シンプレクティック双対性入門

シンプレクティック双対性入門

疋田 辰之

1 はじめに

本講座の目的は比較的最近になってBraden-Licata-Proudfoot-Webster [1]によって提唱されたシンプレク ティック双対性と呼ばれる現象について紹介することです. まずこれは専門用語を用いるなら錐的シンプレク ティック特異点解消(英語ではconical symplectic resolution,以下長いのでCSRと略する)と呼ばれる特別 なクラスの代数多様体の間の双対性です. 双対性と言っているのは二つのCSRの間に何かしら不思議な関係 があるというくらいの意味であり, [1]では双対だと考えられるCSRに対して観察される様々な性質が列挙さ れています. しかしながら[1]の内容に関して予備知識をあまり仮定せずに解説するのは難しいので, 扱う対 象をハイパートーリック多様体と呼ばれる比較的扱いやすいクラスのCSRに制限し,内容についても(私の偏 見に基づいて)一つの側面に絞って解説していきたいと思います.

2 ^背景

シンプレクティック双対性は幾何学的表現論と呼ばれる分野に属する予想です. 幾何学的表現論について 解説するには様々な予備知識が必要ですので, ここではその基本的な考え方や雰囲気を説明するに留めます. 詳しいことを勉強したい人のためにいくつか文献を挙げますが, 読まなくても論理的には(多分)問題ありま せん.

まず表現論とは群や結合代数などの代数系を線形代数で「表現」して研究する分野です. 例えば群Gの表現 というのはベクトル空間V とその上へのGの作用の組のことを指します. つまり各g∈Gに対して線形写像 ρ(g) :V →V が定まり, それらがρ(g)◦ρ(h) =ρ(gh)やρ(e) = idV という関係式を満たすことを言います (e∈Gは単位元). そして幾何学的表現論というのは群や結合代数などの表現, あるいはそれらのなす圏を幾 何学的に構成して調べる分野です.

例えば群Gが作用する空間が何かあったとします. このときその空間を「線形化」することでGの表現が 得られます. 線形化という言葉はここでは考えているクラスの空間X に対してベクトル空間H(X)を対応さ せ,空間の間の写像f :X →Y に対して線形写像f^∗ :H(Y)→H(X)を対応させる方法であって, 合成可能 な射f,gがあったとき(f ◦g)^∗=g^∗◦f^∗を満たすものという意味で用いています. つまり圏論の言葉を用い れば空間のなす圏からベクトル空間のなす圏への反変関手のことです.

線形化の例としては例えばX上の関数全体を対応させるというものがあります. ここでどのような関数を 許容するかは考えている幾何学に依存します. 例えばもしXがC^∞級多様体ならばC^∞級関数を考えるのが 自然でしょうし,X が複素多様体の構造を持つならば正則関数を考えることもできます. そしてX が代数多 様体の場合には多項式関数全体(座標環と呼ぶ)を考えることになります. ここで(C^上の)代数多様体とは大 雑把に言えばCⁿの中でいくつかの多項式の共通零点で表される部分集合(アフィン代数多様体と呼ぶ)を貼

り合わせて得られるもののことです. このときf^∗は関数の引き戻しによって定義されます. もしベクトル束 の言葉を知っていれば, これを少し一般化してGが作用する(G同変な)ベクトル束の切断全体を考えること でもGの表現が得られます.

GがLie群などのように幾何的な構造を持つ場合,例えばX として等質空間G/Hを考えることによりG が作用する空間が自然に構成できます. ここでHはGの閉部分群です. またHの表現が与えられるとそれか ら自然にG/H上のG同変なベクトル束を構成することができ,切断を考えることでGの表現が得られます. この考え方の基本的な例としてG= GL(n,C)を可逆なC^上のn×n行列全体のなす群,Bを上三角行列か らなるGの部分群とし,X =G/Bとします. これは旗多様体と呼ばれ, 代数多様体の構造を持つことが知ら れています. このときGのC上の有限次元既約表現はG/B上の直線束の切断の空間として実現できること が知られています(Borel-Weil-Bottの定理).

別の典型的な線形化の例としてはXのコホモロジーを考えるというものがあります. コホモロジーについ ては以下で説明しますが, それが特にX の位相空間としての構造だけから決まっているということに注意し ておきます^*1. 例えば再びG= GL(n,C)とし,X =G/Bの場合を考えてみます. このときGの自然な作用 がコホモロジーに誘導する作用は自明になってしまいますが,少し工夫をすると別の有限群の非自明な作用を 構成することができます. W をn次対称群とし, Tを対角行列からなるGの部分群とします. W は成分の置 換によって自然にCⁿに作用するので群準同型W →Gが得られます. これは単射になるのでW ⊂Gとみな すと,任意のw∈W に対してwT =T wが成り立ちます. よってW のG/T への右作用をgT ·w:=gwT と 定めるとこれはwell-definedになります. これでW がG/T のコホモロジーに作用することがわかりますが, B/T は位相空間としては可縮なのでG/T のコホモロジーとG/Bのコホモロジーは同型になります. この同 型を経由してG/BのコホモロジーにもW が非自明に作用しており,W の表現としては正則表現と呼ばれる ものと同型になることが知られています.

実はこのW 作用は別の方法で構成することもできます. その一つに合成積を用いる方法があり, 幾何 学的表現論の基本的な手法になっています. 詳しいことが知りたい場合は[2]を参照してください. この 方法を用いると空間そのものに群が作用していない場合でも, そのコホモロジーに群や結合代数の作用を 構成することができます. 例としてはSpringerファイバーと呼ばれるG/Bの閉部分代数多様体がありま す. これはn×nの冪零行列(つまりYⁿ = 0 を満たす行列) Y に付随して定まる代数多様体で, 定義は {gB ∈G/B|g⁻¹Y gが上三角}^{で与えられます}. そしてn次対称群の既約表現は全てSpringerファイバー の最高次のコホモロジーに実現できるということが知られています(Springer対応).

上で述べたように幾何学的表現論において旗多様体は重要な例になっています. またここでは説明できませ んが半単純Lie代数の表現のなす圏を幾何的に実現するにも,半単純Lie群に付随する旗多様体が用いられま す(Beilinson-Bernstein対応). このことに関する日本語で読める解説としては[4]を挙げておきます. そして また旗多様体の余接空間はCSRの重要な例にもなっています. CSRに纏わる幾何学的表現論の研究で重要な 問題として, 旗多様体に対して知られている様々な重要な結果のうち何がどのような形で一般化できるのかを 理解するということが挙げられます. そのためには古くから知られている結果を一般化できるように定式化し 直す必要があることもあり,その結果としてより自然な理解が得られるということもあり得るでしょう.

*1(代数幾何を知っている人向けの注)Xが代数多様体の場合,位相としてはZariski位相を考えるのが自然かもしれませんが,ここ

ではCの位相から誘導される位相を考えています.

3 ^{コホモロジー}

この講義に限らず現代数学においてコホモロジー論は非常に重要な道具ですので,ここでコホモロジーがど ういうものなのかについて簡単に説明しておきます^*2. ただしその構成について説明するには時間がかかるの で,ここではそれが満たす性質(Eilenberg-Steenrodの公理)のみ述べることにします. 構成などの詳細につい て気になる人は位相幾何学の教科書を見てください.

Eilenberg-Steenrodの公理ではまずコホモロジーを位相空間のペアに対して考えます. ここで位相空間の

ペア(X, A)とは位相空間Xとその部分空間A⊂Xの組のことを指します. (X, A)から(Y, B)への射とは 連続写像f :X →Y であってf(A)⊂B を満たすものを言います. 二つの射f, g : (X, A) →(Y, B)がホ モトピックとは射F : (X ×[0,1], A×[0,1])→(Y, B)が存在して任意のx∈X に対してf(x) = F(x,0), g(x) =F(x,1)が成り立つことを言います.

コホモロジー論とは任意の位相空間のペア(X, A)とi∈Z^{に対してアーベル群}Hⁱ(X, A)と準同型δ_(X,A): Hⁱ(A,∅)→Hⁱ⁺¹(X, A)を対応させ, 射f : (X, A)→(Y, B)に対して準同型f^∗:Hⁱ(Y, B)→Hⁱ(X, A)を 対応させる方法であって以下の条件を満たすもののことを言います.

1. 任意の f : (X, A) → (Y, B), g : (Y, B) → (Z, C) に対して(g◦f)^∗ = f^∗ ◦g^∗, f^∗ ◦δ_(X,A) = δ_(Y,B)◦(f|A)^∗が成り立つ.

2. f, g: (X, A)→(Y, B)がホモトピックのときf^∗=g^∗が成り立つ. 3. 次の完全系列が存在する.

· · · →Hⁱ(X, A)→Hⁱ(X,∅)→Hⁱ(A,∅)−→^δ Hⁱ⁺¹(X, A)→ · · ·

4. U ⊂Xの閉包がA⊂Xの内部に含まれるときHⁱ(X, A)−→^≃ Hⁱ(X−U, A−U)が成り立つ. 5. (X, A) =⨿

α(X_α, A_α)が非連結和のとき,Hⁱ(X, A)−→^≃ ∏

αHⁱ(X_α, A_α)が成り立つ. 6. ptを一点からなる位相空間とするとき,i̸= 0に対してHⁱ(pt,∅) = 0が成り立つ.

単なる位相空間Xは(X,∅)と考えることで自然に位相空間のペアとみなし,Hⁱ(X) :=Hⁱ(X,∅)とおきます. またH⁰(pt)をコホモロジーの係数と呼び, ここではそれをC^{と取ることにします}. ちなみに上の条件のうち 公理6以外を満たすものを一般コホモロジー論と呼び,幾何学的表現論でも公理6を満たさないコホモロジー 論を扱う場合があります. さらに任意のXに対してH^∗(X) :=⊕iHⁱ(X)が次数付き可換な環構造を持つと き乗法的であると言います. ここで次数付き可換とはa∈Hⁱとb∈H^jに対してa·b= (−1)^ijb·aが成り立 つことを意味しています. ここで考える特異コホモロジーなどのコホモロジー論はカップ積と呼ばれる積構造 によって乗法的になることが知られています.

良い位相空間(例えばCW複体と同相なもの)に対しては上の公理からそのコホモロジーは計算されます. 例えば上の公理のみを用いてn次元球面Sⁿ :={(x₁, . . . , x_n+1)∈Rⁿ⁺¹|∑

x²_i = 1} (ただしn≥1)のコホ モロジーは

Hⁱ(Sⁿ) =

{C (i= 0, nのとき) 0 (i̸= 0, nのとき) と計算できます.

*2コホモロジー論には様々な種類がありますが,ここで想定しているのは例えば特異コホモロジーと呼ばれるものです.

4 ^射影空間

簡単な場合のコホモロジーの計算の雰囲気を見るために複素射影空間Pⁿのコホモロジーを計算してみます. まずP^{nの定義は商空間として}

Pⁿ:= (Cⁿ⁺¹− {0})/C^×

で与えられます. ここでC^× :=C− {0}は掛け算によって群とみなしており, そのCⁿ⁺¹− {0}^{への作用は} λ∈C^×, (z0, z1, . . . , zn)∈Cⁿ⁺¹− {0}^に対してλ·(z0, . . . , zn) = (λz0, . . . , λzn)で与えられます. 定義から zn= 0で定まるP^{nの閉部分空間は}P^{n−1と同型で},その補集合(つまりzn̸= 0となる点全体)はその点の代 表として(z0, . . . , zn−1,1)という形のものが取れるのでC^{nと同型になります}. 特にこれを繰り返すことで閉 部分空間の列

∅ ⊂P⁰⊂ · · · ⊂Pⁿ⁻¹⊂Pⁿ

であって, 各補集合がCの直積と同型なものが取れることがわかります. このことを用いて帰納的にコホモロ ジーを計算します.

まずは位相空間のペア(Pⁿ,Pⁿ⁻¹)のコホモロジーを計算します. そのためにp ∈ P^{n を}(0, . . . ,0,1)が 定める点とすると自然な射 i : Pⁿ⁻¹ ,→ Pⁿ − {p} はホモトピー同値を定めることに注意します. 実際, f :Pⁿ− {p} →P^n−1をf(z0, . . . , zn) = (z0, . . . , zn−1,0)から定まる射とするとf◦i= id_Pn−1 であり,i◦f はid_Pn−{p}とホモトピックになります. したがってi^∗ :Hⁱ(Pⁿ− {p})−→^≃ Hⁱ(Pⁿ⁻¹)は同型を与えます. こ のことと公理3からHⁱ(Pⁿ,Pⁿ⁻¹)≃Hⁱ(Pⁿ,Pⁿ− {p})となりますが, さらに公理4をU =P^{n−1として適} 用するとこれはHⁱ(Cⁿ,Cⁿ− {0})と同型になります. 一方でC^{nは可縮であり}Cⁿ− {0}^はS²ⁿ⁻¹とホモト ピー同値であることから,公理3を用いると

Hⁱ(Cⁿ,Cⁿ− {0}) =

{C (i= 2nのとき) 0 (i̸= 2nのとき) がわかります. Hⁱ(Pⁿ,Pⁿ⁻¹)が計算できれば

Hⁱ(Pⁿ) =

{C (i= 0,2, . . . ,2nのとき) 0 (それ以外のとき)

となることはnに関する帰納法と公理3を用いることで容易にわかります. ちなみに環構造も考慮に入れると

H^∗(Pⁿ)∼=C[u]/(uⁿ⁺¹) (1)

となることが知られています. ここでuの次数は2としています. 一般にコンパクト位相空間X に閉部分空間の列

∅ ⊂X0⊂ · · · ⊂Xn−1⊂Xn=X

であって,Xk−Xk−1があるm(k)∈Z_≥0に対してC^m(k) と同相になるようなものが取れるとき,そのコホ モロジーは

Hⁱ(X)∼=C^{#{k|m(k)=i/2}} (2)

となることが示せます. このような閉部分空間の列のことをセル分割と言います. 例えば旗多様体などはをセ ル分割を持つことが知られています. このとき特に奇数次のコホモロジーは消えており,コホモロジー環は可 換環になることに注意しておきます.

5 ハイパートーリック多様体

ここで今回の主要な登場人物であるハイパートーリック多様体を導入します. まずデータとして次の完全系 列が与えられているとします.

0→Z^n−d−→^tb Z^{n a}−→Z^d→0 (3)

ここでZⁿの元などは行ベクトルとみなし,aは行列^t(a1, . . . , an), ai= (ai1, . . . , aid)∈Z^d, による右からの 掛け算で与えられるとします. 同様にbは行列^t(b1, . . . , bn),bi= (bi1, . . . , bi,n−d)∈Z^{n−dで与えられるとし} ます. この完全系列から代数的トーラスTⁿ:= (C^×)ⁿの間の完全系列

1→T^{n−d B}−→T^{n A}−→T^d→1

が 定 ま り ま す. こ こ で B, A は そ れ ぞ れ B(λ1, . . . , λn−d) = (λ^b₁¹¹· · ·λ^b_n^1,n−d_−d , . . . , λ^b₁ⁿ¹· · ·λ^b_n^n,n−d_−d ), A(λ₁, . . . , λ_n) = (λ^a₁¹¹· · ·λ^a_nⁿ¹, . . . , λ^a₁^1d· · ·λ^a_n^nd)で与えられます. 以下で具体的に説明しますが, ハイパー トーリック多様体とはBによって誘導されるT^n−dのT^∗Cⁿへの作用に関するハミルトン簡約として定義さ れる多様体です.

いくつか記号などの準備をします. まずB:= {I ⊂ {1, . . . , n} | |I|= dであり, {a_i}i∈Iは一次独立}^と おきます. そしてaがユニモジュラーであるという性質を任意のI ∈ B^に対して{ai}i∈I がZ^上Z^{d を生} 成することと定義します. これはハイパートーリック多様体が滑らかであることを保証する条件で, 以下で は常にaはユニモジュラーであると仮定します. またC ⊂ {1, . . . , n}^{がサーキット*3であるとは}{ai}i∈C

が{a1, . . . , an}の一次従属な部分集合のうち極小なものになっていることと定義します. Cがサーキット であるとするとaがユニモジュラーなことから一次関係式の係数は±1で取れることがわかるので, 分割 C =C+⊔C₋があって∑

i∈C₊ai−∑

i∈C₋ai = 0が成り立ちます. このときi番目の成分がi∈C_±なら

±1,i /∈Cなら0で与えられるZ^nの元はaの核に入るので, (3)の完全性からあるβC∈Z^{n−dが存在してこ} れは^tb(β_C)と書けます. β_Cは符号を除いてCから一意的に定まります.

TⁿはT^∗Cⁿ ∼=C^2nに(λ₁, . . . , λ_n)·(z₁, . . . , z_n, w₁, . . . , w_n) = (λ₁z₁, . . . , λ_nz_n, λ⁻₁¹w₁, . . . , λ⁻_n¹w_n)と自 然に作用します. また射µ:T^∗Cⁿ →C^n−dをµ(z, w) :=∑n

i=1z_iw_ib_iと定めます. これはT^n−d ⊂Tⁿの 作用に関するモーメント写像と呼ばれるものになっています. そしてGIT^*4安定性条件と呼ばれるパラメー タθ∈Z^n−dを十分一般的に取ります. ここで十分一般的とは任意のサーキットCに対して⟨θ, βC⟩ ̸= 0が成 り立つことを意味しています. またθ= (θ1, . . . , θn−d)はθ(λ1, . . . , λn−d) =λ^θ₁¹· · ·λ^θ_n^n−d_−d によって群準同型 θ:T^n−d→C^×を定めることに注意します. T^∗C^nの点pがθ-半安定であるということをあるT^∗C^{n上の多項} 式関数f(z, w)∈C[z, w]とm∈Z>0が存在して,任意のλ∈T^n−dに対してf(λ⁻¹·(z, w)) =θ(λ)^mf(z, w) (つまりf は重さmθ)とf(p)̸= 0が成り立つことと定義します. 以上の準備の元でハイパートーリック多様 体X =X(a, θ)は

X(a, θ) :=µ⁻¹(0)^θ-ss/T^n−d

*3この用語はマトロイドの理論から来ていると思われます.

*4geometric invariant theory (幾何学的不変式論)の略.

と定義されます. ここでµ⁻¹(0)^θ-ssはµ⁻¹(0)のθ-半安定な点全体からなる部分集合を表します.

6 ^自明な例

ハイパートーリック多様体の一般的な性質を調べる前にいくつかの典型的な例について様子を見ておくこと にします. まずは自明な例としてd= 0の場合を考えてみます. このときa_i= 0であり,µ= 0という条件は ziwi= 0 (i= 1, . . . , n)と同値になります. またGIT安定性条件θ= (θ1, . . . , θn)が十分一般的という条件は θi ̸= 0を意味しているのでθ-半安定な点は各iについてθi <0ならzi ̸= 0,θi >0ならwi ̸= 0を満たしま す. よってziwi= 0からもう一方の成分は0であり,Tⁿの作用によってθ-半安定な点は全て互いに移りあう ことがわかります. したがってこの場合Xは1点と同型になります. 一般にai = 0となるiが存在するとき はそのようなiを忘れても同じハイパートーリック多様体が得られます.

次にd=nの場合を考えてみます. このときbi = 0でありµ= 0という条件は自動的に満たされます. 割 るトーラスは自明なのでX ∼=T^∗C^{nとなります}. 一般にbi= 0となるiが存在するとき,そのようなiを忘 れて得られるハイパートーリック多様体をX^′とすればX∼=X^′×T^∗C^{となります}.

7 T

P

次にデータをd =n−1としてbi = 1,a1 = (1,0, . . . ,0), . . . , an−1 = (0, . . . ,0,1), an = (−1, . . . ,−1), θ=−1と取ります. このときµ(z, w) =∑n

i=1ziwiであり,ziの重さは−1でwiの重さは1なので重さがmθ の単項式は必ずあるz_iを含みます. したがってU˜_i:={(z, w)∈µ⁻¹(0)|z_i̸= 0}^とおけばµ⁻¹(0)^θ-ss=∪iU˜_i が成り立つことがわかります. 射ϕ˜_i : ˜U_i →C^2n−2をϕ˜_i(z, w) := (z₁/z_i, . . . , z_n/z_i, z_iw₁, . . . , z_iw_n) (ただ しz_i/z_iとz_iw_iの成分は除く)と定めると, これはT^n−d =C^×-軌道上で一定なので射ϕ_i :U_i →C^2n−2を 定め, これは同型になることがわかります. つまりϕ_iはU_i上の局所座標を与えています. k ̸=iに対して z_kⁱ :=zk/zi,wⁱ_k :=ziwkとおくと,Ui∩Uj上で座標変換はz_i^j = 1/z_jⁱ, w_i^j =−zⁱ_j∑

k̸=iz_kⁱw_kⁱ となり, k̸=i に対してはz^j_k=z_kⁱ/zⁱ_j,w^j_k=z_jⁱwⁱ_kが成り立ちます.

定義からw方向を忘れると上の構成はP^{n−1を与えています}. 特にzⁱ_jに関する座標変換の式はP^n−1のも のと一致します. そしてw方向も考慮に入れるとこれはPⁿ⁻¹の余接空間を与えていることがわかります. 実 際,Ui∩Uj上で

dz_i^j = {

1/z_jⁱdz_kⁱ −z_kⁱ/(z_jⁱ)²dz_jⁱ (k̸=iのとき)

−1/(zⁱ_j)²dz_jⁱ (k=iのとき) が成り立つことに注意すると

∑

k̸=j

w^j_kdz_k^j= ∑

k̸=i,j

(

w_k^j/z_jⁱdz_kⁱ −zⁱ_kw^j_k/(z_jⁱ)²dz_jⁱ

)−w_i^j/(z_jⁱ)²dzⁱ_j

= ∑

k̸=i,j

(wⁱ_kdz_kⁱ −z_kⁱw_kⁱ/z_jⁱdz_jⁱ) +∑

k̸=i

zⁱ_kwⁱ_k/zⁱ_jdzⁱ_j

=∑

k̸=i

wⁱ_kdz_kⁱ

が成り立ちますが,これはwⁱ_kの座標変換が余接方向の座標変換と一致していることを示しています. よって この場合X∼=T^∗Pⁿ⁻¹となることが言えました. また上の式を外微分するとUi∩Uj上で∑

k̸=jdz_k^j∧dw^j_k=

∑

k̸=idzⁱ_k∧dwⁱ_kとなることがわかりますが, これはUi上∑

k̸=idzⁱ_k∧dwⁱ_kで与えられるシンプレクティック 形式が全体に貼り合うことを意味しています. よってXは(代数的な)シンプレクティック構造を持つことが わかります^*5.

次にT^∗Pⁿ⁻¹が特異点解消になっていることを見てみます. C^{n2 の座標を}uij, 1≤i, j≤nと書き,

Omin:={(uij)i,j ∈Cⁿ² |

∑n i=1

uii= 0, uijukl=uilukj(∀i, j, k, l)}

と定義します. Cⁿ² の元を行列と思えばこれはトレースと2×2の小行列式が全て0になるという方程式で定 義されるアフィン代数多様体になっており, 極小冪零軌道と呼ばれるものの閉包になっています. これは原点 のみに特異点を持ち,π:T^∗Pⁿ⁻¹→ Ominをπ(z, w) = (z_iw_j)_i,jと定めるとこれはwell-definedになります. またu_ij ̸= 0で定義されるOminの開集合をU_ijと書くとOmin:=Omin− {0}=∪ijU_ij であり, U_ij →U_i をzⁱ_k=u_kj/u_ij,w_kⁱ =u_ikで定めればこれはw_jⁱ ̸= 0で定義されるU_iの開集合との間の同型を与えることが わかります. したがってT^∗Pⁿ⁻¹−Pⁿ⁻¹−→ O^≃ minは同型になります. つまりπは双有理射であり非特異点の なす部分集合上では同型になっています. また説明は省きますがこれは固有射でもあるので,特に特異点解消 になっていることがわかります.

最後にT^∗P^{n−1に対して§}2で述べた二つの線形化をそれぞれ考えてみます. まずコホモロジー環で与えら れる線形化はT^∗P^n−1がPⁿ⁻¹とホモトピー同値であることから(1)より

H^∗(T^∗Pⁿ⁻¹)∼=C[u]/(uⁿ) (4)

となります. 一方でπによる引き戻しを考えることで座標環の間の準同型写像π^∗ :C[Omin] →C[T^∗Pⁿ⁻¹] が得られますが, これは同型になっています. 実際, まずT^∗Pⁿ⁻¹上の多項式関数は制限によってT^∗Pⁿ⁻¹− Pⁿ⁻¹∼=Omin上の多項式関数を定めます. 一方でOminは正規という性質を持つことが知られていて, Omin

の補集合の余次元は2以上なので代数幾何の一般論からOmin上の多項式関数は一意的にOmin上の多項式関 数に延びることがわかります. したがって元のT^∗P^{n−1上の多項式関数は}πによる引き戻しで得られる多項 式関数と空でない(Zariski)開集合上で一致するので全体でも一致します. よって

C[T^∗Pⁿ⁻¹]∼=C[uij]/

(∑

i

uii, uijukl−uilukj

)

(5)

となります. 右辺はC[µ⁻¹(0)]の中でT^n−d-不変な多項式からなる部分環C[µ⁻¹(0)]^Tn−dと同型であること に注意しておきます.

8 A ^{型最小特異点解消}

次にT^∗Pⁿ⁻¹とは双対な例を見てみます. データとしてはT^∗P^{n−1の場合で}aとbを入れ替えたものを考 えます. つまりd= 1, a_i= 1, b₁= (1,0, . . . ,0), . . . , b_n−1 = (0, . . . ,0,1), b_n = (−1, . . . ,−1)とします. ま たθ= (θ₁, . . . , θ_n−1)∈Z^n−1はθ₁ < θ₂ <· · · < θ_n−1 <0が成り立つように取ります. このときモーメン ト写像はµ(z, w) = (z1w1−znwn, . . . , zn−1wn−1−znwn)となります. またもしあるci ∈Z^{に対して単項} 式f =∏

i:ci<0z_i^−ci∏

i:ci>0w^c_iⁱ の重さがθだとするとθ=∑n

i=1cibiが成り立ち, θi =ci−cnとなるので

*5一般に滑らかな(代数)多様体の余接空間は自然なシンプレクティック構造を持ちます.

c1< c2<· · ·< cnが成り立ちます. よってあるiが存在してfはz1· · ·zi−1wi+1· · ·wnで割り切れることが わかります. よってU˜i :={(z, w)∈µ⁻¹(0)|z1· · ·zi−1wi+1· · ·wn ̸= 0}^とおけばµ⁻¹(0)^θ-ss =∪iU˜iが成 り立ちます. またϕ˜i: ˜Ui→C^2をϕ˜i(z, w) = (z1· · ·ziw_i+1⁻¹ · · ·w⁻_n¹, z⁻₁¹· · ·z⁻_i−¹₁wi· · ·wn)と定めるとこれは Tⁿ⁻¹-軌道上で一定なのでϕi :Ui:= ˜Ui/Tⁿ⁻¹→C^2を定め, これは同型になることもわかります. よってϕi

はUi上の局所座標を定めます. z_iⁱ:=z1· · ·ziw_i+1⁻¹ · · ·w_n⁻¹,wⁱ_i :=z₁⁻¹· · ·z_i⁻₋¹₁wi· · ·wnとおけばUi∩Uj上 で座標変換はz^j_j = (z_iⁱ)^j−i+1(wⁱ_i)^j−i,w^j_j = (z_iⁱ)^i−j(w_iⁱ)^i−j+1となります. よってUi∩Uj上で

dz_j^j∧dw_j^j= (

(j−i+ 1)z_j^j/zⁱ_idz_iⁱ+ (j−i)z_j^j/w_iⁱdwⁱ_i )∧(

(i−j)w^j_j/zⁱ_idz_iⁱ+ (i−j+ 1)w_j^j/w_iⁱdw_iⁱ )

=dzⁱ_i∧dw_iⁱ

となるのでU_i 上のシンプレクティック形式dz_iⁱ∧dw_iⁱは貼り合ってX 上のシンプレクティック形式を定め ます.

またA型Klein特異点と呼ばれるアフィン代数多様体を

C²/(Z/nZ) :={(x, y, u)∈C³|xy−uⁿ= 0}

と定義し, π : X → C²/(Z/nZ)をx= z1· · ·zn, y = w1· · ·wn, u= z1w1(= z2w2 = · · · =znwn)と定 めるとこれはwell-definedです. またC²/(Z/nZ)は原点にのみ特異点を持ち, {x ̸= 0} ⊂ C²/(Z/nZ)か らUn ⊂ X への射を(x, y, u)7→ (z_nⁿ = x, w_nⁿ =u/x)で, {y ̸= 0} ⊂C²/(Z/nZ)からU1 ⊂X への射を (x, y, u)7→(z₁¹=u/y, w¹₁ =y)で,それぞれ定めるとこれはπの制限X−π⁻¹(0)→C²/(Z/nZ)− {0}^の 逆を与えることがわかります. したがってX はC²/(Z/nZ)の特異点解消を与えています. 実際はより強く, C²/(Z/nZ)の最小特異点解消C²/(^Z/nZ)と呼ばれるものになっていることも知られています.

次にπ⁻¹(0)について調べてみます^*6. まずU_i上ではπ(z_iⁱ, wⁱ_i) = ((z_iⁱ)ⁿ⁻ⁱ⁺¹(w_iⁱ)ⁿ⁻ⁱ,(zⁱ_i)ⁱ⁻¹(wⁱ_i)ⁱ, z_iⁱwⁱ_i) となります. よってπ⁻¹(0)∩Uiはi= 1のときは{w₁¹= 0} ∼=C,i= 2, . . . , n−1のときは{zⁱ_i = 0}∪{wⁱ_i= 0} ∼=C∪C, i=nのときは{z_nⁿ = 0} ∼=C^{となります}. また|i−j|>1のときはUi∩Uj 上でz_iⁱw_iⁱ ̸= 0 であることからπ⁻¹(0)∩Ui∩Uj =∅^{となります}. そしてUi∩Ui+1上ではw_i+1ⁱ⁺¹ = 1/z_iⁱとなることから {wⁱ_i = 0} ∪ {z_i+1ⁱ⁺¹= 0} ∼=P^{1となります}. したがってπ⁻¹(0)はP^1をn−1本繋げたものになっていること がわかります. ちなみにこのP¹の交わり方をグラフで表すとAn−1型のDynkin図形が出てくることに注意 しておきます. またこれはA型Springerファイバーの例にもなっています.

最後に二つの線形化を記述しておきます. まずC²/(^Z/nZ)はπ⁻¹(0)とホモトピー同値であることが知ら れているのでそのコホモロジーはπ⁻¹(0)のコホモロジーと一致します. またπ⁻¹(0)はセル分割を持つので (2)から

Hⁱ(C²/(^Z/nZ))∼=







C (i= 0のとき) Cⁿ⁻¹ (i= 2のとき) 0 (i̸= 0,2のとき) となります. 次数の関係で環構造は

H^∗(C²/(^Z/nZ))∼=C[u₁, . . . , u_n−1]/(u_iu_j|1≤i, j≤n−1) (6)

*6より正確にはその被約化を考えています.

となります. ここでuiの次数は2としています. またC²/(Z/nZ)が正規であることを用いるとT^∗P^n−1の 場合と同様に座標環は

C[C²/(^Z/nZ)]∼=C[C²/(Z/nZ)] =C[x, y, u]/(xy−uⁿ) (7) となります. 再び右辺はC[µ⁻¹(0)]^Tn−dと同型になっていることに注意しておきます.

9 一般の場合

一般のハイパートーリック多様体の性質についていくつか説明します. §6で述べたことから任意のiに対 してai̸= 0が成り立つとしても得られるハイパートーリック多様体は変わらないので簡単のため以降この条 件を仮定することにします.

まずいくつか記号の準備をします. §５でサーキットに付随するZ^n−dの元について述べましたが, I∈B とj ∈I^c :={1, . . . , n} \Iに対してI∪ {j}に含まれる唯一のサーキットから定まるZ^{n−d の元を}β_j^I と書 くことにします. ここで^tb(β_j^I)のj番目の成分は1になるように符号を選ぶことにします. 定義からI∈B, j, j∈I^cとすると標準的な内積に関して

⟨bj, β^I_j′⟩=δj,j^′ (8)

が成り立ちます. 特にこのことから任意のI∈B^に対して{bj}j∈I^c は一次独立であり,Z^上Z^{n−dを生成する} ことが従います. つまりaがユニモジュラーであることからbがユニモジュラーになることが言えます. また GIT安定性条件θを用いてI^cをI_±^c :={j∈I^c| ±⟨θ, β_j^I⟩>0}と二つに分割しておきます.

次にθ-半安定という条件をより具体的に書き下します. そのためにまず次の補題を準備しておきます. 補題 1. ∑n

i=1mibi=θが成り立つとき, あるI ∈B^{が存在して任意の}j ∈I^cに対してmj ̸= 0でありその 符号は⟨θ, β_j^I⟩^{の符号と一致する}.

証明. まずI₀:={i|m_i= 0}^とおけば{a_i|i ∈I₀}は一次独立であることに注意します. 実際, もしI₀が サーキットCを含めば⟨θ, β_C⟩= 0となってθが十分一般的であったことに反します. もしI₀∈B^であれば j∈I₀^cに対してm_j=⟨θ, β_j^I0⟩^{となるためこの}I₀が求めるIになります. もしI₀∈/B^なら,{b_j |I₀^c}^の間に は非自明な線形関係式が存在します. その一つを∑

j∈I^c₀n_jb_j= 0とし,I₁:={j ∈I₀^c |m_j+tn_j= 0}^が空で ないようなtのうち絶対値が最小のものを取ります. もしI0∪I1∈B^{ならばこれが求める}Iであり,そうでな ければmjをmj+tnjに置き換えてから同じ議論を繰り返すことで最終的に求めるB^{の元が得られます}. 補題 2. p= (z, w)∈ T^∗C^{n が}θ-半安定であることと, あるI ∈ B^{が存在して}zj ̸= 0 (∀i∈ I₋^c), wj ̸= 0 (∀j∈I₊^c)となることは同値である.

証明. も し あ る I ∈ B ^{に 対 し て} zj ̸= 0 (∀i ∈ I₋^c), wj ̸= 0 (∀j ∈ I₊^c) が 成 り 立 て ば f =

∏

j∈I₋^c z^−⟨θ,β

I j⟩ j

∏

j∈I₊^cw^⟨θ,β

I j⟩

j と 取 れ ば こ れ は 重 さ が θ で あ り, f(p) ̸= 0 と な る の で pは θ-半 安 定 に なります. 逆にpがθ-半安定であるとし,f を重さがmθでf(p)̸= 0となる多項式とします. まずf がいくつ かの単項式の和であればそのいずれかはpで消えないためf をその単項式に置き換えることでf は単項式で あるとして構いません. f =∏n

i=1z_i^ciw_i^diと書けばf の重さを見ることで∑

i(−ci+di)bi =mθが成り立つ ことがわかります. よって補題1よりあるI∈B^{が存在して},j∈I_±^c に対しては±(−cj+dj)>0が成り立ち ます. 特にj∈I₋^c のときはcj >0,j∈I₊^c のときはdj >0なのでf(p)̸= 0からzj̸= 0 (∀i∈I₋^c),wj̸= 0 (∀j∈I₊^c)が従います.