研究ノート
トポロジカル・エントロピー
松 江 広 文
トポロジカル・エントロピーにおけるいくつかの重要な問題と予想を挙 げ，その背景および意味を解説するのが本稿の目的である。詳しい定義は 脈昿具体例は〔5〕に述べられているので参考にされたい。
１ 定義およびＢｏｗｅｎの結果
(X, d)をコンパクト距離空間（ｃｏｍｐａｃt metric ｓｐａｃｅ），f:Ｘ→Ｘ を連続写像(continuous mapping)とする。
定義1.1 Xの部分集合Ｅか屈め ‑separated であるとは，任意のズ，
を満たすｊが存在することである。
定義1.2 佃，幻一separatedなＸの部分集合の最大濃度を瓦(0と書き，
と定義する。
定義1.3 fのトポロジカル・エントロピー(tｏｐ０1０gical entropy) h{f) を
により定義する。
訂を,境界をもたないコンパクト微分可能多様体(compact differentiable
manifold without boundary)とする。 ｒ回（1≦ｒ≦oo)連続微分可能な 訂から訂へのdiffeomorphismの全体をDifr(M)とあらわす。 Bowert
〔2〕より,/6Diff(M)に対しては0≦/z（f）＜ｏｏである。また，戸の不動 点(fixed points)の個数をNn(f)とする。Bowen〔1〕により次の定理 が証明されている。
定理1.1 /eDiff(M)が「axiom Ａ」を満たすとき，
i) Diff(M)におけるｆの近傍Ｎｊヽで，すべてのｇ￡Ｎパこ対して
を満たすものが存在する。
狙)/z(f)＝oであるための必要十分条件は，f:Ｍ→訂の非遊走集合 (non‑wandering ｓｅt)痢f)が有限集合であることである。
予想1 (Palis‑Smale〔6Dfd〕iff(M)が構造安定(structurally stable) であるための必要十分条件は，ｆが「axiom Ａ｣と強横断性条件(strong transversalitycondition.)を満たすことである。
この予想に関して，十分性はRobbin〔8〕, Robinson〔9〕により肯定的に 解決された。必要性が未解決である。これに関連して派生した問題がいく つかある。
問題1 /eDiff(M)が構造安定でｆのトポロジカル・エントロピー /z(f)がＯならば，ｆはMorse一Smale diffeomorphism か？
もし，問題１が否定されれば，予想１の必要性に反例が存在することに なる。なぜならば，問題１の条件を満たし，かつ Morse‑Smale diffeo‑
morphismでないｆが存在し，さらに予想１の必要性が成り立つとすれば 次の矛盾が生ずる。すなわち，ｆは｢axiom Ａ｣と強横断性条件を満たす
が，定理1.1の亙)によりjQ(f)は有限集合であるからy･はMorse一Smale diffeomorphismである!
定義2.1八Diff(M)がｆのisotopy classにおけるsimplestdiffeo‑
morphismであるとは，次の(ａ)，(b)を満たすことである。
(ａ)fは構造安定である。
(b) /のisotopy classにおける構造安定なdiffeomorphismのうちで は，／のトポロジカル・エントロピーが最小である。
問題１が肯定的ならば, Morse‑Smale diffeomorphism は simplest diffeomorphismでなければならない。
/eDiff(M)が「axiom Ａ｣と強横断性条件を満たせば／は構造安定で あり(定義2.1の(ａ))，また定理1.1のi)よりDiff(M)内のある近傍Ⅳ/
においてはy･のトポロジカル・エントロピーが最小である(定義2.1の(b))。
従って，この近傍Ⅳ/においてはｆはsimplestdiffeomorphism である。
３ 亙⊂Diff'‑(M)の定義とその性質
Ｍ゛をｓ次元微分可能多様体とする。fd)ifF(Ｍ゛)に対して次のよう な訂77 のハンドル分解(handledecomposition)Hを考える。
ただし瑳はゐ次元の円板(友一dimensional disk), int y凪はy凪の内部 (interior)をあらわす。
定義3.1 ハンドル分解Ｈにおいて，１≦もゐ≦陶，0≦j≦肖をみたすす
べてのi， fe， iに対してf(Ｄ｛〉〈O}が０〉く￡)r一jに横断的(transverse)で あるとき, /eTaと書く。
記号八ＴＨのとき，f(￡ﾘ〉〈O)とＯ〉く￡)r‑jは有限個の点でのみ交わ
る。この点の個数を召右とする。が1を（i， k）成分とする陶×陶行列
‑‑
瓦はy鴎−y鴎‑1内のmaximal /‑invariant set であり，Kiの部分集 合硲はfl瓦の非遊走集合である。
定義瓦 Z H⊂Difr(M)とは次の(1)，(2)パ3)を満たすｆの全体からな る集合とする。
(1)fは「axiom Ａ｣と強横断性条件を満たす〇 (2) Mのあるハンドル分解Ｈに対して八T'
(3)fl瓦はfinite type のsubshift aにtopological conjugate であ り，fl硲はαの非遊走集合に制限したfinite type のsubshiftに topological conjugate である。
定理3.1 すべての/6Diff(M)は亙のある元にc small isotopic である。すなわち，ＨはDifF(訂)の中でc dense である。
八亙⊂DifF(M )ならば定義３．２の(3)の条件より，ｆの周期点(periodic points)の個数が数えられて，
である。
命題3.2 f6∬⊂DifF(訂゛)に対してｆのトポロジカル・エントロピ ー/z(f)は１ｏｇγである。ただしづ＝ｍａｘ{￨ら￨}で，稲はGjの固有値 (f＝1,‥･■･･， ｎ,‑)である。
証明 定義3.2の(1)よりｆは「axiom Ａ｣を満たし，定理1バLのn)より
1ｈか召(七)≒定数(有界)。
叫ｏリ=o阿 γ
ｆｄ)ｉ笛(訂)とし，八り%XM; Q)→∬バ訂;Ｑ)の固有値をλとす る。
を条件(c)と呼ぶことにする。
命題3.3 f Ｈ⊂DifF(M)ならば条件(ｃ)が成り立つ。
証明 Gj＝(ｇﾑ)のかわりに交わりの符号も考えて数えたalgebraicin‑
tersectionnumber の行列をAj＝(低)とする。このとき￨妬￨≦沢1 は明らか。
以上より八:坊(訂;Ｑ)→柘(訂;Ｑ)の固有値はAjの固有値であ る。ところが￨貳￨≦沁1より，Ajの固有値の絶対値のうちで最大のも のはGjの固有値の絶対値のうちで最大のものより小さいかまたは等し
予想２ 条件(ｃ)は｢axiom Ａ｣および強横断性条件を満たすすべての diffeomorphismについて成り立つ。
Bowen〔3〕はｆが｢axiom Ａ」とno cycle property を満たしdim￡?(f)･
＝Oならば条件幻が成り立つことを証明した。
問題２ ｆが「axiom Ａ｣と強横断性を満たす(あるいは構造安定)な らば, g^Hで/z(f)≧Kg)であるような，ｆにisotopicなｇが存在す るか？
これが肯定的に解ければ，八＝みであることと，/z(f)≧hig)≧max loglλlであることから，予想２が解決されることになる。
問題３ ][をDiffCM)の一つのisotopy class とする。条件(ｃ)の等号 が成り立つようなｆｆｅＨ∩１が存在する条件は何か？
問題２，問題３が解決されれば, simplest diffeomorphism を求める手 段がみつかる。
問題３において，特にh(g) =max. loglλ￨＝Oに制限した場合は以下の 様な状況がわかっている。まずｇ＾Ｈ， h(ｇ)＝Oより，ｇはMorse‑Smale diffeomorphismである。またfd)ifF(訂)をとるとき，
の固有値λに対し, max loglλ￨＝0とすると，八の固有値はすべて１のベ キ根である。ところが，一楽〔4〕に次の定理がある。
定理3.4 Mは６次元以上の単連結な多様体とする。 f゛ がＭｏｒsｅ‑
Smale diffeomorphismにisotopicであるようなｇが存在するための必要 十分条件は，
の固有値がすべて１のベキ根になることである。
この定理は，ホモロジーレベルの条件をチェーンレベルに置き換えれば 辨＝1で成り立つ。
以上，トポロジカル・エントロピーに関して簡単にまとめてみたが，省 略した定義の細部や証明などは〔4〕，〔7〕に述べられている。
〔4〕一楽重雄：ホモロジー理論と力学系，力学系の総合的研究(数理解析研究所 講究録245), 1975, 133―142.
〔5〕松江広文:Di ffeomorphism と Topological entropy, 電気回路の力学系 (数理解析研究所講究録254), 1975, 153―162.
