7 月 9 日講義参考資料
• 次回は7月17日(火)です．
• 次回講義中に授業アンケートを行うのでインターネットにア クセスできる端末がある人は持ってきてください．
• 左に太い線(←)が引っ張ってある箇所は 発展的内容, そ れ以外は 基礎的内容 です．
• このノートはホームページ
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/˜shimizu/LectLC2018.html
（google検索：「清水達郎」＋「RIMS」＋「線形代数」）から
ダウンロードできます．
11 ．同値関係と商空間
f :V1→V2を線型写像とする．kerf ⊂V1はV1の線形部分空 間であった．f :V1/kerf →Im(f)⊂V2を，
f([x]) =f(x)
で定める．
定理11.1. f は矛盾なく定義されていて，しかも線形同型写像で
ある．このf をf が誘導する写像という．
Proof. (前半：矛盾なく定義されていること) [x] = [x′]とする とx−x′∈kerf よりf(x−x′) = 0．よって,
f([x]) =f(x) =f(x)−f(x−x′) =f(x−(x−x′)) =f(x′) =f([x′]).
よってf([x])は[x]の代表の取り方に寄らない．
(後半1：線形写像であること) f(a[x]+b[y]) =f([ax+by]) = f(ax+by) =af(x) +bf(y) =af([x]) +bf([y]).
(後半2：同型写像であること) 全単射であることを言えば よい．
全射性：任意のy∈Im(f)に対しx∈V1が存在しf(x) =yを 満たす．よってf([x]) =f(x) =y.
単射性: 単射であることを示す．f([x]) = 0とすると，f([x]) = f(x) = 0よりx∈kerf．よって[x] = [0]．([0]はV1/kerfの零 元である)．
12 ．体
これまで線形空間はQ上，R上，C上などを考えてきたが，こ れらは体と呼ばれる演算付き集合の例である．線形代数はもっと 一般の体に対して展開できる．
定義12.1. 集合Kに加法+ :K×K→Kと乗法·:K×K→K が定義され，以下を満たすとき体(field)という．
(1) 任意のa, b∈Kに対しa+b=b+a,
(2) 任意のa, b, c∈Kに対しa+ (b+c) = (a+b) +c,
(3) (零元の存在) 0 ∈ K が存在し，任意の a ∈ K に対し
a+ 0 = 0 +a=a,
(4) 任意のa∈Kに対し−a∈Kがただ一つ存在しa+(−a) = (−a) +a= 0,
(5) 任意のa, b∈Kに対しab=ba, (6) 任意のa, b, c∈Kに対しa(bc) = (ab)c,
(7) (単位元の存在) 0 と異なる元1 ∈ K が存在し，任意の
a∈Kに対しa1 = 1a=a,
(8) 任意の0 ̸= a ∈ K に対しa−1 ∈ K がただ一つ存在し aa−1=a−1a= 1,
(9) 任意のa, b, c∈Kに対しa(b+c) =ab+ac.
例えばR,Q,Cは体であるが，Mn(C)は体ではない(行列の積 は可換ではないし，一般に乗法に関する逆元を持たない)．Zは
±1以外の0でない元が乗法に関する逆元を持たないため体では ない．
例. 自然数nに対し部分集合nZ⊂Zを nZ={nm|m∈Z}
で定め，同値関係 ∼n を a ∼n b ⇔ a−b ∈ nZで定める．
Z/nZ=Z/∼nにはZの加法と乗法がそのまま移植される：
[a] + [b] = [a+b],[a][b] = [ab].
命題 12.2. pが素数のとき，Z/pZは体である．
Proof. 条件の(8)以外は明らか．(8)を示す．a∈ Z, a̸∈pZに 対し[a][b] = [1]となるb∈Zが存在することを示せばよい．写像 ma :Z/pZ→Z/pZをma([b]) = [ab]で定める．maは単射であ る．実際，[ab] = [ab′]とすると[a(b−b′)] = [0]であるが，pが素 数でa̸∈pZであるからb−b′∈pZである．よって[b] = [b′].
Z/pZは有限集合なので単射ma は全射でもある．よって特に ma([b]) = [a][b] = [1]となるb∈Zが存在する．
例えばZ/2Zは集合としてはZ/2Z={0,1}で，演算は 0 + 0 = 0,0 + 1 = 1 + 0 = 1,1 + 1 = 0,
0·0 = 0,0·1 = 1·0 = 0,1·1 = 1
となる．Z/2Zでは[1] = [−1]であるため，加法と減法は同じ演 算になる．Z/2Zは，何かの例を考えたり，問題を簡単にしたい ときにしばしば用いられる．
例. M2(Z/2Z)には24= 16個の行列が属していて，例えば ( 1 1
0 1
) ( 0 1 1 1
)
=
( 1 0 1 1
)
である．
13 ．双対空間
Kを体とする．K上の線形空間V, W に対し L(V, W) ={f :V →W |f は線形写像} とおく．
補題 13.1. f, g∈L(V, W),a∈Kに対し
(af+g)(x) =af(x) +g(x), ∀x∈V
によって加法とスカラー倍を定めると，L(V, W)はK上の線形 空間である．
零写像0∈L(V, W)を任意のx∈V に対して0(x) = 0として 定める．0は線形空間L(V, W)の零元である．
例. (1) L(Kn, Km)∼=Mm,n(K)．
(2) 線形同型φ : L(K, V) →∼= V が，φ(f) = f(1)で与えら れる．
定義13.2. 線形空間V に対し，L(V, K)をV の双対空間といい，
記号V∗=L(V, K)で書く．
以降V は有限次元線形空間とする．(前回までの講義でも断り 無く線形空間は有限次元であったが，今回は特に有限次元を仮定 した議論を多用するのであえて強調しておく)
V の基底x1, . . . , xnに対し，x∗1, . . . , x∗n ∈V∗を，
x∗i(xj) =δij
で定める．∑
jajxj∈V に対し，
x∗i(∑
j
ajxj) =ai
である．
命題 13.3. x∗1, . . . , x∗nはV∗の基底である．
Proof. V∗を生成すること：
任意のf ∈V∗と任意の∑
iaixi∈V に対し，
f(∑
i
aixi) =∑
i
aif(xi) = (∑
i
f(xi)x∗i)(∑
i
aixi)
なのでf =∑
if(xi)x∗i である．よってf ∈ ⟨x∗1, . . . , x∗n⟩であり，
V∗=⟨x∗1, . . . , x∗n⟩. 一次独立であること：
∑
iaix∗i = 0とすると任意のjに対してaj = (∑
iaix∗i)(xj) = 0．
x∗1, . . . , x∗nをx1, . . . , xnの双対基底という．φx:V →V∗ を φx(∑
i
aixi) =∑
i
aix∗i
で定めると，φxは線形同型写像である．この線形同型写像は基底 x={x1, . . . , xn}の取り方に依存するように見える．実際依存す ることが知られている．
V∗の双対空間(V∗)∗を簡単の為V∗∗と書く．V ∼=V∗, V∗∼= V∗∗であるからV ∼=V∗∗であるが，この同型は実は基底の取り 方に依らない『自然な』ものである：
定理 13.4. φ:V →V∗∗，φ(x) = (f 7→f(x))とおくと，V の 任意の基底x1, . . . , xnに対しφ(xi) =x∗∗i (= (x∗i)∗)が成り立つ．
特にφは線形同型写像である．
Proof. 任意のjに対してφ(xi)(x∗j) =x∗j(xi) =δij=x∗∗i (x∗j)で ある．よってφ(xi) =x∗∗i .
V =L(K, V) 双対←→ V∗=L(V, K)
注意. φ : V → V∗∗ の定義に基底は用いていないので，φは基 底に寄らない『自然な』線形同型である．他方V とV∗の間には
『自然な』同型は存在しない．
注意. V が無限次元のときは定理13.3，13.4は成立しない．
【例】1変数多項式のなす線形空間 K[x] ={
∑n
i=0
aixi| ∀n≥0,∀ai∈K}
は基底1, x, x2, . . .を持つがその双対1∗, x∗,(x2)∗, . . .はK[x]∗の 生成系になっていない．例えばK[x]∗ ∋f, f(∑
iaixi) = ∑
iai は1∗, x∗, . . .の線形結合では表せない．
実はV が無限次元のとき，定理13.3，13.4の写像に限らず，一 般にV ̸∼=V∗, V ̸∼=V∗∗であることが知られている．
【例】Z/2Z[x]と，Nの有限部分集合全体からなる集合との間 に全単射がある．一方(Z/2Z[x])∗とNの部分集合全体からなる 集合との間に全単射がある．Nの有限部分集合全体の集合と部分 集合全体の集合の間には全単射が存在しないことが知られている．
前回講義した対称双一次形式の一般化である双一次形式を導入 しておく．V, W をK上の有限次元線形空間とする．
定義 13.5. b : V ×W → K が双一次形式であるとは，任意の v ∈V, w∈W に対しb(·, w) :V →K, b(v,·) :W →Kが線形 写像であるときをいう．
定義を言い換えれば，双一次形式b:V ×W →Kは2つの線 形写像を与える：
lb:V →W∗, lb(v) =b(v,·), rb:W →V∗, rb(w) =b(·, w).
定義 13.6. 双一次形式b : V ×W → K が非退化であるとは，
lb, rbが共に単射であるときをいう．
V, W は有限次元で，dimV = dimV∗,dimW = dimW∗なの で次が従う．
命題13.7. K上の有限次元線形空間V, Wの間に非退化双一次形
式b:V ×W →Kが存在するとき，lb:V →W∗, rb:W →V∗ は線形同型である．
この命題の応用を２つ述べる．
応用１
補題 13.8. e:V ×V∗ →Kをe(x, f) =e(x)で定めるとき，e は非退化双一次形式である．
Proof. le:V →V∗∗が単射であること: le(x) = (f 7→ f(x)) = 0∈V∗∗とすると，任意のf ∈V∗についてf(x) = 0である．こ こからx= 0が従う(各自確かめよ)．
re:V∗→V∗が単射であること: re(f) = (e(·, f) :V →R) = f である．
系13.9. (基底に依らない）『自然な』線形同型V ∼=V∗∗がある．
応用２
補題 13.10. R上の有限次元線形空間V 上の対称双一次形式
b:V ×V →Rが非退化(＝対応する対称行列が正則)であれば，
bは双一次形式としても非退化である．
Proof. V の基底をひとつ取りRnと同一視しておく．bは適当な
正則対称行列Sによって
b(x, y) =xTSy
と書かれる．lb : Rn →(Rn)∗ は，lb(x)(y) =xTSy, x, y∈Rn で与えられる．あるxに対しlb(x) = 0とすると，任意のyに対 しlb(x)(y) = xTSy = 0である．yとして特にy = S−1xを取 ると，
0 =lb(x)(S−1x) =xTx=∥x∥2.
よってx= 0．したがってlbは単射である．rbが単射なのも同様 に示される．
系 13.11. V を有限次元実内積空間とすると，V とV∗の『自然 な』同型が以下で与えられる：
V 7→V∗, x7→(y7→(y, x)).
つまり，内積があると線形同型V ∼= V∗ が自然に得られる．
よって任意の線形写像f :V →Rは『V のある一つの元との内積 をとる写像』として実現される：
定理 13.12 (Rieszの表現定理). V を有限次元実内積空間とす る．任意のf ∈V∗に対し元af ∈V がただ一つ存在し
∀x∈V, f(x) = (x, af) を満たす．
練習問題 線形空間P2 ={a0+a1x+a2x2 | ai ∈R} に内積 (·,·)を次で定義する(これが内積であることは各自確かめよ．)：
(f, g) =
∫
[−1,1]
f(x)g(x)dx.
E∈P2∗をE(f) =f(0)で定義するとき，E(g) = (g, fE)が任意 のgに対して満たされるようなfE∈P2を求めよ．
次回：授業アンケート，行列の指数関数，その他補足
