高等学校
平 成11年 度
教 育 研 究 員 研 究 報 告 書
囲
東 京 都 教 育 委 員 会
主題 事象 を数学的 に考察 し処 理 する能力 を高 め、創 造性 の基礎 を培 う 教材 や指導方法の工夫
主 題 設 定 の 理 由
新 しい 高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 ・数 学 科 の 目標 に は 、 新 た に 「数 学 的 活 動 を 通 し て 創 造 性 の 基 礎 を 培 う」 こ と が 加 え ら れ た 。 「数 学 的 活 動 」 を 通 し て 、 論 理 的 思 考 力 、 創 造 力 及 び 直 観 力 な ど の 創 造 性 の 基 礎 を培 い 、 自 ら 課 題 を 見 付 け 主 体 的 に 問 題 解 決 を す る な ど の 「生
き る 力 」 を 育 成 す る こ と が 重 視 さ れ て い る 。
数 学 の 学 習 で は 、 数 学 的 な 知 識 の 習 得 や 技 能 の 習 熟 に と ど ま る の で は な く 、 学 習 の 必 要 性 に 気 付 か せ る と と も に 、 情 意 面 を 重 視 した 指 導 に よ っ て 内 容 を よ り深 く理 解 さ せ る こ と が 大 切 で あ る 。
本 研 究 で は 、 基 礎 的 ・基 本 的 な 知 識 ・技 能 の 習 得 を 図 る と と も に 、 多 面 的 に も の を 見 る 力 や 論 理 的 に 考 え る 力 を は ぐ く む 教 材 の 開 発 と 指 導 方 法 の 工 夫 に 焦 点 を 当 て 、 上 記 の 主 題
を設 定 し、 実 践 授 業 を 通 して 分 析 を 行 っ た 。
平成11年 度教育研究 員(数 学)名 簿
班 研 究 テ ー マ 学 校 名 氏 名
都立 園芸高等学校 岡 村 ひ ろ み 都立芸術高等学校 福 原 利 信 具体的 な作業 を通 して加法定理
1 都立 蔵前工業高等学校 斉 藤 康 二
の理解 を深め る指導 と教材の工夫
都立 両国高等学校 清 水 政 一
都立清瀬高等学校 中 川 徹
都立大学 附属 高等学校 杉 本 悦 郎
都立足立東高等学校 大 石 徹
具 体 的 な 作 業 を 通 し て 、 生 徒 自
II 都立砂 川高等学校 赤 岩 辰 巳
ら が 納 得 で き る ベ ク トル の 指 導
都立五 日市高等 学校 浅 田 慶 一 都立南野高等学校 加 藤 昌 子
「身 近 な 統 計 に 興 味 を 持 た せ る 都立一橋 高等 学校 八百板 勝 紀
学 習 」 の 工 夫 都 立 代 々 木 高等 学校 落 合 秀 好
皿 一 グ ラ フ を 見 る こ と に よ り 都立南平高等学校 栗 原 幸 一
考 え る 意 欲 を 芽 生 え させ る 一 都立第五商業高等学校 霧 生 智 信 担当 教育庁指導部高等学校教育指導課指導主事 酒 井 千 春
目 次
1具 体 的 な 作 業 を 通 して 加 法 定 理 の 理 解 を深 め る 指 導 と 教 材 の 工 夫 1
2
3.指 導 計 画 4.学 習 指 導 案 5
研 究 の ね ら い 指 導 方 法 の 工 夫
教 材 ・教 具 の 工 夫 6.研 究 授 業 の 考 察 と分 析 7.ま と め
H具 体 的 な 作 業 を 通 し て 、 生 徒 自 ら が 納 得 で き る ベ ク トル の 指 導 1.研 究 の ね ら い
2.研 究 の 内 容 ・方 法 3.教 材 と 指 導 方 法 の 工 夫 4.指 導 計 画
5.授 業 記 録 6.分 析 と 考 察 7.ま と め
m「 身 近 な 統 計 に 興 味 を 持 た せ る 学 習 」 の 工 夫
一 グ ラ フ を 見 る こ と に よ り 考 え る 意 欲 を 芽 生 え さ せ る 一
1.研 究 の ね ら い 2.研 究 の 内 容 ・方 法 3.授 業 実 践(A校) 4.授 業 実 践(B校) 5.分 析 と 考 察
6.ま と め と 今 後 の 課 題
り々9乙34設U71QU001⊥‑り々5瓜U11111111 7‑7‑8044111り乙り乙り乙
1具 体 的な作 業 を通 して加 法定理 の理解 を深 める指 導 と教材 の工夫
概 要
数 学IIで 学 習 す る 三 角 関 数 の 加 法 定 理 の 導 入 方 法 は 教 科 書 に よ っ て 様 々 で あ る 。 しか し、
現 行 の 教 科 書 の 多 く は う ま く証 明 す る こ と に 重 点 が 置 か れ て い る よ う で あ り、 そ の 後 の 定 理 の 定 着 が 難 しい よ う で あ る 。 そ こ で 数 学1で す で に 学 習 し て い る こ と を 活 用 し て 、 生 徒 自 ら の 作 業 に よ っ て 定 理 を 導 き 出 せ る よ う な 指 導 方 法 を 考 え 実 践 す る こ と に し た 。 定 理 を 理 解 し、 そ の 後 の 定 着 を 図 れ る よ う に 、 生 徒 へ の 課 題 の 与 え 方 や ワ ー ク シ ー トな ど を 工 夫 した 。 そ の 結 果 、 多 くの 生 徒 は 加 法 定 理 を 自 ら導 き 出 した と い う達 成 感 を も ち 、 そ の 後 の 学 習 に も積 極 的 に 取 り組 む よ う に な っ た 。
1.研 究 の ね ら い
加 法 定 理 の 指 導 に お い て は 、 単 位 円 周 上 の2点 間 の 距 離 を 計 算 す る こ と に よ り定 理 を 証 明 す る 方 法 が 一 般 的 で あ る 。 しか し 、 生 徒 た ち に は 「なぜ 回 転 を させ て 証 明 を す る の か 」 が 理 解 で き ず 学 習 の 妨 げ に な っ て い た よ う で あ る 。 定 理 の 証 明 に 重 点 が 置 か れ 生 徒 へ の 定 着 率 も 低 く 、 公 式 の 利 用 の み に な っ て い る よ う に 思 わ れ る 。 ま た 、 こ の 説 明 で は 中 学 校 で の 図 形 の 学 習 や 、 数 学1で の 三 角 比 な ど で 学 ん だ こ と が 生 か さ れ て い な い 。
そ こ で 、 新 学 習 指 導 要 領 の 目標 に もあ る よ う に 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を 認 識 さ せ 積 極 的 に 活 用 で き る よ う な 教 材 の 工 夫 を 行 っ て い き た い と 考 え 、 こ の 研 究 の ね ら い と した 。 本 研 究 で は 具 体 的 に 、30。 、45.、60.を 含 む 直 角 三 角 形 の 辺 の 比 な ど を 用 い て 、750の サ イ ン 、 コ サ イ ン 、 タ ン ジ ェ ン トの 値 を 図 形 的 に 求 め さ せ る 。 さ ら に一 般 的 な 角 α、 角 β の2 つ の 直 角 三 角 形 を 組 み 合 わ せ た 図 形 か ら 、 同 じ よ う に 角(α+β)の 三 角 関 数 の 値 を 角 α 、 角 βの サ イ ン 、 コサ イ ン で 表 して 加 法 定 理 を 導 き 出 す 過 程 を 取 り上 げ る 。 測 量 か ら 発 展 し た 内 容 と し て 三 角 比 ・三 角 関 数 を と ら え 、 学 習 の 流 れ が 自 然 な も の と な る よ う 教 材 お よ び 指 導 方 法 を 工 夫 した 。
2.指 導 方 法 の 工 夫
加 法 定 理 の 導 入 で は 以 下 の よ う な 方 法 が 多 く用 い ら れ て き た 。
図1y T
p1
'' ' '
a.
》f。 A>
一i 0 ix
一1
y 図2
1A Q
R A>
1 O 一a ix
R
一1
図1、2の よ う に 点 を と る と 、
P(cos(α+β),sin(α+β))、Q(cosβ,sinβ)、R(cosα,‑Slria)と な り AP2={cos(a+(3)‑1}Z+sin2(a+Q)=2‑2cos(a+(3)・ ・・…Di
ま た 、
QR2=(cosy‐cosy)2+(sinQ+sins)z=2‑2(cosacosR‐sin≪sing)・ ・・…OO
① 、 ② よ り
cos(a+(3)=cosacosR‐sinasinR
こ の よ う に 式 を 変 形 す る こ と に よ っ て 加 法 定 理 を 導 き 出 す 方 法 は 、 加 法 定 理 の 証 明 と し て は 一 般 的 だ が 、 生 徒 が こ れ ま で 学 ん で き た こ と を 活 用 し て い な い よ う に 思 わ れ る 。 そ こ で 、 三 角 比 や 図 形 を 用 い た 指 導 法 を 考 え て み た 。 す で に 学 ん だ こ と を 活 用 し て 生 徒 自 ら 加 法 定 理 を 導 き 出 す こ と が で き る 図 形 を 用 意 す る こ と に し た 。
図3 図4 DE
45°
30° Q
Aα H
C
B
図3は30.、45.を 含 む 直 角 三 角 形 の 組 み 合 わ せ に よ り75.の 角 度 を 作 り 出 し て い る 。 そ し て 、 そ れ ぞ れ の 辺 の 長 さ を 求 め る こ と に よ り、sin(30.+45.)、cos(30.+45.)、tan(30.+45。)
を 求 め さ せ る 。
図4は 図3を 一 般 に 拡 張 し た も の で あ る 。
図3、4を 基 に 生 徒 の 実 態 に 応 じ て 作 成 し た ワ ー ク シ ー ト を 準 備 す る 。 生 徒 が こ れ ま で に 学 ん だ こ と を 利 用 し て ワ ー ク シ ー ト に 補 助 線 や 数 値 な ど を 書 き 込 み 、 加 法 定 理 を 視 覚 的 に と
ら え ら れ る よ う に 配 慮 し て 授 業 展 開 し た 。
3.指 導 計 画
第1時 間 目 「三 角 比 の 復 習 と 図 形 を 用 い た 加 法 定 理 の 導 入 」 図3を 用 い てsin(30.+45.)、cos(30.+45°)を 求 め る 。
図4を 用 い て α+β<90.の 場 合sin(α+β)、cos(α+β)を 求 め る 。 第2時 間 目 「加 法 定 理 の 発 展 」
図4を 用 い てtan(、+β)を ⊇旦 で 考 え さ せ 、 そ れ をtan、 、tanβ で 表 せ る こ と を 説 明 す る 。 AH
一 般 的 な 角 で も 成 立 す る こ と を 説 明 し てsin(一 α)=sina
、cos(一 α)=Cosaの 関 係 を 利 用 し てsin(α 一 β)、cos(α 一 β)、tan(α 一 β)を 求 め る 。
第3時 間 目 「加 法 定 理 の 定 着 」
1、2時 間 目 で 学 ん だ こ と を 確 認 し 問 題 演 習 す る 。
4.学 習 指 導 案 く 本 時 の 目 標 〉
・sin75。 の 値 を 求 め る こ と か らsin(α+β)の 加 法 定 理 を 導 く。
・作 業 を 通 し て 加 法 定 理 を 導 く こ と が で き た 達 成 感 を 味 わ わ せ る。
時間
入分導5
展 開1 15分
展 開2 25分
指 導 内 容 2つ の 角 の 和 ま た は差 の三 角 関 数 の 値 は 、そ れぞ れ の角 の 三 角 関 数 の 値 で 表 す こ とが で
き る。
75。=30.+45.よ り
sin75°=sin30° 十sin45°
と な る か?
sin75° 十sin30° 十sin45°
と な る こ と の 確 認
sin(30° 十45°)
=sin30°cos45°
十cos30°sin45°
cos(30° 十45°)
=cos30°cos45°
‐sin30°sin45°
を 図 形 的 に 示 し て み る 。
30.、45.、60.の 直 角 三 角 形 の 辺 の 比 を 確 認 さ せ る 。
右 の 図 か ら 辺 の 長 さ等 を 求 め sin75.を 計 算 さ せ る 。
(ワ ー ク シ ー ト配 布)
ワ ー ク シ ー トの 空 欄 に 数 値 を 記 入 させ る 。
同 様 に 一 般 の 角 の α、 β の 直 角 三 角 形 を 使 っ て
sin(α+β)、COS(α+β)を 図 形 を 用 い て 求 め る 。
学 習 活 動
・i・3ぴ ・音 ・ ・i・45° ≒ ・!1071
sin30° 十sin45°=.1.2071>1
だ か ら sin75° 十sin30° 十sin45°
∠1 1
劉・
ワ ー ク シ ー ト[1]の 活 用
補 助 線DHを 考 え させ る。
sin75̀=ADAD 1+而 2ρ
0
指導上の留意点
生 徒 に応 じて 三 角 関 数 表 で確 認 させ て も よい 。
sin30°=0.5000 sin45°=0.7071 sin75°=0.9659
補 助 線DHを う ま く 引 け な い 生 徒 に は 「75.を 含 む 三 角 形
を 考 え よ 。」 と指 示 す る 。
辺 の 長 さが 求 め られ て い るか 生 徒 の様 子 を見 て発 問 す る。
sin75° の 値 が 求 め ら れ て い る 生 徒 に は 、cos75.の 値 を 考 え さ せ る 。
時間 指 導 内 容 学 習 活 動 指導上の留意点
右 図 のx,yをr、 α で 表
す 。 生 徒 にsinα 、COSaの 値 を 、
ry
α
辺 の 比 で 答 え させ る 。
x
Slnαy、COSα==.xよ り
rr
x=rcosa,y=rsing を確 認 す る 。
ワ ー ク シ ー ト[2]の 活 用
△ACDに お い て
AC、CDを 求 め さ せ る 。 D 巳巳昌薗E AD=1と す る と計 算 が 簡 単
△CEDに お い て に な る こ と を 指 示 す る 。
∠DCEを 求 め させ て
CE、DEを 求 め さ せ る 。 1 C 求 め る辺 を含 む三 角 形 を抜 き
△ABCに お い て 出 し て 考 え させ る 。
AB、BCを 求 め さ せ る 。
a
α
AH B CEの 長 さが 求 め られ な い 生
徒 に ∠DCE=α と な る こ と
AC=cosR,DC=sin( を 確 認 させ る と よ い 。 AB=ACcosα 〒cosβcosα
BC=ACsina=cosasina
CE=DCcosa=sinRcosa 生 徒 に考 え る 時 間 を与 え て 、 DE=DCsina=sinRsina 自分 で 導 く よ う に す る 。
か ら
・i・(・+β)‑DH̲BCAD+CE 生 徒 の様 子 を見 て 、生 徒 に 発 問 ・誘 導 す る 。
=Sir1αCOSβ+COSαSinβ
…(・+β)‑AH‑ABAD‑DE AHの 長 さが 、 ど の2つ の 線 分 の差 に な る か答 え させ る 。
=COSaCOsQ‐SlriaSlna AH=AB‑HB
と な る 。 =AB‑DE
ま とめ 求 め た 式 に sin75°=sin(30° 十45°)
5分 a=30°,/3=45° =sin30°cos45° 十cos30°sin45°
を代 入 して① の 結 果 と 公 式 を利 用 した場 合 の答 え と
比 較 さ せ る 。
一÷ ・1+乎 ・1‑1+而
図 形 的 に処 理 して 求 め た答 え 2⑫ が 一 致 す る こ と を 確 認 す る 。
5.教 材 ・教 具 の 工 夫 (1)ワ ー ク シ ー ト の 工 夫
最 初 は 、30.と45.を 含 む 直 角 三 角 形 を 合 わ せ た だ け の 、 図5を 描 い た ワ ー ク シ ー ト を 作 成 し 、 生 徒 が 自 分 で 補 助 線 を 記 入 す る よ う に し た 。 し か し 、sin75° の 値 を 求 め る の に 何 が 分 か れ ば よ
い か と い う こ と に 気 が つ く 生 徒 が 少 な か っ た 。
そ こ で 、 図6の よ う に 最 初 か ら 三 角 形CDEを 描 い た ワ ー ク シ ー ト を 作 成 し 、 辺BEと 辺 ADの 長 さ を 求 め てsin75.の 値 を 求 め さ せ る よ う に し た 。 さ ら に 、 生 徒 が 何 を 求 め れ ば よ い か を 明 確 に す る た め に 、 図7の よ う に 辺BCの 長 さ を1と し 、 求 め る 辺 の 長 さ や 角 度 に 空 欄 を 付 け た ワ ー ク シ ー ト に し た 。 こ う す る こ と で 、 多 く の 生 徒 が 理 解 で き る よ う に な っ た 。
図5
A
D
C
B
図6
A
D E
C
B
D}E 図7
A 1
c
1 B
図8 こ れ ら の こ と を 踏 ま え た 上 で 、 一 般 的
な 場 合 の 角(α+β)に つ い て も ワ ー ク シ ー ト を 工 夫 し た 。sin75.の 時 と 同 様 に 空 欄 を 埋 め な が ら 辺 の 長 さ を 求 め て い き 、 sin(α+β)の 式 が 導 か れ る よ う に ワ ー
ク シ ー ト 【図8】 を 作 成 し た 。 (2)教 具 の 工 夫
図9の よ う な 一 般 的 な 角(α+β)に つ い て は 、 図10の よ う に 、 角 α の 直 角 三 角 形 の 斜 辺 の 長 さ がrの と き 、 高 さ が rsinα 、 底 辺 がrcosα に な る こ と を 復 習 し て か ら 行 っ た 。 ま た ワ ー ク シ ー ト
A
DE
C
B
ワ ー ク シ ー ト
☆図形 に補助 線 を引き、数値 な どを 〔
[1]
＼ロゾ
/ /
1
に あ る よ う に 、 辺ADの 長 さ は1と し た 。
多 く の 生 徒 は す ぐ 三 角 形AcDの 辺Ac、 辺cDの 長 さ が そ れ ぞ れcosβ,sinr3と 分 か る が 、 辺BCや 辺CEの 長 さ が ど う な る か は す ぐ に は 気 が つ か な い よ う で あ っ た 。
そ こ で 、 写 真1の よ う に 写 真1写 真2
三 角 形ACDを 模 造 紙 で 作 り、
マ グ ネ ッ トで 自 由 に 黒 板 に 掲 示 で き る も の を 作 成 し た 。 授 業 で 説 明 す る 際 に 、 三 角 形ACDを 脇 に 取 り 出 し 、 そ こ で 辺AC、 辺CDを 求 め 、 そ の 値 を 写 真2の よ う
蝶難
葺舞︑墳い
聾奪慰"繍
馨懸
、轟 ジ、
護縛 ア 灘
雛
に 元 の 図 に 書 き 込 み な が ら 、 三 角 形ABCと 三 角 形CDEの 高 さ と 底 辺 を 求 め た 。 こ の よ う に 三 角 形 を 取 り 出 す こ と で 説 明 の 図 が 整 然 と し 、 生 徒 に と っ て 分 か り や す い も の と な っ た 。
6.研 究 授 業 の 考 察 と 分 析 (1)研 究 授 業
前 述 の 学 習 指 導 案 に 従 っ て 、 授 業 実 践 を 行 っ た 。
ま ず 、 ワ ー ク シ ー ト 【図8】[1]を 使 っ て 、 具 体 的 な 値sin75° を 求 め る も の で は 、 基 準 と な る 辺 の 長 さ1が あ る こ と に よ っ て ほ と ん ど の 生 徒 が 図 形 的 に 求 め る こ と が で き た 。 こ の こ と は1年 生 の 三 角 比 の 学 習 の 発 展 に お い て30.と45° の 直 角 三 角 形 を 用 い てsin75.の 三 角 比 を 求 め さ せ て い た の で 、 あ る 程 度 解 く こ と が で き る と 予 想 で き た 。
次 に 、 一 般 化 さ れ た ワ ー ク シ ー ト 【図8】[2]で は 準 備 と 図10 し て 、 図10のx=rcosα,y=rsinα を 解 説 し た 。 さ ら に 、 直 角 三 角 形 を 抜 き 出 し て 解 説 す る 教 具 を 利 用 す る と 、 多 く の 生 徒 が 自 ら 空 欄 に 数 式 を 記 入 す る こ と が で き 、 加 法 定 理 を 導 く こ
y と が で き た 。
研 究 授 業 を 行 っ た ク ラ ス の 中 に は 、 回 転 で 加 法 定 理 を 導 く 方 法 も 説 明 し た ク ラ ス が あ り 、 比 較 の た め ア ン ケ ー トを 実 施 し た 。 ア ン ケ ー ト結 果
ワ ー ク シ ー トの 〔1〕 を 理 解 で き た と 答 え た 生 徒74%
ワ ー ク シ ー トの 〔2〕 を 理 解 で き た と 答 え た 生 徒69%
① 図 形 的 に 求 め る 方 法 に つ い て の 生 徒 の 感 想
・ 自 分 で 作 業 を し な が ら 導 け た の で よ く理 解 で き た。
・図 形 で 求 め る と 納 得 で き る。
・自 分 で 穴 埋 め を し た り す る 方 が 分 か り や す い し覚 え て い ら れ る 気 が す る 。
・図 形 で や っ た ほ う が 分 か り や す い。
・考 え を 整 理 し や す く て、 複 雑 な 式 を 使 わ ず に す む の で 楽 だ っ た 。
・塾 で 同 じ こ と を 一 度 習 っ た と き は 、 あ ま り よ く分 か ら な か っ た 。 し か し、 こ の ワ ー ク シ ー トで 図 形 を 見 な が ら 自 分 で 考 え て み る と 、 と て も 理 解 で き た 。
・具 体 例 や 図 形 を 使 う と、 と て も よ く 分 か っ た 。
・公 式 は 覚 え る だ け で は な く 、 理 解 す る こ と が 重 要 だ と 思 っ た 。
・こ の こ と を 考 え 出 し た 人 は、 な ん て す ご い の だ ろ う 。
・内 容 は そ れ ほ ど 難 し く は な か っ た が 、 サ イ ン 、 コ サ イ ン 、 タ ン ジ ェ ン ト な ど を 式 に 当 て は め る の が 、 難iし か っ た 。
・サ イ ン、 コ サ イ ン 、 タ ン ジ ェ ン ト を 利 用 し て 辺 の 長 さ を 表 す 部 分 が 、 複 雑 に 思 え た 。
② 回 転 で 求 め る 方 法 に つ い て の 生 徒 の 感 想
・式 が 複 雑 で、 式 も 多 く 分 か り に く い 。
・何 を や っ て い る の か 、 よ く分 か ら な い 。
・ な ぜ 回 転 さ せ る の か 、 今 ひ と つ 分 か ら な い 。
繋馳騨 灘鑑 議
溶玩.、
弄 妻 窺1・
リホ ち
富 ・ 寛
v 孟
̲ノ
轟 伽 』4 如 叩門¶贈
脚
難1
爵 ダ 諺
ゆ
陣 ・ 郵
(2>分 析 と 考 察
第1回 目 の 研 究 授 業 で 用 い た ワ ー ク シ ー ト に は 、 補 助 線 や 基 準 と な る 辺 の 長 さ1を 記 入 し て い な か っ た 。 そ の た め 、 ど こ か ら 手 を つ け て よ い か 分 か ら な い 生 徒 や 、 補 助 線 を ワ ー ク シ ー ト か ら は み 出 し て 描 く 生 徒 が い た 。 そ こ で 、 第2回 目 の 研 究 授 業 で は ワ ー ク シ ー ト に 補 助 線 や ヒ ン ト と な る 線 分 の 長 さ 、 ま た 、 ど の 辺 の 長 さ を 求 め れ ば よ い か を 分 か り や す く す る た め の 穴 埋 め 式 に す る こ と に よ っ て 、 多 く の 生 徒 が 自 ら 考 え 、 数 値 や 文 字 式 を 記 入 し て い く こ と が で き た 。 ま た 、 生 徒 の 学 習 状 況 に 応 じ て 写 真1、2で 示 し た よ う な 補 助 教 具 を 用 い て 解 説 を 行 う こ と に よ り 、 数 学1で す で に 学 ん だ 三 角 比 の 学 習 の 復 習 も で き た と 思 う 。
一 般 的 に 定 理 の 証 明 は 一 方 的 な 説 明 に 終 始 し、 生 徒 は 板 書 を 書 き 写 す こ と で 終 わ っ て し ま う こ と が 多 い 。 今 回 の 研 究 で は 、 ワ ー ク シ ー ト を 用 い 、 具 体 的 な 図 形 を 利 用 し て 生 徒 の 視 覚 に 訴 え 、 自 ら が 作 業 を 通 し て 証 明 す る こ と で 、 生 徒 に 興 味 、 関 心 を 持 た せ る こ と が で き た と 思 う 。 生 徒 が す で に 学 ん で い る 、30.、45.を 含 む 直 角i三 角 形 の 組 み 合 わ せ か ら 、75.を 作 り 出 し 、 図 形 や 具 体 的 な 数 値 を 使 い 、 ワ ー ク シ ー ト を 完 成 さ せ て い く作 業 に よ り 、 理 解 し や す く な っ た よ う で あ る 。 ア ン ケ ー ト結 果 を 見 る と 、 回 転 で 求 め る 方 法 で は 計 算 量 が 多 く計 算 の 苦 手 な 生 徒 に
'副
欝
は 難 解 で あ っ た よ うで あ る 。 そ の 点 、 今 回 の ワ ー ク シ ー トを用 い た 加 法 定 理 の 説 明 は 、 生 徒 に と っ て 具 体 的 で 分 か りや す か っ た と思 わ れ る 。 ま た 、 加 法 定 理 を導 き だ し て み る と 、 複 雑 な 式 で あ っ た た め 、 余 計 に 感 動 し て い た よ う で あ る 。 生 徒 に と っ て 加 法 定 理 と い う理 解 しに くい 内 容 だ け に 、 こ の よ う な 作 業 を 通 し た 授 業 は 充 実 感 が あ り、 生 徒 へ の 理 解 と定 着 も期 待 で き る と 思 う 。
7.ま と め
数 学 の 授 業 で は 、 学 習 す る 内 容 を ど の よ う に 生 徒 に 提 示 図11 す る か に よ っ て 、 生 徒 の 興 味 、 理 解 度 な ど は 変 わ っ て く るD
と 考 え ら れ る 。 今 回 の 研 究 で は 、 ワ ー ク シ ー トや 教 具 を 利
C 用 す る こ と に よ り 、 生 徒 の 授 業 中 に お け る 活 動 を よ り 活 性
化 さ せ る こ と を ね ら い と し た 。 生 徒 の 実 態 に 応 じ て ワ ー ク シ ー トや ヒ ン ト の 出 し 方 の 工 夫 を す る こ と に よ っ て 、 様 々 な 生 徒 へ も 対 応 で き る と 考 え る 。
し か し 、2つ の 角 の 和 が90。 以 上 の 場 合 に は 、 同 様 に 成 り立 つ と して 説 明 を 省 く か 、 さ ら に 図11を 用 い て 同 様 な 説 AB
明 を 実 際 に 行 っ て い くか が 課 題 で あ る 。 ま た 作 業 を 通 して 証 明 を す る と 、 時 間 が か か る こ と が 考 え ら れ る が 、 生 徒 た ち に は 、 自 分 で 数 値 を 入 れ て 、 導 い た と い う実 感 を 十 分 に 与 え ら れ る と 考 え る 。
回 転 を 用 い た 証 明 方 法 は あ ま り時 間 も か か ら ず 、 一 般 的 に 証 明 す る こ とが で き る が 、 生 徒 に と っ て は ア ン ケ ー トの 結 果 か ら も図 形 か ら 求 め て い っ た 方 が 分 か りや す い と い う結 果 と な っ た 。
授 業 に お い て は 生 徒 一 人 一 人 に 適 切 な ヒ ン ト を 与 え た り 、 ワ ー ク シ ー ト を 用 意 し た り し て い く こ と が 大 切 で あ る 。 そ の た め に 、 教 師 が 一 方 的 に 教 え こ む の で は な く 、 生 徒 が 意 欲 的 に 学 習 で き る よ う な 教 材 ・教 具 を 工 夫 し 、 数 学 に 興 味 、 関 心 を 持 つ 生 徒 が 一 人 で も 多 く な る よ う 、 今 後 と も 指 導 法 の 研 究 を し て い き た い と 考 え て い る 。
【参 考 文 献 な ど 】
1.「YouCanEnjoyMath!」 白 坂 繁 著 〔金 苑 書 房 〕 平 成9年 2.「 数 学 科 で の 教 材 開 発 」 仲 田 紀 夫 ・吉 村 啓 〔共 立 出 版 〕(1982年) 3.イ ン タ ー ネ ッ ト ホ ー ム ペ ー ジ
・ 「水 の 流 れ 」 数 学HPア ド レ スhttp://ww
.nttl‑net.ne.jp/mizuryu/suugaku.html
・ 「数 学 の い ず み 」 数 学HPア ド レ スhttp://www
.nikonet.or.jp/spring/index.htm
II具 体 的 な作 業 を通 して、生 徒 自 らが納得 で き るベ ク トル の指 導
概 要
平 面 上 の 任 意 の ベ ク ト ルPが 、 一 次 独 立 な2つ の ベ ク ト ル α、bを 用 い て 、P=sα+tbと 一 意 的 に 表 せ る こ と を 、 「斜 交 座 標 」 を 使 っ て 、 直 感 的 に 理 解 で き る よ う に し た 。
次 に 、 線 分ABの 内 分 点 ・外 分 点 の 位 置 ベ ク トル を 、 単 に 公 式 を 使 用 し て 求 め さ せ る の で は な く 、 α、bに 平 行 な 補 助 線 を 加 え る 作 図 に よ っ て 求 め さ せ 、 活 用 で き る よ う に し た 。
こ の よ う な ベ ク ト ル を 視 覚 的 に 認 識 す る 学 習 活 動 に よ っ て 、 ベ ク トル に つ い て の 理 解 も 深 ま り 、 内 分 ・外 分 の 公 式 の 定 着 を 図 る こ と が で き た 。
1.研 究 の ね ら い
平 面 上 の ベ ク ト ル の 学 習 内 容 は 、 前 半 の ベ ク ト ル の 成 分 表 示 、 内 積 と 、 後 半 の 位 置 ベ ク ト ル と 図 形 へ の 応 用 に 分 け ら れ る 。 ベ ク ト ル の 指 導 を 進 め て い く 中 で 、 生 徒 が 不 得 意 と す る 部 分 の 一 つ と し て 、 位 置 ベ ク ト ル が あ る 。
ベ ク ト ル の 内 容 の 前 半 で は 、 理 科 に お け る 力 や 速 度 の よ う に 、 大 き さ と 向 き と い う2つ の 要 素 を も つ 量 と し て ベ ク ト ル を 定 義 し 、 有 向 線 分 は 平 行 同 値 に よ っ て 類 別 さ れ る 自 由 ベ ク ト ル を 中 心 に 扱 っ て い る 。 後 半 で は 、 「位 置 ベ ク ト ル の 考 え 方 」 を 導 入 す る に あ た っ て 、 任 意 の 点0を 固 定 し 、 ベ ク トルOAに 点Aを1対1に 対 応 さ せ る 束 縛 ベ ク ト ル を 用 い て 平 面 図 形 の い ろ い ろ な 性 質 を 調 べ て い る 。 こ れ ら の ベ ク トル の 取 り 扱 い の 違 い か ら 、 位 置 ベ ク トル が 不 得 意 な 生 徒 が 多 い と 思 わ れ る 。
そ こ で 、 ベ ク ト ル の 成 分 表 示 が 必 要 と な ら な い 内 容 を 先 に 取 り 上 げ 、 右 図 の よ う な 順 番 で 学 習 さ せ る こ と に し た 。 ベ ク ト ル の 線 形 表 示 の 一 意 性 を 利 用 し 、 ベ ク ト ル を 用 い て 図 形 の 問 題 を 解 く こ と が で
き る よ う な 指 導 方 法 を 研 究 し た 。
→ ベク トルの定i
↓
ゴ ベ ク トルの演算1
↓
1ベ ク トルの成分 ト
↓ ↓ 1ベ ク トル の 内積1
↓
ゴ 位 置 ベ ク トル1
↓
1ベ ク トル方程式 ト
↓
→ 図 形 へ の応 用 ト
→ 教科書 での学習順序
→ ・本研究 での学習順序
2.研 究 の 内 容 ・方 法
上 記 の ね ら い に 基 づ き 、 ベ ク ト ル の 定 義 、 演 算 を 学 習 し た 後 に 研 究 授 業 を 実 施 す る も の と し て 、 以 下 の よ う な 手 順 で 研 究 を 進 め た 。
(1)生 徒 の 不 得 手 と す る 内 容 に つ い て 、 問 題 点 を 分 析 す る 。
(2)授 業 中 の 作 業 が 効 率 よ く 行 え る よ う に 、 ワ ー ク シ ー ト を 作 成 す る 。 (3)ワ ー ク シ ー ト を 用 い て 、 研 究 授 業 を 行 う 。
(4)研 究 授 業 の 最 後 に 練 習 問 題 を 行 い 、 学 習 内 容 の 理 解 度 に つ い て 調 べ る 。
(5)研 究 授 業 後 の 定 期 考 査 に お い て 、 学 習 内 容 の 定 着 率 に つ い て 調 べ 、 分 析 ・考 察 を 行 う 。
3.教 材 と指 導 方 法 の 工 夫
分 点 の 位 置 ベ ク トル を 視 覚 的 に 認 識 させ る た め に 、 次 の よ う な工 夫 を 行 っ た 。 (1)「 斜 交 座 標 」 の 利 用
平 面 上 の 平 行 で な い2つ の ベ ク トル α、bを 用 い て 、 平 面 上 の 任 意 の ベ ク ト ルPがPニsα+tbと 一 意 的 に 表 せ る こ と を 、 作 業 を 通 して 直 感 的
に 理 解 で き る よ う に し た 。
こ の 際 に 、 直 交 座 標 で は な く 斜 交 座 標 を 導 入 し た 理 由 と し て は 、 一 般 的 な 線 形 性 の 理 解 を 深 め る こ と が で き 、 ま た 、 右 図 の よ う に 互 い に 直 交 す る 単 位 ベ ク ト ルe,,ezを 基 本 ベ ク トル と す れ ば 、
P=xe,+yez=(x,ッ)か ら 、 ベ ク ト ル の 成 分 表 示 へ の 移 行 も 容 易 に で き る と 考 え た か ら で あ る 。
(2)作 図 を 利 用 し た 分 点 の 位 置 ベ ク トル の 求 め 方
分 点 の 位 置 ベ ク ト ル は 一 般 に 、OC=OA+AC‑a+÷(b‑a)と い う 方 法 で 求 め る が 、 本 研 究 で は 、 α、bに 平 行 な 補 助 線 を 引 く こ と に よ っ
て 視 覚 的 にoc一 号 乙+÷6の よ う に 求 め る 方 法 を と っ た 。 (3)位 置 ベ ク ト ル の 始 点 の 任 意 性
作 図 を 用 い て 、 分 点 の 位 置 ベ ク トル を 求 め る 作 業 を 通 し て 、 始 点0 の 位 置 が 任 意 で あ り 、 ど こ に あ っ て も 同 じ 答 え に な る こ と を 生 徒 同 士 で 確 認 で き る よ う に し た 。
(4)教 具 と ワ ー ク シ ー トの 工 夫
作 業 が 円 滑 に 進 む よ う に 、 生 徒 に は ワ ー ク シ ー ト を 用 意 し 、 黒 板 に は 拡 大 し た 図(模 造 紙)を 掲 示 し 、 一 端 に 矢 印 を つ け た 、1cm幅 の3
プ ププ プ プ
//ノ ングP/
/////
/三〃//
/°/b7//
1!■ ■ ■
0
b
噂 Q
C 一Qz一
3 D
V %1
0 s
?b3 e
B
B
色 の マ グ ネ ッ ト シ ー ト を 数 枚 用 意 し た 。8、tが 整 数 の 場 合 は 、 α、bを 基 本 と す る ベ ク ト ル の マ グ ネ ・ トシ ー トを 利 用 し …tが 有 騰 の 場 合1ま、 歩 ÷醜 本 とす る ベ ク トル の マ グ ネ ・
トシ ー ト を 利 用 し て 、 分 数 計 算 が 苦 手 の 生 徒 に も抵 抗 感 の な い よ う に 工 夫 した 。
4.指 導 計 画
学 習 項 目 学 習 内 容 配 当時 間
ベ ク ト ル の 定 義 ベ ク トル の 意 味 、 相 等 a.5
ベ ク ト ル の 演 算 ベ ク トル の 和 ・差 ・実 数 倍 、 計 算 法 則 、 平 行 条 件 、 分 解 1.5 位 置 ベ ク ト ル 位 置 ベ ク トル の 定 義 、 分 点 の 位 置 ベ ク トル 2
図 形 へ の 応 用 ベ ク トル の 図 形 へ の 応 用 1
ベ ク ト ル の 成 分 ベ ク トル の 成 分 表 示 、 和 ・差 ・実 数 倍 の 成 分 1 ベ ク ト ル の 内 積 内 積 の 定 義 、 内 積 と 成 分 、 内 積 の 計 算 法 則 2.5 ベ ク トル 方 程 式 直 線 の ベ ク トル 方 程 式 、 円 の ベ ク トル 方 程 式 1.5
5.授 業 記 録 ワ ー ク シ ー トNo.1
巨 コ 平 面上 に、 同一 直線 上 に ない3点O,A,Bが 与 え られ てい る.
Q=OA,b=OBと す る と き、 次 の ペ ク トル をQ,bを 用 い て 表 せ 。
Ff /瑠 / //
/ノ / ///
/ヅ ー/ //c/
'/ T:;
ノ //
/ // /E //
(1)㏄= (2)OD=
(3)OE=(4)OF=
[2コ 下 の 図 に お い て 、 次 の ペ ク トル をa,bで 表 せ 。
/////ノ /
/A//4/ガ /
。/4る////
////ノ//
/()///aIB.//
(1)㏄;
(3)OE=
(2)OD=
(4)OF=
[3]線 分ABを1:2に 内分 す る 点 をC、2:iに 内 分 す る点 をDと す る 。 a=DA,6=OBと す る と き、 次 の ベ ク トル をQ
A
(1)㏄=
{2)OD=
bを 用 い て 表 せ。
OB
b
C]線 分ABを4等 分 した 点 をC,D,Eと す る 。
ゆ ゆ り ゆ
4;0君,6=OBと す る と き、 次 の ベ ク トル をQ,う を用 い て 表 せ 。
0
04 70
C
D (1)㏄=
{2)OD=
t3)OE=
[5]線 分ABを3:2に 内 分 す る点 をPと す る 。
a=OA,6=OBと す る とき 、 次 の ペ ク トル をQ,bを 用 い て 表 せ 。 (点0は 自分 で 適 当 に 定 め よ。)
AOP=
P
B
指 導 案 ①(研 究 授 業) 指 導 計 画 の3時 間 目
本 時 の 目標:内 分 点 の 位 置 ベ ク トル の 表 し方 を 視 覚 的 に 理 解 さ せ る 。
時 間 指 導 内 容 学 習 活 動 指 導 上 の 留 意 点
導 入 5 分
ベ ク トル の 和 、 実 数 倍 の 復 習 ・平 行 四 辺 形 の 対 角 線 に よ って
ベ ク トル の 和 が 求 め ら れ る こ と を確 認 す る 。
a竺 a/んQ
b
展 開
斜交座 標 を用 い て、 与 え られ た ベク トル を
噂 →‑
p=sa+tb の 形 に 書 か せ る。
(係数が騨%倉)咽
nFノ/呼/// ・求 め る ベ ク トル が 、対 角線 に な る 平 行 四 辺 形 を 見 つ け さ せ る 。
・任 意 の ベ ク トル が
→ → ゆ
p=sa+tb
で 表 せ る こ と を確 認 さ せ る。
//ノ///
//a.c/
ノ/
/blB///
////E//
→ → 〇 一 一 →
OC=Q一 ト3∂OE=‑Q十2う
一 一 一 → →
OD=2aOF=2a‑2b
まとめ5分
(係数 が有理 数 の場 合)
ワ ー ク シ ー ト回
(黒板 に 掲 示 す る模 造 紙)
斜交 座標 の作 図方 法 を理 解 さ せ る。
ワ ー ク シ ー ト團
内分点 の問題 を解 か せ る。
ワ ー ク シ ー ト囚
各 自 に 点0を 定 め さ せ 、 斜 交 座 標 を 作 図 し て か ら
ρ=SO十tb の 形 に 書 か せ る。
ワ ー ク シ ー ト團
点0を ど こ に と っ て も、 答 え は 同 じ式 で 表 され る こ と を確 認 させ る 。
内 分 点 の 位 置 ベ ク トル の 求 め 方 に つ い て確 認 す る 。
巨]/ ノ
/ Al1D /E F/匠μ/// /
/去4//// /
/
3
o/圭詔/苔IB/ /
OC=2a+3b OD=a+36
OE=2a+3'b OF=!a‐!b
2‑3
A
噂α C
D
(矢 印 付 マ グ ネ ッ トシ ー ト)
噂4 C
D
b 6の 平 行 線 を 引 く
国
BO
匡]A
BO
b・ 平行闘kOC=3'af3b (斜行座標の完成)
(1)OC=4a+4b1
(2)OD=Za+fib=2a+Zb (3)OE=4a+9b
b̲b
B
・P一 ヱ差・3b5
B
av=iQ+?"a
・結 果 か ら 、何 か規 則 性 が あ る こ と を 考 え さ せ る 。
(係 数 の 和 が1に な る等) 次 回 の 授 業(公 式 を 導 く)で 扱 う こ と を 予 告 す る。
・点0の と り 方 に つ い て の 注 意
① 直 線AB上 に は と ら な い 。
② 平 行 で な い2つ の ベ ク トル が 、 見 や す く な る よ う な 位 置 に と る。
・前 後 の 生 徒 同 士 で プ リ ン トを 重 ね て み る 。
・位 置 ベ ク トル に っ い て 説 明 す る 。
ワ ー ク シ ー トNo.2
C]線 分ABをm:"に 内分す る点 をPと す る。
/!τ こ＼
m 十x
ン 》＼ ＼
"/1///ノ フ＼
n
心る
1/.ノ レプ ー声/ノ/＼
1//̲1̲/
o m/6
m十n
り ゆ り
Dを 、a,bを 用 い て表 せ 。
[7]線 分ABを4:5に 内 分 す る 点 をP、7=3に 内分 す る 点 をQと
の ゆ の ゆ
す る と き 、公 式 を 用 い て 、 ・P,Qの 位 置 ベ ク トル0.4を 、Q,bを 用 い て表 せ。
国
回A
線 分ABを5:2に 外 分 す る点 をPと す る。
り
点Pの 位 置 ベ ク トル ρ をQ,δ を 用 い て表 せ 。
0
線 分ABを2:1に 内 分 す る点 を 、P、
線 分BCを3:1に 外 分 す る 点 をQと す る。
点 」P,Oの 位 量 ベ ク トルp,4を 、a,b,̀を 用 い て 裏 せ 。
Q
指 導 案 ②
指 導 計 画 の4時 間 目
本 時 の 目標:分 点 の 公 式 を 用 い て 、 内 分 点 、 外 分 点 の 位 置 ベ ク トル を 求 め さ せ る 。
時 間 指 導 内 容 学 習 活 動 指 導 上 の 注 意 点
導 入 5 分
前時の復習
ワ ー ク シ ー トNo.1の[蜀
ワ ー ク シ ー トNo.1巨]
線NABを1・3・ 内分(1)OC=4a+48 線CABを ・・2・内分(2)OD‑4a+gb̲za+2b 線分ABを ・・1・内分(3)DE=4a・3b4
・求 め 方 を復 習 さ せ る 。
・各 ベ ク トル に 平 行 線 を 入 れ る こ と を 確 認 す る 。
・任 意 の 点 が 、平 行 で ない2っ の ベ ク トル を使 っ て
→ → →
p=sa十tb
の形 に表 せ る ことを確 認す
る 。
復 習問題 の結 果 か ら規則 性 を ・何 人 か の 生 徒 に 発 言 を さ せ る 。 ・意 見 が 出 な い と き 、次 の よ う
発 見 さ せ る。 な ヒ ン トを 与 え る 。
展 ① 比 を表 す数 の並 びと、 分子 の数 は順 序 が逆 分 子 に着 目
開 気 付 い た こ と を 発 言 させ る。 ② 比 を表 す数 の和 が 分母 分 母 に着 目
③2つ の ベ ク トル の係 数 の 和 が1 共通点
35 比 を表 す数 に注 目
分 公 式 を 導 か せ る。
ワ ー ク シ ー ト囹 国P‑・nam+n・mbm‑}n
・① 〜 ③ が 全 て 一 般 的 に い え る
①7η:nに 内 分 す る と き 、 分 子 は 逆 のn,mの 順 こ と を 確 認 す る 。
② 分母 はm+n
nna =1
③+
m十nm‑}‑n
公 式 を用 い て 内 分 点 の 位 置 ベ ク トル を 求 め させ る。
ワ ー ク シ ー ト0
外 分 点 の 位 置 ベ ク トル を 、 図 か ら求 め さ せ る。
ワ ー ク シ ー ト8
外 分 点 の 公 式 を理 解 させ る。
一
→
国
p=⊥Q+⊥b‑5‑‑a+=6 4→
9
7‑
10
D‑一 書 葺・563
B
7.'
・机 間 巡 視 に よ り、生 徒 の理 解 度 を 確 認 す る。
5:2の5と2の 差3 4十54十59
9‐7+3a+7+3btoa+17‐ob
A
a̲2=3
o
一
・線 分ABを3つ に 分 け る。
一
・Qに つ い て は 向 き が逆 。
P=52a+552b
m:nに 外 分 の 場 合
ゆ 一n噂m「 噂
6
L
b
∠/ AP p=̲̲一 ‑nm‑n一a+m
ま と め 10 分
公 式 を 用 い て 、 内 分 点 、 外 分 点 の 位 置 ベ ク トル を 求 め さ せ る 。
ワ ー ク シ ー ト回
→
p=
0
4='
102 a一 去乙+書 苔 y
C‑‑lb2+書 芸
・線 分 の 両 端 に 注 目 して 、
「ど の2つ の ベ ク トル を 用 い る か 」 を確 認 す る。
○ 公 式 を正 し く用 い る こ と が で き る か 。
a十2十12十1
(‑1)v+3
3+(‑1)3+(‑1)
6.分 析 と 考 察
(1)学 習 内 容 の 理 解 度 に つ い て
2時 間 の 研 究 授 業 後 の 理 解 度 を 測 る た め 、10分 間 で 、 次 の よ う な 内 分 点 と 外 分 点 の 位 置 ベ ク トル を 求 め る 練 習 問 題 を 行 っ た 。
問 題)線 分ABを2:5に 内 分 す る 点 をC、2:5に 外 分 す る点 をDと す る。
y̲̲̲.000ゆ
a=OA,b=oBと す る と き 、 次 の ベ ク トル をa,bを 用 い て 表 せ 。
ロ ロゆ
(1)OC(2)ODD 解 答 例
0 y C
/＼
/.ガ ＼
af T7//¥
1////＼
,/γ ノ/1/＼
之/////
y ダ
う ↓∂2一7
十↓057
=CO
B 0
OD=互 蓋̲2.yb
33
b
B
作 図 ・公 式 の 利 用 状 況 と 正 答 率 は 次 頁 の 通 り で あ る 。 研 究 授 業 で は ワ ー ク シ ー ト に お け る 作 業 を 通 し て 、 分 点 の 位 置 ベ ク ト ル の 公 式 を 導 き 、 活 用 す る こ と を 中 心 に 取 り扱 っ た が 、 生 徒 は 数 学II「 図 形 と 式 」 に お い て 内 分 点 と 外 分 点 の 座 標 を す で に 学 習 し て い た た め 、P=na+mbm+nの 公 式 を 直 接 用 い て 解 答 し た 者 も 多 く 見 ら れ た 。
特 に 、 外 分 点Dの 問 題 で は 作 図 に よ る 解 法 で 行 っ た 生 徒 が 少 な か っ た が 、 こ れ は 、 外 分 と い う 概 念 自 体 が 日 常 生 活 の 中 に は な く 、 比 に 分 け る と い え ば 内 分 を 連 想 し 、 点Dを 図 示 で き な い こ と や 、 α、bを 延 長 し て か ら 補 助 線 を 引 く と い う 作 図 が で き な い こ と に 起 因 し て い る 。 こ の 点 に つ い て は 、 丁 寧 な 解 説 と 具 体 的 な 問 題 演 習 に よ っ て 、 補 う こ と が 可 能 で あ る と 思 わ れ る 。
ま た 、̲̲n￠+mbPm+nの 公 式 の み を 利 用 し た 生 徒 の 誤 答 例 と し て 、OC=2a+5b2+5と い う も の が あ っ た が 、 作 図 を 利 用 し て 、oc‑、 呈,a+,呈,bと 考 え た 生 徒 に は こ の よ う な 誤 答 は 見 ら れ な か っ
た 。 こ れ は 単 に 公 式 の み を 丸 暗 記 し て い る 生 徒 は 、 肌 とnを 混 同 す る こ と も あ る が 、 作 図 を 利 用 す る 生 徒 は 、 公 式 を 忘 れ た 場 合 で も 自 ら 作 図
し 、 正 し く 解 答 で き る こ と を 示 し て い る 。 (2)学 習 内 容 の 定 着 率 に つ い て
中 間 テ ス トで 位 置 ベ ク ト ル を 求 め る 問 題 を 出 題 し 、 そ の 正 答 率 は 右 の よ う に な っ た 。
こ の 結 果 か ら 、(iv)の よ う に 図 を 与 え た 内 分 点 の 問 題 で は 正 答 率 が 最 も 高 く 、 作 図 に よ っ て 求 め る 方 法 が 定 着 し 、 よ く理 解 し て い る と 判 断 で き る 。 誤 答 例 と し て は 、 内 分 点 の 位 置 を 3:2で は な く2:3と し た も の と 、 補 助 線 を 線 分 ABに 対 し て 平 行 に 引 い て し ま っ た も の が あ っ
一 作 図 ・公 式利用状況
r..W...,,.,.
内分点 降團 一 〒=エ 『
外分点
a 50 100
L竺竺型些
作図・公式利用状況別正答率 内分 点
外分 点
2点A(a),B(a)を 結 ぶ 線 分ABに 対 して 、 次 の よ うな位 置 ベ ク トル を求 め よ。(正 答 率)
(i)5:2に 内 分 す る 点C(c) tll)7:3に 外 分 す る 点D(d) (血)中 点E(の
(iv)3:2に 内 分 す る 点F(ア)
ゆα ↓ムリ
B
65go 5596 75%
85%
o(iv)の み 図 を 与 え た 。
た 。 こ の 点 に つ い て は 、 今 後 の 指 導 に お い て 留 意 す る 必 要 が あ る 。
上 記(1)、(2)の 分 析 か ら 、 内 分 点 ・外 分 点 の 位 置 ベ ク ト ル を 作 図 に よ っ て 求 め る 解 法 は 、 生 徒 の 理 解 度 や 、 定 着 率 か ら 見 て 、 十 分 有 効 で あ っ た と 考 え ら れ る 。
7.ま と め
今 回 の 研 究 は 、 創 造 性 を 培 う指 導 方 法 を 実 践 す る と い う 目 的 か ら 、 「具 体 的 な 作 業 を 通 して 、 生 徒 自 ら が 納 得 で き る ベ ク トル の 指 導 」 と題 して 行 っ た 。 内 分 点 ・外 分 点 の 位 置 ベ ク トル を 、 公 式 の 丸 暗 記 で は な く 、 具 体 的 な 作 業 を 通 して 視 覚 的 に 理 解 さ せ る 方 法 を 工 夫 し実 践 し た 。 図 形 的 な 意 味 ・式 の 意 味 を 視 覚 的 に 正 し く認 識 し 、 自 ら公 式 を 作 り出 さ せ る こ の 指 導 方 法 は 非 常 に 効 果 的 で あ っ た と思 う 。
今 後 の 課 題 と して 、 生 徒 の 理 解 度 の 低 か っ た 外 分 点 の 指 導 の た め に 教 材 ・教 具 の 工 夫 を 行 う こ と が 挙 げ られ る 。 引 き続 き 、 生 徒 の 理 解 を 深 め ら れ る 指 導 法 に 工 夫 して い き た い 。
