7. 曲面の第 1 基本形式と第 2 基本形式の関係 これまで, 曲面 f(u,v) があたえらえたとき, 第 1 基本形式 Ⅰ=Edu +2Fdudv+Gdv 2 2 Ⅱ=Ldu +2Mdudv+Ndv が定義でき, いろいろな量を計算してきました. すなわち, 曲面 f(u,v)

７．曲面の第１基本形式と

第２基本形式の関係

これまで，曲面ｆ（ｕ，ｖ）があたえらえたとき，第１基本形式 Ⅰ＝Ｅｄｕ ＋２Ｆｄｕｄｖ＋Ｇｄｖ２ ２ ・・・① Ⅱ＝Ｌｄｕ ＋２Ｍｄｕｄｖ＋Ｎｄｖ２ ２ ・・・② が定義でき，いろいろな量を計算してきました． すなわち， 曲面ｆ（ｕ，ｖ）からＥ，Ｆ，Ｇ，Ｌ，Ｍ，Ｎ が決まり，実際の計算は，２次元ユークリッド平面（ｕ，ｖ）の各点にＥ，Ｆ，Ｇ，Ｌ， Ｍ，Ｎが定義されたものとして扱っているのです． 当然逆が成り立つかは興味ある問題です．すなわち 問題 （ ， ） ， ， ， ， ， ， ２次元ユークリッド空間 ｕ ｖ に６つの関数Ｅ Ｆ Ｇ Ｌ Ｍ Ｎを定義したとき 第１，第２基本形式が①，②で与えられる曲面ｆ（ｕ，ｖ）が唯一つ存在するか です．この問題を曲面の基本定理といいます．結論を先に言ってしまうと，この定理はあ る条件のもとで正しいのです．証明は偏微分方程式を解く問題に帰着され，ここでは偏微 分方程式の理論には触れず，偏微分方程式が解けるための条件を証明することだけをきち んと示します． 偏微分方程式は後で触れるとして，問題を眺めてみましょう． 曲面 （ｕ，ｖ）＝（ｆ （ｕ，ｖ ，ｆ （ｕ，ｖ ，ｆ （ｕ，ｖ ） ｆ １ _） ２ _） ３ _） を求めるとは，３つの関数 ｆ （ｕ，ｖ ，ｆ （ｕ，ｖ ，ｆ （ｕ，ｖ）を求めること１ _） ２ _） ３ ． （ ， ）， （ ， ）， （ ， ）， （ ， ）， （ ， です 一方条件を見るとＥ ｕ ｖ Ｆ ｕ ｖ Ｇ ｕ ｖ Ｌ ｕ ｖ Ｍ ｕ ｖ ，Ｎ（ｕ，ｖ）と６つあります．たとえて言えば，３元連立方程式なのに，条件が６） つもあるようなものです．方程式でも微分方程式でもこれはおかしいことです． そこで，まずＥ（ｕ，ｖ ，Ｆ（ｕ，ｖ ，Ｇ（ｕ，ｖ ，Ｌ（ｕ，ｖ ，Ｍ（ｕ，ｖ ，Ｎ） ） ） ） ） （ｕ，ｖ）の関係式を調べます．なお，そこから出てくる関係式が，偏微分方程式の解を 持つための条件と一致することが分かります．うまくいっているものなのです． さて，本論に入りましょう． まず，これからの計算のために，記号を少し変えます． 今まで，曲面を （ｕ，ｖ）＝（ｆ （ｕ，ｖ ，ｆ （ｕ，ｖ ，ｆ （ｕ，ｖ ） ｆ １ _） ２ _） ３ _） のように表しましたが，これからは座標変数はｕ ，ｕ１ ２ を用い （ｕ ，ｕ ）＝（ｆ （ｕ ，ｕ ，ｆ （ｕ ，ｕ ，ｆ （ｕ ，ｕ ） ｆ １ ２ １ １ ２_） ２ １ ２_） ３ １ ２_） のように異なる文字を表す数字は上に書きます．右下に使う数字はすべて偏微分に用いま す．当然２乗や３乗を用いるときもありますが，そのときはたとえば

（ｆ （ｕ ，ｕ１ １ ２ ） のように必ず括弧を使います．２ ） つぎに和についてですが，指標の１と２の和をとることが非常に多いので，式の上下に重 複して同じ文字があるとき，その文字の１と２の和をとることにします．この規則をアイ ンシュタインの規約といいます． たとえば，ａ ｂ ＋ａ ｂ１ １ ２ ２ はａ ｂｉ ｉ と表します．最初はびっくりしますがすぐなれ とても便利です． 第１基本量E,F,G，第２基本量L,M,Nは １１ １２ ２１ ２２ E＝ｇ ， ＝ｇF ＝ｇ ， ＝ｇG １１ １２ ２１ ２２ L＝ｈ ，M＝ｈ ＝ｈ ， ＝ｈN とします．すなわち第１基本形式Ⅰ，第２基本形式Ⅱは次のようになります． ｉ ｊ Ⅰ＝ｇｉｊｄｕ ｄｕ ｉ ｊ Ⅱ＝ｈｉｊｄｕ ｄｕ ２ ２ さらに，ｇ＝ｇ１１ｇ －ｇ２２ １２ ，ｈ＝ｈ１１ｈ －ｈ２２ １２ とします． また，２行２列の行列（ｇ ）の逆行列を（ｇｉｊ ｉｊ）で表します． すなわち が成り立ちます． これからの内容は次の通りです．まず，ｆの偏導関数ｆｉ ，ｆｉｊ ，ｆｉｊｋ は ＝（ ， ， ） ｆｉ ＝（ ， ， ） ｆｉｊ ＝（ ， ， ） ｆｉｊｋ のことです．このとき， ｆ１ ， ｆ２ ，ｎ ｆ＝ １ × ｆ２ ／│ｆ１ × ｆ２│ は１次独立 ですから，それらで任意のベクトルが表せます．そこで，ｆｉｊ ，ｆｉｊｋ を ｆ１ ， ， で表すことを通じて ｇ ，ｈ の関係を求めます． ｆ２ ｎ ｉｊ ｉｊ それでははじめます． は ， ， で表せますから ｆｉｊ ｆ１ ｆ２ ｎ ｆｉｊ ＝Γｉｊｋ ｆｋ＋Ｈｉｊｎ とおきます．ここで，ｆｉｊ・ｎ＝ｈｉｊ ですから（定義 ，） ｉｊ ｉｊ ｉｊ Ｈ ＝ｆ ・ｎ＝ｈ が成り立ちます．

∂ f

1

∂ u

i

∂ f

2

∂ u

i

∂ f

3

∂ u

i

∂ u

i

_{∂ u}

j

∂

2

_f

1

∂ u

i

_{∂ u}

j

_{∂ u}

k

∂

3

_f

1

∂ u

i

_{∂ u}

j

∂

2

_f

2

∂ u

i

_{∂ u}

j

∂

2

_f

3

∂ u

i

_{∂ u}

j

_{∂ u}

k

∂

3

_f

2

∂ u

i

_{∂ u}

j

_{∂ u}

k

∂

3

_f

3

g

11

g

12

g

21

g

22

g

11

_g

12

g

21

_g

22

=

1 0

0 1

ｆ ｆ ｎ ∴ ｉｊ ＝Γｉｊｋ ｋ＋ｈｉｊ ＝ ですからΓ ＝Γ が成り立ちます． ｆｉｊ ｆｊｉ ｉｊｋ ｊｉｋ 次にΓｉｊｋを求めます． 求める方針は，ｇｉｊ＝ｆｉ・ｆｊの両辺をｕ で偏微分することです．ｋ ｉｋ ｊ ｉ ｊｋ ＝ｆ ・ｆ ＋ｆ ・ｆ ＝Γｉｋｍｆｍ・ｆｊ＋ｆｉ・Γｊｋｍｆｍ （∵ ｆｉ・ｎ＝０） ｍ ｍ ＝ｇｍｊΓｉｋ ＋ｇｉｍΓｊｋ ここで ｋｍ ｉｊ ｉｊ ｋ ｇ Γ ｍ＝Γ ， と書けば ｉｋ，ｊ ｊｋ，ｉ ＝Γ ＋Γ となる． ここでΓｉｋ，ｊ＝Γｋｉ，ｊより ＝Γｊｋ，ｉ＋Γｋｉ，ｊ ・・・① とすると見やすい． ｉ，ｊ，ｋを入れ替えて ＝Γｋｊ，ｉ＋Γｊｉ，ｋ ・・・② ＝Γｋｉ，ｊ＋Γｉｊ，ｋ ・・・③ ②＋③－①より Γｉｊ，ｋ＝ を得る．したがって ｉｊ ｉｊ，ｍ Γ ｋ＝ｇｋｍΓ ＝ を得る．このΓｉｊｋをクリストッフェルの３添字記号という．なお，式から分かるように Γｉｊｋは第１基本形式ｇｉｊだけで決まる．このことは重要なことです． 次に法線ベクトルｎについて同じことを行います． ・ ＝１より ・ ＝０． ｎ ｎ ｎｉ ｎ

∂ g

ij

∂ u

k

∂ g

ij

∂ u

k

∂ g

ik

∂ u

j

∂ g

jk

∂ u

i

1

2

(

∂

g

jk ∂

u

i

＋

∂

g

ki ∂

u

j

－

∂

g

ij ∂

u

k

)

1

2

g

km

₍

∂

g

jm ∂

u

i

＋

∂

g

mi ∂

u

j

－

_∂

_u

m ∂

g

ij

)

ここで， ｉ ｉ ｋ ｎ ＝Ａ ｋｆ とおきます． 一方ｆｉ・ｎ＝０よりｆｉｊ・ｎ ｆ＋ ｉ・ｎｊ＝０ ｉｊ ｉｊ ｊｉ ｊ ｉ ｉ ｊｋ ∴ ｈ ＝ｆ ・ｎ ｆ＝ ・ｎ＝－ｆ ・ｎ ＝－Ａ ｇｋ ｊ ｋｊ ∴ Ａｉ ＝－ｈｉｋｇ したがって ｉ ｉｋ ｊ ｎ ＝－ｈ ｇｋｊｆ を得る． 以上で ＝Γ ＋ｈ ・・・① ｆｉｊ ｉｊｋ ｆｋ ｉｊｎ ＝－ｈ ｇ ・・・② ｎｉ ｉｋ ｋｊｆｊ を得ました．①をガウスの誘導方程式，②をワインガルデンの誘導方程式といいます． 各点で ｛， ｆ１，ｆ２，ｎ｝で表せるので，①，②の関係式さえ分かればどんな微分でも出 来るわけです．曲線論で言えばフレネの公式です． 次に，さらに微分します．その中でｇｉｊとｈｉｊの関係が求まります． ｉｊｋ ｉｊ ｋ ｉｊ ｍ ｉｊ ｋ ｆ ＝（ｆ ） ＝（Γ ｍｆ ＋ｈ ｎ） ｉｊ ｋ ｍ ｉｊ ｍｋ ｉｊ ｋ ｉｊ ｋ ＝（Γ ｍ） _ｆ ＋Γ ｍ_ｆ ＋（ｈ ） _ｎ＋ｈ _ｎ ＝（Γｉｊｍ）ｋｆｍ＋Γｉｊｍ（Γｍｋｎｆｎ＋ｈｍｋｎ） ｉｊ ｋ ｉｊ ｋｍ ｎ ＋（ｈ ） ｎ－ｈ ｈ ｇｍｎｆ ｉｊ ｋ ｉｊ ｎｋ ｉｊ ｋｎ ｍ ＝｛ Γ（ ｍ） ＋ Γ ｎΓ ｍ－ｈ ｈ ｇｎｍ ｝_ｆ ｎ ＋ ｛Γｉｊｍｈ ＋（ｈｍｋ ｉｊ） ｝ｋ ｊとｋを交換すれば ｉｋｊ ｉｋ ｉ ｎ ｉ ｊｎ ｍ ｆ ＝｛ Γ（ ｍ） ＋ Γ ｎΓ ｍ－ｈ ｈ ｇｎｍ ｝ｆ j k j k ｎ ＋ ｛Γｉｋｍｈ ＋（ｈｍｊ ｉｋ） ｝ｊ ＝ より ｆｉｊｋ ｆｉｋｊ ｍ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ （Γｉｊ ）ｋ －（Γｉｋ ） ＋Γj ｉｊ Γｎｋ －Γｉk Γｎj －ｈ ｈｉｊ ｋｎｇｎｍ ＋ｈｉkｈｊｎｇｎｍ ＝０ ・・・③ （ｈ ）ｉｊ ｋ －（ｈｉｋ）ｊ ＋Γｉｊｍｈｍｋ－Γｉｋｍｈｍｊ ＝０ ・・・④ ③をガウスの積分可能条件，④をコダッチの積分可能条件といいます． 積分可能条件という理由は，後で第１，２基本形式より偏微分方程式を解くことにより曲 面を求めるのですが，偏微分が解けるための条件が③，④であることが示されます．偏微 分方程式が解けるための条件を積分可能条件といいます． ③，④の中で独立な式がいくつあるかを調べましょう． ｊ＝ｋの時は恒等式ですからｊ＝１，ｋ＝２だけ調べればよい． ④のコダッチの積分可能条件を調べると ｉ＝１，ｊ＝１，ｋ＝２のときが （ｈ ） －（ｈ１１ ２ １２） ＋Γ１ １１ｍｈｍ２－Γ１２ｍｈ ＝０ｍ１ でｉ＝２，ｊ＝１，ｋ＝２のときが

（ｈ ） －（ｈ２１ ２ ２２） ＋Γ１ ２１ｍｈｍ２－Γ２２ｍｈ ＝０ｍ１ である．この２つの条件がコダッチの積分可能条件です． 次のガウスの積分可能条件を調べます． ｍ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ （Γｉｊ ） －（Γｋ ｉｋ ） ＋Γj ｉｊ Γｎｋ －Γｉk Γｎj －ｈ ｈｉｊ ｋｎｇｎｍ ＋ｈｉkｈｊｎｇｎｍ ＝０ ・・・③ クリストッフェル記号は第一基本形式ｇｉｊだけで決まる量です．したがって，最初の４項 は第１基本形式だけで決まり，あとの２項は第１，第２基本形式両方関係しています． ③より少なくとも第１基本量と第２基本量に関係があることが分かります．これが，思わ ぬ結果に発展し，ガウスをして「最もすばらしい定理(Theorem egregium)」と言わしめた 定理に到達します．計算は少し面倒ですがもう少しです． ③を計算するために，③の前半の４項を Ｒｍ ＝（Γ ｍ） －（Γ ｍ） ＋Γ ｎΓ ｍ －Γ ｎΓ ｍ ・・・⑤ ｉｊｋ ｉｊ ｋ ｉｋ j ｉｊ ｎｋ ｉk ｎj とおき，さらに Ｒｎｉｊｋ＝ｇｎｍ Ｒｍｉｊｋ ・・・⑥ と定義します．⑤を第２曲率テンソルといい，⑥を第１曲率テンソルといいます． ⑤，⑥は共に曲面の第１基本形式より決まります． ｎｍ ｉｊ ｋ ｍｎ ｋ ｉｊ ｍｎ ｉｊ ｋ （ｇ Γ ｍ） ＝（ｇ ） Γ ｍ＋ｇ （Γ ｍ） より ｍ ｍ ｍ ｇｍｎ（Γｉｊ ） ＝（ｇｋ ｎｍΓｉｊ ） －（ｇｋ ｍｎ） Γｋ ｉｊ ＝（Γｉｊ，ｎ） －Γｋ ｉｊｍ（Γｎｋ，ｍ＋Γｋｍ，ｎ） （∵ この節の最初のほうのΓｎｋ，ｍ の定義を参照） したがって， ｎｉｊｋ ｎｍ ｉｊｋ Ｒ ＝ｇ Ｒｍ ＝ （Γｉｊ，ｎ） －Γｋ ｉｊｍ（Γｎｋ，ｍ＋Γｋｍ，ｎ） －（ Γｉｋ，ｎ） ＋Γｊ ｉｋｍ（Γｎｊ，ｍ＋Γｊｍ，ｎ） ＋（ ΓｉｊｒΓｒｋ，ｎ －ΓｉkｒΓｒｊ，ｎ ） ｉｊ，ｎ ｋ ｉｋ，ｎ ｊ ｉｊ ｎｋ，ｍ ｉｋ ｎｊ，ｍ ＝（Γ ） －（ Γ ） －Γ ｍΓ ＋Γ ｍΓ ｊｎ ｉｋ ｎｉ ｊｋ ｉｊ ｎｋ ＝｛ ｇ（ ） ＋（ｇ ） －（ｇ ） －（ｇｋｎ）ｉｊ－（ｇ ）ｎｉ ｋｊ＋（ｇｉｋ）ｎｊ｝／２ ｉｊ ｎｋ，ｍ ｉｋ ｎｊ，ｍ －Γ ｍΓ ＋Γ ｍΓ したがって， Ｒｎｉｊｋ ＝｛ ｇ ）（ ｊｎ ｉｋ－（ｇｉｊ） －（ｇ ）ｎｋ ｋｎ ｉｊ＋（ｇ ）ｉｋ ｎｊ｝／２ －ｇｐｍ（Γ Γ －Γ Γ ） ｉｊ，ｐ ｎｋ，ｍ ｉｋ，ｐ ｎｊ，ｍ ＝ ｛ － － ＋ ｝ －ｇｐｍ（Γ Γ －Γ Γ ） ｉｊ，ｐ ｎｋ，ｍ ｉｋ，ｐ ｎｊ，ｍ となる． 式から分かるように，第１曲率テンソルＲｎｉｊｋ は前の２つｎ，ｉを交換すると符号が変

1

2

∂ u

i

∂ u

k

∂

2

_g

jn

∂ u

n

∂ u

k

∂

2

_g

ij

∂ u

i

∂ u

j

∂

2

_g

kn

∂ u

n

∂ u

j

∂

2

_g

ik

るし，後の２つｊ，ｋを交換しても符号が変る．すなわち ｎｉｊｋ ｉｎｊｋ ｎｉｊｋ ｎｉｋｊ Ｒ ＝－Ｒ ， Ｒ ＝－Ｒ したがって，ｎ＝ｉ，ｊ＝ｋのときは Ｒｎｉｊｋ ＝０． ０でない第一曲率テンソルは １２１２ ２１２１ １２２１ ２１１２ Ｒ ＝Ｒ ＝－Ｒ ＝－Ｒ だけである． 以上の計算のもとで，ガウスの可積分条件 ｍ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ （Γｉｊ ）ｋ －（Γｉｋ ） ＋Γj ｉｊ Γｎｋ －Γｉk Γｎj －ｈ ｈｉｊ ｋｎｇｎｍ ＋ｈｉkｈｊｎｇｎｍ ＝０ を見直すと Ｒｍ －ｈ ｈ ｇｎｍ ＋ｈ ｈ ｇｎｍ ＝０ ｉｊｋ ｉｊ ｋｎ ｉk ｊｎ ｇｍｐをかけて ｇｍｐ（ Ｒｍｉｊｋ－ｈｉｊｈｋｎｇｎｍ ＋ｈｉkｈ ｇｊｎ ｎｍ ）＝０ Ｒｐｉｊｋ－ｈ ｈｉｊ ｋｎ δｎｐ＋ｈｉkｈｊｎδｎｐ ＝０ ∴ Ｒｐｉｊｋ－ｈ ｈｉｊ ｋｐ＋ｈｉkｈｊｐ ＝０ したがって，ガウスの可積分条件はただ一つの式で ２ Ｒ１２２１＝ｈ ｈ２２ １１－（ｈ ）１２ となることが分かりました． 以上のことからコダッチの方程式が２個，ガウスの方程式が１個，合わせて３個がわかり ました．この章の最初で，条件が６つ E,F,G,L,M,N に対して３つの関数ｆ ，ｆ ，ｆ を１ ２ ３ 求めると書きましたが，３つの関係式があり釣り合いがとれています． 後はまとめです．曲面の全曲率をＫとすると Ｋ＝ ＝ ・・・⑦ となりました． この等式⑦がガウスをしてもっともすばらしい定理(Theorem egregium)と言わしめた式で す． 簡単に説明します． 左辺の全曲率とは，その点の法曲率の最大値と最小値の積です．円柱面と平面を第１基本 形式が保たれる対応させるとき，円柱上の円や円柱螺旋が平面では直線にうつります．こ のことから分かるように，曲線の曲率や捩率は第１基本形式が同じでも保たれません．こ こで，第１基本形式より決まる量を内在量というと曲率や捩率は内在量ではありません． その曲率を用いて定義した全曲率がなんと第１基本形式だけから決まる量すなわち内在量 である． という意味です．なお，平均曲率Ｈは内在量ではありません． この節の最後で曲率テンソルＲ１２２１を便利な座標である曲率線座標および測地線座標の

g

11

g

22

－ g

122

h

11

h

22

-h

122

g

11

g

22

－ g

122

R

12 21

とき計算しておく．これはあとで，負の定曲率曲面の全曲率を計算するときやガウス－ボ ンネの定理の証明のとき用います， １２２１ Ｒ ＝ ｛ － － ＋ ｝ －（Γ２２，ｐΓ１１ｐ －Γ２１，ｐΓ１２ｐ ） です． 曲率線座標は ２ ２ Ⅰ＝Ｅｄｕ ＋Ｇｄｖ よりｇ１１＝Ｅ，ｇ１２＝ｇ２１＝０，ｇ ＝Ｇ２２ Γ１１１＝Ｅ ／(２Ｅ)，Γ１ １１２＝－Ｅ ／(２Ｇ)２ ，Γ１２１＝Ｅ ／(２Ｅ)，２ Γ１２２＝Ｇ ／(２Ｇ)，１ Γ２２１＝－Ｇ ／(２Ｅ)１ ，Γ２２２ ＝Ｇ ／(２Ｇ)２ Γ１１，１＝Ｅ ／２，Γ１ １１，２＝－Ｅ ／２，Γ２ １２，１＝Ｅ ／２２ Γ１２，２＝Ｇ ／２，Γ１ ２２，１＝－Ｇ ／２，Γ１ ２２，２＝Ｇ ／２２ Ｒ１２２１＝（－Ｅｖｖ－Ｇｕｕ）／２ －(－Ｇ ／２)・(Ｅ ／(２Ｅ))－ (Ｇ ／２)・(－Ｅ ／(２Ｇ))１ １ ２ ２ ＋（Ｅ ／２ ・(Ｅ ／(２Ｅ))＋(Ｇ ／２ ・(Ｇ ／(２Ｇ))２ ） ２ １ ） １ ＝ （－Ｅｖｖ－Ｇｕｕ）／２ ＋(Ｇ ／２)・(Ｅ ／(２Ｅ))＋ (Ｇ ／２)・(Ｅ ／(２Ｇ))１ １ ２ ２ ＋（Ｅ ／２ ・(Ｅ ／(２Ｅ))＋(Ｇ ／２ ・(Ｇ ／(２Ｇ))２ ） ２ １ ） １ となります． さらに，Ⅰ＝ｄｕ ＋Ｇｄｖ２ ２ のときは Ｒ１２２１＝－Ｇ ／２１１ ＋（Ｇ ／２ ・ Ｇ ／２Ｇ）１ ）（ １ ＝ 一方 より Ｒ１２２１＝ を得る． 全曲率Ｋは Ｋ＝Ｒ１２２１／ｇ より ｇ＝Ｇであるから

1

2

∂ u

2

∂ u

1

∂

2

_g

21

∂ u

1

∂ u

1

∂

2

_g

22

∂ u

2

∂ u

2

∂

2

_g

11

∂ u

1

∂ u

2

∂

2

_g

21

－

Ｇ

１ １

２

＋

４ Ｇ

Ｇ

１ ２

( G )

11

=

2 G

G

11

－

4G

G

(G

1

)

2

－ (

G )

11

G

Ｋ＝ この式は，ガウスーボンネの定理で用いられる． 例 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｌ，Ｍ，Ｎは任意でないことの例を挙げましょう． Ｅ＝Ｇ＝１，Ｆ＝０，Ｌ＝１，M ＝０として，N を調べてみよう．ガウスの可積分条件 より ｍ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ （Γｉｊ ）ｋ －（Γｉｋ ） ＋Γj ｉｊ Γｎｋ －Γｉk Γｎj －ｈ ｈｉｊ ｋｎｇｎｍ ＋ｈｉkｈｊｎｇｎｍ ＝０ でΓｉｊｋ はすべて０より，ｉ，ｊ＝１，ｍ＝ｋ＝２で確かめると －ｈ１１ｈ２２＋ｈ１２ｈ１２＝０ より ｈ２２＝０ を得る．したがって，ｈ２２≠０のとき曲面が存在しないことが分かる． （曲面の第１基本形式と第２基本形式の関係の項目終わり）

－

G

11

G