九州工業大学研究報告（工学）No．32 1976年3月 83
連続力学と離散形観測の非線形確定系に対する 反復推定計算形オブザーバー
（昭和50年10月28日 原稿受理）
情報工学教室 高 田 等 第2部電気工学教室上 田 隆三 情報工学教室大学院藤田岳司 情報工学教室吉永恭一
電気工学教室高田茂夫
Iteration−type Observer for C皿tinuous−time Nonlinear System［s from Discrete Noiseless Measurements by Hitoshi TAKATA Ryuzo UEDA Takeshi FUJITA Kyoichi YOSHINAGA Shigeo TAKATA
Thi、 p。p，・P…ent・th・d・・i・・ti・n。f th・lt・・ati・n−typ・Ob・e・v・・f・・th・st・te e・ti皿・ti・n°f aCOn6nUOUS−time nOnlinear plant With diSOrete nOiSeless meaSUTemeロt呂・
1。thi、。b，，・v。・，。t…hdisc・et・i・・t・・t・f tim…h・・th・・b・e…ti…f・utp・t i・m・de・
the estimate。訂e iter。tively calculat・d t。 ec・皿・truct the missing state fr。m th・measu・ement・
The nonlinear di旺erential equation of plant is renewedly discretized by a Taylor expansi⑪n at eΨery interΨal of廿me， which divides the observation period into parts．
Thi，。b、，，ve，1、。pPlied t・the estim・ti・n pr。blem・f・1・・t・i・p・w・・sy・t・m・・nd its simula ti。，，e、。1t， by digit。1・・mp・t・・i・di・at・tl1・t。…bse・v・・m・y b・・pPli・・b］・i・this c・・e・f systems with relatively high nonlinearities．
非線形性の効果を減ずることができるので，非線形性の 1・序 胎 強い観測系に対して優れた推定精度が得られた。一方例 線形確定系に対するオプザーパーの研究は多くなされ えば，1サイクル応答平均値検出回路を用いて，電力系 てきたが，非線形系に対しては，極めて少ない。先に， 統における同期発電機の過渡状態推定問題などを取り扱 筆者等｛ま非線形離散描系に対して，拡張線形オプザーパ う場合には，一般に力学系が連続で観測系が離散形の非
≒ 竅C各段反腹推定計算形オブザーバー）を提案し検 線形性の強い非線形確定系の推定問題に帰着される。
軋た．拡張線形オブザーバーは、力学系および観測系 そこで本稿においては・この種の迎勘学で離散形観 の非線形関数をそれぞれ各段の状態推定値，および状態 測の非線形確定系に対し次の非線形オブザーバーを捉案 予測値でテ＿ラ＿展開し，1次まで考慮した線形近似系 した。1）各離散形観測時点においては・観測方程式の に，線形のオブザーバー理論を適用したものである。し 非線形性の効果を減ずることができる反祖推定叶算形オ かし線形理論の単なる拡張であるゆえ，線形性の強い系 ブザーパー理論を適用する。2）モれ以外の時点におい でなければ十分な推定精度が得られなかった。これに対 ては1ディジタル計算機の使用が容易で・しかも連続力 して反｛虹推定計算形オプザーパーは，拡張線形オブザー 学系の非線形性の効果を減ずるために・まず隣接する2 パーによる推定値を，各段において，観測情報に関し， つの蜆測点の間開を細分割する。つぎにこの各分割区間 硫の修正式により反復的に齪計算し直す手法であ ごとに・力学非線形項に気1し馴区剛・についての搬 る。このオプザ＿．・＿は，反復鞠により酬方程式の のテーラー展開を行ない離散化する・
こうして得られた本オブザーバーは，観測系のみなら F（（力十G十ユ）」）T）
坑力縣の糊馳醐果をも醐・滅少できるの 一F（（瓦十∫』）τ）＋」T・ゴ票
で，高精度の推定が期待でき，しかもディジタル計算機 1 「一｛是＋ωT
の適用働なものである・ ÷芸・鴫1「）L＿＋一
最後に本オブザーバーを同繊喘の過渡状竺定問 一F（（た一F∫のT）＋・τ・子（エ＿）
題に適用した。その結果本手法の有効性が確めりれた。
＋芸・∂：：三）・f（エ） ＋……
2問題の設定 一制訂
力学系および観測系搬の様に記述される系について と勧される・ここで第3項までで近似すれば㈹
式は 考察する。
。 エい肝1〕」＝エA＋1」十」τ・f（工制」）
㌶：lll三：lll； ：：1；： ＋芸・警）・r（エ），．＿
ここでエは畝元棚ベハル，隔はm次醐・ 全み（エー） ∵〒 ㈹
測ベクトル，f（エ（r））はη次元非線形ペクトル値関数， と各』7「ごとに離散化近似される。
σ（晦＋Dはm次元非線形ベクトル値関数である。ただ 3−2．状態予測値
し，酬は，。・、，＿，・バ・の時刻で行なわれ，・、 こお 時刻（占十輌5）rにおける（3−3）式の非線形項」・（エ… ） いて，状態値はエ（r友）＝エ吉で，観測値は〃歯である。 を，観測データ｛ツ1・y2・…ハ｝のもとでの為・ 』に対 またf㌧σは各変数x、で辿続偏微分可能である。 する状態予測値恥刊』抽でテーラー展開して1次まで 以下，（2一ユ）式の連続力学系の非線形性の効果の涼少 考慮すれば
に対しては徹小時間区間ごとのテーラー展開により離散 挺晦＋，の＝みL与＋、」ノ身
化し・しかも㈹式のｱ測非線離の効果の減少に ＋芸、（ A工友十 」」一工友十fJ〆身）
対しては，反復推定計算オフザーパー理論を適用したと 字隔 端
ころの非線形オブザ＿パ＿について考察する。 口＝0 1・2・…M−1）・ （3−4）
へ となる。ただし輌ゴ0におけるエA＋ 拙は距段におけ
a問題の解法 る状雌定値』、，、である。
3−1．連続力学系に対する散散化近似系の構成 これから時刻ぱ十G十1）」τ）における状態予測位 ハ
各観測区間［1かf畳＋d（観測周期丁＝f肝rfよ）をル㍍ 恥川＋1｝」龍は
等分割しモの分割区間を∬（＝T／M・）とおく・ ￡＿。、，、＝司．．￡＿よ （3−5）
時刻・一㈱の「（0≦輌≦M白一1） で与えられる．それ臓た段における状態推定値が与
における状態値工肘 」が既知であるとしたときの∫＝ えられれば（3−5）式をM、回繰返し使うことにより・
（丘十（∫÷1）のrにおける状態｛直エ…一は （叶・）段にお昏ナる状麟測値三＿欄られる．
一一＋∫1：：ll f（エ（・）ゴ・㈹ il｝友巖≧プザ→く一｛こよる撒定値
で∵え≧れる．いま∫・（エω）ゴ・の原始関数をFωと 状態予測値主一・が与えられるど㈹式はユ次 すると（3−1）式は のテーラー展開により
工鳶刊、．U、＝エ、＋、汁F（（島十（輌十1）」）τ） 〃・・1＝ρ（エ・＋・）＝σL・㍍撒
まわりでテーラー展開すると．
は
芸禦一書（ ）一」書＝芸・f ㌫1，巨。1碗．1ノ， （鍋 一F（（A十iJ）丁） （問 ＋語＾（エ・…よ・叫）㈹
エ エムキユノよ
となる・そζでF（（克十（f÷ユ）の「）を∫＝（脚）「の @となる．それゆえ（占＋ユ）段、、おけ鋤予醐麺・
に注意して である。
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A A
、慧慧㌫：㌫曇㌶鑛麗露㌔ （囎一一語．。、 エー冨糾1♪糾1） ㈹
を次の様にぬHに関し線形め方程式で求めることにす の関係が得られる。
る。
A ＾ ＾ 4．誤差関数の収束性とオブザーパーゲインの決定
エ」Ψ1！竃＋1：＝エA＋Mよ十x（力）・（〃身＋1一μ止＋1／A） （3−8）
ζζでκ（めは反復初期オプザ＿バ＿ゲインである。 （占十1）段および占段における推定値誤差但刷τA＋b なお占段における娯差．輪＝エ，一三訂白と（A十1）段に e輪を次の様に定義する。
ハ
おける初期推定誤差畦Ψユ」肚1＝軌＋1一ヰΨ憤＋1は（3一 烏＋1ノ軒1全エ・・、一エ刷ノ貴・1，ρ身仙全エーエ酬 4）〜（3−8）式から 1 （4一ユ）
θ鐸1，倉＋1＝（1。−X（の・GA＋1）・遅』片e輪 前節の（3−9）および（3一ユ4）式から
（砺・一芸▲撒・ ∵射∵1元：：懸㌫懸ご；……
∫一工A＋「冨歯一 一］）」ノA ・、呂r是ε島，膏 （4−・2）
の関係にある・（付録1参照） の縣臓り立つ．こ引、。」召＿，G識、＋いX⑰，
閨推定値の反鮒算 ・、．．遅一ま描で蹴したものである．（4．2）式を
（2−2）式三表わされる観測方程式ρ（為・Dを（3−8） 整理して書くと 式で求めた工鯉浪．1でテーラー展開してユ次まで考慮
すれば ・一・F｛ξμ一・1繊醐・1）｝
ぬ＋1＝σL一鋸1ψ舟＋1 ・（1珂一五（吉）θA＋1）且酋■Aノ上 （4−3）
A
丑F智豊＾ ） （3−9） 一一・・（∬ −o」¶P身＋1■」｛Ψ1！是＋1）（∬臼一・K（占）G！止＋1）
÷芸．。ハ（工身＋1一エ｛¶1ノ身＋1） となる・（4−3）式で表わされる羅の酷式にお・・て・
〔畑 （34。） 罐ベクトル・ のノルム胸1−〆砺・…が縦
＾ 収束する様なゲイン五（勾及び6躍鵠．1を決定する。
となる・ここでエ・＋Fエ ¶・個と劇 て次の魅定義 （4−3）式の両辺のノルムをとると
する。
診雷＿会．1謝1捌。 （鋤 ll・−111−11｛ξ1（み一・繊・・齢）｝
以上嚇より・第・回目の修正値を（鎚）式の場 ・（・一頁（胸・1凪・・ ・1 合と同離〃・＋1｛・ついて線形の ≦ll」（舟）ll．ll．、，、11 （4−4）
ハ ハ ム
エ舌01 …＝端聞＋・1¶1抽（悟＋一凶01ノ身） となる．ここに
を仮蹴以下臓して噸に，ゴ回目㌶値止（た）一磁熾1θ㈱｝（み一一）
ハ
工路ノ聞からσ十ユ）回目の修正値工畠識＋1は ・」阜および1μぴ）1卜＝〆λm。エ（且7（灼A（め）（行列∬（拍 ：編拓＋、＝曇架1ノ射、十e」聖憤＋、（ A〃A＋1一μ1｛「1ノ苫＋1） 且（占）・の最大固有値の平方根である。いま1レ1（占）llが
σ＿0，1，2，＿，N＿1）（3−13） 酬晶礁関願珠満醜数・でおさえられる様な
ゲイン．κ（のおよびO脾哉＋1が求まれば，すなわち で求める。ここにc孟0槻刊は反復推定計算形オブザー
パーゲインである．特にこの反鰍算のN回目の修正 11過（剃≦・＜1 （4邑5）
畦母｛個を（晶十1）段にお↓ナる状灘定値三＿、、 ならば，（44），（4−5）式を逐次用・・て
と定義する。なおこの際（ノ十ユ）回目とゴ回目の修正 ‖．よ＋憤＋d1≦ρll．よハll≦……≦ρ白叫130」oll（4−6）
値誤差をそれぞれ を得る．これは，季・であるから，距一・・に対し
・蹴，Fエ、刊一よ鰍．1，・昔撫1＝エ、・一蘂胴 il酬1＿。 o
としたとき，（3−10）〜（3−13）式から であるζとを示している。なお各段で』、r（め・．4（めの el据し＋1＝（み一c』皇1仙刊G1」0憤＋1）百よ2坤．1 最大固有値がρ以下にならない場合には，次の条件が満
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される様なゲインを選べばよい。 κ
lle川ノ静111≦喜Jl∬竺一冶｛瓢・1己瓢．111
〔別条件〕 ． ．、 ・1臣姻θ訓1馴r酬
漂翌、；：：1？1㌶＋1 L（2）レ … ≦意α〔一・β1酬馴（ふ5）
用 である。
、巳ξ・−o（∫→。。） （4−7）
6．例題（同期発電機の過渡状態推定）
で，かつ
・弓・〔r（占）・」㈹・…．．A（L（f））‖： 同期魎酬ま・噸荷角とすると
L（互十1）≦＝（・））≦，＜．．（4．8） Mδ＋脳P−sinδ＝P ・ （6−1）
である．ただし，L（・）＝。で， ． で与えられる・ここに Mは髄定数・Dは麟鰍，
ξH噸L㈹一ユエ（∫＋・）−2）刷L（・）IL㌃；蕊跳㌶機械入力である・
（4−9）
y＝ε、（e一己ゴc。sδ）／北，
この際（4．3）．（4．4）式より． ， ＝1−￠°sδ （6−2）
≡1；。＋、）一＿＋、）−2）……・ ? ｱ隠1ま無1駄
……・4（L（r））eL（f｝ノ￡｛帥 ．
となるので働（4−9）式から ㍍：蒜δ °1＝品蝋＝一蝋
ゴヰ
ll 一如・1川号巳ξ』・・ ・II−・α一・・）， とおくと
およ蜴ﾇ＿（＿）） 力学系［1：：：・垣＿＋占（仏3）
を得る．すなわち ・ 馴⇔・＝1−c°sx1・・ （6−4）
M−・（…）・ ：難遮；芦二灘r網ノ6°（秒）と
5オプザー・宝一ゲインκ（めおよびd宰識の （6−3）式を（3−3）式に従うて酬区間を凪分割 一簡易決定法 して離散化近似した系
本節ではオブザーバーゲインの一鵬決定榔ついて x1川辿＝エ1… ・＋」「 x・一
考察する・ ＋芋（・1si・x＿荊・∫＿胡
o昔躍＋1として
エ2・・＋ 倒｝ ＝x2．占栂＋ゴT（α1 slnエL、＋口
゜1ユ＝θ瓢1（σ昔詔＋1θ10㍊τ1＋σ静1） （5−1） ＋蜘1 汁め＋芋（蜘・ 一・一
およびκωとして ＋α・α1s口1・…汁・1・・…叶醐（6−5）
直（の＝6r．、（ロ刷■『．1＋uよ） （与2）；㍍1鷲定一用する（°u「lt・「・ti−一
を導入する・ただしσ・＋1経定麟称行列嚇臨 こ巴で用い培齪馳法（剛赫諏の助で
4節の条件を満足する様に任意に選ぶ行列である。この ある。
場舗録2より・さらに @ M−（2〃ノ。）一・．・265（ −5），＿，
ll∬・−c蹴＋1θ｛綱1≦α胸≦1（5−3） 、 ． D−・．・・5，。．。．，
ll∬・一κ（楓・111≦β≦1 （5−4） P・・−1・・，＿， P，。一α8，，…ハ が齪される・すなわち（旬式より さら・・コ学系曝靴近似に対しては、観測剛を
段蜘撫関係に凪＝5の等分割を用いた．なお（5勘
87 および（5−2）式のオプザーパーゲィンの決定に当り、 」，．口1㌔□、．、祀 （6．6）
正定噛称行列σ・としてむ・＝°25＞く1°』 を用いた・ を表枇ている。
（6−A）振動領域 （6−B）脱調領域
真値の初期値およびオプザーパーの初期値として各々 真値の初期値およびオプザーパーの初期｛直として各々
よ」．o ＝＝δ〇二＝0．5， x2，0 ＝δo＝0．0 叉1』 ＝δoニ0．0， x2．o ＝δo＝＝0．1 A A A ご A A A ご xl』ノ。＝δ。＝0』，エ2．。ノ。＝δ，＝0．0 エ1．o」o＝δo＝0、1，x2．o／o＝δo＝0．0
とし，各段で∧』4回の反復計算を行なった場合の特 とし，各段で」V＝6回の反復計算を行なった場合の特 性をFig・1に示す。ここで（b），（d）のグラフはモれ 性をFig．2 こ示す。その際（b）および（d）はモれぞ それ，真値と推定値との誤差の2乗 れ（6−6）式のJL是およびノ2．身のカーブである。
…
1迫
10
凹
1 −1D
願口阻r匝幌蹴
山蹴㎜緬
， 一一一一一［口囮澗α証楓 ・u は正笥． 社正
牧咋准・丁高口珊
．一、 卿証1脳「田醐
コ を
Fig．1．（a）振動領域におけるδ，δの特性 Fig．1，（c）振勧領域におけるδ，δの特性
晦山
＼ 、 劇鞠口1慨㎜顧 息15
、 0」4 1 −一一一一一D祀田川1ロ肛酬 〔加3 1 、 田2 1 1 −一一・ D旧宜正11□酊1ロ1駆醐
ll 白1
1 、 巳1 1 、 1 ㌔『一一一＿＿ 口9
1 『『一『1−一一一一＿
1辞 1 ・
16〜〜
1♂
1『略
16為
、＼ o 08 1＼ ＼．
＼ ＼
＼ ＼ 亀〜．
、、■一ト、」一
口07
L 鵬｝酬11脚帆画a田
一房一 。 1。 、。 、。
ム コ エ
Fig．1．（b）推定誤差の2乗JL白＝1δ一δ12 Fig」．（d）推定誤差の2乗」 ＝iδ一δド
卵 ；
6
5￡
4P
却
2刀
1」D
玉k 1♂
1♂
息0
80
戊0
60
5．0
． @ 40
3．o ロRl正脚1田・而モ〔蜘田
TR旺VAL旺 2．O
−一一一一一一D〔旧田川旺用［田部臼
一 ■一一一．− D15［亮訂E I正PATI『｛卵 1」）
1・2・3… 田 5・7・8・ 00。 10 20 30 ム0 50 60 70
エ
Fig．2．（a）脱調領域におけるδ，δの特性 Fig・2（c）脱調領域における疏δの特性
1雷
払
、 ． 口04
1 1九1 ㌢㌔．
1 、㌔
1 ＼．亀
1 ㌔．−
1 一一・・一一一＿一・・一一一一… °
l O加 i ［姐1酬叶「旺㎜
i −一 一一一皐輌U旺期卿
、、． o」〕2 、・−rL．、．
一・一■一 0 10 20 30
晦えω推定酷の2乗㌔＿1δ一31・ 輪匿（の齪酷の繰痴一1δ一』1・
89
キ ノコ ーパー（Diserete Iteration Observer）（MF1，♪』 （3−4），（3−5）式より Nに対応）による推定結果をも同時に示している。こ ＾
工隔1−」：よ＋』白〆嵩
れらの結果より本オブザーバーの優越｛生が確認された・ ∂み ・
＝百豆 ＾ （」：止十↓」ぱ一1｝」一：丈 歯十i」「一ユLJノ占）。
τ 結 言 工・㌔＋ぱ一1）」ほ
（付一3）
力学系が迎続で観測系が離倣形の非線形確定系の推定 （付一1），（付一2）および（付一3）から 問題に対し，反a1推定計算形のオプザーパーを提案し
なお各グラフにおいては，その推定精度比較のため， ぬ．rJ、＋1，．
漂芸㌫；E蕊㌫㌫： 一劉』（一一』・（イ＋2）
た．本オプザーこおいては，観測方輌非撒 △・斗一姻・融＿）
の効果を，各段における反復推定計算により減少せし ∂此
め．しかも力学系の耀式に対しては，微小時駆間ご 諏．．2、＿、 e歯・ぽ一 〕 白・（付一4）
とでのテーラー展開による離散化近似により，その非線 他方，（3一め，（3−5）式を繰返し使うことにより 形性の効果をも減少せしめている。
∂ 置i
非線形性のかなり強い系に対して，本オプザーパーの e缶掴叫」白＝爾司 ＾ ρ酬M−M片
1∫一」 』r＋f冨一2目ノ止 有効性が発揮されるものと思われる。 三
参考文献 ・一 ・一器。1．・輪・
1■x是ノ貴
り灘㌫晶蕩把，壁）遼藁難 よつて
2）研刀Ftよi弄竺言；D詣｛鷲年：㍊；非線形離倣 瑠一一1−（∬。一五（占）・器i嚇＿）
難㌶曇蟹き塁；＋鱈『㌫㌫月口繊 ・芸1、 …一器1、踊。
3） 上田，高田（等），高田（茂）；非線形オプザーパ L‥㌔＋〔冨⌒1｝」ほ 1戸1嫌 一による同期機の過渡状態の推定について，電気学 （付一5）
会自動制御研究会資料 AC−74−41，1974年．
〔付録2〕 （5−3），（5−4）式の導出 （D （5−3）式の導出
付 録
（∬n−44描＋1θ理認＋1）
〔付録1〕 （3−9）式の導出 ＝但・十研8哉‡・σ晶G「暮司＋1） 1 次の量を定義する。 歯・・を正定値対称行列にとることにより
．＿．全工＿＿会＿、、。 D＝G五蠕1嚇θ蹴・1
は非負定値対称行列になるから，適当な直交行列「Fに 以下簡潔な記述のためM身を1』fと書くことにする
（3．4）1（3．8）および㈹式力，ら醐綻鍵 よりDは対靴できる・
・鯉1，、、1は w・＝γ『α 已1靱刊㈱丁1宴・1） 1γ ∧ ：＝γ丁（∫托一ID）γ
e理1伽1＝エ… 一瑞 ・＋1 ＝γη評＋γDy
A ∂エ
ー㍍芸ll；こ三＿二；；；：：貫一：＿） ＿「・＋・1 寸
箒』＿栖一一‥一の iコ1㌔・・、＋七 1
（
@ 一κ（A）（〃白＋1−jy歯＋1，片
R−6），（3−7）式より）・
@㈹ 1 1・・」．
ごみ ＋慕＾ （エ．．，蜘，、 ＝1汁五
ここに 、、ご ．，．．、 であるから直交行列・（γF1）により ・・
．五＝γ・η1ζ＝ に＿一、・ （λ、＞o） 』α・・一・齪ごθ癬詔『）
λ2． ㌧ … は対角化され，その固有値は1以下である。
ロ
． 従って
λ冨o．⊥ ． 111。一・」オτ丑．1σ｛葦詔・・‖≦α・・一・・≦1 、・ ． となる。
』o （ii）（5−4）式の導出 ヒ
である。更に 1 （i）においてo」雷㍑＋・および｛｝ぱ祓＋・をそれぞれ
P・α。一・1繊賠茄）−1γ］−1 κ（のおよびG・＋1と離れば・全桐様にして
＝γ一1（∬一〇鮮認＋1砂㍍口」1）（7−1ア 」 ． Ilみ一π（A）6i歯＋111≦β≦1
，．＝岬 ． を得る。
1 ユ十ユ1
1 1十ユ2
三・．・口
． ．
1
1 十λ1 ．．
∫．、1．一 』 ユ
・ ■
● ● 1
．・・@一 1， ． 一 ． r 1
