共通因数による因数分解

名前 (       ）

例題

共通因数による因数分解

１

共通因数の見つけ方

整式に含まれてる同じ数・文字のこと

例

次の式を因数分解しなさい。

(1) (2)

(3) (4)

(a − b)x + (b − a)y

4ab

− 6a

b

解

3x

y + 2xy

(1)

(2)

(3)

(4)

共通因数 …

同じ数 同じ数で割ることができる数 同じ文字 同じ文字の種類をすべて選ぶ

因数分解

整式を積の（   ）の形にできる限り分解すること

= x

+ 5x + 6 (x + 2)(x + 3)

展開

因数分解

x

+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 3ab(a + c) = 3a

b + 3abc

3a

b + 3abc = 3ab(a + c)

例 6a

b

8ab = 2ab (3a

4)

3x

y + 2xy

= xy (3x

+ 2y)

4ab

6a

b

= 2ab

(2b

3a) (x − y)a − (x − y)b

(a− b)x + (b −a)y = (a− b)x −(a− b)y

= (a− b)(x −y) (x −y)a− (x − y)b = (x − y)(a− b)

練習問題１ 練習問題２

解

(1)

(2)

(3)

(4)

mn

+ m = m (n

+ 1)

−2x²

y

6xy

=

2xy(x + 3y)

−2 x

y − 6xy

(3) (4)

x( y − 2) + y − 2

6a

x − 2a

y − 4az

解

5ab − 2ac

(1)

(2)

(3)

(4)

= a(5b

2c) (a − 3) + 2(a − 3)

= x(y− 2) + (y −2)

= (y− 2)(x + 1)

= (a −3){1 + 2(a −3)}

(1) (2)

(3) (4)

mn

+ m

(a + b)x + y (a + b) (a − 3b)c + (3b − a)d

(a +b)x + y(a + b) = (a +b)(x +y)

(a− 3b)c + (3b − a)d = (a− 3b)c − (a −3b)d

= (a− 3b)(c −d)

5ab

2ac

6a

x

2a

y

4az = 2a(3ax

ay

2z)

(a− 3) + 2(a− 3)²

x(y −2) +y −2

次の式を因数分解しなさい。

次の式を因数分解しなさい。

名前 (       ）

共通因数による因数分解

１

= (a− 3)(2a −5)

例題

たすきがけの因数分解

たすきがけのやり方

解

acx

+ (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d )

ax cx

① かけ算を考える ② クロスする ③ たし算する

① b

d

① bcx

②

adx

③ (ad + bc)x

例

失 敗 例

3x

+ 14x + 8 3x

x

4 2

4x 6x 10x

3x x

2 4

2x 12x 14x

成 功 例

= (3x + 2)(x + 4)

次の式を因数分解しなさい。

(1) (2)

(3)

2x

− 5x − 3 25a

− 20ab + 4b

ax

+ (1 + ab)x + b

(1)

(2)

2x²−5x− 3

2x

x −3

1 x

−6x−5x

= (2x + 1)(x − 3)

25a²−20ab + 4b²

5a 5a

−2b

−2b

−10ab

−10ab

−20ab

= (5a −2b)(5a −2b)= (5a −2b)²

(3) ax²+ (1 +ab)x +b

a x

x b

1 x

abx (1 +ab)x

= (ax + 1)(x +b)

２

２

練習問題１ 練習問題２

解 解

次の式を因数分解しなさい。

(1) (2)

(3)

2x

− 7x + 3 6a

− ab − b

abx

+ (2a

− b

)x − 2ab

(1) 2x²−7x + 3 = (2x − 1)(x −3)

たすきがけの因数分解

次の式を因数分解しなさい。

(1) (2)

(3)

x

+ 8x + 12

(1)

(2)

(3)

x²+ 8x + 12 = (x + 6)(x + 2)

x

x 2

6 6x 2x8x

9a

− 42ab + 49b

abx

+ (a − b)x − 1

9a²− 42ab + 49b²

3a 3a

−7b

−7b

−21ab

−21ab

= (3a− 7b)(3a−7b)= (3a−7b)²

−42ab

abx²+ (a −b)x −1

a x

bx −11 −bx

a x (a−b)x

= (ax −1)(bx + 1)

2x

x −3

−1 −x

−6x−7x (2)

(3)

6a²−ab −b²= (3a +b)(2a −b)

3a

−b

b 2ab

−3ab−ab 2a

abx²+ (2a²−b²)x −2ab

a x

bx 2a

−b −b²x 2a²x (2a²−b²)x

= (ax −b)(bx + 2a)

名前 (       ）

例題１

置き換えを利用した因数分解

置き換えるべきもの

解

② 同じ文字の組み合わせを とおいて因数分解する A

① 同じ組み合わせになるものをつくるために展開する

次の式を因数分解しなさい。

2(x − y)

+ 5(x − y) + 2

2(x − y)²+ 5(x − y) + 2

= 2A²+ 5A+ 2

= (2A+ 1)(A+ 2)

= {2(x −y) + 1}(x − y + 2)

= (2x −2y + 1)(x −y + 2)

例

(x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4) − 36

= (x

+ 2x − 3)(x

+ 2x − 8) − 36

A A

A A

別解

2(x−y)

(x−y) 2

1 (x−y) 4(x−y) 5(x−y)

= {2(x −y) + 1}(x− y + 2)

名前 (       ）

３

例題２ 例題３

置き換えを利用した因数分解

解

次の式を因数分解しなさい。

(x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4) − 36

解

次の式を因数分解しなさい。

x

− 3x

− 4

x⁴− 3x²−4

= A²− 3A−4

= (A+ 1)(A−4)

= (x²+ 1)(x²−4)

= (x²+ 1)(x + 2)(x− 2)

= (x²)²− 3x²− 4

A A

別解

x⁴− 3x²−4

x² x²

1

−4 −4x² x²

−3x²

= (x²+ 1)(x²−4)

(x −1)(x − 2)(x + 3)(x + 4)− 36

= (x −1)(x + 3)(x −2)(x + 4)−36

= (x²+ 2x −3)(x²+ 2x − 8)− 36

= (A− 3)(A−8)−36

= A²−11A+ 24−36

= (A+ 1)(A− 12)

= (x²+ 2x + 1)(x²+ 2x− 12)

= (x + 1)²(x²+ 2x − 12)

A A

名前 (       ）

３

練習問題１ 練習問題２

置き換えを利用した因数分解

解

次の式を因数分解しなさい。

a

− 16b

(1) a⁴− 16b⁴

= A²− B²

= (A+ B)(A−B)

= (a²+ 4b²)(a²−4b²)

= (a²+ 4b²)(a + 2b)(a− 2b)

= (a²)²−(4b²)²

A B

別解

a⁴− 16b⁴

a² a²

4b²

−4b² −4a²b² 4a²b²

0

= (a²+ 4b²)(a²− 4b²)

解

次の式を因数分解しなさい。

(x

+ x)

− 8(x

+ x) + 12

(x²+x)²−8(x²+x) + 12

= A²−8A+ 12

= (A− 2)(A−6)

= (x²+x −2)(x²+x −6)

= (x −1)(x + 2)(x + 3)(x − 2)

A A

(x²+ x)²− 8(x²+ x) + 12

x²+x

−6

−2 −2(x²+x)

別解

x²+x

= (x²+ x −2)(x²+x −6)

−6(x²+x)

−8(x²+x)

名前 (       ）

３

練習問題３ 練習問題４

置き換えを利用した因数分解

解

次の式を因数分解しなさい。

(x − 1)(x − 3)(x − 5)(x − 7) + 15

解

次の式を因数分解しなさい。

a

+ 2ab + b

− c

(x −1)(x − 3)(x −5)(x − 7) + 15

= (x −1)(x − 7)(x −3)(x− 5) + 15

= (x²−8x + 7)(x²− 8x + 15) + 15

= (A+ 7)(A+ 15) + 15

= A²+ 22A+ 120

= (A+ 10)(A+ 12)

= (x²−8x + 10)(x²− 8x + 12)

= (x²−8x + 10)(x −2)(x − 6)

A A

a²+ 2ab +b²−c²

= (a+ b)²−c²

A

= A²− c²

= (A+ c)(A− c)

= (a+ b + c)(a +b − c)

名前 (       ）

３

例題

解

x

+ xy + x + 2y − 2

因数分解を考える順序

因数分解の優先順位

１．共通因数があるか

２．最低次数の文字で整理できるか ３．降べきの順で整理できるか ４．たすき掛けが可能か

例

6a

b

8ab = 2ab (3a

4)

１．共通因数があるか

２．最低次数の文字で整理できるか

x

+ xy + x + 2y

2

2x²+ 5xy + 3y²+ 2x +y − 4

y

最低次数の文字：

３．降べきの順で整理できるか

x ^{または でまとめる} y

x

+ xy + x + 2y

2

= (x + 2)y + (x

+ x

2)

= (x + 2)y + (x + 2)(x

1)

= (x + 2){y + (x

1)}

= (x + 2)(x + y

1)

最低次数の判断ができないときは降べきの順

最低次数の低いの文字 でくくるy

名前 (       ）

４

次の式を因数分解しなさい。

例題３

４

例題２

解

次の式を因数分解しなさい。

a(b + c)

+ b(c + a)

+ c (a + b)

− 4abc

解

次の式を因数分解しなさい。

2x

+ 5xy + 3y

+ 2x + y − 4

因数分解を考える順序

2x

+ 5xy + 3y

+ 2x + y

4

= 2x

+ (5y + 2)x + (3y

+ y

4)

= 2x

+ (5y + 2)x + (3y + 4)(y

1)

= (2x + 3y + 4)(x + y

1)

2xx 3y + 4

y − 1 3xy + 4x 2xy− 2x (5y + 2)x

降べきの順で整理する 最低次数がx, y

どちらも同じ a(b + c)²+ b(c +a)²+c(a +b)²− 4abc ^{最低次数が}_{すべて同じ}

一つの文字で  整理する

= (b +c)²a + b(c²+ 2ca +a²)

+c(a²+ 2ab +b²) −4abc

= (b +c)²a + bc² + 2abc +a²b

+a²c + 2abc +b²c − 4abc

= (b +c)a²+ {(b + c)²+ 2bc + 2bc− 4bc}a + bc²+ b²c

= (b + c)a²+ (b +c)²a+ bc(b +c)

= (b + c){a²+ (b +c)a +bc}

= (b + c)(a +b)(a +c)

名前 (       ）

=

(x

y)z + (x

y)(x + y)

練習問題１ 練習問題２

解

次の式を因数分解しなさい。

x

− y

− zx + yz

解

次の式を因数分解しなさい。

2x

+ 5xy + 2y

− x + y − 1

2x

+ 5xy + 2y

x + y

1

= 2 x

+ (5y

1)x + (2y

+ y

1)

= 2x

+ (5y

1)x + (2y

1)(y + 1)

= (2x + y + 1)(x + 2y

1)

2x

x y + 1

2y −1

xy +x 4xy− 2x (5y− 1)x

降べきの順で整理する 最低次数がx, y

どちらも同じ

x

y

zx + yz

= (− x + y)z + (x

y

)

= (x

y){− z + (x + y)}

= (x

y)(x + y

z)

最低次数の低いの文字 でくくるz

４ 因数分解を考える順序

練習問題３ 練習問題４

解

次の式を因数分解しなさい。

a(b

− c

) + b(c

− a

) + c(a

− b

)

解

次の式を因数分解しなさい。

a

(b + c) + b

(c + a) + c

(a + b) + 2abc

a(b²− c²) +b(c²− a²) +c(a²−b²) ^{最低次数が}_{すべて同じ}

一つの文字で 

= a(b²−c²) +bc²− a²b + ca²−b²c 整理する

= (c −b)a²+ (b²− c²)a +bc²−b²c

= (c − b)a²−(c²−b²)a +bc(c − b)

= (c −b)a²− (c − b)(c + b)a + bc(c −b)

= (c −b){a²− (c + b)a+ bc}

= (c −b)(a−b)(a− c)

a²(b + c) +b²(c +a) +c²(a + b) + 2abc ^{最低次数が}_{すべて同じ}

= (b +c)a²+ b²c +b²a + c²a + c²b + 2abc

= (b + c)a²+ (b²+ 2bc +c²)a +b²c + bc²

= (b +c)a²+ (b + c)²a +bc(b + c)

= (b + c){a²+ (b +c)a +bc}

= (b + c)(a +b)(a + c)

一つの文字で  整理する

４ 因数分解を考える順序

確認テスト

次の式を因数分解しなさい。

(2) (a− b)x + (b − a)y (1) 3x³y + 2xy²

１

２

次の式を因数分解しなさい。

３

４

次の式を因数分解しなさい。

Tー１

(1) (2)

確認テスト

次の式を因数分解しなさい。

= xy(3x

+ 2y) xy(3x

+ 2y) (a

b)(x

y)

(1) (2) (1)

(2)

abx

+ (a − b)x − 1 2x

− 5x − 3

= (2x + 1)(x

3)

= (ax

1)(bx + 1)

(1)

(2)

(x − 1)(x − 3)(x − 5)(x − 7) + 15 x

− 3x

− 4

2x

+ 5xy + 2y

− x + y − 1

= (x

+ 1)(x

4)

(1) (2)

(x²+ 1)(x + 2)(x −2)

= (a −b)x −(a− b)y

= (a −b)(x −y)

(2x + 1)(x

3)

(ax −1)(bx + 1)

= (x

+ 1)(x + 2)(x

2)

= (x²− 8x + 7)(x²− 8x + 15) + 15

A A

= (A+ 7)(A+ 15) + 15

= (A+ 10)(A+ 12)

= (x²− 8x + 10)(x²−8x + 12)

= (x²−8x + 10)(x −2)(x −6)

(x²− 8x + 10) (x −2)(x − 6)

= 2x

+ (5y

1)x + (2y

+ y

1)

= 2x

+ (5y

1)x + (2y

1)( y + 1)

= (2 x + y + 1)(x + 2y

1)

(2x + y + 1)

(x + 2y

1)

確認テスト

次の式を因数分解しなさい。

a(b²− c²) +b(c²−a²) +c(a² −b²)

５

Tー１ 確認テスト

(c −b)(a−b)(a−c)

= a(b²−c²) +bc²− a²b + ca²− b²c

= (c −b)a²+ (b²−c²)a +bc²−b²c

= (c− b)a²−(c²−b²)a +bc(c − b)

= (c −b)a²−(c − b)(c + b)a + bc(c −b)

= (c −b){a²− (c +b)a +bc}

= (c −b)(a− b)(a− c)

Tー２ 確認テスト

確認テスト

名前 (       ）

(2) (a+ b)x + y(a +b) (1) −2x²y −6xy²

１

２

(1) (2)

−

2xy(x + 3y) (a + b)(x + y)

= (a + b)(x + y)

次の式を因数分解しなさい。

次の式を因数分解しなさい。

=

2xy(x + 3y)

(1) (2) (1)

(2)

abx

+ (2a

− b

)x − 2ab 9a

− 42ab + 49b

= (3a

7b)(3a

7b)

= (ax

b)(bx + 2a)

(3a

7b)

(a x −b)(bx + 2a)

= (3a

7b)

３

４

次の式を因数分解しなさい。

次の式を因数分解しなさい。

(1)

(2)

(x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4) − 36 (x

+ x)

− 8(x

+ x) + 12

x

− y

− zx + yz

= (x

+ x

2)(x

+ x

6)

(1)

= (x

1)(x + 2)(x + 3)(x

2)

= (x²+ 2x −3)(x²+ 2x − 8)− 36

A A

= (A−3)(A−8)−36

= (A+ 1)(A− 12)

= (x²+ 2x + 1)(x²+ 2x −12)

= (x + 1)²(x²+ 2x− 12)

(x + 1)²

(x²+ 2x− 12)

=

(x

y)z + (x

y)(x + y)

= (x

y){− z + (x + y)}

= (x

y)(x + y

z)

(x + 3)(x − 2) (x −1)(x + 2)

(x

y)(x + y

z)

確認テスト

次の式を因数分解しなさい。

a(b + c)²+ b(c + a)² +c(a +b)²− 4abc

５

確認テスト

(a+ b)(b +c)(c +a)

Tー２

= (b + c)²a +b(c²+ 2ca +a²)

+c(a²+ 2ab +b²) −4abc

= (b +c)²a + bc²+ 2abc + a²b

+a²c + 2abc + b²c −4abc

= (b + c)a²+ {(b +c)²+ 2bc + 2bc −4bc}a +bc²+b²c

= (b +c)a²+ (b + c)²a +bc(b +c)

= (b +c){a²+ (b + c)a +bc}

= (b +c)(a +b)(a + c)

= (a +b)(b + c)(c +a)

名前 (       ）

Tー３ 確認テスト

確認テスト

(2) x(y− 2) +y − 2 (1) 5ab − 2ac

１

２

(1) (2)

a(5b

2c) ( y

2)(x + 1)

= a(5b

2c)

= x(y

2) + (y

2)

= (y

2)(x + 1)

次の式を因数分解しなさい。

次の式を因数分解しなさい。

(1) (2) (1)

(2)

ax

+ (1 + ab)x + b 6a

− ab − b

= (3a + b)(2a

b)

= (ax + 1)(x + b)

(3a+b)(2a−b) (ax + 1)(x +b)

３

４

次の式を因数分解しなさい。

次の式を因数分解しなさい。

(1)

(2)

a

+ 2ab + b

− c

2(x − y)

+ 5(x − y) + 2

2x

+ 5xy + 3y

+ 2x + y − 4

= {2(x

y) + 1}(x

y + 2)

(1) (2)

(2x −2y + 1)

= (2x

2y + 1)(x

y + 2)

= (a +b)²−c²

A

= A²− c²

= (A+c)(A− c)

= (a +b +c)(a + b −c)

(a + b +c) (a +b −c)

= 2x

+ (5y + 2)x + (3y

+ y

4)

= 2x

+ (5y + 2)x + (3y + 4)(y

1)

= (2 x + 3y + 4)(x + y

1)

(2x + 3y + 4)

(x +y −1) (x −y + 2)

確認テスト

次の式を因数分解しなさい。

５

確認テスト

(b +c)(a+b)(a+c)

Tー３

a²(b + c) +b²(c +a) +c²(a +b) + 2abc

= (b +c)a²+b²c + b²a +c²a +c²b + 2abc

= (b +c)a²+ (b²+ 2bc + c²)a +b²c + bc²

= (b + c)a²+ (b + c)²a +bc(b +c)

= (b + c){a²+ (b +c)a+ bc}

= (b + c)(a+ b)(a +c)