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2011.06
たとえば、平面について考えて見ま
しょう。平面はなめらか（特異点がな
い曲面）ですが、では逆に、なめらか
な代数曲面は平面といえるでしょう
か？この問いに答えるためには、なめ
らかな代数曲面の中における平面の
特 徴 づけを知らなければなりませ
ん。そのような手段のひとつとして、
代数曲面上の群の作用を調べるとい
うことがあります。平面上には、平行
移 動という作用が考えられます 。
平面上のx軸方向への平行移動に
ついて、aだけ平行移動したのちbだ
け平行移動するのは、最初からa+b
だけ平行移動するのと同じという性
質があります。これにより、複素数
全体の集合に演算として和を考えた
もの（これを加法群といいます）が、
平行移動という形で平面上に作用し
ているとみなせます。したがって、平
面 上には 、加 法 群 の 作用がx 軸 方
向、y軸方向と２方向にあるといえま
す 。もし 、考えている
代数曲面上には加法
群の作用がある１方向
にしかないとしたら 、
それは、平面とは異な
る代数曲面だというこ
とがいえます。このよ
うに加法群の 作用を
調べることは、代数曲
面を研 究する上で 大
変有効であるというこ
研究室通信
理工学部 増田佳代研究室
アファイン空間の
代数的研究
―アファイン代数幾何学―
K.G.RESEARCH
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増田 佳代
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大阪府生まれ。京都大学理学部卒
業後、１９９５年３月大阪市立大学
大学院 理学 研究科博士課 程 修
了。博士（理学）。明石工業高等専
門学校講師、姫路工業大学（現
兵庫県立大学）理学部講師、準教
授を経て２００９年４月より現職。
専門は代数幾何学、変換群論。
とが知られています。代数曲面につ
い て は 、宮 西 正 宜（ 関 西 学 院
大学数理科学センター客員教授）、
杉江徹 、藤田隆 夫 、飯 高 茂ら代 数
幾 何 学 研 究 者 によるこれまで の
研究により解明されました。しかしな
がら、高次元のアファイン空間につ
いては、その特徴づけはいまだ知ら
れていません 。増 田 研 究 室 では 、
代数多様体上の加法群などの群の
作用を調べることにより、高次元の
代数多様体の構造について研究して
います。また、毎年９月と３月に、大
阪梅田キャンパスにおいて国内外か
ら代数幾何学、可換環論の研究者を
招 いて 、ア フィン 代 数 幾 何 学 研
究集会を開催しています。２０１１年
３月には 、宮 西 正 宜 教 授が７０歳
を迎えられたのを機 に 、第７回の
アフィン 代 数 幾 何 学 研 究 集 会を
Conference on Affine Algebraic
Geometry として海外から１１名の
研究者を招聘して開催しました。
アファイン空間上の群の作用
代数多様体とは、いくつかの（複
素数係数の）多項式の零点集合とし
て表される集合のことです。１次元
の代数 多様体は代数曲線、２次元
の代数多様体は代数曲面とよばれ
ます。代数幾何学とは、代数多様体
について研究する数 学の１分野で
す。日本は、世界的に見ても代数幾
何学の研究が大変活発な国で、多く
の優秀な数学者が活躍しています。
数 学 のノー ベ ル 賞 版とい わ れる
フィールズ賞を受賞した日本人は、小
平邦彦氏、広中平祐氏、森重文氏の
３名がおられますが、いずれも代数
幾何学分野の研究者です。
アファイン代数幾何学は代数幾何
学の１分野で、主としてアファイン空
間とよばれる空間を研究します。n次
元アファイン空間は、その各点がn個
の複素数の座標の組で表される空間
です。したがって、１次元アファイン
空間なら（複素）直線、２次元アファ
イン 空 間なら（ 複 素 ）平 面となりま
す。こういうと、このようなよくわかっ
ている空間をあらためて研究する必
要などあるのかと思われる方もあるか
もしれません。しかし、n次元アファイ
ン空間については、n=２のときでもそ
んなに簡単ではなく、nが３以上のと
きはその構造はいまもってよくわかっ
ていないのです。
アファイン代数幾何学とは
代数多様体と代数幾何学
