最少自藁法による実験式係数の求め方
最小自乗法による実驗式係数の求め方
1．緒 言
普通の最小自粟法では例えばエ．y二種の量を測定i してx．yに就いての実験式を作る場合に、 yの測定 値には誤差がおるが、Xの測定値には誤差がないもの と仮定して、最小自乖法を適用している。 併し、測定実験にiま程度の叢違こそあれ、いつれも 誤差があるからsこの関係を加味して実験式の係数を 求めることが理論上妥当である。 X・γ両方に誤鰭がある場合には計算上途中で未知数 ‘の数の多い連立方程式を解くこととなりs普通の方法 では計算が頂雑で、実瞼式の係数を定めることが困難 であるので漸近法：こより求めることにした。一般に測 定、測量などでは、費用や手数を要するのでこれを取 扱う計算も、測定のデーターを用いて最も妥当なる結 果を求めると共に、計算法は実用上ぽなるべく簡軍な 方法が望ましいのでおる。2．x． yの測定誤差の有無とその実験
式に及ぼす影響
測定でX．y二彊の実鰍値の関係を研究する場会に X．yの両方に誤差があるか又はx． yのいつれか一方 に誤蓄があるかでその実験式が変化するものである。 この事実を理解するために簡輩な例題を掲げて説明 しよう。 実験によりX．yを測つてこれを図上にP1（κ＝L y＝＝1）， P2 （x＝3． y ＝1）， P3 （x ＝3． y＝＝2） 1こ実験 値を画く。 品yの実験式の形は理論上叉は実噸、経験上より 直線的関係があり、Y＝aX十bの実験式で表わされる ものとして、その係数を定めようと思う。 但し、測定値で誤差を伴う値をエ．yで示し、最小 自乗法により得られた最確値をX．Yで示す、実験式 にx．yの値を入れれば誤差が現われるが、 X． yを入 れれば実験式を満足させるものでおる。先ずXを横軸にyを縦軸にとり、通常の方法で最
小自藁法を適用させれば、第一図の様にY＝O．25 x 十若
林
正
O．75 b：得られる、この場合にはxには誤差がなく、y に測定誤 y 差がある ものとし て求めら れたもの である。さてx
は横軸に取りyは
縦軸にと るのが普 通である がこれを ヨ2
1 θ 12
第 1 ．図3
4
xは縦軸、yを横軸にとつても差支えなく任意であ るから同 じデータ ーで第2 図の様に κ軸、y 軸の位置 を交換し， て最小自 乗法によ り実験式 の直線を 作るとそ の直線の3
2 10
1 z ヨ 第 2 図 ，94
方程式は第2図の様にX・＝y＋1となる。 更に第2図のx．・y軸を交換すれば第3図の様にその直線の方程式はY＝Y−1．となり第1図と第3図
とは同じ実験のデー・ター・を用いたのに全く違つた実験 式が得られた。 これは第1図ではxの測定値には誤差がなく、yの 測定値のみ誤差があるものとして計算し、eg 2．3図 ではyの測定値には誤差がなく、Xの測定値に誤差がT，Wakabayashi ．A methOd for the determination
experim柏tal formula． of the Coefficien t Qf an 7−一一昭和28年7月
山梨大学工学部研究報告
第 4 号 あるものとして取扱つたために異る結果が得られたの である△y
2 3 ⇒ s 第 3 図 一般の実験では一方に、例えばxの測定値には殆ん ど誤差のない場合もあるが、X．yの両方に或程度の誤 差があるのが普通で、その時は上図で云うと第1図と 第3図との中間の状態となる筈で、実際には中間のい かなる状態となるかはX．yの測定精度の関係や、実 験式の形などにより変化するであろう。3．一般の場合の計算法
未知量がx．y． z…………，の場合は原理は同じで煩 難となるから、未知数がκ．yの二つの場合に就いて 説明することとする。 実験式の形式は F（X．Y． a． b． c）＝o……・………・……・（1） としこれを γ＝∫（X．a．b．の………・・………・（2） の形に書換える。 実験値は P1（x 1，Yl），P2（x2． yの……」Pn （Xn， yの．。 最確値は Ql （X1，Yl）， Q2（X2， Y2） ……Qn（x，，，Y、）℃ 残i差i lt it x1−Xl， x2−x2，・．・◆，・… Xn−Xn． Yl−Y：， Y2−Y1ジ……・・y，、−Y？，． 精度 Xに対し hl，砺…………， hn 夕に対し ht t， h2’，＿＿＿，疏’ とすれば（X，，Yl）に対して測定が（κ1∼X l＋dXi， （Yl∼yl十dyl）となる確率は ㍑毎卜贋（・・一…Xl）・｝砺・x嘉臼φ｛一力；2（カー玲栖
同様にして（X2， Y2）に対しで測定が（x2∼x2十dx2， ツ2∼Yt十dy2）となり、（Xl，Yl）∼（Xn Yn）迄至部が 同時に起る確率は 一一一一一一一一一一W
（hl h2……h。）（hf’h”．’……hn’） 7veS 鋤！一圭ん膓（v、−Xi）・二Σヵ；’（y、一均・l i”1 ， aXl dx2… dXn， 4yl dyL，… dy？b・・・・… ’・（3） となる。この確率を最大ならしめるためにはその指数 をとり（2）式を代入して、 et t2 s＝Σ〔力…（Xi−Xi）2＋hi（yi一脇）2〕＝・mi・n e＝＝1 1． ’・・・・・・・… ’■一・・… （4） a，b， cを種々変化して（4）式を最小にするための 条件は †』6一諒2｛f・（Xf， a， b， c） −yi，｝×旦讐吾叫一・
／欝一ゑ噴∫（鞠輌一司
…（5）×瓠㍗旦」・、［
†；1一鰍｛f（x・， a， b， c） −yi，｝［ ∂f（万i，a， b，c）〕 ＝O J’ ×一一『も＝一一一） Xl， X2，……， Xnを種々変化して（7）式を最小に するための条件ぼ 力i（尤一Xi）剛ア（x・頑・）一・yi｝嘉一・ 1・・・・・・・・・・・・・・… （6） （5’，（6）式にて未知数はa，ろ，c， xYt，X2）”s…X7i． でn＋3個、方程式の数は（5）が3個、（6）が”櫃1 計n＋3個でおるから解がある筈であるが’rs＋3個 の未知数を有する高吹方程式であるから普通の方法で は解くことは殆んど不可能である。これを実用上簡箪 に解くのには反復代入法を用いて近似的に解くとよ いo その方法は次の檬な要領による。 （5）式でX！，X2−…脇は最初は未だ分らないが ． Xl二≒Xl， X2＝＝x2・・・… X，‘＝x？n ・・・・・・・・・・・・・・… ㌧（7） と近似的におき（5）式の3式よりai b， cを求めるo 次にこのa，b， cを（6）式に代入してXl，X，…… …… w・を求める。次にこのXl， XLJ，…一，瓦を（5） に入れればa，b， Cの第二近似値が求められる。この 様に交互に（5），（6）式1と代入して必要槽だけ精籍 な近似値を求めることができる。これでa，・ b，Cが決 定すれば実鰍式（2）が決まり、それに相当するX， Yの値も求められる。最小自藁法による実賦式係数の求め方
4．同じxの測定値に封してyを何回
も繰返して測定したとき 例えばng−一一回の測走でXtの測定値に対してyの測 定値はy11， Y12． y13，……， Ylmとm回繰返えす。第2 回の測定では竣の測定値に対してyの測定は」回測 定すると云う様にエの同で測定値に対してyの測定 が数回繰返えす場合の計算法を次に述べる。 り 0 s Sn．P kS，．’ 芦翫・2 Pt｝‘・e rl 工3 ．第 4 刈，，，2 刈w・t ＋b（mh12 Xl＋lhlZ’X2 ÷……＋Ph；lx，、） ＝川X1（Y11＋加＋……＋ル，）＋hL7 X2（Y21 ＋y22＋……＋y・∂＋……＋玲Xi・（γ．、、＋Y。2 十……十ツ・rp） ……・…・一：…………・…・…（10） （9）をbで偏微分して a（fn hl x1＋嘱2 x2＋……＋助2孟） ＋b（mhl2＋1勾＋……＋ヵ乃わ ＝h12（Y11十Y12十……十Ptlm）＋hl2（y21＋Y22 ＋……十Y21）十……十h；1（Y？i1 十 Y，、2＋…… ……十Y？11・） …・…………・…・・…一…・…・（11）（9）をXlで偏倣分して
x、＝竺解竺＋h12 a〔（Yl1十Y12十…十夕1m）−mb m（酷＋h1’コ）a2 ・…・…・………（12） 同様にして 」房κ2＋hl2 a〔（Y21＋Y22＋……＋Y21）−lb〕 x2＝ 1（形＋hl4）a2 工9°’一一・・一工見 測 定 ’値 t コピ1，二｝ノ11，Pt12，二y13ジ゜°’・°，コノlm x2，y21，y2宮，夕23ピー・，夕2J X3， Y31，Y32， Y33ゾ・…・，夕35 Pじ71，Yn1，コ27i2tY，t3，’°・’◆・，コlnP 図最確値
Xl， Yl x2， Y2 x3， x3 Xtlt Yn で実験式の形式簡軍な例として oc精度
h1， hl’． h2， h2’． h3， h3’． hnt hn’◆ Y＝＝itX十b …・・…一…・…・……・・…・・…・……（8） を考えよう。 s＝吻肩（Xl−Xl）z‘＋lhl（x2 −x2）2 …………十Ph3（Xn 一一 2vu）2〕 ＋h12〔（aXl十b−−y11）・＋（aX、＋トタ、2）・＋ ・………・・十（aX1十b一夕1勉）2〕 ＋敵（aX・＋ろ一y，、）・＋（αx，＋ろ一ツ，，）・＋ ・………・・十（a x2十b−一・y2，∼）2〕 十……一…・…・・… …………＿．．．．．．＿＿＿．．．．．◆ ＋苛〔（a・x，i＋b−yの・＋（a・x。＋b一吻）・＋ ・・・・・・… 十（ax・b十b 一一 y？rp）2〕＝＝min・・・… （9） （9）をaで偏微分して a（励㍑鍵＋曜x芸噺……＋Ph二ix？，） x2＝＝ ．P（ゐ2十12’2？8 ？t）a2 これら連立方程式をとくためには（9）式、（10） 式でX1≒κ1， X2r・κ2t……X？‘≒Xo｝とおきa． b・の近 似値を求めこれを（11）に入れてX1， X2，……パ㍍ の近似値を求める。更に之れを（1），（2）に入れて ai bの第二近似値を求め以下必要な近似値を得る迄 繰返えす。 もしも精度がκ，ッの値の如何に拘らず一定値h， ht であるときには（10）式は a（〃3xi＋IXI＋……＋．P Xlt）＋6（m X1＋lx2 十……十P x？t） ＝X1（y11＋ッ12＋……＋ッ1の＋X2（y21＋ツ2＋… …十Y21）十……十Xl？，（Ynl十夕？、2十……十夕orp．） …・…・…・……（13） （11）式は a（MX1十IX2十……十PX？i）十ろ（m十1十…… ＋カ） ＝（y11＋y12＋一…＋ツ1の＋（夕21＋夕22＋…… 十Y21）十・・・… 十（Yn1十Y7i2十・・・… 十：Y？、1）） … （14）H＝h’2／h2とおけば（5）式は
x、＝蹴＋・政∼2・・＋ツ垣：・・二±芝・⊇一醐 m（1十Ha2） ・・・・・・・・・・・・・・・… （15） x，＿煽＋姻〔（y21＋y22＋・・…・＋y2e）−」b〕 1（1＋Ha2）脇一力獅＋aH〔（y；帯戸”＋働）一朔
力尼κπ＋∂戸〔（Yn・1十Y，、・2十・・・… 十Y7rp）−1吻一9一
▼ 昭和28年7月
