離散数学 (2)
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Answer the problems (1) and (2).
(1) Let S be the set of integers greater than 1. We define a binary relationR on S as follows: “a R bif and only if gcd(a, b)>1.” Prove or disprove the following statements.
(a) R is reflexive.
(b) R is symmetric.
(c) R is transitive.
(d) R is antisymmetric.
(e) R is an equivalence relation.
(2) Let S ={x |x is a real number and 0≤x≤10}. A binary relation∼ onS is defined by the rule that x ∼ y means x−y is an integer. Show that ∼ is an equivalence relation. Then list the elements of the equivalence class that have a representative 0.
以下の問題(1)，(2)に答えよ．
(1) Sを2以上の整数の集合とする．S上の二項関係Rを「gcd(a, b) >1 であるときa R b」と定義する．以 下の主張を証明するか，成り立たない場合は反例を示せ．
(a) Rは反射的である．
(b) Rは対称的である．
(c) Rは推移的である．
(d) Rは反対称的である．
(e) Rは同値関係である．
(2) S={x|xは実数かつ0≤x≤10}とする．S上の二項関係∼を「x−yが整数であるときx∼y」と定義 する．∼が同値関係であることを示せ．また0を代表元とする同値類の要素をすべて挙げよ．
