻¹もGの曲線になり、gc(0)g⁻¹ =I_nが成り立つ。よって d

dtgc(t)g⁻¹ t=0

=gXg⁻¹ ∈g

が成り立つ。これを使ってX, Y ∈ gに対して[X, Y] ∈ gが成り立つことを示す。

c(t) ∈ G, Y ∈ gより、c(t)Y c(t)⁻¹ ∈ gが成り立つ。積の微分の公式と(1.7)を使 うと

d

dtc(t)Y c(t)⁻¹ t=0

= d dtc(t)

t=0

Y c(0)⁻¹+c(0)Y d

dtc(t)⁻¹ t=0

=XY −Y X = [X, Y]

を得る。c(t)Y c(t)⁻¹はM(n,R)内の部分ベクトル空間gの曲線なので、[X, Y]∈g が成り立つ。

実は線形群G⊂ GL(n,R)は、GL(n,R)の部分多様体になることが知られてい る。この結果は認めることにする。上で定義したGのリー環は部分多様体として のGの単位元Inにおける接ベクトル空間TIn(G)に他ならない。

定理 1.2.2 SO(n)のリー環so(n)は

so(n) = {X∈M(n,R)|^tX+X = 0}.

証明 SO(n)の単位元を通る曲線c : (−ε, ε) → SO(n) に対して^tc(t)c(t) = I_n が成り立つ。この両辺をtで微分すると

d dt

tc(t) t=0

c(0) +^tc(0) d dtc(t)

t=0

= 0

を得る。行列に対して微分する操作と転置行列をとる操作は可換なので、

t( d dtc(t)

t=0

) + d

dtc(t) t=0

= 0 となり、

so(n)⊂ {X ∈M(n,R)|^tX+X = 0} を得る。逆に^tX+X = 0を満たすX ∈M(n,R)をとる。

c(t) = (

I_n+ t 2X

) ( I_n− t

2X )₋1

とおく。c(t)は0の近傍で定義されたSO(n)の曲線になり、

c(0) =In, c^′(0) = X

を満たすことを以下で示す。c(0) = I_nはc(t)の定め方よりわかり、c(t)は0の近 傍で定義できるGL(n,R)の曲線になる。

tc(t)c(t) =

t( I_n− t

2X

)₋1t( I_n+ t

2X ) (

I_n+ t 2X

) ( I_n− t

2X )₋1

= (

I_n+ t 2X

)₋1( I_n− t

2X ) (

I_n+ t 2X

) ( I_n− t

2X )₋1

((

I_n− t 2X

) と

( I_n+ t

2X )

は可換なので )

= (

I_n+ t 2X

)₋1( I_n+ t

2X ) (

I_n− t 2X

) ( I_n− t

2X )₋1

=I_n

となりc(t)は直交行列になる。よって、detc(t) = ±1であるが、detc(t)はtに関 して連続でありdetc(0) = 1なので、detc(t) = 1が成り立つ。これらより、c(t)は I_nを通るSO(n)の曲線になる。積の微分の公式と(1.7)を使うと

d dtc(t)

t=0

= d dt

( I_n+ t

2X) t=0

+ d dt

( I_n− t

2X )₋1

t=0

= 1 2X+1

2X =X.

以上より

so(n)⊃ {X ∈M(n,R)|^tX+X = 0} を得る。したがって、次の等式を得る。

so(n) ={X ∈M(n,R)|^tX+X = 0}.