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トピック 9 ：多変数関数の 2 階全微分

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数学補習プログラム（社会人院生向け）

トピック 9 ：多変数関数の 2 階全微分

北村友宏

∗ 2016

年

3

月

19

日

1 多変数関数の 2 階全微分（参考書上巻 pp.411-413）

•

多変数関数を

2

度全微分することを

2

階全微分という．

ここでは

2

変数関数のケースで説明する．

• 2

変数関数

z = f ( x

1

, x

2

)

の

2

階全微分は

d

2

z

と書く．

⋆ z = f (x

1

, x

2

)

の

2

階全微分

d

2

z

は，

1

階全微分「

dz = f

1

dx

1

+ f

2

dx

2」をさらに全微分したもの．

d

2

z = d (dz) = ( ∂

∂ x

1

[dz]

) dx

1

+

( ∂

∂ x

2

[dz]

) dx

2 と書くことができる．

⋆

全微分する際，微小な変化を表す

dx

1や

dx

2は定数として扱う．

. . . .

例題

1.1 z = x

2

y

3の

1

階全微分と

2

階全微分を求めなさい．

解法

• z = f (x , y) = x

2

y

3として，まず

z

の

x

と

y

に関する

1

次偏導関数を求め，それを全微分の式に代 入して

1

階全微分

dz

を求める．

⋆ z

の

1

次偏導関数は

f

x

, f

yの

2

つ．

•

続いて，

dz

の

x

と

y

に関する

1

次偏導関数を求め，それを全微分の式に代入して

2

階全微分

d

2

z

を求める．このとき，

x

と

y

は説明変数として，

dx

と

dy

は定数として扱う．

⋆ dz

の

1

次偏導関数は，

∂

∂ x [dz] , ∂

∂ y [dz]

の

2

つ．

∗

Email: [email protected] URL: http:

//

tomkitamura.html.xdomain.jp

1

(2)

z = f (x , y) = x

2

y

3とする．

z = f (x , y)

の

x

と

y

に関する

1

次偏導関数は，それぞれ，

f

x

= ∂ z

∂ x = 2x

2−1

y

3

|{z}

定数

= 2xy

3

,

f

y

= ∂ z

∂ y = |{z} x

2 定数

· 3y

3−1

= 3x

2

y

2

となる．よって，

z

の

1

階全微分は，

dz = f

x

|{z}

=2x y3

dx + f

y

|{z}

=3x2y2

dy = 2 xy

3

dx + 3 x

2

y

2

dy

である．

また，

dz

の

x

と

y

に関する

1

次偏導関数は，それぞれ，

∂

∂ x [dz] = ∂

∂ x

[ 2xy

3

dx + 3x

2

y

2

dy ]

= 2 · 1x

1−1

y

3

dx

|{z}

定数

+ 3 · 2x

2−1

y

2

dy

|{z}

定数

= 2 |{z} x

0

=1

y

3

dx + 6x y

2

dy

= 2 y

3

dx + 6 xy

2

dy ,

∂

∂ y [dz] = ∂

∂ y

[ 2xy

3

dx + 3x

2

y

2

dy ]

= |{z} 2x

定数

· 3y

3−1

|{z} dx

定数

+ |{z} 3 x

2 定数

· 2y

2−1

dy

|{z}

定数

= 6 xy

2

dx + 6 x

2

ydy

となる．よって，

z

の

2

階全微分は，

d

2

z = d (dz)

= ∂

∂ x [dz]

| {z }

=2y3dx+6x y2dy

dx + ∂

∂ y [dz]

| {z }

=6x y2dx+6x2y dy

dy

= (2y

3

dx + 6xy

2

dy)dx + (6xy

2

dx + 6x

2

ydy)dy

= 2y

3

(dx)

2

+ 6xy

2

(dy)(dx) + 6xy

2

(dx)(dy) + 6 x

2

y(dy)

2

= 2y

3

dx

2

+ 12xy

2

dxdy + 6x

2

ydy

2

である．

※

d

2

z

は

d × dz

という意味，

dx

2と

dy

2はそれぞれ

dx × dx , dy × dy

という意味であることに注意．

. . . .

2

参照

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