二慣性系に対する定常発振制御に基づく共振周波数推定手法の安定性解析

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(1)1B2-1 二慣性系に対する定常発振制御に基づく共振周波数推定手法の安定性解析. Stability analysis of resonance frequency estimation method for two-inertia system based on steady-state oscillation control ○田上和叡小林泰秀（長岡技術科学大学）. ∗K. Tagami, Y. Kobayashi (Nagaoka University of Technology ) Abstract A notch filter is used as a resonance suppression method in a servo system. In order to use the filter, it is necessary to specify the resonance frequency depending on the system. In contrast, we proposed a method to estimate the resonance frequency of the system based on steady-state oscillation control that keeps the amplitude of the motor speed constantat a target value. For the proposed method, it was experimentally confirmed that the resonance frequency according to the load inertia can be estimated, and that the stable region in the PI(proportional and integral)-gains plane is given by a line depending on the cutoﬀ frequency of the LPF(Low-pass filter). In this paper, the validity of this condition is theoretically proved based on the Nyquist plot. When the simulation was performed with the same model as the experiment, the same result as the experimental result was obtained. Key Words: servo system, steady-state oscillation control, resonance frequency，Stability analysis. 1. はじめに. り自動的に共振周波数に決定される．振幅の目標値を小さく設定することでシステムに過大な負荷をかける. 汎用サーボモータが産業用機械の駆動装置として広. ことなく推定が行え，また振幅の目標値を複数設定す. く使用されている．近年のサーボ系では，機械系の軽量. ることで振幅依存の共振特性を推定できる利点がある．. 化および位置決め時間の高速化により制御帯域内の低. また周波数応答のように，周波数の掃引加振が必要な. い周波数帯域での共振が発生しやすくなっている．共振. く短時間で共振周波数を推定できる．. の発生によりシステムの性能低下や機械系の破損につ. 実際に制御実験を行い，負荷慣性に応じて異なる共. ながる恐れがあり対策が必要である．一般的にはサー. 振周波数が推定できること，定常発振制御系の安定条. ボアンプ側でフィルタ処理を行い，共振が起こる帯域を. 件は PI(比例・積分) 補償器のゲインに関して直線を境. カットすることで振動を抑制している [1]．しかしフィ. 界とする領域で与えられ，その直線はローパスフィル. ルタの適用には機械系固有の共振周波数を知る必要が. タ (LPF) のカットオフ周波数に依存することを示した. あり，どのようにして共振周波数を特定するかが課題. [5]．. となっている．. 本論文では，この条件の妥当性を理論的に検証する. 一般的に共振周波数の推定手法として，システムの. ことを目的とする．. 周波数特性が計測されている．この手法は共振周波数の値をボード線図より直読することができ，掃引する. 実験装置および定常発振制御系. 2. 周波数の刻みを細かくすることで精度の高い計測が行える．しかし，掃引する周波数範囲が広い場合や周波. 2.1. 数の刻みを細かくするほど計測に時間がかかる．また. 実験装置. サーボ系の共振周波数を推定手法には，制御系により. 共振周波数の推定対象となる二慣性サーボシステム. システムを発振させることで共振周波数を推定する研. を Fig.1 に，Table 1 に使用機器の詳細を示す．基本的. 究が行われている [2, 3]．この手法は周波数特性とは異. な構成は従来研究 [4, 5] と同一である．両端にサーボ. なり，周波数の掃引・加振がないため短時間での推定. モータが取り付けられており右端が駆動用，左端が従. が可能である．しかし発振時の大きな振動がシステム. 動用サーボモータとなっている．それぞれが軸ばねに. の破損といった悪影響を及ぼす恐れがある．. よる柔軟カップリングを介して結合され，慣性ディス. これに関して著者らは前報 [4] において，従来より提. クの調整により共振周波数の変更が可能である．また. 案されてきた定常発振制御系をサーボ系に応用するこ. 本装置は制御帯域内で共振が発生するように細く長い. とで，機械系固有の共振周波数を推定できることを示. 軸ばねを採用している．本研究には利用しないが，軸. した．モータの回転速度の振幅が目標値一定となるよ. トルクを検出するためのトルクセンサが駆動側モータ. うに発振させることができ，その周波数は制御系によ. と軸ばねの間に接続されている．. 第 63 回自動制御連合講演会（2020 年 11 月 21 日～ 22 日，オンライン開催）. 184.

(2) Fig. 1: Experimental apparatus. Fig. 2: Block diagram of feedback system. Table 1: Experimental equipments. 標値 A∗ω 一定とするために，平均角速度まわりの振幅 ˆω との偏差で別の PI 補償器を駆動し，そのの推定値 A. PC D/A counter PIO A/D Driving motor. Driven motor. Shaft spring. Inertial load (HIGH) Inertial load (LOW). Dell Dimension 2100 / Fedora Core 1 (RTLinux 3.2-pre3, Linux kernel 2.4.22) CONTEC DA12-4(PCI) (12bit, 10µs) CONTEC CNT24-4(PCI)H (24bit, 1MHz) Contec PIO-32/32T(PCI) (Parallel input output, 32bit 200ns) CONTEC AD12-16(PCI) (12bit, ±5V 10µs) YASKAWA ELECTRIC CORPORATION SGD7S-1R6A00A, SGM7J-02AFA21 (rated pow. 200 W, rated torque 0.637 Nm(max 2.23 Nm), rotor inertia moment 0.263 × 10−4 kg · m2 ) speed/position detector: 20-bit encoder YASKAWA ELECTRIC CORPORATION SGD7S-1R6A00A, SGM7J-02AFA21 (rated pow. 200 W, rated torque 0.64 Nm(max 2.23 Nm), rotor inertia moment 0.263 × 10−4 kg · m2 ) speed/position detector: 20-bit encoder ϕ 3 mm × L 230 mm (The shaft is 250 mm long.) material: SUS304 ϕ 60 mm × T 13 mm, ϕ 80 mm × T 20 mm material: SS400 ϕ80 mm × T 20 mm material: SS400. ˆω は，出力を時変ゲイン G として用いる．推定振幅 A 平均速度まわりの振動信号 ωM − ωM の絶対値信号をカットオフ周波数 ωf 1 次の LPF に通して平滑化し係数 π/2 を乗じることで得る．. 3. 実験結果 [4, 5] 前報 [4, 5] で得た定常発振制御による時間応答の結果. を Fig.3 に示す．モータの平均角速度 ωM は 20 rad/s，目標振幅 A∗ω を 5 rad/s，LPF のカットオフ周波数. ωf を 1(rad/s) と設定した．比例・積分ゲインに関しては (a)KP = 0.004, KI = 0.003，(b)KP = 0.004,. KI = 0.005 となっている．ただしモータの平均角速度 ωM が定常状態になるのを待つためにモータ運転開始. 二つのサーボモータはいずれもトルク制御モードに設定され，パソコンの D/A 変換器からの電圧指令（駆. 10 秒後から定常発振制御を開始する．赤線はモータの ˆω である．PI 角速度 ωM ，黒線は速度振幅の推定値 A. 動トルク TM 及び負荷トルク TL ）で駆動される．サー. 補償器のゲインを適切に調整すると Fig.3(a) のように. ボモータに取り付けられたロータリエンコーダの信号. 目標振幅の 5 rad/s 一定で発振するように G が自動調. （1 回転あたり 65536 パルス）がカウンタボードで 4 逓. 整される．ωM は共振周波数の約 26Hz で振動してお. 倍されてパソコンに読み込まれる．そのカウント値を. り，この結果は別途取得した TM から ωM までの周波. 制御系のサンプリング周期 0.25 ms で擬似微分して各. 数応答の結果と定量的に一致している．しかし PI 補償. モータの回転速度 ωM , ωL を得る．. 器のゲインが適切でない場合は，Fig.3(b) に示すよう. 2.2. に速度振幅が目標振幅を超えて振動を続けている．G. 定常発振制御系. についても Fig.3(b) と同様に一定値に収束せずに振動. Fig.2 に制御系のブロック線図を示す．ここで P (破. を続け，定常発振制御系が不安定であることがわかる．. 線部) は駆動側トルク TM から駆動側角速度 ωM まで. 次に PI 補償器のゲイン (KP , KI ) に関する安定条件. の入出力システムである．本制御とは別に，平均角速. を調査した結果を Fig.4 に示す．実験で取得した時間. 度が所望の回転角速度 ωM になるように駆動トルクの平均値 TM を PI 制御し，モータの回転ムラ成分を取り. 応答より数値的に安定判別を行うため，時刻 t=120∼ 130 における追従誤差 Aˆω (t) − A∗ の L2 ノルムが 0.6. 除くためにハイパスフィルタ (以下 HPF とする) を入. 未満となった場合を安定，それ以外を不安定と定めた．. れている．平均角速度まわりの振動信号 ωM − ωM を. 横軸の KP ，縦軸の KI に対して安定となった場合は赤. ゲイン G 倍したものを平均駆動トルクまわりの振動信. い丸印，不安定の場合は青いバツ印が記載され，黒い. 号として用いる．ここではゲイン G を負の方向に大き. 実線は KI = ωf KP の直線を示している．図より，実. くしていくと閉ループ系は発振状態に至る．振幅の目. 線に示す KI = ωf KP の直線より下の領域で安定であ. ω. 185.

(3) −3. 6. 40. x 10. 35. 5. Integral gain KI. 4. 25. 3. 20. M. ω (rad/s),Estimated amplitude. 30. 15. 2. 10. 1 5. 0 10. ωM ˆω A 15. 20. 25. 30. 35 Time(s). 40. 45. 50. 55. stable unstable. 0 0. 60. 1. 2 3 4 Proportional gain KP. 5. 6 −3. x 10. (a) ωf =1[rad/s]. (a) KP = 0.004，KI = 0.003 −3. 6. 50. x 10. 5. 40. Integral gain KI. ω M(rad/s),Estimated amplitude. 4. 30. 3. 20. 2. 10. 1 0. −10 10. ωM ˆω A 15. 20. 25. 30. 35 Time(s). 40. 45. 50. 55. stable unstable. 0 0. 1. 60. 2 3 4 Proportional gain KP. 5. 6 −3. x 10. (b) ωf =0.5[rad/s]. (b) KP = 0.004，KI = 0.005. Fig. 4: Closed-loop stability with experiment. Fig. 3: Time response pf the feedback system. ることがわかる．同様の条件は熱音響システムの臨界温度比推定における定常発振制御系の実験でも得られており，制御対象が単純な 2 次振動系モデルの場合には αKI < 0 かつ α(KI − ωf KP ) > 0 であることが理. Fig. 5: Model of two-inertia system. 論的に示されている [6, 8]．ここで，α は制御対象の入出力信号間の位相関係を定める実数である．本論文でも実験的に得られた安定条件の妥当性を理. JM ω˙ M = TM − TS. 論的に検証することを目的とするが，次節でも示すよ. TS = KS θr + CS (ωM − ωL ). うに二慣性系の物理モデルは回転軸系が一体で回転し続ける剛体モードに対応する積分器を有しており，従. JL ω˙ L = TL + TS. 来知られる積分器を持たない 2 次振動系モデルに基づ. (1) (2) (3). ただし，TS は軸のねじりトルク，θr は両慣性の相対角. く安定条件がそのまま成り立つかどうかは自明ではな. 度，JM は駆動側慣性モーメント，JL は従動側慣性モー. いことに注意されたい．. メント，KS は軸のねじりばね定数，CS は軸の減衰係数である． TM から ωM の伝達関数 P (s) は次式で与えられる．. 4. 物理モデルの導出と問題設定. P (s) =. 本節では二慣性系の物理モデルが積分器と 2 次振動. s(JM. JL s2 + CS s + Ks JL 2 + JL )( JJMM+J s + CS s + KS ) L. (4). ここで，ωn ，ζ ，r をそれぞれ共振角周波数，減衰比，. モデルの積で表されることを示した後，簡易的に安定. 慣性比とすると次式が成り立つ．. 性解析を行うために積分器を省略する二通りの場合を. 1 (1 + r)s2 + 2ζωn s + ωn2 (5) · s(JM + JL ) s2 + 2ζωn s + ωn2 JL ¯ JM JL CS KS r= ， J= ，2ζωn = ¯ ，ωn2 = ¯ JM JM + JL J J P (s) =. 含め三つの問題を設定し，本論文を動機づける．Fig.5 の二慣性系を考える．この運動方程式は次式で与えられる．. 186.

(4) すなわち，二慣性系の物理モデルは剛体モード (積分器) と 2 次振動系モデルの積から成る．2 次振動モデルに対する定常発振制御系の安定性解析 [6, 7, 8] が既に行われていることと，本研究でも定常状態においては平均速度回りに振動が生じており，本質的には 2 次振動モデルであると考えられることから，(5) 式の剛体モードを省略したモデル P˜ (s). (1 + r)s2 + 2ζωn s + ωn2 P˜ (s) := s2 + 2ζωn s + ωn2. (6). で安定性解析を行うことをまず考えた．しかし，この. Fig. 6: Block diagram of feedback system at case 2. 妥当性をシミュレーションで検討したところ，このモ. and case 3. デルに対する定常発振制御系は（期待に反して）発振. 5. しなかった．この理由を調べるため次に，従動側を固定した剛体モードのないモデル P¯ (s)（後述するように. 安定性解析 2 次振動モデルの場合において定常発振制御系の安. P (s) の JL → ∞ の極限として得られるモデル）を検. 定性解析が行われている．PI 補償器のゲイン及び振幅. 討し，この場合には定常発振制御が可能であることが. 推定用の LPF のカットオフ周波数がある条件を満たせ. 分かった．これは，並列接続された積分器を省略する. ば定常発振制御系は安定で，PI 補償器の出力を時変ゲ. 場合に相当する．すなわち， ( ) 1 rs2 P (s) = · 1+ 2 (7) (JM + JL )s s + 2ζωn s + ωn2 r 1 s + = · (JM + JL )s JM + JL s2 + 2ζωn s + ωn2 (8). イン（実数）として含む開ループ系のナイキスト軌跡が (-1,0) に重なり（安定限界となり），制御対象の信号は目標振幅で定常発振し，PI 補償器及び LPF の状態は対応する平衡点に収束する [8]．本論文では，従来研究とは異なり（PI ゲインなどに関する安定条件を示すのではなく）定常発振制御系が発振しない場合，システムのナイキスト軌跡が (-1,0). と表したときの第二項. P¯ (s) :=. JM. に重なる時変ゲインが存在しない場合に相当すること. r s · + JL s2 + 2ζωn s + ωn2. を示す．. (9). case 1 から case 3 のナイキスト軌跡を Fig.7 に示す．青線が制御対象 P (s), P˜ (s), P¯ (s) のナイキスト軌跡，. である1 ．以上のことを明らかにするため本論文では，次の三. 赤線が時変ゲイン G の収束値を乗じた開ループ系の. つの場合を設定し，第 5 節でナイキスト軌跡に基づく. ナイキスト軌跡である．Fig.7(a) より、元の制御対象. 定常発振制御系の安定性解析，第 6 節でシミュレーショ. P (s) の場合（case 1）には，青線に示すナイキスト軌. ンの結果を示す．. 跡が原点以外で実軸と交わる点（共振周波数における点）が存在し，時変ゲインの収束値（負の実数）を乗. case 1. 元の問題：(5) 式の P (s) に対する Fig.2 の定. じたナイキスト軌跡が (-1,0) を通過することがわかる．. 常発振制御系．. ただし，case 1 の積分器において (5) では. 1 s. と定義し. たが，その場合システムは定常状態にならず低周波数. case 2. 直列接続された剛体モードを省略した問題： (6) 式の P˜ (s) に対する Fig.6 の制御系．. の大きな変動が現れた．そこで，case 1 では実験と同様に剛体モードが減衰するように積分器. 1 s. を. 1 s+ϵ. と置. き換えている．(ϵ は減衰を表す．) しかし，直列接続された積分器を省略した P˜ (s) の場合（case 2）には，青. case 3. 並列接続された剛体モードを省略した問題： (9) 式の P¯ (s) に対する Fig.6 の制御系．. 線が原点以外で実軸と交わっておらず，ナイキスト軌また Fig.6 に示すように case 2 および case 3 の制御. 跡が (-1,0) を通過するような時変ゲインは存在しない. 系は問題の簡略化のため，モータ角速度を ωM にする. PI 補償器および回転ムラ除去用の HPF を省略した場. ことから定常発振制御系は発振しない．これに対して、並列接続された積分器を省略した P¯ (s) の場合（case. 合に設定した．. 3）は，case 1 と同様に青線が原点以外で実軸と交わっ. 1 係数を除いて. する.. limJL →∞ P (s) =. 1 JM. ·. s 2 s2 +2ζωn s+ωn. ており、適当な時変ゲインの収束値が存在しナイキス. に一致. ト軌跡が (-1,0) を通過する．case 2 と 3 の違いは 2 次. 187.

(5) 6. Nyquist Diagram. シミュレーション. 0.8. 二慣性系のモデル (case 1) についての MAT-. 0.6. LAB/Simulink を用いた数値シミュレーション結果を. 0.4. Imaginary Axis. 0.2. −0.2. Fig.8 に示す．赤線が出力信号 y(実験時の ωM に相当)， ˆω に相当)，青線がゲ緑線は振幅の推定値 Yˆ (実験時の A. −0.4. イン G である．また，数値シミュレーションに使用した. 0. 各パラメータは JM =1，JL =10，ωn =2π × 26，ζ=0.02. −0.6. −0.8 −1.2. −1. −0.8. −0.6. −0.4. −0.2. 0. である．. 0.2. Real Axis. Fig.8(a) は KP = 0.4, KI = 0.3 の場合を示してい. (a)case 1. る．時変ゲイン G が負の方向に増加することで，発振が開始し大きな振動を生じていることがわかる．その後 y の振幅および振幅の推定値 Yˆ は目標振幅 Y ∗ =5 に. Nyquist Diagram 5. x 10. 1. 収束し，G についても一定値に収束している．KI を大 0.5. Imaginary Axis. きくした場合 (KI =0.5) を Fig.8(b) に示す．振幅の推定値 Y ∗ とゲイン G は振動を続け一定値に収束しない．. 0. この PI 補償器のゲインの大小関係により，制御性能が −0.5. 異なる結果は 3 節の実験結果とも整合している．次に case 2 の数値シミュレーション結果を Fig.9 に. −1. −6. −4. −2. 0 Real Axis. 2. 4. 6 4. 示す．Fig.9 では前節の Fig.7(b) からわかるように G. x 10. が負の方向に増加してもシステムは発振しないことが. (b)case 2. わかる．これにより G は一定値に収束せず，常に負の Nyquist Diagram. 方向に増加し続ける．. 0.8. 最後に case 3 の数値シミュレーション結果を Fig.10. 0.6. 0.4. に示す．Fig.10 より，KP が KI が大きい場合において. Imaginary Axis. 0.2. 0. 振幅が目標値に収束し Fig.10(a)，KI が大きい場合に. −0.2. は目標値に収束しなかった Fig.10(b)．Fig.10 も Fig.8 と同様の傾向を示しており，モータ角速度を平均角速. −0.4. 度にする PI 制御系および HPF は定常発振制御系に影. −0.6. −0.8 −1.5. −1. −0.5. 0. 0.5. 1. 1.5. 響なく制御が行えることを数値シミュレーションより. 2. Real Axis. 確認した．. (c)case 3. 今後は case 1 における，HPF のカットオフ周波数による共振周波数の推定精度への影響を調査する．. Fig. 7: Nyquist plot. 7. まとめ本論文では，二慣性系のねじり共振周波数を推定す. 振動モデルの分子多項式の次数であり，case 3 は従来. るために平均速度回りの速度振幅を目標値一定とする. 知られている熱音響システムの臨界温度比推定の場合. 定常発振制御系（偏差で駆動される PI 補償器の出力. [8] と同一（1 次）である．ただし従来研究 [8] では、熱. を，平均速度回りの速度からトルクを生成するための. 音響システムにおける管路長に応じて制御対象の入出. 時変ゲインとする制御系）について，これまでに実験. 力信号間の位相差をむだ時間により別途調整しており，. 的に得られていた安定条件を物理モデルに基づいて検. 二慣性系の場合にも入出力信号間の位相差が適切でな. 討した結果以下の知見を得た．まず，実験と同様に剛. い（case 2）と定常発振ができないが，適切であれば. 体モード（積分器）を含む制御対象，平均速度の補償. （case 3）定常発振制御ができると言える．この位相関. 器，回転ムラ除去用の HPF を有する制御系についてシ. 係は従動側慣性によらず不変であることから，従来研. ミュレーションを行った結果，実験にほぼ一致する安. 究 [8] とは異なり、二慣性系の場合には従動側慣性によ. 定条件が得られた．次に，解析の簡単のため制御対象. らず常に同一の定常発振制御系で共振周波数推定が行. を積分器と 2 次振動系の (i) 直列接続とする場合と (ii). える利点がある．. 並列接続とする場合について，積分器，平均速度の補. 188.

(6) 40. y(t) Yf (t) G(t). 30. 10. 5. 20. 10. 0. 0. −10. -5. −20. −30 40 −40 0. 50 50. 100 100. 150 150. 200 200. 250 250. y(t) Yf (t) G(t). -10 300 300. Time (s) 30. 5. 20. (a)Stable response with KP =0.4,KI =0.3. 10. 10. 40. y(t) Yf (t) G(t). 30. 10. 5. 20. 0. 0. −10. -5. −20. 10. −30. 0. 0. −40 0. 50 50. 100 100. 150 150. 200 200. 250 250. -10 300 300. Time (s) −10. -5. −20. Fig. 9: Time responses by simulation(case2). −30. −40 0. 50 50. 100 100. 150 150. 200 200. 250 250. -10 300 300. 40. y(t) Yf (t) G(t). Time (s) 30. (b)Unstable response with. 20. KP =0.4,KI =0.5. 10. 5. 0. 0. Fig. 8: Time responses by simulation(case1). 10. −10. -5. −20. 償器，HPF を除去して簡略化された制御系の安定条件. −30. を調べた結果，(i) 直列接続の場合には開ループ系のナ. −40 0. 50 50. 100 100. 150 150. 200 200. 250 250. -10 300 300. Time (s). イキスト軌跡を安定限界とする時変ゲインが存在せず. (a)Stable response with KP =0.4,KI =0.3. 定常発振が生じないこと，(ii) 並列接続の場合には適当な時変ゲインが存在し制御対象の共振周波数で定常発. 40. 振が生じることを，ナイキスト軌跡に基づく解析及び. 30. シミュレーションにより示した．共振周波数に対して. 20. HPF のカットオフ周波数を十分低くできない場合の推. y(t) Yf (t) G(t). 10. 5. 10. 定精度を検討することなどが今後の課題である．. 0. 0. −10. 参考文献. -5. −20. −30. [1] 株式会社安川電機，Σ-7 シリーズ AC サーボドラ. −40 0. 50 50. 100 100. 150 150. Time (s). 200 200. 250 250. -10 300 300. イブ Σ―7S シリーズユーザーマニュアルサーボ. (b)Unstable response with. パックアナログ電圧・パルス列指令形 SIJP S800001. KP =0.4,KI =0.5. 26O. Fig. 10: Time responses by simulation(case3). [2] Wen-Yu Wang，An-Wen Shen：Detection and Reduction ofMiddle-Frequency Resonance for Industrial Servo with Self-Tuning Lowpass Filter，Journal of Control Science and Engineering，Volume 2012, Article ID 478907, 12 pages(2012) [3] Sheng-Ming Yang，Shih-Chuan Wang：The Detection of Resonance Frequency in Motion. 189.

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