論 文
超低周波位相差計
橋口住久
（昭和52年8月25日受理）
A Phase Difference Meter for the Subsonic Frequency Region
SumihisaHASHIGUCHI Abstract Anew method for the measurement of the phase difference in the subsonic frequency region is proposed． The amplitude， frequency and instantaneous phase angle are computed trigonometrically from the three sampled values of the sinusoidal input signa1． This method requirs much shorter time for the determination of the phase difference than the conventional methods， which require several periods of the signals to be measured． はじめに 超低周波領域（0．001∼10Hz）で，正弦波の位相差 を測定する新しい方法について述べる。 従来の方法では，正弦波の振幅，角周波数，位相お よび位相差を知るには，少なくとも，1周期程度の測 定時間が必要である。したがって，超低周波領域で従 来の方法を用いれぽ，たとえば，1000秒程度のかなり 長い測定時間が必要となり，実用上不都合である。 ここでは，正弦波の瞬時の値を用いて，その振幅， 角周波数，位相および位相差を短時間で測定する方法 いついて提案する。 動作原理 図一1のように，振幅A、，A2角周波数ω，位相差ψ の2つの正弦波fi， f2を考える。 時刻t−AT， t， t十dTにおいて，おのおの正弦波 ーをサソプルとすると，サンプル値は，議iiii｛：ll二： ｝（・）
iii≡ll羅∴1 ｝②
、とかかれる。いま，サソプル間隔dTを
・＜ω∠T≦晋 （・）
となるように選べば，ω，A1， A2は，ω11∼X23を用い て，次のように表すことができる。 ωゴ・・S−・（Xll十X13 2x12）r吉・・S−・（慧已） （4） ノ11−IXi21 （X13−Xl、）2 （2x12）2一声＋（2差醤譜誌ロ
叫9一｜II
図一1位相差qをもつ2つの正弦波 Fig．1 Two sinusoidal waves with a phase difference q 一一P10一超低周波位相差計 A2＝｜￠221 （X23−X21）2 （2x22）2 （π21＋X23） （2x22） 一V／x222＋（X222（X23−X21）2 Qx22）2−（x21十x23）、 また，時刻tにおける位相to t， nt −9は， （5） ωt ＿C。，ec−1 Al， X12 ＿。＿C。，ec−1⊥ X12 、41 ＝π十Cosec−1 ×12 ＿＿ b。、ec−IA．， X12 入力 Xl 1 ， fi X12 ， if x12＞O and x13−xl1＞O if x12＞O and x13−xll＜O if x12＜O and x13−xll＜O if x12＜O and x13−xll＞0 （6） ωτ一ψ 一C。、ec−1．皇， if、x22＞0。nd、x23−x21＞O X12 −。−C。、ec−』，if。22＞O、and、x23−。21＜O X22 −。＋C。、ec−』，if。22＜0。nd、x23−。2i＜O X22 −．− b。sec−142， if．x22＜O、and、x23−。2i＞O X22 （7） ここで，Cosec’i， Cos−1は主値を表す。 （7）の差をとれば，位相差gc，が求まる。 である。 式（6）， したがって，サソフ゜ル値Xl1∼x23に図一2に示すよう な演算処理を行えば， ψが求まることが わかる。 図一2（a）は，式（4）および式（5）の前半を用いたもので （Xll＋x13）／2x12 十 十 十 ＋ x・、 1／2 ＋ SQ ＋＋ SQRT × （−x、、＋x、3）／2。、2 A1ル121 ＊1：2乗，＊2：平方根，＊3：絶対値 図一2（a）振幅Al，角周波数ωを求める演算フ゜ログラム（A2についても同様） Fig．2（a） Program for the amplitude∠4， and the angular frequencyω A】／1x121 一X11十二じ】3 ＊Sign 符号関数 Sign（x）＝1， x≧O Sign（x）＝−1， x＜0 一x21十x2．R 2x22 十 十 十 十 十 ψ 図一2（b）位相差ψを求める演算プログラム Fig．2（b） program for the phase differenceψ 一111 一
昭和52年12月 山梨大学工学部研究報告 第28号 Xll 十十 f、x、2 X13 十十 図一3 アナログ方式で演算を行う場合の演算プログラムの
例
Fig．3 A version of fig．2（a）for analog Processlng あり，A，，、42については全く同一である。ωについ ては，ア1，f2のどちらから求めてもよい。 図一2（b）は，式（6），（7）を用いてqを求める方法であ る。エ12，κ13−Xllの符号に従ってアナログスイッチを 切換えて，式（6），（7）のそれぞれ，1個の式に対応させ る。 図一3は，式（5）の後半を用いたもので，信号が経由す る非線形演算素子の数が少なくなるように考慮してあ るので，演算をアナログ方式で行うときに有利であ る。サンプル間隔AT
測定精度を決定するのは，サンプラの分解能dVと 演算の精度とである。 分解能の測定精度への影響を少なくするためには， X12，π22の絶対値が4γに比べて十分大きいこと，お よび隣り合うサソプル値の差IX、，−X121∼IX22−X231の 全てが∠γに比べて十分大きいことが必要である。 すなわち，いまサンプル値に対する許容誤差をεs とかけば，11：：にる：1 ｝（・）
：：i：二：：ニニ：： ｝⑨
が成立しなけれぽならない。 dTの適否の判定は，図一4のようにして行う。 Xl一X12∼X22−X23の絶対値dV／εSとを比較し，そ れらのうち，1つでも式（9）を満足しないときにはIT 延長信号を生じ，サンプル間隔dTを大きくする。 また，x、2， x22についても同じ操作を行い，式（8）が 同時に満足されるまで演算は開始されない。 さらに，ATは式（3）を満足しなければならない。 入力 Xコ1−X12 Xl2−X13 X21−X22 X22−X23 AT延長信号 x12X、2°一………
n脳算 号
o−一一一一一一一一一一一一一一一一 Xll十X13 x61＝〈llli）H＞・一 AT短縮信号 図一4∠T判別プログラム Fig．4 Discrimination of sampling interval∠τ 入力f2サンプ
^ アナ・グ スイッチ サンプ^
各部への 制御イ‘：i S；’ AT 判別部 図一5 位相差計全体の構成 Fig．5 Blockdiagram of the phase difference meter AT＜π／2ωは（Xll十X13）／x12＞0と等価であるので， （Xl1＋X13）／X12の符号を調べて負であれぽdT短縮信 号を生じる。 位相差計の構成 図一5に位相差計全体の構成を示す。2つの正弦波入 力信号fi， f2を2つのサンプルポルダを用いて時間 間隔dTでサソプルする。2つのサンプルポルダの出 力を交互にメモリに収容する。連続する3点のサンプ ル値6個がそろうとdTの適否を判別し，不適当であ ればサンプル値を取り直す。dTが適当であると判定 されると，演算部が動作してω，Al， A2， gを計算 し，結果を表示する。上記各部の動作は制御部からの 制御信号に従う。 ADコソバータは，メモリ以下の部分をデジタル方 式で行うときにのみ必要である。 位相差計をアナログ方式で構成すると，システム全 体の構i成が簡単で経済的であるが，各部分の誤差が累 積して全体としての精度を制限するので，精度を高め 一一@112 一超低周波位相差計 ることは必ずしも容易ではない。しかし，最近では優 れたアナログメモリや高精度の演算要素も市販される ようになってきているので，測定誤差10％程度の位相 差計は容易に実現できよう。 デジタル方式では，誤差は主にサソプルホルダと ADコンバータの精度によって決定されるので，アナ ログ方式よりも高精度の位相差計が得られる。 現在，NECの8080 Aマイクロプロセサを用いたシ ステムの試作を進めている。これについては，別の機 会に詳細に報告する。
