群, Lie 環に付随す Dirichlet 級数に関す 研 究

早稲田大学大学院 基幹理工学研究科

博 士 論 文 概 要

論 文 題 目

Dirichlet series associated with some groups and Lie algebras

群, Lie 環に付随す Dirichlet 級数に関す 研 究

申 請 者

Fumitake HYODO 兵藤 史武

数学応用数理専攻 整数論 特殊関数研究

2 0 15 年 5 月

本 論 文 で は 群 、リ ー 環 に 付 随 す るDirichlet級 数 を あ つ か う ．Dirichlet級 数 は 数 論 に お い て 非 常 に 重 要 な 研 究 対 象 と な っ て い る ．例 を 挙 げ れ ば リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 は 最 も 簡 単 なDirichlet級 数 で あ る ．BSD予 想 と は 楕 円 曲 線 か ら 定 ま るDirichlet級 数 に 関 す る 予 想 で あ り ，Deligneに よ っ て 解 決 さ れ たWeil予 想 は 有 限 体 上 の 代 数 多 様 体 に 付 随 す るDirichlet級 数 に 関 す る 予 想 で あ る ．こ の 他 に も 様 々 なDirichlet 級 数 が 数 論 に 於 い て 重 要 な 役 割 を 果 た し て い る ．本 論 文 で は 以 下 の 問 題 に 取 り 組 ん だ ．

1. ど の よ う な 冪 零 群 の ク ラ ス で 群 の ゼ ー タ 関 数 は 元 の 群 の 構 造 を 決 定 す る か ． 2. ハ イ ゼ ン ベ ル グ の リ ー 環 に 付 随 す るHecke級 数 の 満 た す 良 い 関 係 式 を 見 つ

け る ．

ま ず 1に つ い て 述 べ る ．1988^{年 に}Grunewald,Smith,Segalに よ っ て ね じ れ の な い 有 限 生 成 冪 零 群 に 付 随 す るDirichlet級 数 が 定 義 さ れ た ．こ のDirichlet^{級 数 は 様 々} な 良 い 性 質 を 持 つ こ と が 知 ら れ ，現 在 で は 群 の ゼ ー タ 関 数 と 呼 ば れ て い る ．群 の ゼ ー タ 関 数 が 元 の 群 の 情 報 を ど れ く ら い 保 持 し て い る の か と い う こ と は 基 本 的 か つ 重 要 な 問 題 で あ る ．特 に 二 つ の 群 の ゼ ー タ 関 数 が 等 し け れ ば 元 の 群 は 同 型 か と い う 問 題 は 誰 し も が 考 え る 問 題 で あ ろ う ．こ れ に 関 し て は 既 に 反 例 が 知 ら れ て い る ．そ こ で 申 請 者 は 次 の よ う な 問 題 を 考 え た ．ど の よ う な 群 の ク ラ ス で 群 の ゼ ー タ 関 数 の 一 致 と 群 の 同 型 は 同 値 と な る で あ ろ う か ？ 申 請 者 は 自 然 数nに 対 し て 次 の よ う な 群 の ク ラ スT_nを 定 義 し ，考 察 を 行 っ た ．Mn(Z^m)をZ^mを 要 素 に 持 つn×nの 行 列 と す る ．非 負 整 数n, m^{と 行 列}A∈Mn(Z^m)^{に 対 し て ，群}(Zⁿ,Z^m;A) を 以 下 の よ う に 定 義 す る ．

1. ^{集 合 と し て}(Zⁿ,Z^m;A) =Zⁿ×Z^mを と る.

2. Zⁿ×Z^m の 元(a,b),(a^′,b^′) の 積 を 以 下 で 定 義 す る ．

(a,b)(a^′,b^′) := (a+a^′,b+b^′+ ^taAa^′).

非 負 整 数nに 対 し て,T_{n を}{(Zⁿ,Z^m;A) | m ∈Z_≥0, A∈ Mn(Z^m)}と 定 義 す る ．第1 章 で 見 る よ う に こ の 群 は ね じ れ の な い 有 限 生 成 冪 零 群 で あ る ．上 の 定 義 は 行 列 を 用 い た 定 義 で あ る が ，次 の よ う な 純 粋 に 群 論 的 に 定 式 化 で き る 群 の ク ラ ス と 同 型 を 除 い て 一 致 す る ．

• ね じ れ の な い ，有 限 生 成 な 冪 零 群 でnilpotent class^が2^{以 下 ，}

• 中 心 に よ る 商 のZ-rank^がn以 下 ，

• 交 換 子 群 のZ-rankとnの 和 がHirsch length以 下 ．

実 際 扱 う に は 行 列 を 用 い た 定 義 の 方 が 有 用 で あ る が ，こ の よ う に 群 論 の 言 葉 だ け でT_n を あ ら わ す こ と が で き る こ と は 注 目 に 値 す る ．こ れ も1 章 で 示 さ れ る ．実

1

は 先 に 述 べ た 既 に 知 ら れ て い る 反 例 はn= 4の 時 で あ る ．ま た 簡 単 な 考 察 に よ り n≥4の と き も 反 例 を 構 成 で き る ．一 方 ，T₁は 階 数 有 限 の 自 由 ア ー ベ ル 群 の ク ラ ス に 他 な ら ず ，容 易 に こ れ ら の ク ラ ス で は 群 の ゼ ー タ 関 数 は 群 の 構 造 を 決 め る こ と が わ か る ．よ っ て 必 然 的 にT₂，T₃を 考 察 す る こ と に な る ．2^{章 に お い て}T₂に 関 し て 考 察 を 行 う ．こ れ は 群 の ゼ ー タ 関 数 の 明 示 形 を 求 め る こ と で 解 決 さ れ る ． T₃に 関 し て は3章 で 扱 う ．こ の 場 合 は 特 定 のindexを 持 つ 部 分 群 を 数 え 上 げ る こ と で 肯 定 的 に 解 決 し た ．こ の 証 明 は2段 階 に 分 か れ て い る ．ま ず ゼ ー タ 関 数 が 等 し け れ ばHirsch lengthが 等 し い と い う こ と を 示 す ．こ れ は 素 数indexp^{の 部 分 群 と} indexp²の 部 分 群 の 個 数 を カ ウ ン ト す る こ と で 示 さ れ る ．次 に 群 が 同 型 で あ る こ と を 示 す ．こ れ も 特 定 の 素 数 の べ き に 着 目 し ，そ のindexの 部 分 群 の 個 数 を 比 較 す る こ と で 示 さ れ る ．

よ っ て 以 下 が 成 り 立 つ ．

Theorem 1 T₁,T₂,T₃に お い て 群 の ゼ ー タ 関 数 は 群 の 構 造 を 決 定 す る ．

次 に2に つ い て 述 べ る ．Hecke^{環 は}E.Heckeに よ っ て 楕 円 保 型 形 式 へ の 作 用 素 の 環 と し て 定 義 さ れ た ．そ の 後G.Shimuraに よ っ て こ の 概 念 は 一 般 化 さ れ た ．現 在 で もHecke環 は 保 型 形 式(楕 円 保 型 形 式 以 外 も 含 む)へ の 作 用 素 と し て 重 要 な 役 割 を 果 た し て い る ．本 論 文 の 話 題 に 移 ろ う ．Aを 全 て の イ デ ア ル が 有 限 指 数 で あ る よ う な 整 域 と す る ，ま たLをA上 の リ ー 環 か つ ね じ れ の な い 有 限 生 成A加 群 と す る ．(こ の よ う な 整 域 に は 有 理 整 数 環Z，p進 整 数 環Z_p,有 限 次 代 数 体 の 整 数 環 な ど 多 く の 良 く 知 ら れ て い る 整 域 が 該 当 す る こ と に 注 意 し よ う ．)4章 で は こ の よ う なLに 対 し てShimuraの 定 義 を 用 い てLに 付 随 す るHecke環RLとRL上 のDirichlet 級 数EL(s),さ ら にAが 離 散 付 値 環 の と き に 冪 級 数DL(s)を 定 義 し た ．こ の 定 義 は 次 に 述 べ る よ う に よ く 知 ら れ たHecke環 の 一 般 化 に な っ て い る ．Lを 階 数nの 自 由 ア ー ベ ル 群 で ，blacketが 全 て0に な る よ う なLie環 構 造 を 持 つ も の と す る ．こ の と きRLはT.Tamagawa^{が 定 義 し た}Hecke^環Hn(Q)と 一 致 し ，各 素 数p^{に 対 し て} DL⊗Zp(s) ^はTamagawa ^{が 定 義 し た}Hecke級 数 と 一 致 す る ．さ ら にn = 2^{の と き は} Heckeの 定 義 し た 古 典 的 なHecke^{環 と}Hecke級 数 に そ れ ぞ れ 一 致 す る の で あ る ．

一 方 でGrunewald,Smith,Segalは 冪 零 群 だ け で な く リ ー 環 に 対 し て も ゼ ー タ 関 数 ζ_Lⁱ(s)を 定 義 し て い る ．こ の 定 義 はZ上 の リ ー 環 で な さ れ て い る が 自 然 にA上 の リ ー 環 に 拡 張 さ れ る ．本 論 文 で は こ れ を 同 型 ゼ ー タ 関 数(isomorphism zeta function) と 呼 ぶ こ と に す る ．実 は 先 ほ ど 述 べ たD_L(s)^はHecke環 に 定 義 さ れ るdegree map を 介 し て こ の 同 型 ゼ ー タ 関 数 と 次 の よ う に 結 び つ く ．

Proposition 1 ^{任 意 の 素 数}pに 対 し てA⊗Z_pがZ_p上 有 限 生 成 加 群 で あ る と す る. ^さ ら にLがA上 の リ ー 環 か つ ね じ れ の な い 有 限 生 成 なA加 群 で あ る と す る ．こ の と きE_L(s)^{の 係 数 に}degree mapを 作 用 さ せ る とζ_Lⁱ(s)と 一 致 す る ．

上 の 命 題 と 同 様 の 仮 定 の 下 で さ ら に A = Z_p の 場 合 を 考 え よ う ．こ の 場 合 Grunewald,Smith,Segal に よ っ て リ ー 環 の ゼ ー タ 関 数ζ_Lⁱ(s) は 有 理 性 と い う 良 い 性 質 を 持 つ こ と が 証 明 さ れ て い る ．よ っ てDL(s)も そ れ に 類 す る 良 い 性 質 を 持 つ こ と が 期 待 さ れ る ．こ れ に 関 し て はHecke^とTamagawa^{が 示 し た}Hecke環 に 関 す る 定 理 か ら 直 ち に 次 が 示 さ れ る ．

Theorem 2 L^がZ上 の リ ー 環 か つ ア ー ベ ル 群 と し て 階 数nの 自 由 ア ー ベ ル 群 で あ り ，blacketが 自 明 で あ る と す る と 次 が 成 り 立 つ ．

1. RL⊗Zp はn変 数Z係 数 の 多 項 式 環 で あ る.

2. RL⊗Zp は 有 理 性 を 持 ち ，degree mapを 介 し てζ_L⊗ⁱ _Z

p(s)の 有 理 性 を 導 く ． 上 の 結 果 はblacketが 自 明 で あ る 場 合 で あ る ．5^{章 で は}blacketが 自 明 で な い も の ， 具 体 的 に は ハ イ ゼ ン ベ ル グ の リ ー 環H^のHecke環 の 性 質 を 調 べ て い る ．そ の 結 果 ま ずR_H⊗Zp は 非 可 換 で あ り ，上 記 の 命 題 の1 の 様 な 結 果 は 成 立 し な い こ と が わ か っ た ．し か し 次 の よ う な 結 果 を 得 た ．

Theorem 3 次 が 成 り 立 つ ．

1. RH⊗Zp か ら 古 典 的 なHecke^{環 の}p-part^{で あ る}H2(Qp)(^{本 論 文 で は}R(Γ^′,∆^′)^と 書 か れ て い る)へ 全 射 環 準 同 型 が あ る ．

2. DH⊗Zp(s)は あ る 等 式 を 満 た し ，そ れ は1^{の 写 像 と}degree mapを 介 し て 古 典 的 なHecke級 数 の 有 理 性 とζ_H⊗ⁱ _Z

p(s)の 有 理 性 を そ れ ぞ れ 復 元 す る ．

RH⊗Zpは 非 可 換 性 が 強 く そ の 構 造 は か な り 複 雑 で あ る と 申 請 者 は 考 え て い る ．本 文 で は 言 及 し て い な い が 有 限 生 成 で す ら な い ．そ れ に も 関 わ ら ずDH⊗Zp(s)が 何 ら か の 関 係 式 を 持 つ と い う の は 大 き な 驚 き で あ る ．さ ら に そ の 関 係 式 が 二 つ の 有 理 性 を 復 元 す る こ と か ら ，こ の 等 式 が 数 学 的 に 深 い 意 味 を 持 っ て い る 可 能 性 は 非 常 に 大 き い と 考 え ら れ る ．こ の 等 式 の 持 つ 意 味 を 解 き 明 か す こ と が 今 後 の 申 請 者 の 課 題 で あ る ．

3

Ｎｏ.

早稲田大学 博士 理学 学位申請 研究業績書

氏

兵藤史武 印

2015

年 4 月 30 日現在

講演

1. Isomorphism classes and zeta-functions of some nilpotent groups, Tokyo J. Math Vol. 36, No. 1, pp. 163-175, June 2013.

2. Isomorphism classes and zeta-functions of some nilpotent groups II, Tokyo J.

Math (掲載決定).

3. A formal power series of a Hecke ring associated with the Heisenberg Lie algebra over ${\mathbb Z}_p$, Int. J. Number Theory (掲載決定).

1. バ ベ 冪零群に関す 考察, 早稲田大学整数論 , 早稲田大学, January 2010.

2. あ 種 冪零群に け 関数 明示形につい , 岡山大学談話会, March 2010.

3. Weber resolvent 得 基本群 間 写像につい , 岡山大学談話会, March

2010.

4. Explicit form of zeta-functions of some nilpotent groups, 早稲田大学整数論研 究集会, March 2010.

5. 群 関数 型類につい , 早稲田大学整数論 , January 2013.

6. 群 関数 そ 型類につい , 南九州代数系集会, August 2013.

7. A formal power series of a Hecke ring associated with the Heisenberg Lie algebra, 早稲田大学整数論研究集会, March 2014.